直角三角形知识点

解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。

锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。

直角三角形知识点直角三角形是初中数学几何部分的重要内容，具有独特的性质和广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解直角三角形的相关知识点。

首先，直角三角形的定义是一个内角为 90 度的三角形。

其中，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

直角三角形有一个非常重要的定理——勾股定理。

勾股定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

这个定理是解决直角三角形相关问题的重要工具。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过勾股定理计算：3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，所以斜边的长度为 5 。

直角三角形的性质还有很多。

直角三角形的两个锐角互余，也就是说，两个锐角的和为 90 度。

比如，如果一个锐角是 30 度，那么另一个锐角就是 60 度。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

假设直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，D 是斜边 AB 的中点，那么 CD ＝ 1/2 AB 。

在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

比如在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90 度，∠A ＝30 度，斜边 AB ＝ 10，那么 BC ＝ 1/2 AB ＝ 5 。

直角三角形的面积计算也有独特的方法。

它的面积等于两条直角边乘积的一半，或者等于斜边乘以斜边上高的一半。

接下来，我们再说说直角三角形的判定方法。

如果一个三角形的三条边满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形就是直角三角形。

如果一个三角形的两个内角互余，那么这个三角形也是直角三角形。

在实际应用中，直角三角形的知识经常被用到。

比如在建筑工程中，工人师傅常常需要通过测量直角三角形的边长来确定建筑物的角度和尺寸；在导航中，通过测量角度和距离来确定位置也会用到直角三角形的知识。

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。

直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。

直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。

即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。

二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。

三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。

四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。

五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。

2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。

3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。

4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。

5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。

六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。

2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。

3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。

以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。

通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。

同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。

直角三角形知识点一、直角三角形的性质1、Rt △的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D 为斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ） 3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A ＝30°，∠C=90°，CB=12AB ）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222a b c +=） 二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。

2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则∠C ＝90°。

用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。

三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。

公式为c ab h c=（3）常见的勾股数： （3k ，4k ，5k ）（5k ，12k ，13k ）（7k ，24k ，25k ）（8k ，15k ，17k ）（9k ，40k ，41k ）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。

（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1 如图1有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面周长为10cm ，在圆柱的下底面A 点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。

连接AC ，则AC 即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。

300x 2x3x 450x 2xx图1 图2 半周长解：①若沿着曲面走，则：AB=12×10=5，BC=12，所以AC=2251213+=②若走折线A=>D=>C ，则AC+DC=12+10π∵12+10π>13 ∴最短路程为13cm 。

解直角三角形的知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=21AB=BD=AD4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2，AB AD AC •=2， AB BD BC •=26、常用关系式: 由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 锐角三角函数的概念1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°casin =∠=斜边的对边A Ac b cos =∠=斜边的邻边A A batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数之间的关系（1）平方关系: 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系: tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sin α cos α tan α 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

直角三角形知识点一、直角三角形的性质1、Rt△的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D为斜边AB的中点，则CD＝12AB）3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A＝30°，∠C=90°，CB=12AB）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222a b c+=）二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。

2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c+=，则∠C＝90°。

用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。

三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。

公式为c abhc=（3）常见的勾股数：（3k，4k，5k）（5k，12k，13k）（7k，24k，25k）（8k，15k，17k）（9k，40k，41k）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。

（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1 如图1有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面周长为10cm，在圆柱的下底面A点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。

连接AC，则AC即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。

解：①若沿着曲面走，则：AB=12×10=5，BC=12，所以AC=13=图1 图2半周长②若走折线A=>D=>C ，则AC+DC=12+10π∵12+10π>13∴最短路程为13cm 。

中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。

直角指的是一个角度为90°的角。

二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。

3.直角三角形中的两个锐角互余。

4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。

三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。

性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。

2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。

性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。

3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。

性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。

四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。

a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。

a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。

b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。

c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。

3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。

直角三角形的边长与角度关系知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个直角（90度）角。

在直角三角形中，边长与角度之间存在一些重要的关系，这些关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。

下面将对这些知识点进行总结。

1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系之一，它描述了直角三角形两条边的关系。

勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b分别为直角三角形两条较短的边长，c为直角三角形的斜边长。

2. 正弦定理：正弦定理是描述任意三角形中边长与角度关系的一种定理。

对于直角三角形来说，正弦定理的应用相对简单。

正弦定理的表达式为：sin(θ) = a / c，其中sin(θ)表示角度θ的正弦值，a表示直角三角形的对边长，c表示直角三角形的斜边长。

3. 余弦定理：余弦定理也是描述任意三角形中边长与角度关系的一种定理。

对于直角三角形来说，余弦定理的应用也相对简单。

余弦定理的表达式为：cos(θ) = b / c，其中cos(θ)表示角度θ的余弦值，b表示直角三角形的邻边长，c表示直角三角形的斜边长。

4. 特殊角度的边长关系：对于特定的角度，直角三角形的边长关系可以通过特殊三角函数值来表示。

例如，在45度角的直角三角形中，两条直角边的边长相等，且斜边长等于直角边长乘以√2。

5. 边长与角度之间的计算关系：根据以上的知识点，我们可以利用已知的边长来计算直角三角形中的角度，或者利用已知的角度来计算直角三角形中的边长。

通过正弦定理、余弦定理以及特殊角度的边长关系，我们可以得出精确的计算结果。

总结：直角三角形的边长与角度之间存在着勾股定理、正弦定理、余弦定理等重要的关系。

这些关系不仅可以帮助我们解决直角三角形相关的计算问题，还可以应用于实际生活中的测量和建模等领域。

准确理解和掌握直角三角形的边长与角度关系对于数学和物理等学科的学习都具有重要的意义。

直角三角形的性质【知识点1】 直角三角形的性质(1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC ∙=2(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即222c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB ∙CD=AC ∙BC 【知识点2】直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……）例1．一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ）例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。

求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GFG E F DCBA例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。

求证：EF ⊥BD例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则DM+CN 的值为( ) A. 1 B.C.D.【练一练】 一、填空题1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。