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12、2三角形全等的判定(HL)【学习目标】理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等.【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【课前预习案】1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是2题图 3题图3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据【课中探究案】活动、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC求作：Rt△'''A B C，使'C=90°，''A B =AB, ''B C=BC作法：(2) 把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）AD C(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.例2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，求证：AB ∥CD例3.公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？BA 11C1BDCBA 【课末达标案】1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（ ）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） 图 12．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）, 3．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等4. 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.【课后拓展案】基础达标：1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， CE=BF.求证AE=DF.应用提高：.ABCD EF3如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.4. 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.思维拓展：5．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.ANABDCE F。
三角形全等的判定H L导学案The pony was revised in January 2021三角形全等的判定（4）导学案路阳九年制学校初二年级数学组编写人：程良富刘芳学生：审核人导学目标1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；导学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
导学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
导学过程一、自主学习1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC求作：Rt△'''=90°，A B C，使'CB C=BC''A B=AB,''作法：(2)把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）D C B A (4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、 “”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”二、合作探究1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？三、学以致用1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：AB 平行于CD理由：∵AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △和Rt △中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴≌() ∴=（）∴（内错角相等，两直线平行）4.如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。
2．8 直角三角形全等的判定【满级要求】1、 经历两个直角三角形全等条件的探索过程.2、 掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL ）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.3、 探索并证明定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.【游戏规则】1、 自主学习，禁止抄袭，诚实守信.2、 交流讨论，碰撞思维的火花.3、 团结协作，勇攀知识的高峰.签名 （签订协议创建角色进入游戏）【欢迎进入直角三角形全等的判定】一、新手调查1、要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？二、新手指引a ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？b ．如果这个角是直角呢？c ．按要求利用直尺和圆规作出三角形.作△ABC ，令∠C=∠α=Rt ∠，AB=a ，AC=b.d ．剪下你所画出三角形，并与同组组员相比较.你发现了什么？e ．直角三角形全等还有以下判定定理:斜边和 对应相等的两个直角三角形 .（可简写成“斜边、直角边”或“ ”）下面我们给出证明.已知：如图，在△ACB 和△A ’C ’B ’中，∠C=∠C ’=Rt ∠，AB=A’B ’，AC=A ’C ’.求证：Rt△ABC ≌Rt△A’B ’C ’证明：如图，延长BC 至D ，使CD=B ’C ’，连接AD.（在图中画出辅助线）∵AC=A ’C ’(已知)，∠ACD=Rt ∠=∠C ，∴△A DC ≌△A’B ’C ’ ( )， αb aC B A∴AD=A ’B ’( ).∵A ’B ’=AB(已知)，∴ .又∵AC ⊥BD ，∴BC=DC( ).而AC=AC(公共边)，∴△A DC ≌△ABC ( )，∴△ABC ≌△A’B ’C ’.三、主线任务 1、已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DE=DF.求证：AB=AC.2、具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A’B’C’(其中∠C=∠C’=Rt ∠)是否全等？如果全等，写出理由.(1)、AC=A ’C ’，∠A=∠A ’.(2)、AC=A ’C ’，BC =B’C ’.(3)、∠A=∠A ’， ∠B=∠B ’.(4)、AB=A ’B ’， ∠B=∠B ’.(5)、AC=A ’C ’，ABB=A ’B ’四、支线任务例 已知：如图，P 是∠AOB 内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D ，E 分别是垂足，且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上.C'B'A'F E DC B A P O ED BA分析如图，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB 证明：如图，作射线OP.(在图中画出辅助线)∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=Rt∠.又∵OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，∴Rt△PDO≌Rt△PEO( )∴,即点P在∠AOB的平分线上.由此我们可以得出角平分线的又一性质定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的 .想一想，写出这个定理的逆定理.五、副本任务已知：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2.求证：AD平分∠BAC.【战利盘点】两个直角三角形全等的判定定理：角平分线的性质定理:感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2.7 直角三角形全等的判定1、全等三角形的对应边---------------------，对应角--------------------；2、判定三角形全等的方法有：------------------------------------------；3、“斜边、直角边”定理的内容是：-----------------------------------------------------------，作用是-----------------------；4、下列判断对吗?并说明理由:（1）、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （2）、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3）、两直角边对应相等的两个直角三角形全等; （4）、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.【反思小结】---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
【类型之一】已知:如图,D是△A B C的B C边上的中点,D E⊥A C,D F⊥A B,垂足分别为E,F,且D E=D F.求证:△A B C是等腰三角形.【反思小结】DB AF E【类型之二】如图,已知∠ACB= ∠BDA=90,要使△ACB与△BAD全等,还需要什么条件?把它们分别写出来. 【类型之三】如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。
请说明理由。
【反思小结】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？【学习笔记】【当堂测评】1、用三角尺作角平分线A B PODE【能力提升】 【课堂小结】2、如图，在△A B C 中，A B =2A C ，A D 是∠B A C 的平分线，且A D =B D ，试说明C D ⊥A C的理由。
学案《直角三角形全等的判定》学习目标：已知斜边及一直角边，会作Rt △；理解直角三角形全等的判定公理“HL ”公理；会用“HL ”公理判定两个直角三角形全等。
课 前 活 动 单1．在小组内叙述SSS 公理，SAS 公理，ASA 公理及AAS 的具体内容.2．已知：∠ɑ，∠β，线段a ，如图.求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.3．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使 △ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC=DFB ．BC=EFC ．∠A=∠D D ．∠C=∠F课 堂 活 动 单活动一：小组交流课前单，并派代表汇报。
活动二：探究两个直角三角形全等的条件对于两个直角三角形，若满足一边一锐角对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等；若满足两直角边对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等。
思考：若满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，再画一个Rt △A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC ，A′B′=AB. (1)你能画出满足上述条件的△A ′B ′C ′吗？应该怎样画呢？β aCDFα(2)把画好的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？这反映了什么规律？基本事实：直角三角形判定定理。
简写为或符号语言表示：小结：判定两个直角三角形全等的方法有种，分别是即时反馈：1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD。
求证：BC=AD3．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由小结本课收获？课后作业单一、选择题1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，AC=DF B．AC=EF，BC=DFC．AB=DE，BC=EF D．∠C=∠F，BC=EF2. 已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1=∠24.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC 于F，则图中全等的直角三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题5. 如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图所示，BA∥DC，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌△，AC= ，∠B=∠．7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ．三：解答题8.如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．9.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD=CD．试说明BE=CF．11．如图，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共（）A.5对B.4对C. 3对D.2对12．如图，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.。
直角三角形全等的判定HL导学案练习1.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.2.在△R t ABC和△R t A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt △ABC≌△R t A′B′C′的是()A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.4.如图,在△R t ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,则∠ACD的度数为()A.45°B.30°C.20°D.15°5.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时△才能使ABC≌△QPA.6.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠3=_____.7.如图,已知AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.8.如图△在ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.9.如图所示,已知AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.10.如图,已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE.。
