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数学-013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 1-1

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高考数学大二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形第一讲平面向量课件理

高考数学大二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形第一讲平面向量课件理

－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
A.6
B.3
C.23π
D.56π
解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝2bb22＝12.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a 与 b 的夹角为π3.故选 B. 答案：B
4．(2019·恩施州模拟)已知向量 a＝(1， 3)，b＝－12， 23，则
3．(2019·河北衡水中学模拟)已知 O 是平面上一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三点，动点
P
满
足
→ OP
＝
O→B＋O→C 2
＋
λ
→ AB →
→
＋
AC →
，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹经过△
|AB|cos B |AC|cos C
ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：设
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝ (1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. 答案：12
[类题通法] 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出 三个向量之间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基 底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过 向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 3-5

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 3-5
π π ，π，β∈0， ， ∵α∈ 2 2
【解析】
α π π β π ∴α－ ∈4，π， －β∈－4， 2 ， 2 2
∴sin cos
β α－ ＝ 2
β 1－cos α－2＝ 1－sin
2α
2
1－
－sin 270° －20° cos 90° －20° cos 20° 20° sin (2) ＝ cos 50° cos 225° －sin 225° －50° 1 sin 40° sin 90° ＝ ＝ ＝ . 2cos 50° 2cos 50° 2 答案：(1) 1 2 (2) 1 2
解析：对于 cos ＝cos
π π β π π β ＋αcos － ＋sin ＋αsin － ， 4 4 2 4 4 2
π π 3π π β π π 而4＋α∈4， 4 ，4－2∈4，2 ，
因此 sin 则 cos
π 2 2 π β ＋α＝ ，sin 4－2＝ 4 3
6 ， 3
β 1 α＋ ＝ × 2 3
3 2 2 6 5 3 ＋ × ＝ . 3 3 3 9
5 答案： 3 9
热点考向三
给值求角
转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值 给值求角— 结合所求角的范围及函数的单调性求得角
(1)原式
＝
θ θ θ θ 2θ sin －cos cos ＋2cos 2 2 2 2 2 θ 4cos 2 2
θ θ 2θ θ sin －cos 2 －cos · θ cos cos 2 2 2 2 ＝ ＝ . θ θ |cos | |cos | 2 2
θ π 因为 0＜θ＜π，所以 0＜ ＜ ， 2 2 θ 所以 cos ＞0， 2 所以原式＝－cos θ.

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 1-3

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 1-3

2．(1)下列命题中真命题的个数是________． ①∀x∈R，x4＞x2； ②若 p∧q 是假命题，则 p，q 都是假命题； ③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2 ＋1＞0”． 解析：命题(1)不正确，x4＞x2 成立当且仅当|x|＞1；命题(2)不正 确，当 p∧q 是假命题时，只要 p，q 中至少有一个是假命题即可； 命题(3)正确，全称命题的否定是特称命题． 答案：1 个
＋1＝0.
热点考向四
与命题有关的参数范围问题
已知命题 p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题 q：“∃x0 ∈R，x2＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 0 的取值范围． 【解析】 由“p 且 q”是真命题，
则 p 为真命题，q 也为真命题． 若 p 为真命题，a≤x2 恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. 若 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即 a≥1 或 a≤－2， 综上所求实数 a 的取值范围为 a≤－2 或 a＝1.
【解析】
(1)∵x
2
1 2 3 ＋x＋1＝x＋2 ＋ >0， 4
∴命题为真命题． (2)真命题． (3)∵α＝β＝0 时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0， ∴sin(α＋β)＝sin α＋sin β， ∴命题为真命题． (4)∵x＝y＝10 时，3x－2y＝10，∴命题为真命题． (5)∵a＝0，b＝1 时，ax＋b＝1≠0， ∴a＝0，b＝1 时，ax＋b＝0 无解，∴命题为假命题．
－ －
p2)中，真命题是________．
解析：∵y＝2 在 R 上为增函数，y＝2 ∴y＝－2

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： X4-1-2

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： X4-1-2

热点考向三
等角(弧、弦)定理的应用
如图，⊙O 的两条弦 AC，BD 互相垂 1 直，OE⊥AB，垂足为点 E.求证：OE＝ CD. 2 【证明】 作直径 AF，连接 BF，CF，
则∠ABF＝∠ACF＝90° . 又 OE⊥AB，O 为 AF 的中点， 1 则 OE＝ BF. 2 ∵AC⊥BD， ∴∠DBC＋∠ACB＝90° ，
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热点考向四
与圆有关的比例线段
如图，PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC 交⊙O 于点 B，C，∠APC 的角平分线分别与 AB，AC 相交于点 D，E，求证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB· EC.
【证明】
(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB. 因 PE 是∠APC 的角平分线， 故∠EPC＝∠APD， PA 是⊙O 的切线， 故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故 AD＝AE.
3．如图，已知圆上的弧 AC＝BD，过 C 点的圆的切线与 BA 的 延长线交于点 E，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD.
证明：(1)因为 AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC. 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BC CD 所以△BDC∽△ECB，故BE＝ BC， 所以 BC2＝BE· CD.
60° ，所以∠BAC＋∠BCA＝120° .
因为 AD、CE 是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60° ， 故∠AHC＝120° . 于是∠EHD＝∠AHC＝120° . 因为∠EBD＋∠EHD＝180° ，所以 B、D、H、E 四点共圆．

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 2-12

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 2-12

(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275 ＝－30(x－1)2＋3 305. 所以，当 x≥1 时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且 x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一 艘利润比较，利润在减少． 【点评】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自
2．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________． 解析：函数 f(x)＝(x－3)ex 的导数为 f′(x)＝[(x－3)ex]′＝1·x e ＋(x－3)·x＝(x－2)·x，由函数导数与函数单调性关系得：当 f′(x) e e ＞0 时， 函数 f(x)单调递增， 此时由不等式 f′(x)＝(x－2)·x＞0 解得， e x＞2. 答案：(2，＋∞)
－
热点考向三
利用导数解决实际生活中的最优化问题
某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数 为 R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为 C(x)＝460x ＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定 义为 Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；(提示：利润＝产值 －成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在 本题中的实际意义是什么？
【点评】
1.导数法求函数单调区间的一般流程：
求定义域 → 求导数f′x → 求f′x＝0在定义域内的根 → 用求得的根划分定义区间 → 确定f′x在各个开区间内的符号 → 得相应小开区间上的单调性 2．导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： (1)求 f′(x)． (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数． 3．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．

高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理

高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理

在[－π ＋2k
π 2
＋2kπ

(k∈Z)上

单调性
单调递增； 在π2 ＋2kπ ，
3π 2
＋2kπ

(k∈Z)

π ，2kπ ] (k∈Z)上单调 递增；在[2k π ，π ＋2k π ](k∈Z)上 单调递减
在－π2 ＋kπ ，
π 2
＋kπ

(k∈Z)

上单调递增
上单调递减
对称性
对称中心：
(kπ ，0) (k∈Z)； 对称轴：x＝
π 2
＋kπ
(k∈Z)
对称中心：
π

2
＋kπ，0
对称中心：
(k∈Z)； 对称轴：x ＝kπ
kπ

2
，0
(k∈Z)
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ (k∈Z)时为奇函数；
(2)已知图象求函数 y＝Asinωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，
常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点 求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图 象的升降找准第一个零点的位置.

【训练 1】 (2017·连、徐、宿模拟)若函数 f (x)＝2sin(2x＋
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关 知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答 题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.
真题感悟 1.(2013·江苏卷)函数 y＝3sin2x＋π4 的最小正周期为________.

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 83


(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b
取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2± 6，故 y－x
的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2 表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心
3．如图所示，已知 P(4,0)是圆 x2＋y2＝36 内的一点，A、B 是圆 上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程．
解析：设 AB 的中点为 R(x，y)， 则 Rt△ARO 中， |AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)，
又|AR|＝|PR|＝ x－42＋y2， 有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)． 即 x2＋y2－4x－10＝0. 因此点 R 的轨迹是一个圆．而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在 所求的轨迹上运动． 设 Q(x，y)，R(x1，y1)， 由 R 为 PQ 中点，所以有 x1＝x＋2 4，y1＝2y，
解析：圆心(－1,2)在直线 2ax－by＋2＝0 上， ∴－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1， ∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－12)2＋14.∴ab≤14. 答案：(－∞，14]
热点考向一
圆的方程的求法
已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)， 求△ABC 的外接圆方程．
解析：圆与直线相切，则圆心到该直线的距离等于该圆的半径，
由题意，得圆心(2，－1)到直线
x＋y＝6
的距离为|2－121＋－162|＝
5， 2
故该圆的方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝( 52)2＝225.

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： 3-2


(1)当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
sin2nπ＋π－α· 2nπ－α cos 原式＝ sin 2nπ＋2π＋α· 2nπ＋π＋α cos sin π－α· α cos ＝ sin α· π＋α cos sin α· α cos ＝ ＝－1； sin α· －cos α
当 k＝2n(n∈Z)时， sin2nπ－α· 2nπ－π－α cos 原式＝ sin 2nπ＋π＋α· 2nπ＋α cos －sin α· －cos α ＝ ＝－1. －sin α· α cos sin kπ－α· [k－1π－α] cos 所以原式＝ ＝－1. sin [k＋1π＋α]· kπ＋α cos 2 5 (2)∵sin α＝ ＞0， 5 ∴α 为第一或第二象限角． 5 当 α 是第一象限角时，cos α＝ 1－sin α＝ ， 5
3．如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 为始边作角 α 与 β(0＜β ＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于 P、Q 两点，已知点 P
3 4 的坐标为－5，5.
sin 2α＋cos 2α＋1 求 的值． 1＋tan α
3 4 解析：由三角函数定义得 cos α＝－ ，sin α＝ ， 5 5 sin 2α＋cos 2α＋1 2sin αcos α＋2cos 2α ∴ ＝ sin α 1＋tan α 1＋ cos α
12 2 2 1－3 ＝－ ， 3
∴cos α＝－ ∴tan α＝
sin α 2 ＝－ . cos α 4
1 (2)∵sin α＝ >0，∴α 为第一或第二象限角． 3 当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝ ∴tan α＝ 2 ； 4 2 . 4 2 2 ， 3
－cos α sin α －sin α

高考数学理苏教版二轮复习课件： .ppt


解析：(1)先涂 A、D、E 三个点，共有 4×3×2＝24 种涂法，然后 再按 B、C、F 的顺序涂色，分为两类：一类是 B 与 E 或 D 同色， 共有 2×(2×1＋1×2)＝8 种涂法；另一类是 B 与 E 或 D 不同色，共有 1×(1×1＋1×2)＝3 种涂法．所以涂色方法共有 24×(8＋3)＝264(种)．

2．(1)如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D， E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有
种. (2)(2011 年北京)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出 现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
由分类计数原理得，满足条件的两位数的个数为：9＋8＋7＋6 ＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45(个).
热点考向二 分步乘法计数原理
已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的 点(a，b∈M)，问：
(1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？ 【解析】 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成： 第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法； 第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法； 根据分步计数原理，得到平面上的点数是 6×6＝36(个)．
1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数的两位数字共有多 少个？
解析：一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足 条件的两位数时，可先确定个位数字后再考虑十位数字．
一个两位数的个位数字可以是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位 数分成 10 类．
(1)当个位数字为 0 时，十位数字可以是 1,2,3,4,5,6,7,8,9，有 9 个满足条件的两位数；

2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件： X4-5-1


即，f(x)的最小值为 a－1. 所以∀x∈R，f(x)≥2 的充要条件是|a－1|≥2，从而 a 的取值范 围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)． 【点评】 如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符 号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不 等式转化为 n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的 并集得到原不等式的解集．
当 ab≤－1 时，式①显然成立； 当 ab>－1 时，式①⇔(1＋ab)2<(1＋a2)(1＋b2) ⇐2ab<a2＋b2.② ∵a≠b，∴②式成立，故原不等式成立．
证法二：当 a＝－b 时，原不等式显然成立； 当 a≠－b 时，∵| 1＋a2－ 1＋b2| |1＋a2－1＋b2| |a2－b2| ＝ < 1＋a2＋ 1＋b2 |a|＋|b| |a＋ba－b| ≤ ＝|a－b|， |a＋b| ∴原不等式成立． 证法三：设 x＝(1，a)，y＝(1，b)，则|x|＝ 1＋a2，|y|＝ 1＋b2， x－y＝(0，a－b)，|x－y|＝|a－b|， 而||x|－|y||≤|x－y|， ∴| 1＋a2－ 1＋b2|≤|a－b|，又 a≠b， 即|f(a)－f(b)|<|a－b|.
且y2≤y≤y1.

热点考向三
含参数的绝对值不等式
设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)设 a＝－1，解不等式 f(x)≥3； (2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求 a 的取值范围． 【解析】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由 f(x)≥3 得 |x－1|＋|x＋1|≥3. ①x≤－1 时，不等式化为 1－x－1－x≥3， 即－2x≥3.
证法四：设 y＝ 1＋x2(x∈R)，则 y＝ 1＋x2表示双曲线 y2－x2 ＝1 上支的部分．其渐近线为 y＝± x，设 A(a，f(a))，B(b，f(b))为曲 线 y＝ 1＋x f(b)|<|a－b|. 【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证
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热点考向一
集合的基本概念
已知 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若 1∈A，求实数 a 的值． 【解析】 ∵1∈A，
∴a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或 a2＋3a＋3＝1. (1)若 a＋2＝1，则 a＝－1， 当 a＝－1 时，a＋2＝a2＋3a＋3＝1， ∴a＝－1 不符合题意．
．
(5)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 符号 N N*或 N＋ Z 有理数集 Q 实数集 R
2.集合间关系 表示 关系 相等 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素 A 都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元 素 符号语言
B且B
A＝B
A
子集
A B或B
A
A 中任意一个元素均为 B 真子集 中的元素，且 B 中至少有 一个元素不是 A 中的元素 空集 空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集
答案：(－∞，0]∪…
(2)(2011 年安徽高考)集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝ {2,3,4}，则 S∩( 解析：∵ ∴S∩(
UT)等于________． UT＝{1,5,6}，
UT)＝{1,5}．
答案：{1,5}
热点考向四
集合的应用
设集合 S＝{A0， 1， 2， 3}， S 上定义运算⊕为 Ai⊕Aj A A A 在 ＝Ak，其中 k 为 i＋j 被 4 除的余数，i，j＝0,1,2,3，则满足关系式 (x⊕x)⊕A2＝A0 的 x(x∈S)的个数为________． 【解析】 因为(x⊕x)⊕A2＝A0，设 x⊕x＝Ak，故 Ak⊕A2＝A0， 所以 k＝2，即 x⊕x＝A2， 所以 x＝A1 或 A3. 【答案】 2
【点评】
①条件 m∈A，若集合 A 是用列举法表示的，则 m
应是集合 A 中的一个元素，若符合 A 是用描述法表示的，则 m 应满 足集合中的描述条件； ②解答过程体现了数学分类思想的灵活运用，分类应注意：不 重复、不遗漏、分类的标准一致．
x2 y2 1．(1)设集合 A＝{(x，y)| ＋ ＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 4 16 的子集的个数是________． 解析：在同一坐标系中，作出集合 A、B 所表示的图形，运用图 形知 A∩B 含两个元素，共有子集的个数是 22＝4. 答案：4
集合间的基本关系
设 A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． 1 (1)若 a＝ ，试判定集合 A 与 B 的关系； 5 (2)若 B 【解析】 A，求实数 a 组成的集合 C. (1)由 x2－8x＋15＝0 得 x＝3，或 x＝5，
∴A＝{3,5}， 1 若 a＝ ，由 ax－1＝0， 5 1 得 x－1＝0，即 x＝5， 5 ∴B＝{5}．∴B A.
综上，a 的取值范围是 a≤－3.
(3)∵A∩( ①若 B＝ ②若 B≠
UB)＝A，∴A
UB，∴A∩B＝
.
，则 Δ＜0
a＜－3 适合；
，则 a＝－3 时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不合题意；若 B且2 B.将 2 代入 B 的方程得 a＝－1 或 a
a＞－3，此时需 1 ＝－3(舍去)；
将 1 代入 B 的方程得 a2＋2a－2＝0 ∴a≠－1 且 a≠－3 且 a≠－1± 3.
(2)若(a＋1)2＝1，则 a＝0，或 a＝－2. 当 a＝0 时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝3，符合题意． 当 a＝－2 时，(a＋3＝1，则 a＝－1，或 a＝－2，由(1)(2)可知，a＝ －1，a＝－2 都不符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0.
解析：因为 2 011＝402× 5＋1，所以 2 011∈[1]，故命题①正确； 因为－3＝5× (－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确；因为所有的 整数 Z 除以 5 可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若 a －b 属于同一类，则有 a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以 a－b＝5(n1－ n2)∈[0]，反过来如果 a－b∈[0]，也可以得到 a－b 属于同一类，故 命题④正确，所以有 3 个命题正确． 答案：3
(2)对于集合 B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B A， ，满足条件；
①当 Δ＜0，即 a＜－3 时，B＝
②当 Δ＝0 时，即 a＝－3 时，B＝{2}，满足条件； ③当 Δ＞0，即 a＞－3 时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得
a＝－5， 2 即 矛盾； a2＝7，
UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝
5． (2010 年江苏卷)设集合 A＝{－1,1,3}， B＝{a＋2， 2＋4}， a A∩B ＝{3}，则实数 a 的值为________． 解析：∵A∩B＝{3}，a2＋4≥4， ∴a＋2＝3，∴a＝1. 故填 1. 答案：1
【点评】
有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种新
运算或给定一个新模型来创设新的问题情境，它要求我们要在阅读 理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实 现信息的迁移，从而顺利地解决问题．
4．(2011 年福建卷)在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有 整数组底一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给 出如下四个结论： ①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整 数 a，b 属于同一„类‟”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________．
A B 或 B A
3.集合间运算关系 (1)交集：记作 A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} 性质：①A∩B ②A∩A＝A，A∩ A，A∩B ＝ . B.
(2)并集：记作 A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} 性质：①A∪B ②A∪A＝A，A∪ A，A∪B ＝A. B.
(3)补集： UA＝ {x|x∈U且x 性质：
时，m＝1 或 m＝－1.
答案：0 或 1 或－1
热点考向三
集合的基本运算
设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2 －5)＝0}． (1)若 A∩B＝{2}，求实数 a 的值； (2)若 A∪B＝A，求实数 a 的取值范围； (3)若 U＝R，A∩(
UB)＝A，求实数
a＝－1± 3.
综上，a 的取值范围是 a＜－3 或－3＜a＜－1－ 3或－1－ 3＜ a＜－1 或－1＜a＜－1＋ 3或 a＞－1＋ 3.
【点评】
当集合中元素特征比较复杂时，要首先对集合进行
分析、化简，然后再进行运算．本题集合 B 中含有字母 a，因此分类 讨论思想是本题的重要思想，可抓住判别式 Δ 与 0 的关系进行分 类．同时面对“B A”不要漏掉 B 有可能是空集的情况．
3.已知全集 U＝R，集合 P＝{x|x2≤1}，那么 解析：∵U＝R，P＝{x|x2≤1}＝[－1,1] ∴
UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
UP＝________.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．设全集 U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若 A∩(
UB)
＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合 B＝________. 解析：方法：用文氏图 A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， A∩( {2,4,6,8}． 答案：{2,4,6,8}
(2)(2011 年广东)已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x2＋y2＝ 1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元素个数为 ________． 解析：易知直线 x＋y＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，故 A∩B 中有两 个元素． 答案：2
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A}
1．若 P＝{x|x<1}，则 解析： RP＝{x|x≥1}． 答案：{x|x≥1}
RP＝________.
2．(2011 年课标全国)已知集合 M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P ＝M∩N，则 P 的子集共有________个． 解析：∵P＝M∩N＝{1,3} ∴P 的子集共有 22＝4(个) 答案：4
(2)∵A＝{3,5}，又 B 故若 B＝ ，
A，
则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0； 若 B≠ ，
1 则 a≠0，由 ax－1＝0，得 x＝a， 1 1 ∴a＝3，或a＝5， 1 1 即 a＝ ，或 a＝ . 3 5 故
1 1 0， ， . C＝ 3 5
【点评】 ①判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合， 从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元 素中寻找关系； ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转 化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常 常合理利用数轴、Venn 图帮助分析．
a 的取值范围．
【解析】 由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故集合 A＝{1,2}， (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入 B 中的方程，得 a2＋4a＋3＝0， ∴a＝－1 或 a＝－3； 当 a＝－1 时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当 a＝－3 时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1 或－3.
2．(1)设 P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则 Q________P(用“ ＝”填空)． 解析：由已知可得 Q＝{x|－2＜x＜2}，易知 Q P. 答案：
、 、
(2)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且 A∪B＝A，则 m 的值 为________． 解析：由 A∪B＝A 得 B 当 B≠ A，当 B＝ 时，m＝0；