等差数列等比数列的公式

等差数列与等比数列的递推公式在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

它们的递推公式分别用于描述数列中各项之间的关系。

本文将就等差数列和等比数列的递推公式展开探讨。

一、等差数列的递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。

假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式可表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d这个公式表示第n项等于首项a₁加上前n-1个公差d的和。

这样，我们就可以根据已知的首项和公差来求解数列中的任意一项。

例如，考虑等差数列3，6，9，12，15...，其中首项a₁ = 3，公差d = 3。

我们可以使用递推公式计算第5项：a₅ = 3 + (5-1)3= 3 + 12= 15二、等比数列的递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。

假设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式可表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1)这个公式表示第n项等于首项a₁乘以公比r的n-1次幂。

同样地，我们可以利用已知的首项和公比来求解等比数列中的任意一项。

例如，考虑等比数列2，6，18，54，162...，其中首项a₁ = 2，公比r = 3。

我们可以使用递推公式计算第5项：a₅ = 2 * 3^(5-1)= 2 * 81= 162通过等差数列和等比数列的递推公式，我们可以轻松计算数列中的任意一项。

这些公式在数学和实际问题中具有极大的应用价值。

总结：等差数列的递推公式为 aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。

等比数列的递推公式为 aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。

以上就是等差数列和等比数列的递推公式的相关内容。

通过理解和应用这些公式，我们能够更好地处理数列问题，并在实际应用中发挥出它们的作用。

希望本文对您有所帮助！。

等比数列与等差数列
等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。

比如：1，2，4，8，16，32，64, ... 就是一个以2为比例的等比数列。

等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。

比如：1，3，5，7，9，11，13, ... 就是一个以2为公差的等差数列。

等比数列和等差数列都是常见的数列，它们都有一定的规律，可以使用数学公式来表示。

等比数列可以使用通项公式an = a1 * r^(n-1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等差数列可以使用通项公式an = a1 + (n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

这两种数列在数学中有很多应用，比如在金融领域中用于计算复利或利率，还可以用于计算物理中的运动问题，以及在计算机算法中的循环计算等。

等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要)3、 若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a4、 若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a mn --=q p a a q p --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211dn n na -+（已知首项和公差） =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112（可以求最值问题）7、 等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n , 奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ， 奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列，a,G ,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列 13、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 14、在等比数列中抽取新数列：,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ，如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ，且n k 成公差为m 的等差数列，那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()q q a n --111=qqa a n --11。

等比等差数列公式总结数列是数学中一个非常重要的概念。

在数列中，等差数列和等比数列是最为常见和基础的两种形式。

它们具有简单明了的规律性，用简洁的公式能够表达出来。

本文将对等差数列和等比数列的公式进行总结，希望可以帮助到对数列感兴趣的读者。

一、等差数列公式总结等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。

比如，1，3，5，7，9，11...就是一个等差数列，它的公差为2。

对于等差数列，我们可以通过以下公式进行总结。

1. 通项公式等差数列的通项公式可以用来求出数列中的任意一项。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d 。

这个公式的原理是通过每一项之间的差值与公差之间的关系来确定每一项的值。

2. 前n项和公式在等差数列中，我们经常需要求出前n项和的值。

这可以通过前n项和公式来实现。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则前n项和公式可以表示为：Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d) 。

这个公式的原理是通过将数列拆分成两个相同的递增序列，然后对每一项求和来计算前n项和的值。

二、等比数列公式总结等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。

比如，1，2，4，8，16...就是一个等比数列，它的公比为2。

对于等比数列，我们可以通过以下公式进行总结。

1. 通项公式等比数列的通项公式可以用来求出数列中的任意一项。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹。

这个公式的原理是通过每一项与首项之间的比值与公比之间的关系来确定每一项的值。

2. 前n项和公式在等比数列中，我们同样需要求出前n项和的值。

这可以通过前n项和公式来实现。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则前n项和公式可以表示为：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/ (1-q) 。

这个公式的原理是通过将数列拆分成n个相同的递增序列，然后对每一项求和来计算前n项和的值。

数列的等差和等比公式及其应用数学中，数列是由一系列数字按照一定规律排列形成的序列。

在数学中，我们经常会遇到等差数列和等比数列，它们都有各自的公式和应用。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的序列。

首项记作a，公差记作d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d。

等差数列在实际生活中有广泛的应用。

例如，我们可以借助等差数列的概念计算每天的步数增量。

假设第一天我们走了1000步，每天步数增加100步，那么根据等差数列的公式，第n天的步数可以表示为an = 1000 + (n - 1)100，利用这个公式，我们可以方便地计算出任意一天的步数。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的序列。

首项记作a，公比记作r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = ar^(n - 1)。

等比数列在许多实际问题中都有应用。

例如，我们可以通过等比数列来计算一笔存款在多年后的总额。

假设我们将1万元存入银行，年利率为5%，那么每年末的存款总额就可以用等比数列的公式来计算。

每年的总额等于上一年的总额乘以(1 + 5%)，也就是说an = 10000 * (1 + 5%)^(n - 1)。

三、应用实例除了上述的步数增量和存款总额等计算问题，等差和等比数列还在其他问题中有着广泛的应用。

1. 等差数列应用实例：求和等差数列的一个重要应用是求和问题。

我们可以很方便地利用等差数列的求和公式来计算一段连续整数的和。

假设我们要计算从1到100的所有整数的和，可以利用等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，l为末项。

在这个例子中，n=100，a=1，l=100，代入公式得到Sn = (100/2)(1 + 100) = 5050，因此从1到100的和为5050。

2. 等比数列应用实例：不断蔓延的细菌假设有一种细菌，每隔一小时会繁殖出两倍的数量。

第3讲 《数列》一、等差数列1．等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

2．等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2b a A +=或b a A +=23．等差数列的判定方法1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

4．等差数列的前n 项和 2)(1n n a a n S += d n n na S n 2)1(1-+= 5．等差数列的性质（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。

如下图所示：k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 二、等比数列1．等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G b a G =，即ab G =2。

2．等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。

等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，是一个按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列又可以分为等差数列和等比数列两种类型。

在解题过程中，我们经常需要计算数列的总和、项数等各种问题。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中的每个数与它前面的一个数之差都相等。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。

2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示等差数列的项数，a₁表示等差数列的第一项，aₙ表示等差数列的第n项。

二、等比数列的计算等比数列是指数列中的每个数与它前面的一个数的比值都相等。

设等比数列的第一项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，a₁表示等比数列的第一项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的第一项，r 表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

总结：等差数列和等比数列的计算方法主要涵盖了通项公式和前n项和的计算。

通过这些公式，我们可以轻松地求解等差数列和等比数列中的各种问题。

等差等比数列的含义求和公式分别是什么等差等比数列的概念等差数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

留意：以上n均属于正整数。

等比数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。

其中{an}中的每一项均不为0。

注：q=1时，an为常数列。

等比数列的性质1、在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap ⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2。

2、若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍旧是等比数列。

3、在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk。

4、q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q。

5、等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

等差数列的基本性质1，公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。

等差数列等比数列公式汇总等差数列和等比数列都是在数学学习中不可或缺的知识，关于这两者出现的历史和定义，这里就不再赘述了。

本文主要探讨的是两个数列的公式以及在实际运用中的相关知识，旨在为学习者们提供一篇简单易懂的参考文献。

首先介绍的是等差数列的公式：1.项：a1=a2.数：n3.差：d4.公式：an=a1+(n-1)d5.和公式：Sn=n(a1+an)/2可以用等差数列求和公式求出等差数列的总和Sn。

用它来解决一下问题：某等差数列的首项是9，公差是2，求该数列的前20项之和。

解：根据等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，Sn=20(9+a20)/2即Sn=20(9+9+(20-1)*2)/2=20(27+38)/2=20(65)/2=1300因此，该等差数列的前20项之和为1300。

接下来要介绍的是等比数列的公式。

1.项：a12.比：q3.公式：an=a1q(n-1)4.和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)可以用等比数列求和公式求出等比数列的总和Sn。

用它来解决一下问题：某等比数列的首项是1，公比是2的9次方，求该数列的前10项之和。

解：根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，Sn=1(1-2^10)/(1-2)=1(1023)/(1)=1023因此，该等比数列的前10项之和为1023。

本文介绍了等差数列和等比数列的基本公式以及如何用这些公式解决实际问题。

通过对比可以发现，在求和时，等比数列比等差数列要简单。

熟练掌握等差数列和等比数列的相关知识，会给后期的学习和工作带来诸多便利。

等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中非常重要的概念，它是按照一定的规律排列的一列数。

在数列中，等差数列和等比数列是最为常见的两种类型。

今天我们将探讨等差数列和等比数列的通项公式。

一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每个数与它的前一个数之差保持恒定的数列。

我们可以用一个公式来表示等差数列的通项公式。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

根据等差数列的定义，可以得到以下关系式：a₂ = a₁ + da₃ = a₂ + d = a₁ + 2da₄ = a₃ + d = a₁ + 3d......aₙ = aₙ₋₁ + d = a₁ + (n - 1)d因此，等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过等差数列的通项公式，我们可以轻松计算出数列中的任意一项，无需逐个相加或者列出整个数列。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每个数与它的前一个数之比保持恒定的数列。

同样，我们也可以用一个公式来表示等比数列的通项公式。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。

根据等比数列的定义，可以得到以下关系式：a₂ = a₁ × ra₃ = a₂ × r = a₁ × r²a₄ = a₃ × r = a₁ × r³......可以发现，等比数列的通项公式中，每一项都是前一项乘以公比的结果。

因此，等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n - 1)借助等比数列的通项公式，我们同样可以轻松计算出数列中的任意一项。

三、总结与应用通过上述的讨论，我们可以得出等差数列和等比数列的通项公式。

这些公式可以帮助我们更加便捷地计算数列中的任意一项，无需进行繁琐的逐个相加或者列出整个数列。

此外，等差数列和等比数列在实际问题中的应用也非常广泛。

例如，金融领域中的利息计算、成长模型中的人口增长等都可以使用数列来描述，并借助通项公式进行计算和预测。

等差数列公式大全
数列公式又称为等差数列公式，它指的是一组以等差数列形式列出来的数列函数。

1.一般项公式：an=a1+(n-1)d。

2.和公式：Sn=n(a1+an)/2。

3.等比数列的一般项公式：an=a1*q^(n-1)。

4.等比数列的和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

5.等比级数的和公式：S=a1/(1-q)。

6.飞利浦及公式：Sn=a1+(n-1)*d+(n-1)*(n-2)*c/2。

7.等差数列的最后一项公式：an=(a1+an-1)/2+d。

8.三项和公式：Sn=a1+an+an-1。

9.等差数列的公差公式：d=[an-a1]/n-1。

10.二项和公式：Sn=a1+an。

11.等差数列的方程：x+a=n(x+d)。

12.栢西秋-埃泽勒等比数列的和公式： Sn=a1*[1-qn+n(1-q)]/ (1-q)^2。

13.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2。

14.亚里士多德等比数列的和公式：Sn=a1(qn-1)/(q-1)。

15.等差数列的最大项公式：an=a1+(n-1)*d。

等比数列等差数列的公式好的，以下是为您生成的文章：咱先来说说这等比数列和等差数列，这俩可是数学里挺重要的知识点呢。

我记得有一次，我去商场逛街，想买双运动鞋。

到了一家店，发现他们正在搞促销活动。

那双我心仪已久的鞋子，原价 500 块，第一天打 8 折，第二天打 6.4 折，第三天打 5.12 折，以此类推。

这可不就是个等比数列嘛！先来说说等差数列。

等差数列的通项公式是：\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) ，这里的\(a_{n}\)表示第\(n\)项的值，\(a_{1}\)是首项，\(n\)是项数，\(d\)是公差。

比如说，一组数 1，3，5，7，9 ，这就是一个公差为2 的等差数列。

首项\(a_{1}\)就是 1 ，公差\(d\)是 2 。

要想知道第 10 个数是多少，那就是\(a_{10}= 1 + (10 - 1)×2 = 19\) 。

再看等比数列，它的通项公式是：\(a_{n}=a_{1}×q^{(n - 1)}\) ，其中\(q\)是公比。

比如说，一组数 2，4，8，16 ，这就是一个公比为 2 的等比数列。

首项\(a_{1}\)是 2 ，公比\(q\)是 2 。

要算第 5 个数，那就是\(a_{5}= 2 × 2^{(5 - 1)} = 32\) 。

在实际生活里，等差数列和等比数列的应用可多了去了。

像存钱，每个月固定存一定数额，这就是等差数列。

投资收益按照一定比例增长，这就是等比数列。

回到开头我买鞋的事儿，每天折扣越来越低，这就是一个公比小于1 的等比数列。

要是我能算出第几天买最划算，那可就太棒啦！可这计算过程也不简单，得仔细琢磨琢磨。

等差数列求和公式是：\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\) 。

比如 1 到 100 所有整数的和，就可以用这个公式，首项 1 ，末项 100 ，项数100 ，算出来就是 5050 。

等比数列求和公式分两种情况，当公比\(q≠1\)时，\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\) ；当公比\(q = 1\)时，\(S_{n}=na_{1}\) 。

数列的等差数列与等比数列的推导数列是数学中一种重要的数学工具，它由一系列数字按照一定的规律排列而成。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列进行推导，并分别讨论它们的性质和应用。

一、等差数列的推导等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则可得到如下的等差数列公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项。

为了推导等差数列公式，我们可以通过以下的步骤来进行：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d；2. 第二项为a2 = a1 + d；3. 第三项为a3 = a2 + d = a1 + 2d；4. 依此类推，可以得到第n项an = a1 + (n-1)d。

通过上述推导过程，我们可以得到等差数列的通项公式，这个公式可以用来计算等差数列的任意一项。

二、等比数列的推导等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则可得到如下的等比数列公式：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。

为了推导等比数列公式，我们可以通过以下的步骤来进行：1. 设等比数列的首项为a1，公比为q；2. 第二项为a2 = a1 * q；3. 第三项为a3 = a2 * q = a1 * q^2；4. 依此类推，可以得到第n项an = a1 * q^(n-1)。

通过上述推导过程，我们可以得到等比数列的通项公式，这个公式可以用来计算等比数列的任意一项。

三、等差数列与等比数列的性质和应用1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差恒定，可以用来求解缺失的数值。

（2）等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算，公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

（3）等差数列的平均数等于它的首项和末项的平均数。

（4）等差数列可以表示数学问题中的线性关系，例如速度与时间的关系等。

2. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项的比值恒定，可以用来求解缺失的数值。

一、等差数列1.定义：)(1常数d a a n n 2.通项公式：dn a )1(a 1n 3.变式：d m n a m n )(a mn a a d mn 4.前n 项和：2)(1na a S n n 或dn n n a S n 2)1(15.几何意义：①d dn a d n a a n 11)1(即q pn a n 类似q px y ②n da n dS n )2(212即Bn An S n 2类似BxAx y 26.}{n a 等差da a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n 111227.性质①q p n m 则qp n m a a a a ②p n m 2则pn m a a a 2③23121n n n a a a a a a ④m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤}{n a 等差,有12n 项,则nS S 1n 偶奇⑥1212n S a n n 二、等比数列1.定义：常数）(a 1q a nn 2.通项公式：11a n n qa 3.变式：m n m n q a a mn mnq a a 4.)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1)1(q 或q qa S n n 11()1)1(q 5.变式：m nm n qqS S 11)1(q 6.性质：①r p n m 则rp n m a a a a ②p n m 2则2pn m a a a ③23121n n n a a a a a a ④m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比⑤}{n a 等比,有12n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n 1242112531)(a 三、等差与等比的类比n a 等差n b 等差和积差商系数指数“0”“1”四、数列求和1.分组求和本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({)2)(1(31)1(21)12)(1(61)321()321()()22()11(])1(22222222n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法．).11(11}{1111n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分常见的拆项方法有：).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()121121(21)12)(12(1)2(111)1(1)1(111n S S a n n n n C C C b a b a b a n n n n n n n n n n n n n n n n n n mn m n m n ；；；；；；3.错位相减法．列的求和．数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解，一般利用等比数列求和公式项和公式的推导：前如：等比数列n a n }{11132321)1(n nn n n nn a a S q a a a a qS a a a a S .)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na n n。

第13讲 等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳：1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足 称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n②等比数列：1°.定义若数列qa aa nn n 1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11k n k n n q a q a a 3°.前n 项和公式：),1(1)1(111 q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a ›1°.若}{n a 是等差数列，则;23121› n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121› n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，nk nn k n n k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,››› 组成公比这2nq 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21 n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S奇偶（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d"`0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d "`0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q "`1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a 或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a q a aq aq aq a 或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b ,,成等差数列；（2）2,2,2b c b b a成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b b c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a˜˜（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2 n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前（1）求证：}{n a 是等差数列；（2）若数列:}{满足n b 62)12(531321 n n n a b n b b b ›求证：{n b }是等比数列.[解析]（1）)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S ②－①得,1)1(1)1(211 n n n n nna a n na a n a :,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令 n a a n a a n n ˜1）当;,3221,3121,121结论正确时 a a n 2）,32,)2( k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121 k k k k k k ka a k k n k k ˜时当.,3)1(212,21结论正确 k k a k k ˜由1）、2）知，,32,n a N n n 时当①②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n若求).,(表示用Q P S Q P [解析]选择公式""2bn an S n 做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设bQ aQ QP bP aP PQ bn an S n 222,①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ˜.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP ˜[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P›21,.)(,2))((2))((211PQQ P S S QP QP a a Q P Q P Q P a a Q P QP Q P Q P P Q（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[解析]设公比为2421281024,142531 n n a a a a a a a q ››˜①②)1(24211 n qa .7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321n n q a n q a a a a a nn n n 得代入得将而››（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d"`0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121 k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列›求数列.}{项和的前n k n [解析],,,,171251751a a a a a a 成等比数列˜.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列˜[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或 a d d d d da a d d d a d a a a d a d a （Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15 a a a a a ,①②①，②2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与˜˜解得 ),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.《训练题》一、选择题：1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m n m 的值为则n m n m 22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－12．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中 = （ ）A ．2332或 B ．2332 或 C ．515 或 D ．2131 或3．等比数列 302010,10,20,}{M M M M n a n n则若项乘积记为前 （ ）A ．1000B ．40C ．425D ．814．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项6．若两个等差数列)(27417,}{},{ N n n n B A B A n b a n n n n n n 且满足和项和分别为的前的值是11a （ ）3C ．34D ．7178二、填空题：7．在等比数列543211245,4,108,}{a a a a a a a a a a n 则中的值为 .8．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列，则y c x a .9．数列}{n a 是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数列}{n b 的第6，8，10项，则}{n b 的公比是 .10．在等差数列q p q p n a p a q a a 则中,,,}{ .在各项为正的等比数列m n m n m n a q a p a a 则中,,,}{ .三、解答题：11．设等差数列,324),6(144,36,}{66 n n n n S n SS S n a 已知项和为的前求a n 的值.12．设等比数列的各项为正数，前n 项的和为2，这n 项后面的2n 项的和为12，求上述3n 项后面的3n 项之和.13．已知等差数列,,0},{461S S a a n且（Ⅰ）当n 为何值时，S n 最小？（Ⅱ）当n 为何值时，?0?0?0 n n n S S S （Ⅲ）.2609}{,7287 n n a a a a 中有多少项满足问若14．有五个整数成等比数列，且第一个数为正数，若这五个整数的和为205，而它们的倒数之和为256205，求此五数.15．数列,0,,}{ n n na n S n a 对任意的正整数项和为的前.?}{),1|(|11说明理由是否为等比数列问数列若n n n n a k ka S S 《答案与解析》一、1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C二、7.242 8.2, 9.3210.0,pq11．216)(6,180361651621n n n n n na a S S a a a a a a 得››˜.35,1)1(,2144126,18036181181413621 a a a d d a a a a a a n 得代入两式相减得››12．（1）),1(1)1(,11 n n n q a q q a S q 时当,2,2,14)1(2)1(3 a q q a q a n nn得代入得;112,126)1(3666 n n n n S S q a S （2）当q=1时，有na 1=2及2na 1=12，矛盾；综上，所求前3n 项后面的3n 项的和为112.（另解）设公比为,,,,,615621211nn k nn k k nk ak W ak W a W q ›且.112)(,212)(2122,,,,5431654211321621 n n n nnn n q q q W W W W s q q q W W W W W q W W W 所求和的等比数列成公比为˜›13．（Ⅰ）,0029146 d d a S S ;5],25)5[(25222最小时当n n S n n dnd n d S （Ⅱ）.0101;010;010),10(2n n n n S n S n S n n n dS 时当时当时当˜（Ⅲ）,18,4142,727,72141487 d dS S a a 得而˜.15,19526099189,9918项满足条件共有 n n n a n 14．设五数为,,,,,22aq aq a q a q a ①②①+②①②①②①256205)11(1205)11(,0,,,,2222q q q q aq q q q a N a a 由条件得且五项同号三且第一首项为正数˜.256,64,16,4,1,4;1,4,16,64,256,41,44104174,417)2(;,,04134,413)1(,41741302211616,1,162211(1(1618911,16,0,2562222222得所求五数为时得所求五数为时或则若不合方程无有理解则若或得令得代入得q q q q q q x q q x x x x x x q q q q q q q q qq a a a ˜15．111112,, n n n n n n n S a S S ka S S 得而˜,,11211,}{,12,11,01,)1()1()1()1(222,)1(12212111111矛盾则为等比数列若而k k k k a k a a ka S S k k a a k a k a k a k a k S S a a k n n n n n n n n n n n ˜故.,0,,}{,).(}{213122222131232311矛盾得由则为等比若另不是等比数列故 a a a a a a a a a a a S S a a S S a a a n n n n n n ˜①②①②①①②①+②①②①，②。