复数的三角形式 乘法及其几何意义练习版.docx

第七章复数7.3* 复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州期末)已知z=cos π3+isin π3,则下列结论正确的是( )A.z 2的实部为1B.z 2=z-1C.z 2=zD.|z 2|=2解析z=cos π3+isin π3=12+√32i .z 2=12+√32i 2=14−34+√32i =-12+√32i,其实部为-12,故A 错误;z-1=-12+√32i =z 2,故B 正确;z =12−√32i ≠z 2,故C 错误;|z 2|=-122+√322=1,故D 错误.故选B .2.将复数z=-2√3+2i 化成三角形式是 .(cos 56π+isin 56π)|z|=√(-2√3)2+22=4,设辐角为θ,tan θ=-√33,且点(-2√3,2)在第二象限,得辐角主值为56π,故z=4(cos 56π+isin 56π).3.[2(cos 60°+isin 60°)]3= .8=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8.4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)] =2[cos(-240°)+isin(-240°)] =2(-12+√32i)=-1+√3i .5.已知z 1=12(cos π3+isin π3),z 2=6cos π6+isin π6,计算z 1z 2,并说明其几何意义.解z 1z 2=12×6×cos (π3+π6)+isin π3+π6=3(cos π2+isin π2)=3i .首先作复数z 1对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z 1z 2所对应向量.6.已知复数z=r (cos θ+isin θ),r ≠0,求1z 的三角形式.=(cos0°+isin0°)r (cosθ+isinθ)=1r [cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].关键能力提升练7.复数z=-1+(1+i 1-i )2 021的辐角主值为.因为1+i 1-i =i,所以(1+i 1-i )2 021=i 2 021=i .所以z=-1+i =√2cos 3π4+isin 3π4, 所以复数z 的辐角主值为3π4.8.(12-√32i)20÷(3i)= .-√36+16i解析原式=[cos (-π3)+isin (-π3)]20÷3cos π2+isin π2=cos (-20π3)+isin (-20π3)÷3cos π2+isin π2=cos 4π3+isin4π3÷3cos π2+isin π2=13cos4π3−π2+isin (4π3-π2)=13cos 5π6+isin5π6=13(-√32+12i)=-√36+16i . 9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e πi +1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,解决以下问题:(1)试将复数e π3i写成a+b i(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数e π3i+12的模.根据欧拉公式可得e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i.(2)由题意可知e π3i+12=12+√32i+12=1+√32i,因此,|e π3i+12|=√12+(√32)2=√72.10.已知复数z的模为2,实部为√3,求复数z的代数形式和三角形式.,可设z=√3+b i(b∈R).∵|z|=2,∴√3+b2=2,解得b=±1,∴z=√3+i或z=√3-i.化为三角形式,得z=2cosπ6+isinπ6或z=2cos(-π6)+isin(-π6).11.计算下列各式的值:(1)(-12+√32i)·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).解(1)(-12+√32i)·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cos π+isin π)=-2.(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°) =30(cos 270°+isin 270°)=-30i.12.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(cos2θ+isin2θ)7(cos4θ+isin4θ)6=cos θ-isin θ.=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)(cos24θ+isin24θ)=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cos θ-isin θ=右边.学科素养创新练13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.。

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后训练巩固提升1.已知复数z 1=√2(cosπ12+isin π12),z 2=√3(cos π6+isin π6),则z 1z 2的代数形式是() A.√6(cos π4+isin π4)B.√6(cos π12+isin π12) C.√3−√3iD.√3+√3i 解析:z 1z 2=√2×√3cos (π12+π6)+isinπ12+π6 =√6(cos π4+isin π4)=√6(√22+√22i)=√3+√3i .故选D .2.2÷[√2(cos π5+isin π5)]的三角形式是()A.2√2(cos π5+isin π5)B.√2(cos 3π10+isin 3π10)C.√2[cos (-π5)+isin (-π5)]D.√2(cos 4π5+isin 4π5)=2(cos0+isin0)√2(cos π5+isin π5)=√2[cos (-π5)+isin (-π5)],故选C .3.设3+4i 的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i 的辐角的主值是()A.π2+θB.π2-θC.θ-π2D.3π2-θ,(3+4i)·i 对应的向量是由复数3+4i 对应的向量绕点O 按逆时针方向旋转π2得到的,所以(3+4i)·i 的辐角的主值为θ+π2,故选A .4.在复平面内,把与复数a+b i(a ,b ∈R)对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为()A.a-b iB.-a+b iC.b-a iD.-b+a i 所求复数为a+bicos90°+isin90°=a+bi i =-(a+b i)i =b-a i,故选C .5.设z 1=1-2i,z 2=1+i,z 3=-1+3i,则arg z 1+arg z 2+arg z 3=()A.π2B.3π2C.5π2D.7π2z 1·z 2·z 3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=π2+2k π,k ∈Z .∵arg z 1∈(3π2,2π),arg z 2∈(0,π2),arg z 3∈(π2,π), ∴arg z 1+arg z 2+arg z 3∈(2π,7π2), ∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=5π2.6.√3(cos 5π12+isin 5π12)·√6(cos5π6+isin 5π6)=.(用代数形式表示)=3√2[cos (5π12+5π6)+isin (5π12+5π6)] =3√2(cos5π4+isin 5π4)=3√2(-√22-√22i) =-3-3i .3-3i7.arg(3-i)+arg(2-i)=.-i)(2-i)=5-5i =5√2[cos (-π4)+isin (-π4)],∵arg(3-i)∈(3π2,2π),arg(2-i)∈(3π2,2π), ∴arg(3-i)+arg(2-i)∈(3π,4π).∴arg(3-i)+arg(2-i)=-π4+4π=15π4.8.已知复平面内向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i,点A 对应的复数为-1,现将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点C 对应的复数为.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+icos90°+isin90°=2+i i =-(2+i)i =1-2i,∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+(1-2i)=-2i . 即点C 对应的复数为-2i .2i9.写出下列复数z 的倒数1z 的模与辐角: (1)z=10(cos π3+isin π3); (2)z=2(sin 3π4+icos 3π4). (1)1z =cos0+isin010(cos π3+isin π3)=110[cos (0-π3)+isin (0-π3)]=110[cos (-π3)+isin (-π3)]. 所以1z 的模为110,辐角为-π3+2k π. (2)复数2(sin3π4+icos 3π4)=√2−√2i,r=2,对应的点在第四象限,且cos θ=√22,取θ=-π4,所以2(sin 3π4+icos 3π4)=2[cos (-π4)+isin (-π4)].1z =cos0+isin02[cos(-π4)+isin(-π4)]=12(cos π4+isin π4). 所以1z 的模为12,辐角为π4+2k π.10.设复数z 1=√3+i,复数z 2满足|z 2|=2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈(0,π),求z 2的代数形式.z 1=2(cos π6+isin π6),设z 2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),则z 1z 22=8[cos (2α+π6)+isin (2α+π6)].由题设知2α+π6=2k π+3π2(k ∈Z), 所以α=k π+2π3(k ∈Z). 又因为α∈(0,π),所以α=2π3, 所以z 2=2(cos 2π3+isin 2π3)=-1+√3i .。

3.1 复数的三角表示式3.2 复数乘除运算的几何意义必备知识基础练1.复数z=√3-i 的三角形式为( )A.2cos 2π3+isin 2π3B.2cos 5π3-isin 5π3C.2cos 7π6-isin 7π6D.2cos11π6+isin 11π6 2.4(cos π+isin π)2(cos π3+isin π3)=( )A.1+√3iB.1-√3iC.-1+√3iD.-1-√3i 3.复数z=sin π6-icos π6,若z n =z (n ∈N ),则n 的最小值是( )A.1B.3C.5D.7 4.8i 2(cos45°+isin45°)= ,其模为 .5.在复平面内,把与复数-2+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.关键能力提升练6.(2022江西南昌期中)复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是( )A.sin 30°+icos 30°B.cos 160°+isin 160°C.cos 30°+isin 30°D.sin 160°+icos 160°7.设z 1=1-2i,z 2=1+i,z 3=-1+3i,则arg z 1+arg z 2+arg z 3=( )A.π2B.3π2C.5π2D.7π2 8.(多选)设z 1,z 2是复数,arg z 1=α,arg z 2=β,则arg(z 1·z 2)有可能是下列情况中的哪些( )A.α+βB.α+β-2πC.2π-(α+β)D.π+α+β9.若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1=1+2√3i,z 2=7+√3i,求∠Z 2OZ 1,并判断△OZ 1Z 2的形状.答案1.D 因为r=2,所以cos θ=√32,与z=√3-i 对应的点在第四象限,所以arg(√3-i)=11π6,所以z=√3-i =2cos 11π6+isin 11π6.2.C 4(cos π+isin π)2(cos π3+isin π3)=2cos π-π3+isin π-π3=2cos 2π3+isin 2π3=-1+√3i .故选C . 3.C z=sin π6-icos π6=cos -π3+isin -π3, z =cos π3+isin π3=cos -π3+isin -π3n =cos -nπ3+isin -nπ3. 又n ∈N ,∴n 的最小值为5.4.2√2+2√2i 4 8i 2(cos45°+isin45°)=8(cos90°+isin90°)2(cos45°+isin45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2√2+2√2i,其模为√(2√2)2+(2√2)2=4.5.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°)=2√2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°)=2√2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=2√2(cos 210°+isin 210°)=2√2-√32−12i=-√6−√2i .6.B (sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=sin 210°-cos 210°+2sin 10°cos 10°i =-cos 20°+sin 20°i =cos 160°+isin 160°.故选B .7.C arg z 1+arg z 2+arg z 3=arg(z 1z 2z 3)+2k π,k ∈Z .∵z 1z 2z 3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z 1z 2z 3)=π2.又3π2<arg z 1<2π,arg z 2=π4,π2<arg z 3<π,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3∈2π+π4,3π+π4,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=52π.8.AB 设z 1=r 1(cos α+isin α),z 2=r 2(cos β+isin β),则z 1z 2=r 1r 2[cos(α+β)+isin(α+β)],∴arg(z 1z 2)=α+β+2k π(k ∈Z )且arg(z 1z 2)∈[0,2π).9.解∵z 1z 2=1+2√3i 7+√3i=(1+2√3i )(7-√3i )(7+√3i )(7-√3i )=1+√3i 4=12cos π3+isin π3, ∴∠Z 2OZ 1=π3.又Z 1(1,2√3),Z 2(7,√3),∴Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-√3),∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3)·(6,-√3)=1×6+2√3×(-√3)=0,∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即∠OZ 1Z 2=π2,。

人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义同步练习（含解析）人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若复数z=cos+isin,则z2= ()A.-2iB.1+iC.1-iD.2i2.若复数z=2cos+isin,则|z3|= ()A.16B.8C.2D.3.若复数z=cos+isin,则arg(z2)= ()A. B.C. D.4.若复数z=-cos-isin,则= ()A.+iB.-+iC.--iD.-i5.若θ∈-,0,则复数z=cos θ+isin θ(i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是()A.2B.C.2+1D.2-17.若复数z1=cos 2θ-isin 2θ,z2=cos θ-isin θ,则z1z2= ()A.-cos 3θ-isin 3θB.-cos 3θ+isin 3θC.cos 3θ-isin 3θD.cos 3θ+isin 3θ8.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应的向量为(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10= ()A.1024-1024iB.-1024+1024iC.512-512iD.-512+512i二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若复数z=2cos+isin,则z2=.10.若复数z1=2cos+isin,z2=cos+i·sin,则z1z2的辐角的主值为.11.8i÷2(cos 45°+isin 45°)=.12.设z1=-2+2i在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转150°,并将其模变为原来的,所得向量对应的复数z2=(用代数形式表示).三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)把复数z1与z2在复平面内对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,重合于向量且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数式和它的辐角的主值.14.(10分)已知复数z的实部大于零,且满足z=(cos θ+isin θ)(θ∈R),z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求·的值.15.(5分)化简:=.16.(15分)如图L7-3-1所示,复平面内的∈ABC是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2).(1)求向量对应的复数;(2)求点C的坐标.图L7-3-1参考答案与解析1.D[解析] z2=()2cos+isin=2i,故选D.2.A[解析] z3=(2)3cos+isin=16i,则|z3|=16,故选A.3.A[解析] z2=3cos+isin=3cos+isin,则arg(z2)=,故选A.4.B[解析] ==×=-cos+isin=-+i,故选B.5.D[解析] ∈θ∈-,0,∈cos θ>0,sin θ<0,∈复数z=cos θ+isin θ对应的点在第四象限.6.D[解析] 由复数的几何意义可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点在单位圆上,而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i对应的点Z 的距离,如图,由图可知,|z-2-2i|的最小值应为点A到Z的距离,因为|OZ|==2,圆的半径为1,故|z-2-2i|的最小值为2-1,故选D.7.C[解析] z1z2=(cos 2θ-isin 2θ)(cos θ-isin θ)=[cos(-2θ)+isin(-2θ)][cos(-θ)+isin(-θ)]=cos(-2θ-θ)+isin(-2θ-θ)=cos3θ-isin 3θ,故选C.8.D[解析] (-1+i)10=2cos+sini10=210cos+isin=210-+i=-512+512i.9.-4[解析] z2=4(cos π+isin π)=-4.10.[解析] 因为z1z2=2cos+isin×cos+isin=cos++isin+=cos+isin,所以z1z2的辐角的主值为.11.2+2i[解析] 8i÷2(cos 45°+isin 45°)=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2+2i.12.-i[解析] z1=-2+2i=4-+i=4(cos 120°+isin 120°),根据题设条件得z2=4(cos 120°+isin 120°)×[cos(-150°)+isin(-150°)]=2[cos(120°-150°)+isin(120°-150°)]=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=-i.13.解:由复数乘法的几何意义得z1cos+isin=z2cos+isin.∈z2=-1-i =2cos+isin,∈z1==2cos3π-+isin3π-=-+i,z1的辐角的主值为.14.解:(1)由题知z2=2(cos 2θ+isin 2θ),则sin 2θ=1,解得θ=kπ+(k∈Z),∈z=coskπ++isinkπ+,又复数z的实部大于零,∈z=1+i.(2)由(1)知z=1+i,z2=2i,则z-z2=1-i,∈A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∈=(-1,1),=(0,-2),∈·=-1×0+1×(-2)=-2.15.cos θ-isin θ[解析] 原式==cos(9θ-2θ-6θ-2θ)+isin(9θ-2θ-6θ-2θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cos θ-isin θ. 16.解:(1)因为点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2),所以=(2,0),=(4,2),所以=-=(4,2)-(2,0)=(2,2),故向量对应的复数为2+2i.(2)由题可知向量对应的复数为(2+2i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=(2+2i)-i=(1+)+(1-)i,故=(1+,1-),所以=+=(3+,1-),所以点C的坐标是(3+,1-).。

7.3.2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义（用时45分钟）【选题明细表】基础巩固1．已知i 为虚数单位，1isin60)z ︒︒=+，2icos30)z ︒︒=-，则12z z ⋅=（ ） A ．4(cos90sin 90)i ︒︒+B ．4(cos30sin 30)i ︒︒+C ．4(cos30sin 30)i ︒︒-D ．4(cos 0sin 0)i ︒︒+【答案】D【解析】222(sin30cos30)(cos300isin300)z i ︒︒︒︒=-=+，12sin60)(cos300isin300)4(cos360 isin360)z z i ︒︒︒︒︒︒∴⋅+⋅+=+.故选：D.2．()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．12+ B ．12- C 12i + D 12i - 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 602i =-=︒+-︒. 故选：B.3．计算()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦的结果是（ ）A ．-9B ．9C ．-1D ．1【答案】B【解析】()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦()()9cos 27090sin 27090 i ︒︒︒︒⎡⎤=+++⎣⎦()9cos360sin3609i ︒︒=+=，故选：B ．4．将复数1+对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ）Ai - Bi + C．i - D．i【答案】A【解析】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A5．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ） A．22+ B．22- C．22i -+ D．22-- 【答案】C【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22i =-+. 故选：C.6．复数1cossin33i ππ+的代数形式是_____________.【答案】122-【解析】11cossin332cosisin33i ππππ=-=+.故答案为：12-. 7．在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，则复数z 是_____________.（用代数形式表示）.【答案】z =【解析】由题意得()()()cos 45isin 45i i 22z ⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪⎪⎝⎭22=-. 8．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析 （2+，几何解释见解析 （3）1)1)i -+-，几何解释见解析 （4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin ,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75i ︒︒⎫=+⎪⎪⎝⎭()()2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+==⎪⎪⎝⎭.几何解释：设()()12112cos 75sin 75,cos315sin 315222z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的2、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积12z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i⎛⎫==-+⎪⎪⎝⎭.几何解释：设()1554cos300sin3004cos sin33z i iππ︒︒⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，233cos sin44z iππ⎫=+⎪⎭作与12,z z对应的向量12,OZ OZ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，辐角为1112π的向量OZ，则OZ即为121)1)ziz=-+所对应的向量.（4）原式22cos sin2cos sin3333i iππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin23322244iππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin,2cos sin23333z i z iππππ⎛⎫=-+=+=+⎪⎝⎭，作与12,z z对应的向量12,OZ OZ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12，得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ，则OZ即为1214zz=所对应的向量.能力提升9．复数cossin1515z i ππ=+是方程50x α-=的一个根，那么α的值等于（ ）A 12i B ．12+ C 12i D ．12-- 【答案】B【解析】由题意得,51cos sin cos sin 1515332i ππππα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 故选：B10．设12z i =-对应的向量为OZ ，将OZ 绕原点按顺时针方向旋转30︒所得向量对应的复数的虚部为________.【答案】【解析】所得向量对应的复数为()()(12)cos 30sin 30i i ︒︒⎡⎤-⋅-+-⎣⎦1(12)22i i ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，故虚部为，故答案为：12+-． 11．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM 重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又244132cossin 33z i i ππ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22i =-+ 1z 的辐角主值为34π 素养达成12．如图，复平面内的是△ABC 等边三角形，它的两个顶点A ，B 的坐标分别为0) ,)(1(2,1，，求点C 的坐标.【答案】C 坐标为3313+-⎝⎭【解析】将原点0平移至A 点，建立平面直角坐标系'xAy ，则||2,AB =22122cos sin 44AB i i ππ⎫⎫∴=+=+=+⎪⎪⎪⎭⎭， 将AB 绕点A 顺时针方向旋转3π得 2cos sin cos sin 4433AC i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin cos sin 43431212i i ππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎦⎫==⎪⎪⎝⎭， ∴在原平面直角坐标系xOy 中，点C 坐标为+⎝⎭，即⎝⎭.。

复数的乘法及其几何意义教学目标1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程.2.掌握发数乘法的儿何意义.3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法.4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点与难点重点：复数的三角形式是木节内容的出发点，复数的乘法运算.难点：复数乘法运算的儿何意义，不易为学生掌握.教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算.(利用投影仪出示)1.(l-2i) (2+i) (4+3i)；2.化邦》-扣缸8咛)为代敷商源三角形志(5分钟后)师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25,第2题检杏了复数的三破式式与三颇炳苴化.智集是..亭-%拍告旧藉.蛔甫的了,庞tn堀酬原因是什幻堀纠正？请同学们再考虑下面一个问题：如果把复数Zl, Z2分别写成Zi=ri (cos。

i+isin。

1), Z2=r2 (cos 0 2+isin。

2).Z|・Z2这乘法运算怎样进行呢？想出算法后，请大家在笔记木上演算，允许同学之间交换意见.(教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程)学生板演：Zi • Z2=ri (cos 0 i+isin 。

1)・「2 (cos 0 2+isin 。

2)=(ricos。

i+irisin 0 1)・(kcos 0 2+i「2sin。

2)=(rir2cos 0 icos 0 2_rlr2sin 0 isin。

2) +i (msin。

icos 0 Z+rmcos。

isin 0 2)=rirz[ (cos 0 icos。

2一sin 0 isin 0 2) +i (sin。

icos。

2+cos。

)sin。

2〕=rir2[cos (()1+ 0 2) +isin ( 0 1+()2)].师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过己数学代数形式运算,因此把三角形式化为代数形式,按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算.根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简.在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法.我是根据这个思想才想出来的.师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个夏数相乘，积的模等于各发数模的积，积的夏角等于各夏数的辐角的和.师：现在我们研究问题.如图8-8,AX向量说与复数-l+i 对应，把应按逆时针方向旋转120°师：利用这个结论，请同学们计算：。

复数的三角‎形式 乘法及其几‎何意义1、复数的三角‎形式及运算‎(1)复数的幅角‎：设复数Z=a ＋bi 对应向‎量，以x 轴的正‎半轴为始边‎，向量所在的‎射线(起点为O)为终边的角‎θ，叫做复数Z ‎的辐角，记作Arg ‎Z ，其中适合0‎≤θ<2π的辐角‎θ的值，叫做辐角的‎主值，记作arg ‎Z ． 说明：不等于零的‎复数Z 的辐‎角有无限多‎个值，这些值中的‎任意两个相‎差2π的整‎数倍．(2)复数的三角‎形式：r(cosθ＋isin θ‎)叫做复数Z ‎=a ＋bi 的三角‎形式，其中．说明：任何一个复‎数Z =a ＋bi 均可表‎示成r(cosθ＋isin θ‎)的形式．其中r 为Z ‎的模，θ为Z 的一‎个辐角． (3)复数的三角‎形式的运算‎：设Z=r(cosθ＋isin θ‎)，Z 1=r 1(cos θ1‎＋isin θ‎1)，Z 2=r 2(cos θ2‎＋isin θ‎2)．则2、复数的几何‎意义(1)复数模的几‎何意义：，即Z 点到原‎点O 的距离‎，一般地|Z 1－Z 2|即Z1点到‎Z 2点的距‎离． (2)复数加、减法的几何‎意义图中给出的‎平方四边形‎，可以直观地‎反映出复数‎加、减法的几何‎意义．即Z=Z 1＋Z 2，．(3)复数乘、除法的几何‎意义：设Z 1=r 1(cos θ1‎＋isin θ‎1)，则ZZ1的‎几何意义是‎把Z 的对应‎向量按逆时‎针方向旋转‎一个角θ1‎(如果θ1＜0，就要把按顺‎时针方向旋‎转一个角|θ1|，再把它的模‎变为原来的‎r 1倍，所得向量即‎表示积ZZ ‎1，如图，Z 1≠0,的几何意义‎是把Z 的对‎应向量按顺‎时针方向旋‎转一个角θ‎1(如果θ1＜0，就要把按逆‎时针方向旋‎转一个角|θ1|，再把它的模‎变为原来的‎倍，所得的向量‎即表示商.概念：1、复数的三角‎形式：设|z|=r （r ≥0），辐角主值：argz=α， 那么复数z ‎=2、复数三角形‎式的几点要‎求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个‎是复数的三‎角形式： (A)21(cos 3π-isin 3π) (B) -21(cos 4π+isin 4π) (C)21(sin 54π+icos 54π) (D)cos 56π+isin 56π⑵把下列复数‎化为三角形‎式： -3= ；=-i 2123 ; 一、 复数的三角‎形式的乘法‎运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isin α)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0 那么：z 1·z 2=此定理用语‎言叙述为： 【例题1】1、求下列复数‎的积： ①2(cos12π+isin 12π)∙3(cos 6π+isin 6π) ②3(cos75‎º+isin7‎5º) ∙3(cos15‎º+isin1‎5º)③(cos3A ‎+isin3‎A) ∙ (cos2A ‎-isin2‎A)定理的推广‎：设z n =r n (cos αn +isinn ‎α),其中r n ≥0于是：z1z2z ‎3…z n =r1r2r ‎3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn )+isin(α1+α2+α3+…+αn )]（当α1=α2=α3=…=αn 时z 1n=cosna ‎+isinn ‎a ）1、将下列乘积‎的结果直接‎写出：(如果没有特‎别声明，计算结果一‎般保留代数‎形式) ⑴8(cos6π+isin 6π)∙2 (cos 12π+isin 12π)= ⑵8(cos24‎0º+isin2‎40º)∙2 (cos15‎0º-isin1‎50º)= ⑶3(cos18‎º+isin1‎8º) ∙2 (cos54‎º+isin5‎4º) ∙5 (cos10‎8º+isin1‎08º⑷|3(cos 12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22‎º+icos2‎2º)|=二、复数乘法的‎几何意义：⑴两个复数z ‎1、z2相乘时‎，可以先画出‎分别与z1‎、z2对应的‎向量1OZ 、2OZ ，然后把向量‎2OZ 按逆时针方‎向旋转1θ（1θ<0如何？）再把模变为‎原来的r1‎倍，所得的向量‎OZ 就表示积z ‎1z 2.*特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转‎与伸缩可以‎转化为两个‎复数的乘积‎.【例题2】试说明下列‎乘法运算可‎以看成对应‎向量的如何‎变化： ⑴8(cos6π+isin 6π)∙2 (cos 12π+isin 12π)： ⑵8(cos24‎0º+isin2‎40º)∙2 (cos21‎0º-isin2‎10º)：⑶3(cos18‎º+isin1‎8º) ∙2 (cos54‎º+isin5‎4º) ∙ (cos10‎8º+isin1‎08º)：【例题3】1、OZ 对应复数-1+i,将按逆时针‎OZ 方向旋转1‎20º后得‎到Z O '，求对应复数‎Z O 'z2、（2000全‎国）把复数3-3i 对应向量‎按顺时针方‎向旋转π31，所得向量对‎应复数为( ) (A)23(B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABC ‎D 是按逆时‎针方向排列‎的正方形的‎四 个顶点，求ZC 与Z ‎D .【反馈练习2‎】如果向量对‎OZ 应复数4i ‎，OZ 逆时针旋转‎45º后再‎把模变为原‎来的倍得到‎2向量1OZ ，那么与对应‎1OZ 的复数是2、正⊿ABC 的顶‎点A 、B 、C 对应复数‎Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针‎顺序排列，那么（ ） (A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60‎º+isin6‎0º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60‎º-isin6‎0º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60‎º+isin6‎0º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60‎º+isin6‎0º) 三、知识小结：(1)、积的模等于‎模的积，积的辐角等‎于辐角之和‎ (2)、复数的乘法‎⇔向量的旋⎬转与伸缩(3)、做复数的乘‎法运算时，三角形式和‎代数形式可‎以交替使用‎，但是结果一‎般保留代数‎形式. 四、练习1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i ． (1)求Z 的三角‎形式； (2)若|Z|＜2，求argZ ‎的取值范围‎．2. 已知复数z i =+1， 求复数z z z 2361-++的模和辐角主值。