想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解

数形结合在高中数学中的应用数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考虑的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。

下面我将结合例题浅析数形结合思想的应用。

一、以图形增强代数概念的直观性已知p点分的比为，则b分的比为多少？此问题若以有向线段数量来分析，至少要注意三个方面：（1）点分有向线段所成比的定义（2）对于数量有：ab=-ba（3）对于数量有：ab=ap+pb，然后进行代数式的恒等变形。

而如果结合具体图形，由题易得如图a、b、p三点的分布，因此。

例2、比较大小arcsin_____arccos代数方法应考虑以函数单调性去解决，这就存在函数名称同化的问题，此正为该题之难点若将两式理解为已知函数值的锐角，则可得a= arcsin和b= arccos为图形中两角，因此易得b>a。

例3、若0x>sinx。

二、利用有关函数草图解决代数问题函数图象与函数解析式是最紧密的数形结合，特别对于较易得到草图的函数参加的代数问题，利用其图象往往可一蹴而就。

例4、不等式≥x的解集是（）[-2，2] （b）（-1，2）（c） [0，2] （d）（，2）若用无理不等式的通用解法，此题易考虑不周，从而丢失某一组有理不等式组或丢失某一有理不等式，而画出函数的图象如图，仅分析选择支的区间形态，便可知选（a）例5、已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围。

若以代数方法须保证方程x2-4x+3+k=0在区间（-，1）（3，+）内有两根，且方程x2-4x+3-k=0在区间[1，3] 内有两根。

而画出y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象后，只须两图象有四个交点即可。

即-10}，若ab=r，求实数a的范围。

解出a并可确认为a={x | a-10和f（a+1）>0即可，这就巧妙回避了分类讨论。

数形结合，妙解高中数学难题
以形助数，以数解形
——数形结合（阿波罗尼斯圆）
作者：半斤＆Sciaphila
Hello，大家好。

今天我们将为大家带来一份解题锦囊，教你用数形结合解决高考难题。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，巧妙运用数形结合的思想可以把某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，做到“以形助数，以数解形”。

实现数形结合，常于以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系②函数与图像的对应关系③曲线与方程的对应关系④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如：复数、三角函数⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

为让大家有更好的认识，下面是我们为大家准备的例题：
以上是较简单明了的数形结合在具体问题中的应用，下面再向大家介绍一下数形结合的另一个较具体的数学问题-——阿波罗尼斯圆在
高考中的应用。

下面来看一道高考题：
（最后贴心附上我们上一期的答案，相信童鞋们都已经做出来了哟。

）。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。

但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。

在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。

数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。

它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。

以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。

例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。

这是一道很巧妙的数形结合题。

题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。

我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。

根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。

因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。

同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。

那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。

对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。

通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。

例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。

高考数学：数形结合法及题型实例数形结合思想基础知识点1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

经典例题剖析方法总结与高考预测（一）方法总结1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图（2）函数图象，导数的几何意义（3）解析几何中方程的曲线（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。

（二）高考预测1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。

数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是一种重要的思想方法，它将数学和几何相结合，利用图形和形状来推
导出数学规律，是一种将抽象问题转化为具体问题的思考方式。

在高中数学教学中，数形
结合思想具有很好的应用价值，可以更好地帮助学生理解数学知识，提高数学素养和应用
能力。

一、数形结合思想在平面几何中的应用
1.平面图形的解析方法。

平面几何是数形结合思想最常用的领域之一，常常需要利用
图形的形状和大小来分析和解决问题。

例如，在证明平面图形之间面积的关系时，可以通
过分析图形的对称性和相似性来推导出结论。

2. 比例关系的图示方法。

比例是数学中常见的重要概念，可以用图形来表示。

例如，通过图形的大小和比例关系，可以帮助学生更加直观地理解数学中的比例和比例关系，从
而更好地应用到实际问题中。

3. 二次函数图形的解析方法。

二次函数图像是高中数学中较为复杂的内容之一，学
生往往难以理解。

利用数形结合思想，可以将二次函数图形转化为图形的形状和特征，通
过图形的变化来推导出函数的特性和性质，从而更好地理解二次函数的概念和应用。

2. 函数求极值和最值的图示方法。

在函数求极值和最值时，可以利用图形的形状和
大小来分析和解决问题。

例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过图形的上下凸性
和变化趋势来推导出最值的位置和数值，从而更好地掌握函数求极值和最值的方法。

数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=xxxBaxaxA，当∅≠⋂BA，求实数a的取值范围.参考解答：画数轴分析可得45a-<<.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax=-+，当[)1,x∈-+∞时，()f x a>恒成立，求a参考解答：解法一：由()f x a>，在[)1,-+∞上恒成立2x⇔考查函数()222g x x ax a=-+-的图像在[1,-不等式的成立条件是：1）()()244202,1a a a∆=--<⇒∈-；2）()(]13,210a ag∆≥⎧⎪<-⇒∈--⎨⎪->⎩；综上所述()3,1a∈-解法二：由()()2221f x a x a x>⇔+>+，令),l m对应的a的值分别为3,1-，故直线l对应的a∈例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg3x x m x-+-=-在x∈内有唯一解，求实数参考解答：原方程变形为23033xx x m x->⎧⎨-+-=-⎩，即()3021xx m2->⎧⎪⎨-=-⎪⎩，作出曲线()212y x=-，()0,3x∈和直线21y m=-的图象，由图可知：①当10m-=时，有唯一解1m=；②当114m ≤-<时，即30m -<≤时，方程有唯一解. 综上可知，1m =或30m -<≤时，方程有唯一解.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x 在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.参考解答：(][),10,-∞-⋃+∞例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值. 参考解答：对于二元函数3y x -在限定条件2211625x y +=下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 来求之.令3y x b -=，则3y x b =+，原问题转化为：在椭圆2211625x y +=上求一点， 使过该点的直线斜率为3，且在y 轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3y x b =+与椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距.由可得0∆=，得13b =±，故3y x -的最大值为13，最小值为13-.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B例7、线段AB 的两个端点为(1,1A 点，求a 的取值范围.参考解答：不论a 取何值，直线l 恒过定点(P需要l 由直线PA 的位置（绕P l 的倾斜角先逐渐增大到2π（从而l 依然逐渐增大，因此其正切值（l 故(][)2,42,a ∈-∞-⋃+∞，即例8、已知()1,1A为椭圆22195x y+=内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PF PA+的最大值和最小值.参考解答：由椭圆的定义知121266PF PF PF PF+=⇒=-，122266,6PF PA PF PA AF AF+=-+∈⎡-+⎤⎣⎦即()1min6PF PA+=，()1max6PF PA+=【配套练习】1、方程1sin44x xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的解的个数为（C）()A1()B2()C3()D4 2、如果实数,x y满足()2223x y-+=，则yx的最大值为（D）()A12()B()C()D参考解答：等式()2223x y-+=有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()2,0，半径3r=如图，y yx x-=-表示圆上的点(),x y与坐标原点()0,0的连线的斜率. 如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以()2,0为圆心，以r=OA的斜率的最大值，由图可见，当A∠在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算得最大值为tan60︒=3、已知函数()()2log1f x x=+，若0a b c<<<，则()()(),,f a f b f ca b c的大小关系为()()()f c f b f ac b a<<.4、设函数()2020x bx c xf xx⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f-=，()2f-=则关于x的方程()f x x=的解的个数为（C）()A1()B2()C35、函数y=D）()A2()B1+()C6、已知函数aaxxy-++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a参考解答：如图所示，可知对称轴362ax a=-≥⇒≤-7、设α、β分别是方程2log40240xx x x+-=+-=和的根，则αβ+＝4.8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.参考解答：令()232f x x ax a =++-，由题()()()1043030032022070f a f a a f ⎧-<-<⎧⎪⎪<⇒-<⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.参考解答：2cos 2sin -+=x x y 的形式类似于斜率公式2121y y k x x -=-，表示过两点()02,2P -，()cos ,sin P x x 的直线的斜率，由于点P 在单位圆122=+y x 上，显然B P A P k y k 00≤≤，设过0P 的圆的切线方程为)2(2-=+x ky ，则有11|22|2=++k k ，解得374±-=k ，即0P Ak =，0P Bk =，所以374374+-≤≤--y ，所以函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---374374，. 10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂QP ；⑵P Q ；参考解答：画区域分析问题，⑴[]2,2a ∈-，⑵0a =【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为(-.参考解答： 集合}109|){(22≤<=+=y y x y x M，，，显然，M 表示以()0,0为圆心，以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率1k =，纵截距为b ，由图形易知，欲使M N ⋂≠∅，即直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小逼近值为3-，最大值为233≤<-b .2、已知()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<）， 则实数(),a αβ∈，且b ∈(),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（C ） ()A 32()B 2()C 4()D 8参考解答：设椭圆另一焦点为2F ，（如下图），则122MF MF a +=，而5a =，因为12MF =，所以28MF =，又注意到,N O 各为112,MF F F 的中点，所以ON 是12MF F ∆的中位线，因此4||21||2==MF ON .4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.()1 ()2 ()3 ()4()A ()()()(),2,3,4c a b d ----1 ()B ()()()(),2,3,4a b c d ----1 ()C ()()()(),2,3,4b d a c ----1 ()D ()()()(),2,3,4b c d a ----18、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（A ）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈()()1,2C b ∈()()2,D b ∈+∞参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x ⑴()00f =，即0d =；⑵()10f =，即0a b c ++=； ⑶()20f =，即8420a b c ++=；⑷()()()12f x ax x x =⋅-⋅-；⑸当()(),01,2x ∈-∞⋃时，()0f x <，由()10f -<得0a b c -+-<，⑹当()()0,12,x ∈⋃+∞时，()0f x >，()30f >，可推得0a >.巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法： 方法一：⑵⑶得3b a =-，再由⑹推得0b <，选A ；方法二：⑵⑸推得0b <；方法三：由⑷比较同次项系数得3b a =-，再由⑹得3b a =-.数学思想方法：数形结合数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】 例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=x x x B a x a x A ，当∅≠⋂B A ，求实数a 的取值范围.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x a >恒成立，求a 的取值范围.例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg 3xx m x -+-=-在()0,3x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B 例7、线段AB 的两个端点为()()1,1,1,3A B -，直线:21l y ax =-，已知直线l 与线段AB 有公共点，求a 的取值范围.例8、已知()1,1A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点， 求1PF PA +的最大值和最小值.【配套练习】 1、方程1sin 44x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解的个数为（ ） ()A 1()B 2()C 3()D 42、如果实数,x y 满足()2223x y -+=，则y x的最大值为（ ）()A 12()B()C()D 3、已知函数()()2l o g 1f x x=+，若0a b c <<<，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系为 .4、设函数()2020x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=，()22f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ）()A 1()B 2()C 3()D 35、函数y = ）()A 2()B 1+()C()D 6、已知函数aax x y -++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a的取值范围为 . 7、设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则αβ+＝ .8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂Q P ；⑵P Q .【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为 .2、已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<）， 则实数(),a αβ∈，且b (),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（ ）()A 32()B 2 ()C 4 ()D 8 4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.5678、已知函数f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（ ）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈ ()()1,2C b ∈ ()()2,D b ∈+∞。

中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

数形结合思想、数学结合思想所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

数学结合思想的应用包括以下几个方面：(1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维，提示数学问题的本质；(2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。

二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化：1．“数”：主要是指数和数量关系。

中学阶段的“数”有以下几类：(1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。

2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。

中学阶段的“形”有以下几类：(1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域；三、数形结合思想应用的关键：1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。

数”四、数形结合思想解决的问题类型：1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、集合的运算问题；2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题;7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。

数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路sin7ix(0 < X < 1)例6 :(改编题)已知函数f(x)斗''，若a,b,c 互不相等,且Iog 2011 x(x >1)f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C )例7 .设0<X 1 <X 2吒兀，试比较a =沁和b=Sn Z 2的大小. 为 X 2【分析及解】 由式子 沁的结构可知,沁的的几何意义是连接两点 0(0,0 ) x x T(x,si nx )的直线的斜率，于是，可以画出y=s in x 的图象，研究两点Ax 1,si n 为)和 Bx 2,sinx 2 )与O(O,O )连线的斜率，由图象可知，k OA Ak oB ,即a Ab.A . (1,2011)B . (1,2012)C . (2,2012)D . [2,2012]O a /b1► x2011X 2x5例8: (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y =|k i x+b, | + |k 2x + b 2 ITk s x+b s I (其中k i ,k 2,k 3为正实数，b i ,b 2,b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图 象，k1, k 2/斗可一定成立的关系是>x变式: 已知函数f(x) =sn ^x(1)给出下列三个命题，其中真命题是①②①f(x)偶函数；②fg ;③当xp 时，f(x)取得极小值。

高中数学：数形结合必考题型全梳理！（附例题）一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题（二）与距离有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

数形结合思想在高中数学学习中的应用分析数形结合思想指的是数学和几何之间的联系和互相影响。

在高中数学学习中，数形结合思想有着重要的应用。

本文主要从几何应用、函数应用、证明思路和实际问题应用四个方面进行分析。

（一）几何应用几何图形的面积、周长、体积等都是数值计算，而这些数值往往可以用形状的特征描述出来，例如，矩形的面积为长乘宽、圆的面积为半径的平方乘π等。

用数学函数的方法，可以更加精确地求出这些值。

同时，在解决几何问题时，我们往往需要将几何形状与数学方程相结合，运用函数、方程和式子解决几何问题。

例如，求解一个圆的面积和周长可以用函数的方法解决。

圆的面积公式为S=πr²，周长公式为L=2πr。

其中，π为常数，r为半径。

圆的面积和半径的平方成正比例，同时与π相关，可以用函数表示为S=f(r)=πr²；圆的周长与半径成正比例，可以用函数L=g(r)=2πr表示。

这样，在解决圆的相关问题时，就可以将问题转化为函数的问题。

（二）函数应用在函数的定义中，用数值来描述输入和输出的关系。

很多函数都与几何图形有着紧密的联系，因此可以应用数形结合思想来解决函数问题。

例如，在解决一元二次函数问题时，图像通常是抛物线。

利用抛物线的几何性质和函数式子之间的关系，可以得到一些结论。

例如，对于函数y=ax²+bx+c（a≠0），若a>0，则抛物线开口向上、最小值在y轴上方；若a<0，则抛物线开口向下、最大值在y轴下方。

这些结论在解决具体问题中很有用处。

（三）证明思路证明过程中，往往需要运用几何图形来推导出式子。

利用数形结合思想，尤其是图形的相似性质，可以简化证明过程。

例如，证明两角余弦的差的公式：cos(a-b)=cosacosb+sinasinb（a,b∈R）。

可以构造两个直角三角形ABC和ABD，使得∠ABC=a、∠ABD=b，且AB=AC=BD=1。

这时，可以利用三角函数的定义，通过求出各边的长度，得到cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。

数形结合方法在高中数学教学中的应用数形结合方法指的是通过图形的表示来解决数学问题的方法。

在高中数学教学中，数形结合方法可以应用于很多知识点，特别是几何和代数方面的知识点。

以下将介绍数形结合方法在高中数学教学中的应用。

一、平面几何1.相似三角形相似三角形是平面几何中一个很重要的概念。

通过数形结合方法可以方便地理解相似三角形的性质。

例如，可以通过绘制相似三角形的图形来帮助学生理解相似三角形的比例关系以及其它性质。

2.勾股定理数形结合方法可以使学生轻松地理解勾股定理。

例如，使用平面直角坐标系，在数轴上画出两个直角边的长度，然后连结两个坐标点，可以得到一个直角三角形。

然后使用勾股定理计算斜边的长度，就可以验证该三角形是否为直角三角形。

3.圆的相交关系圆的相交关系是几何中的一个重要概念。

可以使用数形结合方法通过绘图来帮助学生理解圆的相交关系以及两条弦与弦所对圆心角的关系。

二、立体几何1.正方体数形结合方法可以帮助学生更好地理解正方体的性质。

例如，在画出正方体的三个不同视角图之后，可以让学生通过观察图形来理解正方体的几何性质。

2.圆锥与圆柱通过绘制圆锥或圆柱的视图，可以帮助学生更好地理解其几何性质，例如圆锥的母线、棱锥和母线所成角的关系以及圆柱的母线和母线所成角的关系等。

三、代数学1.二次函数数形结合方法可以帮助学生更好地理解二次函数的性质。

例如，绘制二次函数的图形，可以帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、零点等基础性质。

2.三角函数总之，数形结合方法是一种非常有效的教学方法，可以帮助学生更好地掌握数学知识。

通过绘制图形来解决数学问题，可以使学生更形象地理解问题，从而提高学习效果。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数形结合思想是数学解题中常用的一种方法，通过将抽象的数学问题转化为具体的形式，可以更直观地理解问题的本质，并且更加灵活地使用各种数学知识进行分析和解决。

在高中数学中，运用数形结合思想能够帮助学生更好地理解和掌握知识，提高解题的效率和准确性。

下面通过几个高中数学题例来具体分析运用数形结合思想巧解的方法。

例一：已知正三角形ABC的边长为s，点P在AB上，Q在BC上，PR=QB=s/3，则△PQR 的面积为多少？解析：首先我们可以将已知的情况用图形表示出来，画出正三角形ABC和点P、Q，并连接PQ。

然后我们可以根据给出的条件进行分析，发现△PQR实际上是一个梯形，因为PR 和QB是平行的，并且分别等于s/3。

我们可以通过求解梯形的面积来得到△PQR的面积。

由于梯形的面积公式为(S1+S2)×h/2，其中S1和S2分别为上底和下底的长度，h为梯形的高，因此我们可以根据已知条件求解出S1、S2和h的值，然后代入公式中进行计算，最终得到△PQR的面积。

通过上述分析，我们可以看到，利用数形结合思想可以将抽象的几何问题转化为具体的图形，然后通过图形的性质和几何知识进行分析和计算，帮助我们更好地理解和解决问题。

这种方法在高中数学中经常用到，对于解决各种几何问题都有一定的帮助。

例二：已知函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则y=f(x-1)的图像与y=f(x)的图像有怎样的关系？解析：这个问题涉及到函数图像的平移和对称性质，我们可以通过数形结合思想来解决。

我们可以先分析y=f(x)的图像关于y轴对称的性质，可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(-x,y)也在上面。

根据这个性质，我们可以进一步分析y=f(x-1)的图像，因为函数中x-1的变化，导致了图像在x轴上的平移，我们可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(x-1,y)在y=f(x-1)的图像上。

也就是说，y=f(x-1)的图像相对于y=f(x)的图像向右平移了1个单位。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。

今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。

例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。

解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。

我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。

解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。

根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。

通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。

例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。

解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。

解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。

然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。

三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。

解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过勾股定理知道AC=5。

然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。

接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。

接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。

\bigtriangleup ABD的面积为2.25。

通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。

例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。

由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。

由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。

通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。

例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。

高中数学中的数形结合思想方法详解在高中数学中，数形结合思想方法被广泛应用于各类数学问题的解决过程中。

数形结合思想方法是将数学问题与几何形状相结合，通过观察、分析和推理，找到问题的解决路径的一种思维方式。

本文将详细介绍数形结合思想方法在高中数学中的应用。

一、图形与代数的结合图形与代数的结合是数形结合思想方法中的一种常见形式。

通过将代数式与几何图形相对应，可以更加直观地理解代数表达式的含义，从而更好地解决问题。

以一元二次方程为例，我们可以通过绘制抛物线图像来帮助理解方程的根的个数和特点。

当抛物线与 x 轴相交于两个点时，方程有两个实数根；当抛物线与 x 轴相切于一个点时，方程有一个实数根；当抛物线不与 x 轴相交时，方程没有实数根。

借助图形，我们可以更加准确地判断方程的解的情况。

同样，在平面几何的问题中，我们可以通过引入代数的思想，使用变量和代数式来表示未知量和条件。

将几何问题转化为代数问题后，可以通过代数运算和推导来解决问题，再将结果转化回几何语言，从而得到问题的几何意义。

图形与代数的结合使得数学问题更加具体化，同时也拓宽了解题思路，提高了问题解决的灵活性和多样性。

二、图形与函数的结合在高中数学中，图形与函数的结合也是数形结合思想方法的一种重要应用。

通过绘制函数图像，可以更好地理解函数的性质和变化规律，从而解决与函数相关的问题。

以一元函数为例，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的单调性、极值点、零点等特征。

通过分析函数图像的变化，可以得到函数在特定区间上的性质，并进一步解决与函数相关的问题。

在解析几何中，图形与函数的结合也发挥着重要的作用。

通过使用函数的定义式，我们可以得到相应函数的方程，并进一步利用函数的性质来解决几何问题。

例如，通过绘制两点之间的直线与圆的图像，我们可以发现直线与圆的交点可能有 0 个、1 个或 2 个，从而解决与直线和圆相关的问题。

图形与函数的结合使得数学问题更加具象化和形象化，使抽象的函数概念更加有实际意义，有助于学生更好地理解和掌握相关知识。

数形结合方法在高中数学学习中的应用数形结合是一种非常重要的解题思想，贯穿于学生的整个学习过程中。

而教师也经常会采用这种方法来对抽象的数学问题进行充分的分析，以引导学生更加了解数学问题的本质，使其通过图形和数字进行分析研究，从而解决相关的数学问题。

在高中数学的数形结合方法的使用中，需要学生处理好相关的思路，积极总结归纳题目类型，提高自身的数学能力和素养。

一、加强学生对数学知识的链接能力在高中数学的教学过程中引入数形结合的方法可以在很大程度上提高课堂的活跃度，让原本抽象、生涩的理论知识变得有一定的直观性，从而降低学生对数学知识的理解难度，改善学生的学习情绪，使其对数学学习重燃信心之光。

另外，高中数学的综合性都比较强，需要学生在理解过程中用上以前学习的知识。

采用数形结合的方法进行学习，可以将零散的数学知识整合起来。

高中数学的题目大多都是抽象、复杂的，所以对应的解题方法也非常复杂，如果仅仅通过教师在课堂中讲解的例题而让学生来进行模仿解题，学生是不能够对高中数学进行完全掌握的。

而且在新课程標准的背景下，高中数学知识需要学生自己主动理解学习，因而学习高中数学需要学生普遍具有较高的思维能力、空间想象能力、理解语言能力。

所以教师在教学中，也需要着重锻炼学生的逻辑思维能力。

采用数形结合方法来进行解题，可以引导学生将以前所学习的数学知识进行整合，而通过长期的归纳和将知识系统化的过程，可以在很大程度上提高学生对数学知识的掌握程度和熟悉程度。

比如在教学高中数学的三角函数这部分内容时，必须了解到此章内容非常复杂且公式繁多，各个函数与各个函数之间的关系也非常复杂，只有学生在对大量的公式和函数进行本质上的理解并充分熟悉后，才能够快速地对题目进行解答。

这时利用数形结合的方法，就可以将三角函数之间的关系用图形表达出来，以促进学生对三角函数知识的衔接过程，提高学生学习数学的质量和效果。

二、实现学生对数学的数转形运用图形比数字更大的优势就是可以充分直观地将复杂的数学语言和问题以直观的形式表现出来，所以在具体的教学过程中，当遇到某些非常抽象的问题并难以用代数的方法进行解决时，就可以采用数形结合方法，将抽象性问题形象化，以提高学生理解的深度和启发学生有关数学的思维，从而使其对相关的问题有着更加明确的解题思路，提高其解题效率。