中考复习之—— 蚂蚁爬行的最短路径问题

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为 。

第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

2023年九年级中考数学专题训练:蚂蚁爬行问题一．选择题1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（）A．B．C．D．2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm3．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A．3B．6C．9D．64．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．B．C．D．5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．6．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）A．10B．12C．14D．207．一只蚂蚁趴在如图所示的数轴上，它从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，设点A表示，那么点B所表示的数为（）A．B．C．D．8．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）A．B．C．D．二．填空题9．一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向右爬5个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是___________．10．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是______．11．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则__________．12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_____．13．如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________．14．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是_____________．15．如图在直线AB上有一点C，，有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s 从A、C两点同时出发向右运动，经过__________秒，两只蚂蚁到C点的距离相等．16．在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．三．解答题17．如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，，，，求这只蚂蚁爬行的最短距离．18．如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？19．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．20．如图，已知A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为，现有一只蚂蚁P从B点出发，以5个单位的速度沿数轴向左运动；同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位的速度沿数轴向右运动，请解决以下问题：(1)设两只蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少？(2)经过多少秒，之间的距离恰好是之间的距离的一半？参考答案：1．C2．A3．A4．A5．A6．A7．B8．C9．10．11．/12．/13厘米13．14．15．或2016．17．18．(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径19．20．(1)(2)秒或秒。

蚂蚁爬行的最短路径问题I•专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题n.典型例题剖析：一•两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物•请你想一想，这只蚂蚁从的最短距离_____________2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ .3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？B点, 最短线路是1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到A圆柱（锥）问题第1题4.如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 ______________ .5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示•若沿0A 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ .3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( )(长)方体问题如图，边长为 1. 距离是1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥A 出发，经过3个面爬到点B •如果它运动R第5题A.B.C. D.第2题4.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为_____________ .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______________ .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm .如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 _________ cm .6. （1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC = 3cm、AB = 4cm、AA i = 5cm，盒子的内部顶点C i处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）•假设昆虫甲在顶点C i处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C i处的最短路程•并画出其最短路径，简要说明画法.（2）如果（i）问中的长方体的棱长分别为AB = BC = 6cm, AA i= i4cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C i以i厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C i C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为A6= .AC2+CC I2= 102+52= 5：...；5cm .这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题.研究实践：(1)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 6处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_______________________ .(2)如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且/ AOA1=120°, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(3)如图5,没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm.-只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.。

1 / 4 1AB A 1B 1DC D 1C 124最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．第9题 第10题 第11题 第12题10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

中考数学专题复习勾股定理（蚂蚁爬行最短距离）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）A．10B．14C．106D．1302．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝16π，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为()A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm3．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cm．A．5B．5πC．3+4πD．3+8π果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．521B．25C．105+5D．355．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm6．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．321+πB．621+πC．9D．627．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．241B．265C．65D．829．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A．73厘米B．10厘米C．82厘米D．8厘米10．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm，宽为4cm，高为3cm，点A距底部2cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）A．229cm B．10cm C．62cm D．45cm 11．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）12．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（）A．10B．12C．14D．2013．如图，有一圆柱，其高为8cm，它的底面周长为16cm，在圆柱外侧距下底1cm的A处有一只蚂蚁，它想得到距上底1cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．8cm14．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A 开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为()A．10m B．12m C．15m D．20m评卷人得分二、填空题15．长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是_________．16．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝16π，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．17．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）18．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF ＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．19．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．20．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．评卷人得分三、解答题21．如图，有一个高为10dm，底面周长为48dm的圆柱形水桶，水桶的底端A处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角B处去吃一滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线长．22．如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm？23．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，求螳螂爬行的最短距离（π取3）．24．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号)参考答案：1．A【解析】【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度；【详解】把长方体展开有两种情况：当蜘蛛从A出发到EF上再到G时，如下图所示=，BC cm5∴==，FG BC cm5∴=+=，BG cm5611()在Rt ABG中，22=+=；AG cm311130()当蜘蛛从A出发到BF上再到G时，如下图所示3AB cm=，5BC cm=，358()AG cm∴=+=，6BF cm=，6CG BF cm∴==，在Rt ABG中，228610()AG cm=+=，13010>．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．B【解析】【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【详解】解：如图：展开后线段AB的长度是圆柱中半圆AB的周长，圆柱底面直径16cmπ、高12BC cm=，P为BC的中点，∴6BP cm=，1168,2AB cmππ∴=⨯⨯=在Rt ABP中，22228610()AP AB PB cm=+=+=，∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，故选：B．【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．3．A【解析】【分析】如图，先把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如图示：可得线段AB的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如下：则线段AB的长度为所求的最短距离.由题意得圆柱的高为：4,cm底面半径为3cmπ，1134,=2=3,22AC BC Cππ∴==⨯⨯底面圆2222345,AB AC BC∴=+=+=所以蚂蚁至少要爬行5cm路程才能吃到食物.故选：A【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．4．B【解析】【分析】将长方体侧表面剪开与前面、上面、后面侧面分别形成一个长方形，分别利用勾股定理计算出AB的距离即可解答.【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，∵BD=CD+BC=10+5=15，AD=20在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：2222=15+20=25AB BD AD+=只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：此时BD=CD+BC=20+5=25，所以22==529AB BD AD+同理与后面侧面所在构成一个长方形，如图3，可求22==537AB AC BC+∵25529537<<【点睛】本题考查的是两点之间线段最短和勾股定理，本题关键是将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短解答.5．A【解析】【分析】在侧面展开图中，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∵AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：A′C＝22129＝15cm，故选：A．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．6．A【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt∵ADC中，∵ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3π，所以AC=22222+3(3)=31+ ADCDππ=+，故选：A．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．7．A【解析】【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，故选：A．【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题8．A【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∵BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∵AB=2212665+=；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∵BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∵AB=22810241+=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∵AC=CD+AD=6+10=16，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∵AB=222+16=265；∵24165265<<，∵蚂蚁爬行的最短距离是241，故选：A．【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．9．B【解析】【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.10．B【解析】【分析】沿着上面的棱将A点翻折至'A处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．【详解】解：沿着上面的棱将A点翻折至'A处，则新长方体的长、宽、高依次为6cm，4cm，4cm，若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：226810cm+=，若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：22104229cm+=，若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：22+=，104229cm∵10229<，∵最短路径为：10cm．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，求算术平方根．能分类讨论是解题关键．11．B【解析】【分析】分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【详解】把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1，++==（cm）(1020)5925537把上面展开到正面上，连结AB，如图2，AB＝2220(105)62525++==（cm）；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，AB＝2210(205)725529++==（cm）．∵925＞725＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．12．A【解析】【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，连接AS，则AB＝12×16＝8，BS＝12BC＝6，在Rt∵ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10．∵A，S两点之间线段AS最短，∵点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．故选：A．【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．A【解析】【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到AC=8cm，BC=8-1-1=6cm，再利用勾股定理计算出AB长即可．【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，蚂蚁经过的最短距离为线段AB的长．由勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+（8-1-1）2=100，∵AB=10cm．故选A．【点睛】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．14．C【解析】【详解】试题解析：如图，（1）AB=22615=261+；（2）AB=22129=225=15+，由于15<261，则蚂蚁爬行的最短路程为15米．故选C．点睛：展开时要根据实际情况将图形按不同形式展开，再计算．15．25cm【解析】【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∵BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=22221520BD AD+=+=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∵BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=22222510529BD AD+=+=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∵AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=2222305537AC BC+=+=；∵25529537<<∵蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可，正确掌握勾股定理及长方体的不同展开方式是解题的关键．16．10【解析】【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】如图所示，将其展开，∵在圆柱的截面ABCD中：16ABπ=，12BC＝，∵11682ABππ=⨯⨯=，162BS BC==，将其展开可得如下的矩形，在Rt ABS∆中，∵228610AS=+=．故答案为：10．【点睛】题目主要考查弧长公式、勾股定理及其在圆柱展开展开中的应用，能想到将圆柱展开应用勾股定理是解题关键．17．20【解析】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD=1322ππ=16（m），AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），在Rt∵ADE中，AE=2222161220AD DE+=+=（m）．故他滑行的最短距离约为20m ．故答案为：20．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．18．5【解析】【分析】把这个长方体表面分别沿CB 、ND 、DC 展开，将点A 和点M 放在同一平面内，在同一平面内A 、M 两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可．【详解】解：如图1，将长方体沿CB 展开，当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M 点，则2222()(23)229AM AB BF MF =++=++=，如图2，将长方体沿ND 展开，当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M 点，则2222()(22)35AM AD DC MC =++=++=， 如图3，将长方体沿DC 展开，当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M 点，则2222()(23)229AM BC CM AB =++=++=，比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A 爬到顶点M ，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5． 故答案为：5．【点睛】本题考查最短路径问题，用勾股定理构造图形解决问题，学会分析从不同方向展开长方体表面，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键．19．25【解析】【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC 就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角l 180n R π=，R=4，l=2πr=2π,可求出n 的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC 的长即可．【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，侧面展开的圆心角4l 2180180n R n πππ===，n=90º即∵ASC=90º， C 为AD 的中点SD=2，线段AC 是小虫爬行的最短距离，在Rt∵SAC 中，由勾股定理的AC=2222AS +CS =4+2=25，故答案为：25．【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．20．15【解析】【分析】过C作CQ EF⊥于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A C'交EH于P，连接AP，则AP PC+就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A Q'，CQ，根据勾股定理求出A C'即可．【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ EF⊥于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A C'交EH于P，连接AP，则AP PC+就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，AE A E='，A P AP'=，AP PC A P PC AC∴+='+='，11892CQ cm cm=⨯=，124412A Q cm cm cm cm'=-+=，在Rt∵A QC'中，由勾股定理得：2212915A C cm'=+=，故答案为：15．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．21．蚂蚊爬行的最短路线长为26dm．【解析】【分析】先把水桶的侧面展开图如图所示．确定AD为半周长，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：水桶的侧面展开图如图所示．由题意，易得10dmBD=，24dmAD=，由勾股定理得，2222241026dmAB AD BD=+=+=，即蚂蚊爬行的最短路线长为26dm．【点睛】本题考查最短路径问题，掌握圆柱侧面展开图，确定点B是半周长的山边缘，用勾股定理求解是解题关键．22．22cm【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点B到了点B'的位置，蚂蚁沿A D B→→所在的直线运动到B'路程最短，∴22222222AB AC B C'=+=+=．若按以下方式展开，则21310AB'=+=1022>即蚂蚁从顶点A出发到顶点B的最短路程是22cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．23．75cm【解析】【分析】将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离，利用勾股定理即可求出AB．【详解】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∵2222604575AB AF BF=+=+=cm答：螳螂爬行的最短距离为75cm．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解直角三角形和两点之间线段最短是解24．（1）10cm；（2）78cm.【解析】【分析】（1）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案；（2）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．【详解】（1）如图1所示：AB=228+6=10（cm），如图2所示：AB=224+10=229（cm）．故蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B（P为CD的中点），最短路程是10cm．（2）由题意得：给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是：2224+4+6=78（cm）．此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．。

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114 粒2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB= 22 12 5 ．AB 即为最短路线．B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C．6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，1所以MC= BC=1，2在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行，所走最短路程是cm 。

故选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2，=3MD1= MD 2 DD1232 22139．如图所示一棱长为 3cm 的正方体， 把所有的面均分成 3×3个小正方形． 其边长都为 1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线．（ 1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得 AB==5cm ；所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5 秒．10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 。

蚂蚁爬行的最短路径问题Ⅰ．专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？第1题第2题4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .6. 已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ．如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .第4题第5题A .B .C .D .第1题第2题第3题14A B A 1B 1D C D 1C 124. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC ＝3cm 、AB ＝4cm 、AA 1＝5cm ，盒子的内部顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C 1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝14cm ，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？第5题 变式题图研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为．（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。

文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.1.如图，有一个圆柱的高为 6cm ，底面周长为 16cm ，在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面 B 点处的食物，则沿着圆柱的表面需要爬行的最短路程是10cm．解：将圆柱体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短，∵圆柱的高为6cm ，底面周长为16cm ，∴A D=8cm ， BD=6cm ，∴A B= √82+62=10cm ．故答案为： 10 ．2.如图圆柱的底面半径为 6 ㎝ ,高为 l0cm, 蚂蚁在圆柱表面爬行 ,从点 A 到点 B 的最短路程是多少厘米 ?(保留小数点后一位 )展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14× 6=18.84cm ， OA=10cm 。

求 AB∴A B=√（ OA2+OB2） =21.3cm总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 沿表面爬到顶点 B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点 C 呢？说明你的理由。

A 到B 最短距离为其对角线，为根号 2 倍的边长A 到 C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长如图：向左转 |向右转3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．（Ⅰ）如图 1 ，当蚂蚁从正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点 A 沿最短路线爬行到顶点 C ，那么爬行的最短距离 d 的长度应是下面选项中的（）（A ） 1cm ＜ l＜3cm（B）2cm（C）3cm这样的最短路径有6 条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽 DF=2cm ，高 AB=1.5cm的长方体（如图 2 所示），蚂蚁仍需从顶点 A 沿表面爬行到顶点 E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明）考点：平面展开 - 最短路径问题．分析：（ I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可；（II ）根据图形可得出最短路径为√5，进而得出答案即可；（Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可．解答：解：（ I）如图 1 所示，沿线段AB 爬行即可，根据两点之间线段最短；（I I ）如图 2 所示： 1cm ＜l＜3cm ，故选 A，路线有 6 条，如图 2 所示：（III）蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF 和面 FC 展开后所连接的线段AE ，原因：如图①和图②所示作图，分别连接AE ，并分别在两图中测量AE 的长，可得图②中的AE 较短．也可利用勾股定理得出：图①中AE=√732cm ，图②中 AE=√652cm ．。

蚂蚁最短路径问题的总结蚂蚁最短路径问题是指一群蚂蚁从一个起点出发，到达终点的过程中，所走的路线最短的问题。

这个问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。

本文将对蚂蚁最短路径问题进行总结和分析。

一、问题描述假设有一条长度为 L 的木棍，上面有 n 只蚂蚁。

每只蚂蚁的速度相同，且只能向前爬行。

当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头。

现在，我们把这些蚂蚁放在木棍的两端，让它们开始爬行。

问最终它们会在哪里相遇？二、问题分析1. 蚂蚁相遇的情况当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的速度变成了相反方向。

因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。

2. 蚂蚁相遇的时间由于蚂蚁的速度相同，因此它们相遇的时间是固定的。

假设蚂蚁的速度是 v，相遇的时间是 t，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。

3. 最终相遇的位置由于我们无法确定蚂蚁的相对位置，因此我们无法确定它们最终相遇的位置。

但是，我们可以确定它们相遇的位置一定是在木棍的两端之间。

三、问题解决1. 排序法我们可以将蚂蚁按照它们的位置从左到右排序，然后让它们继续向前爬行。

当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的位置交换了。

因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。

2. 模拟法我们可以模拟每只蚂蚁的运动过程，直到它们相遇为止。

对于每只蚂蚁，我们可以记录它的位置、方向和状态。

当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的方向反转了。

因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。

3. 数学法我们可以通过数学公式来求解最终相遇的位置。

假设蚂蚁的数量为 n，速度为 v，木棍的长度为 L，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。

因此，蚂蚁相遇的时间是 t=L/(2nv)。

当蚂蚁相遇时，它们的速度变成了相反方向，因此，它们会继续向前爬行，直到到达木棍的两端。

因此，最终相遇的位置一定是在木棍的两端之间。

四、应用实例蚂蚁最短路径问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。

蚂蚁爬行最短路径问题深层剖析1如图，一个长方体长、宽、高分别为4cm ，3cm ，6cm ，一只蚂蚁从A 点出发到G 点处吃食物，（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径？（2）需要爬行的最短路程是多少？【分析】做此题要把这个长方体展开，把蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短使用勾股定理即可计算．但难点在于学生在分析时往往对问题思考不够全面，在分类讨论时出现漏解或思路不够清晰所花时间较长。

我们不妨这样来分析；把长方体的六个面分为上面，下面，左面，右面，前面，后面，那么经过点A 的面有三个，分别是前面，左面，下面；经过点G 的面有三个，分别是上面，右面，后面。

接下来分类讨论第1种情况：我们把前面和上面组成一个平面，画出展开图 连结AG ,则在Rt △ABG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是979422=+=AG ;第2种情况：我们把前面和右面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ACG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是856722=+=AG ;第3种情况：如果把前面和后面组合在一起，发现它们是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第4种情况：如果把下面和上面组合在一起，它们也是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第5种情况：我们把下面和右面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △AFG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是10931022=+=AG ;第6种情况：我们把下面和后面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ABG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是974922=+=AG ;第7种情况：我们把左面和上面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △AFG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是10931022=+=AG ;第8种情况：如果把左面和右面组合在一起，它们也是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第9种情况：我们把左面和后面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ACG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是856722=+=AG ;综上；虽然分析了9种情况，但3种情况舍去，在剩下的6种情况中………………………97=AG……………………85=AG……………………109=AG这6种情况中，虽然路径不同，但因为长方体的对称性，线段AG 的长度实际上共有3种不同结果。