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运筹学之线性规划引论

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《运筹学线性规划》PPT课件

《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解

运筹学 第二章 线性规划课件

运筹学 第二章 线性规划课件

ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙

第一章运筹学绪论和线性规划

第一章运筹学绪论和线性规划

The srandard Form of the Model：
max(min) s.t. z =c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (1.1) a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ( = , ) b1 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ( = , ) b2 … … (1.2) am1x1 + am2x2 +…+ amnxn ( = , ) bm x1，x2，…，xn 0 (1.3)
(3)An very effective method of finding the optimal distribution under the scarcity, to obtain the maximum profit or minimum cost
1.1The simplification of Prototype Example: The WYNDOR GLASS CO. produces a high-quality glass products and wants to launch two new products. It has 3 plants and product 1 need plants 1 and 3, while products 2 needs plants 2 and 3.All the products (1 and 2) can be sold and table 3.1 on page 27 summarizes the data gathered by the OR team. The goal of the company is to get the maximum profit from the sold products 1 and 2.

运筹学线性规划ppt课件

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16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5

运筹学基础-线性规划(方法)

运筹学基础-线性规划(方法)
问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)

运筹学01-线性规划引论 (2)

运筹学01-线性规划引论 (2)
2018/4/10 6
同时，我们有一个追求的目标——成本最低，即： Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原 料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放 在一起，可以建立如下的数学模型： 目标函数 Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
9
s .t .
2018/4/10
例4、运输问题
运输 单价
仓 1 2 库 3 需求 工 厂
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
2018/4/10 10
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3 j ＝1，2，3 Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 s.t x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15
设按第i种方案下料的原材料为xi根
Min Z x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6 x7 x8 2 x 1 x 2 x 3 x 4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x 8 100 0 x1 2 x 2 x 3 0 x 4 3 x 5 2 x6 x7 0 x 8 100 x1 0 x 2 x 3 3 x 4 0 x 5 2 x6 3 x7 4 x8 100 x i 为大于零的整数， i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8

运筹学第1章-线性规划

凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
下一页 返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。

运筹学—线性规划第2章


• 解：此问题的可行域如上图，是一个无界的 多边形。但 极大化目标函数却以1为上界。因此这个线性规划问题没有无 界解，而且事实上，此问题目标函数最优值max f=1在可行域 射线 x1 x2 1 上均可达到。
三. 基、基本可行解
定义6：对于约束条件Ax=b，设A是秩m的mｘn矩阵，用(Pj, j=1 ~n) 表示A的第j列向量。即A=( p1.... pn )。由A的m个列向量构成 的m阶方阵 B=( p j1 , p j2 ... p jm )
定义13：如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定义
z x (1 ) y,( 0,1)
z (z1, z2 ,...zn )T 的点
所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应 0, 1 的
点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0 1 的点叫做这线
段的内点。
• 若B是非奇异的，即detB‡0，则称B为一个基或称为一个基矩阵。
• 因为SLP问题中含有约束条件Ax=b，因此也通常称B为线性规划SLP 的一个基。
•由上面定义可知，B中m个列向量是线性无关的，并且它是 A的列向量组的一个最大无关组。
•按定义，A中m个列向量，只要是线性无关的就可以构成一
个基。
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
•定义8 ：设Ax=b, x 0一个基B p j 1...p jm ，其对应的基变
量构成的m维列向量记为xB (x j1...x jm )T
这时若取非基
• 变量等于0，则 Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.记为
于是得到方程组BAx1b=b的(b一1 ..个.bm解)T： 非基变量 x j 0,( j 1,2....n,i j1, jm

运筹学第一章线性规划

Z＝ X1＋X2 X1
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 18
4、无可行解——可行域为空集
X2
maxz=2X1+4X2
L3: X1<=4
s.t.
L1: X1+X2>=6
X1＋X2>=6 X1＋2X2<=6
L2: X1＋2X2<=6
L4: X2<=3
X1 <=4, X2<=3
X1>=0, X2>=0
二、一般线性规划问题的建模过程（方法）
追求什么目标？ 决策变量？ 目标函数？ 约束条件？
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 4
课本P4例1.1: 生产安排问题 设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂 的总利润。 maxz=3X1+2X2+5X3
s.t. X1+2X2+X3<=430 ——第一道工序 3X1＋2X3<=460 ——第二道工序 X1+4X2<=420 ——第三道工序 X1>=0, X2>=0 , X3>=0
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
X1，X2，…，Xm）T
《运筹学》 第一章 线性规划
满足约束条件：
am
x1 1 am x2 2 x1, x2,, xn

管理运筹学 线性规划的图解法课件


线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
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例4、运输问题
运输 单价
仓 1 2 库 3 需求 工 厂
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 s.t x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15
x13 + x23+ x33 = 35
xij 0
(2) 线性规划问题的特点

决策变量： (x1… xn)T 代表某一方案， 决策者要考虑 和控制的因素非负；
根据题意：混合配料后， 每单位添加剂中A的含量不得低于12，即 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 每单位添加剂中B的含量不得低于14，即
x1 + x2 +7x3+5x4 14
每单位添加剂中C的含量不得低于8，即 2x2 + x3+3x4 8 另外，原料使用量不能为负，即： x1，x2 ， x3， x4， 0

目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为线性函数，求Z极大或极小; 约束条件：可用线性等式或不等式表示.

具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。
(3) 线性规划模型一般形式
目标函数
Max Min
Z c 1 x1 c 2 x 2 c n x n a11 x1 a12 x2 a1n xn , b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn , b2 a x a x a x , b mn n m m1 1 m2 2 x1 , x2 , , xn 0
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续 工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务 人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0 ，整数
同时，我们有一个追求的目标---成本最低，即： Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原 料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放 在一起，可以建立如下的数学模型： 目标函数 Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
8
3
1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
x1
⑵ ⑴
∴有唯一最优解：x1 = 4 x2 = 2
最优值 Z = 14
x2
6
4
5
⑶
⑷
例 2-2 Max z x1 2x2 2x1 2x2 12 x 2x 8 1 2 s .t 2x1 6 4x 12 2 x1 0 , x 2 0
20
Max z 40x1 80x2 x1 2x2 30 3x 2x 60 2 s .t 1 2x2 24 x1 0 , x 2 0
A
10
C
D 20
0
10
30
最优解：BC线段
Max Z=1200
C点：X(2)=(15,7.5)
B点：X(1)=(6,12)
确定决策变量；
根据下料目标确定目标函数； 根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。
组合方案
2.9m 2.1m 1.5m 合 料 料 计 长 头
1
2 0 1
2
1 2 0
3
1 1 1
4
1 0 3
5
0 3 0
6
0 2 2
7
0 1 3
8
0 0 4
7.3m 7.1m 6.5m 7.4m 6.3m 7.2m 6.6m 6.0m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 0.1m 0.3m 0.9m 0.0m 1.1m 0.2m 0.8m 1.4m
设按第i种方案下料的原材料为xi根
Min s .t . Z x1 x 2 x 3 x 4 x5 x6 x7 x8 2 x1 x 2 x 3 x 4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x8 100 0 x 2 x x 0 x 3 x 2 x x 0 x 100 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 0 x 2 x 3 3 x 4 0 x5 2 x6 3 x7 4 x8 100 x i为大于零的整数， i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
约束条件
s.t
x1 + x2 + 7x3+5x4 14
2x2 + x3 + 3x4 8 xj 0 (j =1,…,4)
例3、合理下料问题 2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
1.5m
求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案； 计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余 料头长度；
③ 容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制 问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。 这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对 两条原则进行统筹考虑。
建立线性规划模型的四个步骤 ①设立决策变量； ②明确约束条件并用决策变量的线性等式或不 等式表示； ③用决策变量的线性函数表示目标，并确定是 求极大（Max）还是极小（Min）；
第一章 线性规划引论
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 线性规划问题的建模与应用举例
1.1 线性规划问题及其数学模型
(1) 线性规划问题
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B 各生产多少, 可获最大利润?
2X1+X2 8
X2
X1 0
-2X1+X2 2s Nhomakorabeat-2X1+X2 2 X1 , X2 0
无有限最优解
8
6
可行域 无上界
4
可行域
2
无界
0
4
无有限最优解
X1
X20
Z=0
2X1+X2 8
例1-4、 Max Z=3X1+2X2
X2
s.t
-X1 -X2 1
X1 0 X2 0
X1 , X2 0
解: 设产品A, B产量分别为变量x1， x2
根据题意，两种产品的生产要受到可用资源的限制， 具体讲： 对于煤，两种产品生产消耗量不能超过30，即： x1 + 2x2 30 对于劳动力，两种产品生产的占用量不能超过60，即：
3x1 + 2x2 60
对于仓库，两种产品生产的占用量不能超过24，即： 2x2 24 另外，产品数不能为负，即： x1，x2 0
X2
最优解：
30
X* = (15,7.5) Zmax =975
最优解 Z=975 C D 20
(0,0)， (10,-8)
C点： X1+2X2 =30
20
3X1+2X2 =60
可行解 Z=0 等值线
A
10
B
0
10
30
X1
解：(1)、确定可行域与上例完全相同。 例1 2 (2)、求最优解
30
最优解：BC线段 最优解 Z=1200 B
解：(1)、确定可行域
X1+2X2 30 3X1+2X2 60
X2
3X1+2X2 60
30
2X2 24
X1+2X2 30
20
X 1 0 X 2 0 X 1 0 可行域
A
10
B C
2X2 24
0
10
D 20
30
X 2 0
(2)、求最优解 Z=40X1+50X2
0=40X1+50X2
s .t
约束条件
隐含的假设

比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量



连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
1.2 线性规划问题的图解法
Max Min s .t Z CX AX , b X 0