算术平均值及中误差-桂林工学院(精)

桂林理工大学《误差理论与测量平差》复习题一、 写出五种衡量精度指标的名称，并指出他们之间的关系是什么？答：五种衡量精度指标的名称：方差2σ或中误差σ，平均误差θ，或然误差ρ，相对误差和极限误差； 关系：方差nn ][lim 2∆∆=∞→σ，平均误差σθ54≈，或然误差σρ32≈，相对误差Km 1==观测值大小σ，极限误差=2σ或3σ。

二、已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1σ、2σ，求下列函数的中误差：（1） 2132L L x -=； （2） 212132L L L x -=；（3） )cos(sin 211L L L x +=。

解 (1) 2132L L x -==[]03221+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅KL L L ， 利用协方差转播公式：TK KL x K KD D LLxx =+=则，,0[][]22212221222122212949432323232σσσσσσσσσσ+±=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==x xxx 则，因此，D （2）212132L L L x -=，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：[]KdL dL dL L L L dL L dL L L dx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⋅-+⋅-=21010212011021)3()3()3()3(利用协方差转播公式：[]2221212212221212210102122210102129)3(9)3()3()3()3()3(σσσσσσσσL L L L L L L L L L L L x xxx +-±=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--==则，因此，D（3）)cos(sin 211L L L x +=，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos 2021221110212211211ρρdL L L L L L dL L L L L L L L L dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⋅= 222212211************")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++±=L L L L L L L L L L L L L x三、若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差 B Ah H h h Hf -++=21由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-=-==21212121则线路中点高程()()数点的高程化成观测值函此步的目的是将线路中中点,2121212121212121ˆ212121111B A BA B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-++-+=++=设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121km S S s s s s hhh h H≤≤=⋅⨯+⋅⨯=⨯+⨯=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σσσσσσσ中点四、设1P 点及2P 点的坐标为：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==mY m X m Y m X 00.150000.1800,00.100000.10002211 向量[]TY X Y X 2211,,,的协方差阵为： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----823261231420223(cm)2 试求坐标差函数12X X X -=∆与12Y Y Y -=∆的方差协方差阵；解：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-=-=∆2211120101Y X Y X X X X []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-=-=∆2211121010Y X Y X Y Y Y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆22111121210100101Y X Y X Y Y X X Y X 则坐标差函数12X X X -=∆与12Y Y Y -=∆的方差协方差阵：2)(61151001100151122431100110018232612314202231010101cm D D D D Y Y X Y Y X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆∆∆五、有三角网（如图1），其中B 、C 为已知点，A 、D 、E 为待定点，观测角i L （i =1，2，…，10）。

算术平均值的标准差标准差是描述数据分散程度的一种统计量，而算术平均值则是描述数据集中趋势的一种统计量。

在统计学中，这两个指标都是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的特征和分布。

本文将重点讨论算术平均值的标准差，探讨其计算方法、意义以及在实际应用中的作用。

首先，我们来了解一下算术平均值和标准差的概念。

算术平均值是指一组数据的平均数，通常用来表示这组数据的集中趋势。

计算算术平均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

例如，如果我们有一组数据，2, 4, 6, 8, 10，那么这组数据的算术平均值为(2+4+6+8+10)/5=6。

而标准差则是用来衡量数据的离散程度或者波动程度。

标准差越大，表示数据的离散程度越大；标准差越小，表示数据的离散程度越小。

标准差的计算方法是先计算每个数据与平均值的差值，然后将这些差值的平方求和，再除以数据的个数，最后取平方根。

标准差的计算公式为，σ=√(Σ(xi-μ)²/n)，其中σ表示标准差，Σ表示求和，xi表示每个数据，μ表示算术平均值，n表示数据的个数。

接下来，我们将讨论算术平均值的标准差在实际应用中的作用。

在统计学和数据分析领域，算术平均值的标准差常常用来衡量数据的稳定性和可靠性。

通过计算数据的标准差，我们可以了解数据的波动程度，进而判断数据的稳定性。

如果数据的标准差较大，说明数据的波动较大，反之则说明数据的波动较小。

这对于风险管理、投资决策、质量控制等方面都具有重要意义。

此外，算术平均值的标准差还可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。

通过比较不同数据集的标准差，我们可以判断这些数据集的波动程度，进而分析它们的差异性。

这对于市场竞争分析、产品性能评估、经济趋势预测等方面都具有重要意义。

在实际应用中，我们还可以利用算术平均值的标准差来进行异常检测。

通过计算数据的标准差，我们可以判断数据是否偏离正常范围，进而发现异常情况。

这对于安全监控、财务审计、生产管理等方面都具有重要意义。

算术平均值的标准误差
算术平均值的标准误差（Standard Error of the Arithmetic Mean, SEAM）是衡量一组观察值分散程度的一种方式。

它可以帮助我们了解这组观察值的离散程度相对于它们的平均值的程度。

SEAM的计算公式是：SEAM = (SD / sqrt(n))，其中SD是观察值的标准差，n是观察值的数量。

这个公式可以让我们了解每个观察值相对于平均值的波动大小。

在统计分析中，SEAM通常用于检验样本数据的可靠性。

如果SEAM较小，则说明观察值的离散程度较小，样本数据更可靠。

如果SEAM较大，则说明观察值的离散程度较大，样本数据的可靠性可能会受到挑战。

除了在统计分析中的应用，SEAM还可以用于评估实验结果的可靠性。

例如，在科学实验中，SEAM可以用来衡量实验结果的精密度和可靠性。

如果SEAM较小，则说明实验结果的可靠性更高。

总之，算术平均值的标准误差是一种重要的统计工具，可以帮助我们了解一组观察值的分散程度和可靠性。

算术平均值的标准差算术平均值是统计学中常用的一个概念，它是一组数据相加后除以数据个数所得的结果。

而标准差则是用来衡量一组数据的离散程度的指标。

在统计学和概率论中，标准差常被用来衡量一组数据的离散程度，也就是数据的波动程度。

本文将从算术平均值和标准差的概念入手，详细介绍算术平均值的标准差的计算方法及其在实际中的应用。

算术平均值的标准差是统计学中的重要概念。

在实际应用中，我们经常会遇到需要计算一组数据的平均值和标准差的情况。

比如在财务报表分析、市场调研、生产质量控制等领域，都会用到算术平均值的标准差来衡量数据的集中趋势和离散程度。

因此，了解算术平均值的标准差的计算方法及其应用是非常重要的。

首先，我们来看算术平均值的计算方法。

假设有n个数据，分别为x1, x2, ..., xn，那么这组数据的算术平均值可以用以下公式来表示：\[ \bar{x} = \frac{x1 + x2 + ... + xn}{n} \]其中，\[ \bar{x} \]表示算术平均值。

这个公式的意思很简单，就是把所有数据相加后除以数据的个数，就可以得到这组数据的平均值。

接下来，我们来介绍标准差的计算方法。

标准差的计算公式如下：\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1}} \]其中，s表示标准差，\[ \bar{x} \]表示算术平均值，xi表示第i个数据。

这个公式的意思是，先计算每个数据与平均值的差值的平方，然后把这些平方差值相加，再除以n-1，最后取平方根，就得到了标准差。

算术平均值的标准差可以帮助我们衡量一组数据的离散程度。

如果一组数据的标准差较大，说明数据的波动较大，数据点离平均值较远；反之，如果一组数据的标准差较小，说明数据的波动较小，数据点离平均值较近。

因此，标准差可以帮助我们更直观地了解数据的分布情况。

在实际应用中，算术平均值的标准差有着广泛的应用。

比如在财务分析中，我们可以用标准差来衡量一支股票的风险，标准差越大，代表股票的波动越大，风险也就越高；在生产质量控制中，我们可以用标准差来衡量产品质量的稳定程度，标准差越小，代表产品质量的波动越小，稳定程度也就越高。

测量误差及数据处理-部分习题参考答案：⒈按照误差理论和有效数字运算规则改正错误：⑴ cm 02.0345.10）（±=d改正为：cm )02.034.10(±=d⑵ s 5.40.85）（±=t改正为：s )585(±=t⑶ 2911N/m )1079.51094.1(⨯±⨯=Y改正为：-211m N 10)06.094.1(⋅⨯±=Y⑷ m 2m m 2000=改正为：m 000.2m m 2000=⑸ 5625.125.12=改正为：562.125.12=⑹ 233101)00.6(6161⨯===ππd V 改正为：1.113)00.6(142.3616133=⨯⨯==d V π ⑺ 6000006.116.121500400=-⨯ 改正为：511000.60.1101504006.116.121500400⨯=⨯⨯=-⨯ 3. 按有效数字运算规则计算下列各式：⑴ =++6386.08.7537.343343.37+75.8+0.64=419.8⑵ =--54.76180.845.88 3.73⑶5555251092.6100010.010000050.01092.6100.10.51092.6⨯=⨯+⨯-⨯=⨯+-⨯（加减运算的三个数中末位数量级最高的是5100.02⨯，计算值的存疑位与其对齐）⑷ 21039.30.172.32.910.17155.32.91⨯=÷⨯=÷⨯⑸ ()998.3001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+⑹ 8.840.300.31416.30.3001.322=⨯⨯=⨯⨯π⑺ ()41100.2101002.022.100230.10025.100-⨯=⨯÷=÷-⑻ ()()()00.100.11000.20.50001.000.10.31033.163.1800.50=⨯⨯=+--⨯5.计算下列数据的算术平均值、标准偏差及平均值的标准偏差，正确表达测量结果（包括计算相对误差）。

桂林理工大学《误差理论与测量平差基础》考试试卷一、名词解释1.观测条件2.偶然误差3.精确度4.多余观测5.权6.权函数式7.相对误差椭圆8.无偏性二、填空题1.观测误差包括偶然误差、、。

2.偶然误差服从分布，其图形越陡峭，则方差越。

3.独立观测值L1和L2的协方差为。

4.条件平差的多余观测数为减去。

5.间接平差的未知参数协因数阵由计算得到。

6.观测值的权与精度成关系，权越大，则中误差越。

7. 中点多边形有个极条件和个圆周条件。

8. 列立测边网的条件式时，需要确定与边长改正数的关系式。

9. 秩亏水准网的秩亏数为 个 。

三、 问答题1. 写出协方差传播律的应用步骤。

2. 由最小二乘原理估计的参数具有哪些性质？3. 条件平差在列立条件式时应注意什么？什么情况下会变为附有参数的条件平差？4. 如何利用误差椭圆求待定点与已知点之间的边长中误差？5. 为什么在方向观测值的误差方程式里面有测站定向角参数？6. 秩亏测角网的秩亏数是多少？为什么？7. 什么是测量的双观测值？举2个例子说明。

8. 方向观测值的误差方程式有何特点？四、 综合题1. 下列各式中的Li （i=1,2,3）均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差：(1) 321)(21L L L X ++= ，(2)321L L L X =。

2. 如图1示，水准网中A,B,C 为已知高程点，P1,P2,P3为待定点，h1～h6为高差观测值，按条件平差方法，试求： （1） 全部条件式； （2） 平差后P2点高程的权函数式。

3. 如图2示，测边网中A,B,C 为已知点，P 为未知点，观测边长为L1～L3，设P 点坐标P X 、P Y 为参数，按间接平差方法，试求： （1） 列出误差方程式； （2） 按矩阵符号写出法方程及求解参数平差值的公式； （3） 平差后AP 边长的权函数式。

4. 在条件平差中，0=+∆WA ，试证明估计量^L 为其真值~L 的无偏估计。

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。

二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。

但具有一定的统计规律。

2.特点：（1）具有一定的范围。

（2）绝对值小的误差出现概率大。

（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。

（4）数学期限望等于零。

即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。

此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。

§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。

一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。

规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。

在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。

真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值），n为观测值个数。

2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。

V——最或是值与观测值之差。

一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。

即：。

§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。

当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m，故有：。

测量中误差计算公式测量中误差是指测量结果与真实值之间的偏差，它是进行科学实验和工程测量时必须要关注和控制的一个重要指标。

在实际测量中，由于各种因素的影响，测量结果往往存在一定的误差。

为了准确地评估测量结果的可靠性，必须进行误差分析，并计算测量中误差。

下面介绍一种常用的测量中误差计算公式。

σ = sqrt( (Σ(xi - x̄)²) / n )其中，σ表示标准差， xi表示第i个数据点，x̄表示所有数据的平均值， n表示数据点的数量。

对于测量中误差而言，我们需要考虑的是多次测量的结果之间的偏差。

因此，我们可以使用多次测量的标准差作为测量中误差的估计。

假设我们进行了n次测量，每次测量得到的结果为x1, x2, ..., xn。

我们可以计算这些结果的平均值x̄，然后计算每个测量结果与平均值的偏差δxi = xi - x̄。

然后，我们计算这些偏差的平方和，除以n-1得到方差s²。

s² = Σ(δxi)² / (n-1)最后，我们可以计算标准差s，作为测量中误差的估计。

s = sqrt( s² )这个标准差s就是测量中误差的估计。

总结起来，测量中误差的计算步骤如下：1. 进行多次测量，得到测量结果x1, x2, ..., xn。

2.计算这些结果的平均值x̄。

3. 计算每个测量结果与平均值的偏差δxi = xi - x̄。

4.计算这些偏差的平方和，除以n-1得到方差s²。

5.计算标准差s，作为测量中误差的估计。

这个测量中误差的计算公式可以帮助我们评估测量结果的可靠性，指导我们在实验和工程测量中进行误差分析和控制。

同时，通过比较不同测量方法和仪器的测量中误差，也可以选择最适合的测量方法和仪器。

因此，掌握这个公式对于科学实验和工程测量具有重要意义。

大学物理实验课是一门基础课程,是学生进入大学的第一门基础实验课,是后续实验课的基础。

这门课程首先介绍测量误差及数据处理的基础知识,其中涉及到有效数字的运算,在许多实验教材中,对有效数字运算仅仅给出运算规则、结论性的规则,没有告诉初学者规则之所以然;而且,有的文献谈及有效数字运算过程中对参与运算的各分量修约到第几位数尽不相同、甚至不修约[1],运算结果保留几位有效位数说法不统一[2],使得初学者难以理解,容易混淆,不便记忆。

本文通过列举实例讨论有效数字运算几个规则。

1几个基本概念和结论(1)对于一组测量数据,其结果可疑数字所在位数越高不确定度越大。

(2)对于一组测量数据,其结果有效数字位数越多相对不确定度越小。

(3)测量结果的有效数字位数由不确定度来确定,测量值的最后一位一般要与不确定度的最后一位取齐。

(4)当不确定度的首位数字≤3,不确定度的有效数字可取两位;当首位数字大于3时,可只取一位有效数字[3]。

(5)间接测量量合成不确定度的两个计算公式:间接测量量N =f (x 1,x 2,…,x n ),其中x 1,x 2,…,x n 为若干直接测量量。

则:U C (N )=ni =1∑əf əxi()2u 2c(x i)√,i =1,2,…,n(1)E r (N )=U C (N )N=ni =1∑əln f əx i()2u 2c(x i)√,i =1,2,…,n(2)2有效数字运算规则间接测量结果的得出必须经过有效数字的运算,运算结果中保留的有效数字位数,应当以不确定度传递公式来决定。

如果在实验中没有进行不确定度的估算,最后结果的有效位数由算式中不确定度最大的分项来确定。

按照有效数字的定义,有效数字最后一位是不确定度所在的位置,为了方便讨论,我们假定所有的数据最后一位都有1的不确定性。

2.1加减法运算规则加减运算,以参与运算的各分量中末位数量级最高的量为准,其余各分量在运算过程中均比它的末位多留一位,运算结果与它取齐。