第一讲,数学高一上集合

第1讲 集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ， 故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． 由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来． 又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。

第一部分 基础知识梳理 1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示集合中的元素.例如，“1~30以内的所有奇数”中，可以把1~30以内每一个奇数作为元素，这些元素的全体就是一个集合； 2、集合元素的三个特征 （1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，广州、南京等不在这个集合中，“身材不好的人”不能构成集合，因为这个集合的元素的不确定的. （2）互异性一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3、元素与集合的关系如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.例如集合A 表示“6~18以内的所有偶数”组成的集合，则有8A ∈，11A ∉，等. 4、常用数集及其记法5、集合的表示 （A ）列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法.例如，把“方程()()320x x +-=的所有实数根”组成的集合表示为｛-3，2｝.注意：（1）使用列举法必须注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较适宜，若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号，如不超过1000的正整数构成的集合可表示为｛1，2，3，…，1 000｝.（2）列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数，但有些集合中的元素是列举不完的，所以列举法不能表示所有集合. （B ）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合法的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为｛p ∈D |p 适合的条件｝，其中p 叫做代表元素，D 为p 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.例如“不等式37x -<的解集”中所有元素的共同特征是：x ∈R,且10x <，所以这个可以表示为{x ∈R|10x <}.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合. 6、有限集与（1）有限集：集合中的元素个数是有限个的，如集合A=｛－1，2，4｝，是含有3个元素的有限集. （2）无限集：集合中的元素个数是无限个的，如集合A={x ∈R|1≤x ＜2}，便是一个无限集. 第二部分 例题解析 【例1】回答下列问题：（1）A =｛1，3｝，问3，5哪个是A 的元素? （2）A =｛素质好的人｝能否表示成集合? （3）A =｛2，2，4｝表示是否准确?（4）A =｛太平洋，大西洋｝，B =｛大西洋，太平洋｝是否表示同一集合? 【例2】判断元素的全体是否组成集合，并说明理由. （1）所有的好人； （2）小于2014的数； （3）和2003非常接近的数.变式练习 1、下列说法正确的是( ) A ．2008年北京奥运会的比赛项目组成一个集合 B ．某班年龄较小的学生组成一个集合C ．集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合D ．1，0.5 【例3】 用符号“∈”或“∉”填空：（1）3.14__________Q ； （2）π__________Q ； （3）0__________N *； （4）0_________N ；（5）()02-_______N *； （6Z ；（7Q ； （8_______R . 变式练习 2、用符号“∈”或“∉”填空：（1）若A =｛方程21x =的解｝，则1-________A ；（2）若C =｛满足1≤x ≤10的自然数｝，则8________C ，9.1________C ；（3 Q ； （4 Z ； （5）若A =｛广东省的所有城市｝，则佛山 A ； （6）若B =｛不等式648x -<的解集｝，则2 B 【例4】 用列举法表示下列集合： （1）小于5的正奇数组成的集合;（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; （3）方程290x -=的解组成的集合; （4）大于0小于3的整数组成的集合. 变式练习 3、用列举法表示下列集合： （1）24x -的一次因式组成的集合;（2）方程2230x x -+=-的解集组成的集合; （3）由book 中的字母组成的集合; （4）15以内的质数组成的集合. 【例5】用描述法表示下列集合：（1）方程228x x -=的所有实数根组成的集合; （2）小于10的所有非负整数的集合;（3）不等式348x -<的解集;（4）数轴上离原点的距离大于3的点的集合; （5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合. 变式练习 4、用描述法表示下列集合： （1）方程2240x -=的解组成的集合; （2）{1,3,5,7,…}; （3）x 轴上所有点的集合; （4）非负偶数;（5）能被3整除的整数组成的集合. 第三部分 巩固练习 1、下列说法正确的是( )A.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合B.某班个子较高的学生组成一个集合C.集合{1，2，7，9}与{3，1，9，7，2}表示不同的集合D.2，0.3，π，1.8组成的集合有个六元素2、M=｛a ，b ，c ｝中的三个元素可构成某一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3、下面有四个命题：①集合N 中的最小元素为1；②方程()()()31250x x x -+-=的解集含有3个元素；③0∈N *；④满足1＋x ＞x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 …( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4、用符号∈或∉填空.（1） 0.03________Q ，0________ N ，()01-________ N ； （2）2_________{x | x <3}，3_________｛x ｜x ＞4｝，1_________｛x ｜x ≤2+3x ｝； （3） 3_________｛x ｜x =21n +，n ∈N ｝，5________｛x ｜x =21n +，n ∈N ｝； （4）（-1，1）________｛y ｜2y x =｝，（-1,1）_________｛(x ，y )｜2y x =｝.5．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，则P ＝__________；点（2，7）与点集P 的关系为（2，7）__________P . 6、设A ={4，a }，B ={2，ab },若A =B ，则a +b =_________. 7、已知x ∈{1，2，2x }，则x =_________.8、试用适当的方法表示下列集合. （1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，二、四象限的角平分线上的所有点； （4）所有被3除余数是1的数.9、下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来. (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点； (2)高一数学课本中所有的难题； (3)方程4220x x ++=的实数根.10、已知2()f x x ax b =-+(a 、b ∈R )，A =｛x ｜()0f x x -=,x ∈R ｝，B =｛x ｜()0f x ax -=,x ∈R ｝，若A =｛1，-3｝，试用列举法表示集合B .第四部分 课后作业1、下列条件能形成集合的是（ ）A.充分小的负数全体；B.爱好飞机的一些人；C.某班本学期视力较差的同学；D.某校某班某一天所有课程.2、若方程2x －5x ＋6＝0和方程2x －x －2＝0的所有解构成的集合为M ，则M 中元素的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3、用符号∈或∉ 填空.(1)1 N,0______N,-3______N,0.5______N,4、下面有五个命题：①若a -∈N ，则a ∈N ；②若a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是0；③244x x +=的解集可表示为{2，2}；④高一（6）班年龄较大的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_________. 5、已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝___________. 6、下面三个集合：①{x |21y x =+}；②{y |21y x =+}；③{（x ，y ）|21y x =+}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？7、试选择适当的方法表示下列集合. (1) 29x -的一次因式组成的集合； (2) 一年之中的四个季节组成的集合； (3) 方程2x －x －2＝0的实数解组成的集合； (4) 满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合； (5) {y ｜y ＝－2x －2x ＋3，x ∈R,y ∈N}； 8、若－3∈｛a －3，2a +1，2a +1｝，求实数a 的值.9、求：（1）方程2440x x -+=的所有根的和； （2）集合S ={x |2440x x -+=}的所有元素的和.10、若1∈{x|2x+px+q=0}，2∈{x|2x+px+q=0}，求p、q的值.。

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题集合及集合之间的关系教学内容1. 理解集合（包括空集和全集）的意义；理解集合与其元素之间的关系及其关系符号；会用“列举法”和“描述法”表示集合；认识常用的数集的表示.2.理解集合的相等和包含关系及其关系符号.（以提问的形式回顾）1、集合的概念（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。

我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；①集合的分类：、；②集合中元素的特性：、、；③空集是指：；答案：①有限集、无限集；“确定性”；②“互异性”；“无序性.③不含任何元素的集合.【说明】集合元素的“确定性”往往不是很好理解，可以结合实例来帮助学生理解.（2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C……表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.图示法：（主要用于描述集合之间的关系）【说明】一般不宜采用列举法表示无限集；描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以结合下面的例题来加深对这种表示方法的理解；对于描述法，一定要引导学生紧紧抓住竖线前面的代表元素x 的含义（常见的有数、点等）.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ； 空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.【说明】常用数集之间的关系：*N N Z Q R⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠； 注意∅与{0}的区别.2、集合之间的关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇（读作：A 包含于B 或B 包含A ）（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B Ü或B A Ý，读作A 真包含于B 或B 真包含A .（3）相等的集合：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；【辨析】①空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集.②任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；③子集的传递性：若,,A B B C A C ⊆⊆⊆则；④若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；⑤相等的集合中所含元素完全相同；⑥连接元素与集合的符号有：∈和∉；⑦连接集合与集合的符号有：⊆⊂=≠≠、、、等； ⑧含有n 个元素的集合的子集共有2n .（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320x +>的解；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21y x =-上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。