河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学(文)试题(精品解析)

2019届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2．若复数为纯虚数，且（其中），则（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶16,30图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)内的人数为（）A ．100B ．160C ．200D ．280 【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160． 4．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10 【答案】C【解析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ． 【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣3＞11﹣m>0，即11>m ＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m ＝9. 故选：C ． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5．已知()()(]()3,,1{,1,xa x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．()1,3 C ．()1,+∞ D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】已知()()(]()3,,1{ ,1,xa x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R上的增函数，则1{30 3a a a a>->-≤ ，则332a ≤<，选D. 6．在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF 与FC 之比，做FG 平行BD 交AC 于点G ，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果． 【详解】作FG 平行BD 交AC 于点G ， ∵由题意可得△DEF ∽△BEA ，∴ ，再由AB ＝CD 可得，∴∴∴∵∴故选：A ． 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7．函数()22sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数()f x 的最小值为( )A ．1BC ．2-D ．【答案】C【解析】整理函数的解析式有：()1cos22cos212sin 2126x f x x x x x π-⎛⎫=-⨯=+-=+- ⎪⎝⎭， 70,22666x x ππππ≤≤∴≤+≤， 结合三角函数的性质可得，当7266x ππ+=时，函数取得最小值： 72sin126π-=-. 本题选择C 选项.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积. 详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D 恰好是正方体的五个顶点， 所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.9．正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由V=，解得d=,设选项中的常数为，则π=; 选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值;故选：D．【考点】进行简单的演绎推理．11．在中，已知，，则为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cos C的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式2a cos B＝c，利用正弦定理化简得：2sin A cos B＝sin C，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴2sin A cos B＝sin A cos B+cos A sin B，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二个等式变形得：sin A sin B（2﹣cos C）＝（1﹣cos C）+＝1﹣cos C，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cos C）＝1﹣cos C，∴﹣（﹣cos C﹣1）（2﹣cos C）＝1﹣cos C，即（cos C+1）（2﹣cos C）＝2﹣cos C，整理得：cos2C﹣2cos C＝0，即cos C（cos C﹣2）＝0，∴cos C ＝0或cos C ＝2（舍去）， ∴C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形． 故选：A ． 【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 12．已知函数()()23,3{3,3x x f x x x -≤=-->，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,0-【答案】B【解析】分析：构造新函数()()()3F x f x f x =+-，画出函数()F x 的图象与y b =有四个交点，即可求得实数b 的取值范围.详解：由题意得，令()()()()30y f x g x f x f x b =-=+--=，即()()3f x f x b +-=， 构造函数()()()223,03{3,03 715,3x x x F x f x f x x x x x ---<=+-=-≤≤-+->，画出函数()F x 的图象如图所示，其中,A B 的坐标分别为111711,,,2424⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当113,4b ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，与y b =有四个交点，故选B.点睛：本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查零点问题的求解方法，题目所给函数()f x 是一个分段函数，那么函数()3f x -也是一个分段函数，所以两个结合起来，将函数分成三个部分，将三段函数解析式求解出来后画出图象，即可得到b 的范围，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想方法的应用.二、填空题 13．已知向量，，若，则实数__________．【答案】-2【解析】根据向量的坐标运算得到（1+t,1）,,再由向量平行的坐标表示得到结果. 【详解】 向量，，（1+t,1）,,根据得到：（1+t ）=1-t 解得t=-2. 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了向量的坐标表示，以及向量的坐标运算，和向量平行的坐标运算，题目较为基础.14．已知，则__________．【答案】【解析】根据正切的两角和公式展开得到，再将原式上下同除角的余弦值得到正切的式子，再代入即可. 【详解】已知,展开得到，则=故答案为：.【点睛】这个题目考查了三角函数的化简求值，应用到了弦切互化的公式，三角函数求值与化简必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin2x+b sin x cos x+c cos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.15．已知点，又是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________．【答案】9【解析】试题分析：不妨设双曲线的右焦点为，则根据双曲线的定义知，如图所示，根据三角形性质得，当点在于双曲线的交点上时等号成立．【考点】1、双曲线的定义；2、三角形性质．【思路点睛】对于本题的解题思路，关键是要灵活的理解和运用双曲线的定义及性质，把点到点及点的距离之和转化成点到点及点的距离之和的形式，即，这样就把问题转化成了三角形两边之和最小值的问题，在根据三角形的性质就能够解题．16．已知函数，且，则当时，的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：∵，∴f（x）是奇函数，∵，∴，由，∴函数单调递增．∴，即，∴，∵，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．设则，即．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离，即，解得．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．三、解答题17．在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前项和.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）或；（2）55.【解析】(1)根据题意将式子化为首项和公差的表达式，进行求解即可得到通项；（2）根据d<0得到数列通项，由等差数列求和公式得到前n项和，配方可得到最值.【详解】（1）由题意得：，∵，∴，化简得，解得：或，∴或.（2）∵，∴，，,∴等于10或11时，取得最大值55.【点睛】这个题目考查了等差数列通项公式的求法，以及等差数列前n项和公式，求等差数列通项公式关键是求出首项和公差，数列求和根据公式计算即可，常见的数列求和方法有：错位相减，倒序相加，累加，累乘等方法.18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：参考公式：，其中.【答案】ⅠⅡ见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．解析：Ⅰ根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，不挑同桌有2人，记为d、e；从这5人中随机选取3人，基本事件为共10种；这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为，共7种；故所求的概率为；Ⅱ根据以上列联表，计算观测值，对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（1）推导出⊥平面，由此能证明平面⊥平面．（2）取中点为，则是四棱锥的高，由此能求出四棱锥的体积．试题解析：（1）在三角形中由勾股定理，又平面平面，平面平面所以平面又平面.所以平面平面.（2）取中点为，则是四棱锥的高，底面的面积是三角形面积的，即，所以四棱锥的体积为20．已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切.（1）求抛物线的方程；（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：.【答案】（1）；（2）证明解析.【解析】(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，,通过韦达定理得到结果即可.【详解】（1）∵圆与抛物线准线相切，∴.又圆过和原点，∴.∴，解得.∴抛物线的方程为.（2）设，，方程为.∴，∴抛物线在点处的切线的斜率，∴切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即.同理可得：.∴为方程的两根，∴，.∴∴.【点睛】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．21．已知函数.（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.【详解】（1），∴，∴.（2），令，，（ⅰ）当时，，单调递增，，单调递增，，满足题意.（ⅱ）当时，，解得.当，，单调递减；当，，单调递增，此时，∵，，即，∴单调递增，，满足题意.综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线CD的距离为，即|AB|=又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，∴四边形ACBD的面积．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（I）当，不等式为，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II）由题意的解集包含，转化为当时，恒成立，即，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I）当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得.所以的解集是.（II）∵的解集包含，∴当时，恒成立原式可变为，即，∴即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2019届河南省许昌高级中学高三复习诊断数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（文）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}235A =,,，集合{}1346B =,,,，则集合()U A B =I ð( ) A ．{}3 B ．{}25, C ．{}146,, D ．{}235,, 2．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(x ＋2i )i ＝y －i ，则|x －yi |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 53．命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是( ) A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥- B ．00x ∃>，01ln 1x x <- C ．00x ∃>，01ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，01ln 1x x <- 4．函数f (x )＝12x 2－x sin x 的大致图象可能是 ()ABC D5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A.x 28－y 28＝1B.x 216－y 216＝1C.y 28－x 28＝1D.x 28－y 28＝1或y 28－x 28＝16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8π＋6B ．6π＋6C ．8π＋12D ．6π＋127．定义在R 上的偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．[0,4] 8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．329．（文）已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2x －2y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C. 33,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若ππ,64α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A ．⎛⎝⎦B ．⎛⎝⎦C ．⎣⎦ D ．⎣⎦11．已知菱形ABCD 的边长为23，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A ­BD ­C 的余弦值为－13，则该四面体ABCD 外接球的体积为( ) A.2873π B ．86π C.2053π D ．36π 12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'<，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数()f x 满足()ln 21f x x =+，则()5f =________．14．将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最大值是________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =________．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，则实数t 的取值范围为________．三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2a cos C ＋b cos C ＋c cos B ＝0. (1)求角C 的大小； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为32，求c 的大小．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点．(1)证明：PD ∥平面CEF ；(2)若PE ⊥平面ABCD ，PE ＝AB ＝2，求四面体P －DEF 的体积．19．(本小题满分12分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的左、右焦点分别为F 1，F 2，MF 2⊥x 轴，直线MF 1交y轴于H 点，OH ＝24，Q 为椭圆E 上的动点，△F 1F 2Q 的面积的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点S (4,0)作两条直线与椭圆E 分别交于A ，B ，C ，D ，且使AD ⊥x 轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．20．(本小题满分12分)某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．(1)求图中a 的值；(2)估计该次考试的平均分x －(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d21．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )与直线x －y －1－ln2＝0相切，求实数a 的值； (2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，证明1ln x 1＋1ln x 2>2．【选考题】请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ.(1)当α＝π4时，求C 与l 的交点的极坐标； (2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数t 1，t 2互为相反数，求|AB |的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|mx ＋3|－|2x ＋n |.(1)当m ＝2，n ＝－1时，求不等式f (x )＜2的解集；(2)当m ＝1，n ＜0时，f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围．2019届河南省许昌高级中学高三复习诊断数学（文）试题答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．【答案】52e 1 14．【答案】－π615．【答案】1016．【答案】[－1,3]17．【解析】(1)在△ABC 中，因为2a cos C ＋b cos C ＋c cos B ＝0， 所以由正弦定理可得：2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0，所以2sin A cos C ＋sin(B ＋C )＝0，又△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos C ＝－12.因为0＜C ＜π，所以C ＝2π3. (2)由S ＝12ab sin C ＝32，a ＝2，C ＝2π3，得b ＝1.由余弦定理得c 2＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以c ＝7.18．(1)证明：连接BE ，BD ，BD 交CE 于点O ，连接OF .因为E 为线段AD 的中点，BC ＝12AD ＝ED ，AD ∥BC ，所以BC ∥ED .所以四边形BCDE 为平行四边形，所以O 为BD 的中点， 又因为F 是BP 的中点，所以OF ∥PD .因为OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ，所以PD ∥平面CEF .(2)因为F 为线段PB 的中点，所以V P －DEF ＝V B －DEF ＝12V P －BDE ＝12×13V P －ABCD ，因为V P －ABCD ＝13PE ·BC ＋AD2·AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝13×2×2＋42×3＝2 3.所以V P －DEF ＝33. 19．【解析】(1)设F (c,0)，由题意可得c 2a 2＋y 2b 2＝1，即y M ＝b 2a .因为OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH ＝24，所以|MF 2|＝22，即b 2a ＝22，整理得a 2＝2b 4. ①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2M 的面积最大， 所以12×2c ×b ＝1，整理得bc ＝1，即b 2(a 2－b 2)＝1，②联立①②可得2b 6－b 4＝1，变形得(b 2－1)(2b 4＋b 2＋1)＝0，解得b 2＝1，进而a 2＝2. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，－y 1)，B (x 2，－y 2)． 设直线AC 与x 轴交于点(t,0)，直线AC 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋t x22＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－2m 2＋2，由A ，B ，S 三点共线k AS ＝k BS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4， 将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入整理得：y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0， 即2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，从而2mt 2－－2mt t －m 2＋2＝0，化简得2m (4t －2)＝0，解得t ＝12，于是直线AC 的方程为x ＝my ＋12，故直线AC 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.同理可得BD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.20．【解析】(1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1， 得(2a ＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，解得a ＝0.005. (2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是55,65,75,85,95， 对应的频率分布为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，则估计该次考试的平均分为x－＝55×0.05＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.05＝74(分)．(3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.2＋0.05＝0.25，故晋级成功的人数为100×0.25＝25，填写2×2列联表如下：K2＝a＋b c＋d a＋c b＋d＝25×75×50×50≈2.613>2.072，所以有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．21．(文) 【解析】(1)由f(x)＝ln x－ax，得f′(x)＝1x－a.设切点的横坐标为x0，依题意得：⎩⎨⎧1x－a＝1，x－1－ln2＝ln x0－ax0，解得⎩⎨⎧x0＝12，a＝1.故实数a的值为1.(2)证明：不妨设0<x1<x2，由⎩⎨⎧ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，得ln x2－ln x1＝a(x2－x1)，即1a＝x2－x1ln x2－ln x1，所以1ln x1＋1ln x2－2＝1ax1＋1ax2－2＝x2－x1ln x2－ln x1⎝⎛⎭⎪⎫1x1＋1x2－2＝x2x1－x1x2－2lnx2x1lnx2x1.令t＝x2x1>1，则lnx2x1>0，x2x1－x1x2－2lnx2x1＝t－1t－2ln t.设g(t)＝t－1t－2ln t，则当t>1时，g′(t)＝t2－2t＋1t2>0，则函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0.从而x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1ln x 2x 1>0，即1ln x 1＋1ln x 2>2.【选考题】请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【解析】(1)依题意可知，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，当ρ＞0时，联立⎩⎨⎧θ＝π4ρ＝4cos θ，解得交点⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，当ρ＝0时，经检验(0,0)满足两方程，当ρ＜0时，无交点；综上，曲线C 与直线l 的交点极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(2)把直线l 的参数方程代入曲线C ，得t 2＋2(sin α－cos α)t －2＝0， 可知t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－2，所以|AB |＝|t 1－t 2|2 2.23．【解析】(1)当m ＝2，n ＝－1时，f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|.不等式f (x )＜2等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩ 解得x ＜－32或－32≤x ＜0，即x ＜0.所以不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0)．(2)由题设可得，f (x )＝|x ＋3|－|2x ＋n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋n －3，x ＜－3，3x ＋3＋n ，－3≤x ≤－n 2，－x ＋3－n ，x ＞－n 2，所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋n 3，0，B (3－n,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n 2，3－n 2.所以三角形ABC 的面积为12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n ＋3＋n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 2＝－n 26. 由题设知，－n 26＞24，解得n ＜－6.。

河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知等比数列{}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为A. 2B. 2C.D.【答案】C4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是A. k≤7?B. k＜7?C. k≤8?D. k＜8?【答案】C8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数恒等变换求出结果．（2）先由两角和的余弦求得cosA,利用余弦定理即可得解．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可得解；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M（2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。

河南省许昌市、洛阳市2019年高三第一次质量检测语文试题本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

阅读下面的文宇，完成小题。

我国历史上究竟有没有法治思想，有没有法治传统？对此，学术界有不同看法。

一些人认为，法治是舶来的概念，我国历史上没有现代意义上的法治。

虽然我国历史上曾出现过法家思想家，他们的学说理论对社会发展、国家统一产生过巨大推动作用，但不少人还是认为，法家的法是刑法，法家只有刑法之治。

这样的看法有其道理，不过也有过于简单之嫌。

法家以主张“以法治国”的“法治”著称，提出了一整套推行“法治”的理论与方法，为建立统一的中央集权国家提供了理论根据。

法家的“法治”思想产生于我国古代发生社会巨变的历史时期，代表新兴地主阶级的利益，适应了当时社会发展的需要。

概括而言，法家的“法治”思想试图改变之前以血缘和宗法关系为根基的社会结构，并着手在自然人和自然人之间、自然人和国家之间尽可能建立起某种权利义务关系，并以此为联结、以地缘范围为依据建立起国家。

国家不再是诸侯贵族的血缘联合，法律使得国家的统一有了新的整合基础。

法家的法是国家制定的成文法。

这有别于以往古老社会的习惯或者不公开、不外传、只在统治者内部代代相承的治国典则。

洛阳市2019届高三第一次统考试数学（文）试卷一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2．若复数为纯虚数，且（其中），则（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)16,30内的人数为（ ）A ．100B ．160C ．200D ．280【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160．4．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】C【解析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ．【详解】 将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣3＞11﹣m>0，即11>m ＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m ＝9.故选：C ．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5．已知()()(]()3,,1{,1,x a x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．()1,3C ．()1,+∞D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D。

洛阳市2018-2019学年高三年级第一次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2.若复数为纯虚数，且（其中），则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A. 100B. 160C. 200D. 280【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×＝160．4.已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）A. 5B. 6C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣3＞11﹣m>0，即11>m＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m＝9.故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知是上的增函数，则，则，选D.6.在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【详解】作FG平行BD交AC于点G，∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴，再由AB＝CD可得，∴∴∴∵∴故选：A．【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7.函数,()则函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：，，结合三角函数的性质可得，当时，函数取得最小值：.本题选择C选项.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积.详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点，所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.9.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据，判断下列近似公式中最精确的一个是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据球的体积公式，所以，代入，设选项口的常数为，则，选项A代入得。

河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （ ） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（ ） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（ ） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（ ） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（ ） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（ ） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列； （2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥， 又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ， 所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ， 又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量 设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ， 取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ， 当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增 当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=， 所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数） 代入04422=--+y x y x ， 得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号 所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。

2019年河南省许昌市、洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝（0，1），则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]2．（5分）已知z的共轭复数是，且|z|＝+1﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量＝（1，），||＝3，且与的夹角为，则|2|＝（）A．5B．C．7D．374．（5分）已知实数x，y满足，则z＝的最大值为（）A．B．C．D．5．（5分）下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行该程序框图，则输出的n（）A．50B．53C．59D．626．（5分）如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9B．10C．12D．187．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a﹣1）≥f（﹣a2+1），则实数a 的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）8．（5分）已知函数f（x）＝cos x，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝110．（5分）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20B．27C．54D．6411．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．12．（5分）若函数f（x）＝e x﹣（m+1）lnx+2（m+1）x﹣1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣e2，﹣e）B．（﹣）C．（）D．（﹣∞，﹣e﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a8a13＝64，则log2a1+log2a2+…+log2a20＝．15．（5分）正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为．16．（5分）已知直线x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝．三、解答题：共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．17题-21题为必考题，,每个试题考生都必须作答．22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝．（1）求∠ACB；（2）若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．18．（12分）已知平面多边形P ABCD中，AP＝PD，AD＝2DC＝CB＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将三角形APD沿AD折起，使PC＝2．（1）证明：CE∥平面P AB；（2）求三棱锥P﹣BCE的体积．19．（12分）某学校高三年级共有4个班，其中实验班和普通班各2个，且各班学生人数大致相当，在高三第一次数学统一测试（满分100分）成绩揭晓后，教师对这4个班的数学成绩进行了统计分析，其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标．根据该校的实际情况，规定其具体含义如下：难度＝，区分度＝．（1）现从这4个班中各随机抽取5名学生，根据这20名学生的数学成绩，绘制茎叶图如图：请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度；（2）为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据，得到如表：①用公式r＝计算区分度y与难度x之间的相关系数r（精确到0.001）；②判断y与x之间相关关系的强与弱，并说明是否适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系．参考数据：x i y i＝0.7134，≈0.009220．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，F（﹣）为椭圆C的左焦点，离心率为，直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M（1，1）是弦AB的中点，P是椭圆C上一点，求△P AB的面积最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M（x，y）是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若存在x0∈R使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的取值范围．2019年河南省许昌市、洛阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝（0，1），则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：A＝[﹣1，1]；∴A∩B＝（0，1）．故选：A．2．（5分）已知z的共轭复数是，且|z|＝+1﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），∵|z|＝+1﹣2i，∴，∴，解得：，复数z在复平面内对应的点为（），此点位于第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量＝（1，），||＝3，且与的夹角为，则|2|＝（）A．5B．C．7D．37【解答】解：由题可得：向量＝（1，），||＝2，所以＝2×＝3，所以，|2|＝＝＝．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足，则z＝的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，A（，）z＝z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率，由图可知，z＝的最大值是k P A＝＝．故选：C．5．（5分）下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行该程序框图，则输出的n（）A．50B．53C．59D．62【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n＝3k+2，k∈N；被8除余5，得n＝8l+5，l∈N；被7除余4，得n＝7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为1229，代入循环结构得n＝1229﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168＝53，即输出n值为53．故选：B．6．（5分）如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9B．10C．12D．18【解答】解：由三视图可知该几何体是底面是直角梯形，侧棱和底面垂直的四棱锥，其中高为3，底面直角梯形的上底为2，下底为4，梯形的高为3，所以四棱锥的体积为．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a﹣1）≥f（﹣a2+1），则实数a 的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【解答】解：函数f（x）＝，在各段内都是减函数，并且e﹣0＝1，﹣02﹣2×0+1＝1，所以f（x）在R上递减，又f（a﹣1）≥f（﹣a2+1），所以a﹣1≤﹣a2+1，解得：﹣2≤a≤1，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝cos x，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝cos x＝sin（x+），将函数f（x）的图象向左平移m个单位长度后，得到函数y＝sin（x+m+）的图象，又所得到的图象关于y轴对称，所以m+＝kπ+，即m＝kπ+，k∈Z，又m＞0，所以当k＝0时，m最小为．故选：A．9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：设|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．∴m﹣n＝2a．∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴4c＝m+n．∴m＝a+2c＝，n＝2c﹣a＝，联立解得a＝1，c＝，∴b2＝c2﹣a2＝1．∴双曲线的标准方程为：x2﹣y2＝1．故选：A．10．（5分）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20B．27C．54D．64【解答】解：设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为﹣x，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则＝，解得：N≈27故选：B．11．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．【解答】解：∵6S n＝a n2+3a n，∴6S n+1＝a n+12+3a n+1，∴6a n+1＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）+3（a n+1﹣a n）∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1+a n），∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝3，又6a1＝a12+3a1，a1＞0，∴a1＝3．∴{a n}是以3为首项，以3为公差的等差数列，∴a n＝3n，∴b n＝＝（﹣）＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＜＝．∴k≥．故选：C．12．（5分）若函数f（x）＝e x﹣（m+1）lnx+2（m+1）x﹣1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣e2，﹣e）B．（﹣）C．（）D．（﹣∞，﹣e﹣1）【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣+2（m+1），x＞0因为函数f（x）恰有两个极值点，所以函数f（x）有两个不同的零点．令f′（x）＝e x﹣+2（m+1）＝0，得＝m+1有两个不同的实数根，记：h（x）＝，所以h′（x）＝＝，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）在此区间上递增，当x∈（，1）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）在此区间上递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）在此区间上递减，即当x＝1时，h（x）取得极大值h（1）＝﹣e作出h（x）的简图如下：要使得h（x）＝m+1有两个不同的实数根，则m+1＜﹣e，即m＜﹣e﹣1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为x+y＝0．【解答】解：由题可得：f（﹣1）＝1，点（﹣1，f（﹣1））化为：（﹣1，1）．又f′（x）＝3x2+4x，所以f′（﹣1）＝﹣1，所以所求切线斜率为﹣1，所以函数f（x）＝x3+2x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为：x+y＝0，故答案为：x+y＝0．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a8a13＝64，则log2a1+log2a2+…+log2a20＝50．【解答】解：由等比数列的性质可得：a10a11＝a8a13，∵a10a11+a8a13＝64，∴a10a11＝32，∴log2a1+log2a2+…+log2a20＝log2（a1a2•…•a20）＝＝＝50．故答案为：50．15．（5分）正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为．【解答】解：如下图，正方体中作出一个正四面体ABCD，将正三角形ABC和正三角形ACD沿AC边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得BP+PE最小，则B，P，E三点共线，即：BE＝，设正四面体的边长为x，在三角形ABE中，由余弦定理可得：，解得：x＝，∴正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为r，由等体积法可得：，整理得：，解得：r＝，∴该四面体内切球的体积为．故答案为：．16．（5分）已知直线x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝．【解答】解：根据题意，如图：其中OE⊥AB，垂足为E，故E为线段AB的中点，线段OC的中点D在线段AB上，|OD|＝|OC|＝，由题可得：原点到直线AB的距离d＝OE＝＝，设AD＝5m，又由3AD＝5DB，可得BD＝3m，AB＝8m，则DE＝4m﹣3m＝m，在Rt△ODE中，有（）2＝（）2+m2，①在Rt△OBE中，有r2＝（）2+（4m）2，②联立①②可得：r＝；故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．17题-21题为必考题，,每个试题考生都必须作答．22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝．（1）求∠ACB；（2）若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设BC＝a，AC＝a，由余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，…2分即：3a2＝42+a2﹣2×，可得：a2+2a﹣8＝0，可得：a＝2，或a＝﹣4（舍去），…4分可得：AB2＝AC2+BC2，可得：∠ACB＝．…6分（2）因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝，所以AD+CD＝4，…8分又AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC，即：12＝AD2+DC2+AD•DC＝（AD+CD）2﹣AD•DC，所以AD•DC＝4，…10分所以S△ADC＝AD•DC•sin＝，所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝2＝3．…12分18．（12分）已知平面多边形P ABCD中，AP＝PD，AD＝2DC＝CB＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将三角形APD沿AD折起，使PC＝2．（1）证明：CE∥平面P AB；（2）求三棱锥P﹣BCE的体积．【解答】（1）证明：取P A中点H，连接HE，∵E为PD的中点，∴HE为△P AD的中位线，∴HE∥AD，HE＝，又BC∥AD，BC＝，∴HE∥BC，HE＝BC．则四边形BCEH为平行四边形，则CE∥BH．∵BH⊂平面ABP，CE⊄平面ABP，∴CE∥平面ABP；（2）解：由题意，△P AD为等腰直角三角形，ABCD为直角梯形，取AD中点F，连接BF，PF，∵AD＝2BC＝4，∴PF＝BF＝2，∵PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，∴DF⊥平面PBF，则BC⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，∴BC⊥PB，∴在直角三角形PBC中，PC＝，BC＝2，得PB＝2，∴三角形PBF为等边三角形．取BF的中点O，则PO⊥BF，PO⊥DF，又BF∩DF＝F，∴PO⊥平面ABCD，PO＝．∵E为PD的中点，∴E到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的一半，∴＝＝＝．19．（12分）某学校高三年级共有4个班，其中实验班和普通班各2个，且各班学生人数大致相当，在高三第一次数学统一测试（满分100分）成绩揭晓后，教师对这4个班的数学成绩进行了统计分析，其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标．根据该校的实际情况，规定其具体含义如下：难度＝，区分度＝．（1）现从这4个班中各随机抽取5名学生，根据这20名学生的数学成绩，绘制茎叶图如图：请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度；（2）为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据，得到如表：①用公式r＝计算区分度y与难度x之间的相关系数r（精确到0.001）；②判断y与x之间相关关系的强与弱，并说明是否适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系．参考数据：x i y i＝0.7134，≈0.0092【解答】解：（1）由茎叶图知，实验班这10人的数学总成绩为860，普通班这10人的总成绩为700，故这20人的数学平均成绩为，由此估计这4个班的总平均分为73．∴难度＝；由，估计实验班平均分为86，由，估计普通班的平均分为70，∴区分度＝；（2）①由x i y i＝0.7134，≈0.0092，．得r＝＝＝．②由于r≈0.326∈[0.30，0.75），故两者之间相关性一般，不适宜用线性回归模拟拟合y 与x间的关系，即使用线性回归模拟拟合，效果也不理想．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，F（﹣）为椭圆C的左焦点，离心率为，直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M（1，1）是弦AB的中点，P是椭圆C上一点，求△P AB的面积最大值．【解答】解：（1）∵圆C：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，F（﹣）为椭圆C的左焦点，离心率为，∴，解得a＝2，b＝c＝，∴椭圆C的方程为：＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵M（1，1）是弦AB的中点，∴直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx+1﹣k．由联立，整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k2）﹣4＝0，∵直线与椭圆相交，∴△＞0成立．∴，x1x2＝，∴＝2，∴k＝﹣，∴直线l的方程为：x+2y﹣3＝0，x1+x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝＝．要使△P AB的面积最大值，而|AB|是定值，需P点到AB的距离最大即可．设与直线l平行的直线方程为：x+2y+m＝0，由方程组联立，得6y2+4my+m2﹣4＝0，令△16m2﹣24（m2﹣4）＝0，得m＝．∵P是椭圆C上一点，∴P点到AB的最大距离，即直线x+2y+2＝0到直线l的距离d．而d＝＝，此时＝＝．∴△P AB的面积最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝﹣alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x﹣＝．①a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②a＞0时，由f′（x）＞0得x；由f′（x）＜0得0＜x．即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，①若≤1，即0＜a≤1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1）＝，f（x）在区间（1，e）上无零点．②若1＜＜e，即1＜a＜e2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增．f（x）min＝f（）＝a（1﹣lna）．∵f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，∴f（1）＝0，f（）＝a（1﹣lna）＜0．f（e）＝e2﹣a＞0，∴e＜a e2．③若≥e，即a≥e2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）＝＞0，f（e）＝e2﹣a＜0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点．综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M（x，y）是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为，（t是参数），∴曲线C1的普通方程为x﹣2y﹣5＝0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．∴ρ2+3ρ2sin2θ＝4，∴曲线C2的直角坐标方程为＝1．（2）曲线C2：＝1经过伸缩变换得到曲线C3，∴曲线C3的方程为：＝1，设M（4cosα，sinα），根据点到直线的距离公式得：d＝＝＝≤＝2+，（其中，tanγ＝2），∴点M到曲线C1的距离的最大值为2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若存在x0∈R使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，g（x）＝2|x|﹣1，若f（x）≥g（x），即|x+1|≥2|x|﹣1，即当x≥0时，x+1≥2x﹣1，即x≤2，此时0≤x≤2，当﹣1＜x＜0时，不等式等价为x+1≥﹣2x﹣1，即x≥﹣，此时﹣≤x＜0，当x≤﹣1时，不等式﹣x﹣1≥﹣2x﹣1，得x≥0，此时无解，综上﹣≤x≤2，即不等式的解集为[﹣，2]（2）若存在x0∈R使得f（x0）≥g（x0）成立，即|x+1|≥2|x|+a，则a≤|x+1|﹣2|x|有解即可，设h（x）＝|x+1|﹣2|x|，则h（x）＝，作出函数h（x）的图象如图：则函数h（x）的最大值为h（0）＝1，要使a≤|x+1|﹣2|x|有解即可则a≤1即可．。

河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】M={x|x＞2，或x＜0}，N={y|y≥0}；∴∁U M={x|0≤x≤2}；∴（∁U M）∩N=[0，2]．故选：B．【点睛】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，以及交集和补集的运算．2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知等比数列{}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为A. 2B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出公比，由此能求出的值．【详解】∵等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得，∴==q3=．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的两项差的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A试题分析：双曲线的一条渐近线方程是，由题意圆的圆心到的距离不小于1，即，则，那么离心率，故选A.考点：双曲线的几何性质.6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简已知条件，然后展开所求表达式即可得到结果．【详解】cos（α+）﹣sinα=，∴=，，∴sin（α－）==﹣．故选：D．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的应用，考查计算能力．7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是A. k≤7?B. k＜7?D. k＜8?【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可以填入的条件是k＜8,由此得结果.【详解】模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．所以不可以的是k≥8的所有k.故选：C．【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化x2+y2﹣2x为（x﹣1）2+y2﹣1，由其几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1求得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，其几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1，∵P到直线2x+y=4的距离d=，|PA|=．∴x2+y2﹣2x的取值范围是[]．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ），其中ω＞0，θ∈（0，），＝＝0，（x1≠x2），｜x2－x1｜min＝，f （x）＝f（－x），将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是A. [kπ－，kπ＋]（k∈Z）B. [kπ，kπ＋]（k∈Z）C. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）D. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g （x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则g（x）的单调递减区间．【详解】∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）=f'（x2）=0，|x2﹣x1|min=，∴•T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．又f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象的对称轴为x=，∴2•+θ=kπ+，k∈Z，又，∴θ=，f（x）=sin（2x+）．将f（x）的图象向左平移个单位得g（x）=sin（2x++）=cos2x 的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则g（x）=cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ+]，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设g(x)=e f（x）∴g'(x)="-" e f（x）+ e f（x）= e（f（x）－f(x)）<0所以g(x)为减函数.∵g(0)=e0f(0)=" f(0)" ,g(-1)=,,且g(2)>g(0)>g(－1),∴< f(0)<，故选B.考点：1.求导数；2.函数的单调性.12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取PF2的中点A，连接OA，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（＋）·＝0（O为坐标原点），可得⊥，又,可得⊥不妨则由勾股定理可得4c2=5m2，再根据椭圆的定义求得离心率．【详解】如图，取PF2的中点A，连接OA，∴2=+，且=，又∵（＋）·＝0，∴⊥又∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=3m，∴|F1F2|=4c2=m2+(2m)2=5m2，∴=，∴e=故选：C．【点睛】本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及简单性质，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C【解析】∵，，∴，故选C.14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．【详解】由题意知，f（x）=，①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2等价于，则或，即或，解得0＜a 或a≥8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查利用分段函数求不等式的解集，以及指数、对数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、变形能力．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，由三角形两边和大于第三边，得A1P+PC的最小值是A1C的连线．由此利用余弦定理可求解．【详解】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，∵三角形两边和大于第三边，∴A1P+PC的最小值是A1C的连线．可求解．作展开图：由∠ACB=90°，AC=2，BC=CC1=，得AB==，又AA1=CC1=，∴A1B==，BC1==2，A1C1=AC=2，∴∠A1BC1=45°，∠CBC1=45°，∴∠A1BC=90°，由余弦定理A1C===．故答案为：．【点睛】本题考查两线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【详解】由题意可得T=2π是f（x）=2cosx＋sin2x的一个周期，故只需考虑2cosx＋sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2（1﹣2sin2x）=-2（2sinx-1）（sinx+1），令f′（x）=0可解得sinx=或sinx=1，可得此时x=，或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（）=，f（）=﹣，f（0）=2，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，利用导数法求函数的最值，属中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数恒等变换求出结果．（2）先由两角和的余弦求得cosA,利用余弦定理即可得解．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP 的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可得解；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M（2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x ＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。