广东省华南师大附中2015届高三5月三模数学(文)试卷

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

函数中求解参数范围的几种常见策略含参函数问题是训练和检查学生逻辑理解能力和分析能力的一种综合题型，是近年来全国各省份高考题比较稳定的一道压轴题，难度不小，区分度较高，但我们也必须学会一些常见的操作方法争取抢分.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.参数分离、充分必要法、讨论最值（直接法）、数形结合等等都是常用的方法，但各有侧重，下面通过几道高考题体会下常见方法的操作流程. 1 分离参数法（首选）关于不等式(,)0,f x a x D ≥∀∈恒成立问题，将含有参数a 的代数式分离出来，即转化为()(),g a h x x D ≥∀∈恒成立，然后求解函数()h x 在区间D 上的最值即可。

但特别注意参数a 的系数恒为正或者恒为负，此类问题采取分离参数法会比较有效。

例题1 （2013年全国大纲卷文科第21题）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I）当a =()f x 的单调性；（II ）当[)()2,0,x f x ∈+∞≥时，求a 的取值范围.例题2 已知函数2()4f x x ax =-+在区间[2,4]上有零点，求实数a 的取值范围.例题3 （广州市2015届高三二模节选1）已知函数，（其中为自然对数的底数），函数在区间内是增函数，求实数a 的取值范围..分离参数发是解决参数取值范围的首选方法，通过分离参数，运用函数的观点分析讨论最值，由此确定恒成立参数范围.此方法可以避免分类讨论的繁杂，常常在不等式恒成立问题，函数零点，已知函数单调性求参数范围等等问题中经常用到.函数中求参数的问题，常常采用分离参数法，但有时候分离参数法时会出现用高中知识()ln f x a x =-11x x -+()e x g x =e ()f x ()0,1不能得出答案（需要高数求极限的知识)，因此，充要必要法是高中数学最基本最有效的方法，下面介绍恒成立中求参数取值范围的一个通法.2 充分必要法2.1 引理（简化版洛必达法则）：若函数(),()f x g x 在定义域D 内可导，a D ∈满足()()0,f a g a ==''(),()f a g a 存在，且'()0g a ≠，则''()()lim ()()x a f x f a g x g a →=. 2.2 使用条件和方法：含参函数()f x 在某个范围D （不妨设区间端点0x ）为内有()0f x ≥（或()0f x ≤）恒成立，且满足0()0f x =，那么考虑用'0()0f x ≥解得参数范围，若'0()f x 恒为零，则考虑''0()0f x ≥解出参数范围，若''0()f x 恒为零，则继续重复上述过程，直到高阶导数在0x x =处不恒为零，然后根据题目不等式方向，令此时的导数'0()0f x ≥（或'0()0f x ≤）解得参数范围.2.3 例题赏析例题4（2010全国2理第22题）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时()1x f x ax ≥+，求a 的取值范围．例题5（2015福建文第22题）已知函数． (Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．该类问题命题的背景：就是在区间的端点处不等式左右两边恰好相等.因此这里就有一2(1)()ln 2x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x >-个想法，如果函数在该区间内单调递增则肯定满足条件，所以就得到充分条件即参数的取值范围，但这只是充分条件，很多人在解这类题时只管得参数的范围，而没有注意还需要说明其必要性.也就是说是不是只有求出的参数范围才满足题目条件？所以就必须加入必要性的说明（主要导出矛盾，说明所求范围恰到好处，不多也不少）.对于一些较难的题目，比如压轴题，分离参数后的函数可能很复杂，不容易求最值，而且所给的区间又不满足方法2中的区间端点函数值为零，此时，我们别无他法，只能老老实实地回归到分类讨论的方向上来.3 直接法(分类讨论)采取分类讨论解决含参函数的单调性、极值和最值问题，最关键的是明晰分类讨论的标准，导函数是否有零点，零点是否在所求解的区间内，零点的大小关系，端点值的大小比较等等这些都是常见的分类标准，在解决具体问题时候请遵循解题的相关原则（最高次系数优先考虑，系数无参数时因式分解，不能因式分解时在考虑判别式）.例题6（10年全国新课标1文第21题）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.例题7（华南师大附中2015届高三三模节选）已知函数和．（Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.含参数的函数问题作为高考题中的压轴角色，在采取相应的破解策略之前首先要克服的是自己的畏难恐惧心理，保持冷静的心态，充满信心，用坚强的意志力逐步攻克，采取步步为营的姿态，能抢一分式一分.无论解答的策略有多少，大胆的尝试才是解题的硬道理. 4相关的高考真题及模拟试题练习ln ()1x x f x x =+()(1)()g x m x m R =-∈[1,),()()x f x g x ∈+∞≤m（2007年广东文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．（答案：1a ≥或a ≤）（15年北京理）已知函数()1ln1x f x x +=-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 得最大值.（答案：2）（13年辽宁文科21）（1）证明：当[0,1]x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （2）若不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（答案：(,2]-∞-）（15年广州一模节选）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥，若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围. （答案：[)1,+∞）。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互文科数学选修1—1 第一章 简易逻辑 一．四种命题及关系1。

命题:__________的语句；2。

分类：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题;②复合命题：由_________和逻辑联结词“___”、“___"、“____”构成的命题；构成复合命题的形式：p 或q 记作______；p 且q 记作____；非p 记作_____。

3。

命题的四种形式与相互关系 原命题：若p 则q ； 逆命题：________； 否命题:________; 逆否命题:________.注:①互为_____关系的两个命题同真假．②命题中一些关键词的否定：1、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题;②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确的说法是 ( ）A 。

①②B 。

①③④C 。

②③④D 。

①②③2、已知m ，n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A 、若α，β垂直于同一个平面，则α//β B 、若m,n 平行于同一个平面,则m//nC 、若α，β不平行，则α内不存在与β平行的直线D 、若m,n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一个平面3．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a 〉b ，则ac 2〉bc 2"，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ）4．有四个命题：①“若0x y +=，则x 、y 互为相反数"的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若1q ≤,则关于x 的方程220x x q ++=有实根"的逆命题；④“A B B =,则A B ⊇”的逆否命题。

2024届华南师大附中高三三模综合测试（语文）参考答案及评分标准1．C ( nè/nà，bīn/pín ，jiān/jiàn； A 项juān/juàn，fù，qiào/ké；B项：zǐ，jī/ch ái，bǐng；D项：qiān，zhēn，jìn/jīn。

)2．D（穿凿附会,穿凿：把讲不通的硬要讲通；附会：把不相干的事拉在一起。

生拉硬扯的说明，把讲不通的或不相干的道理、事情硬扯在一起进行说明。

此处不合语境。

Ａ.推波助澜，澜：大波浪。

比方从旁鼓动、助长事物（多指坏的事物）的声势和发展，扩大影响。

B．不一而足，足：足够，足够。

原指不是一事一物可以满意。

后指同类的事物或现象许多，反复出现，不止一个，不能一一列举。

C．开涮，耍弄，开玩笑。

）3．B（A. 表意不明。

“确定的回答”并没有指明是爱还是严，是穷养还是富养。

C. 成分残缺。

“满意”后应加上宾语“需求”。

D. 结构混乱。

前面主语是“探讨人员”，后面变成了“文献原件”，应把“了”改为“的”。

）4．A (④总起全段，①说明④，⑤再次为①④下结论。

以上为第一层次。

然后③接着诠释这种替代的意义所在，根据逻辑，事实在前，意义在后，所以③放在后面，最终②“这些神话”刚好接上③。

)5. C（谢：致歉。

）6. D（在，介词。

A. 连词，来，表目的/认为，动词。

B. 代词，我/代词，他。

C. 连词，表转折/连词，表顺承。

）7. A（④是写庄贾因自己迟到要被穰苴依军纪处斩，而派人向景公求救，非干脆表现穰苴。

⑥是写穰苴出征后与士兵同甘共苦。

）8.Ｂ(“懂军事”是无中生有，田穰苴并没有提此要求，齐景公给穰苴派来的监军庄贾也不懂军事。

)9．【断句与翻译】（10分）（1）景公退穰苴/苴发疾而死/田乞//田豹之徒由此怨高//国等/其后/及田常杀简公/尽灭高子//国子之族/至常曾孙和/因独立为齐威王/用兵行威/大放穰苴之法/而诸侯朝齐。

2025届广东省华南师大附中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--2．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜D ．f （2020）＞f （2019）5．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ） A ．23+B ．15+C ．25+D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．838．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ） A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭9．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++11．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．1912．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53C ．52D 5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

华南师大附中2023届高三月考（二）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=0A x R x ∈≤，{}=11B x R x −∈≤≤，则()()RR A B =（ ）A ．(,0)−∞B ．[1,0]−C ．[0,1]D ．(1,)+∞2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()sin tan f x x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点61m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（ ）2.45≈）A ．40mB ．45mC ．50mD ．55m5．在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，当2ABD ADC S S =△△，AB xAD y AC =+，则（ ） A ．3x =，2y =− B ．32x =，12y =− C ．2x =−，3y =D ．12x =−，32y =6．在ABC ∆中，2cos cos cos c bc A ac B ab C =++，则此三角形必是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形7．设实数,a b 满足0b >，且2a b +=，则18a a b+的最小值是（ ） A ．98B ．916 C ．716D ．148．已知函数()2ln f x x x x =−的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +−=的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1−∞B ．[)0+∞，C ．[)0,1D ．(),1−∞−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设,m n 为不同的直线，αβ，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α,//n α,则//m n B ．若,,m n αα⊥⊥则//m n C ．若//m α,m β⊂,则//αβ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥ 10．函数()()sin f x x ωϕ=+(0,20,A πωϕ><>）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．直线6x π=−是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 的图象关于点(),062k k Z ππ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦D ．将函数()f x 的图象向由右平移12π个单位得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11． 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则下列结论中正确的是（ ） A ．1239a a a +=+B ．12n n n a b b +=+C ．当1k =±时，{}n n a kb +均为等比数列D ．1236179b b b b ++++=12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()()() 1.52''()1f x K x f x '=⎡⎤+⎣⎦，其中()''f x 是()f x '的导函数．下面说法正确的是（ ）A ．若函数3()f x x =，则曲线()y f x =在点3(,)a a −−与点3(,)a a 处的弯曲程度相同B ．若()f x 是二次函数，则曲线()y f x =的曲率在顶点处取得最小值C ．若函数()sin f x x =，则函数()K x 的值域为[0,1]D ．若函数1()(0)f x x x =>，则曲线()y fx =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量,a b 夹角为4π，且||1a =，||2b =，则2a b +=______． 14．已知1sin 83πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2cos2αα+=__________．15．某学生在研究函数()3f x x x =−时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()'00h =．写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________．16．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n n n n n a b a b c −+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos tan 2sin sin B AB A+=−A ．(1)求C ；(2)若6a =，ABC S ∆=c 的值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若23n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．(1)记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（直接写结论）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A 组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20． （本小题满分12分）在斜三棱柱111ABC A B C −中，1AA BC ⊥，11AB AC AA AC ====，1B C = (1)证明：1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点； (2)求平面11A B C 与平面111A B C 夹角的余弦值．已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，与直线AB 交于点M ，求PM PMPC PD+的值．22．（本小题满分12分）设函数1()e ,()ln x f x m g x x n −==+，m n 、为实数，()()g x F x x=有最大值为21e ．(1)求n 的值； (2)若2()()e f x xg x >，求实数m 的最小整数值．华南师大附中2023届高三月考（二）数学参考答案一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 二、多项选择题：9．BD 10．BCD 11．BCD 12．ACD 11. 【答案】BCD【详解】易得-1113,2,2n n n n n n n n n a b a a b b b a +++==+=+，且有111,0a b ==，故有11113()n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+⎧⎨−=−⎩，故131n n n n na b a b −⎧+=⎪⎨−=⎪⎩ 故11312312n n n n a b −−⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，进而易判断BCD 正确，A 错误.故选：BCD. 12.【答案】ACD【详解】对于A ，2()3f x x '=，()6f x x ''=，则22 1.56()[1(3)]x K x x =+，又()()K x K x =−，所以()K x 为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A 正确；对于B ，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，()2()2f x ax b f x a '''=+=，，则 1.52|2|()1(2)a K x ax b =⎡⎤++⎣⎦，当且仅当20ax b +=，即2bx a=−时，曲率取得最大值，故B 错误； 对于C ，()cos ()sin f x x f x x '''==−，，()()1.51.522|sin |()(|sin |[0,1])1cos 2x tK x t x x t −===∈+−，当0t =时，()0K x =；当01t <≤时，函数()1.52()2tp t t =−为增函数，所以()p t 的最大值为(1)1p =，故C 正确； 对于D ，2312()()f x f x x x '''=−=，，3 1.542()11x K x x =≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当且仅当1x =时，等号成立，故D 正确．故选ACD ．三、填空题：13.14.915. 2x （答案不唯一） 16. []4,2−− 16.【详解】在等比数列{}n b 中，由142388b b b b ⋅=⇒⋅=，又236b b +=，且公比小于1，323214,2,2b b b q b ∴==∴==，因此242211422n n n n b b q −−−⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由22n nn n n a b a b c +=+－，得到()(){},n n n n n n nn b a b c c a a b ⎧≤⎪=∴⎨>⎪⎩是取,n n a b 中最大值. 4()n c c n N *≤∈，4c ∴是数列{}n c 中的最小项，又412n n b −⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，n a n t =+单调递增，∴当44c a =时，4n c c ≤，即44,n a c a ≤∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足443b a b <≤，即得44341143222t t −−⎛⎫⎛⎫<+≤⇒−<≤− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当44c b =时，4n c c ≤，即4n b c ≤，4b ∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足445a b a ≤≤，即得44145432t t t −⎛⎫+≤≤+⇒−≤≤− ⎪⎝⎭，综上所述，实数t 的取值范围是[]4,2−−，故答案为[]4,2−−.四、解答题： 17．（1）由2cos cos tan 2sin sin B A A B A +=−得2cos cos sin 2sin sin cos B A AB A A+=−，(1分)即222cos cos cos 2sin sin sin B A A B A A +=−，()222cos cos sin sin cos sin B A B A A A ∴−=−−， ()1cos 2B A ∴+=−，(3分)()0A B π+∈，，2π3A B ∴+=，(4分) π3C =∴．(5分) （2）由6a =，π3C =，1sin 2ABC S ab C ∆== 解得2b =，(7分)22212cos 364262282c a b ab C ∴=+−=+−⨯⨯⨯=，c ∴=．(10分) 18．解： (1)122n n a S +=+，① 当2n ≥时，122n n a S −=+，②(1分) ①-②得()1122n n n n n a a S S a +−−=−=，(2分) ∴13(2)n n a a n +=≥，∴13n na a +=，(3分)∵12a =，∴21226a S =+=，∴21632a a ==也满足上式，（4分) ∴数列{}n a 为等比数列且首项为2，公比为3，∴111323n n n a a −−=⋅=⋅.即{}n a 的通项公式为123n n a −=⨯.(5分)(2)由（1）知123n n a −=⨯，所以233n n n n nb a ==，(6分) 令211213333n n n n nT −−=++++，①(7分)得231112133333n n n n nT +−=++++，②(8分) ①-②得23121111333333n n n nT +=++++−(9分)1111331313n n n +⎛⎫− ⎪⎝⎭=−− (10分)1111233n n n +⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ (11分) 所以323443n nn T +=−⨯.(12分) 19．解：（1）m n <；(1分)（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户”为事件M ，则()112101010220C C C 29C 38P M +==，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户的概率是2938；(4分) （3）题图，知A 组“驾驶达人”的人数为1人，B 组“驾驶达人”的人数为2人，(5分) 则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为110，在年龄40岁以上的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为21105=；(6分) 依题意，X 所有可能取值为0，1，2.(7分)则()111801110525P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(8分)()11111311110510550P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(9分)()111210550P X ==⨯=，(10分) 所以随机变量X 的分布列为故X 数学期望为181313()01225505010E X =⨯+⨯+⨯=.(12分)20. 解：（1）法一：取BC AC 、的中点M N 、，连接11,,,AM MN A M A N ∵AB AC =且M 为BC 的中点，则AM BC ⊥(1分) 又∵1AA BC ⊥，1AMAA A =，且1,AM AA ⊂平面1AA M∴BC ⊥平面1AA M (2分)1A M ⊂平面1AA M ，1A M ∴⊥BC (3分)由题意可得1BB BC ⊥，则2BC == ∴222BC AC AB =+，则AB AC ⊥ ∵MN AB ∥，则MN AC ⊥(4分)又∵1AAC △为等边三角形且N 为AC 的中点，则1A N AC ⊥ 1MNA N N =，且1,MN A N ⊂平面1A MN∴AC ⊥平面1A MN1A M ⊂平面1A MN ，则1A M ⊥AC (5分)又ACBC C =，且,AC BC ⊂平面ABC∴1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分) 法二：取BC 的中点M ，连接1,M 由=AB AC 得AM BC ⊥(1分) 又由A A BC A AAM A ⊥１１，＝得BC A AM⊥１平面(2分) 因为A M A AM ⊂１１平面，所以BC A M ⊥１(3分) 由于11//BB AA ，1AA BC ⊥得1BB BC ⊥在1Rt BB C ∆中，2BC ===，112MC BC ==在1Rt A MC ∆中，11A M ===，(4分)同理1AM =在1A AM ∆中，22211+2A M AM A A ==，因此1A M AM ⊥(5分)又由于AM BC M =，所以1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分)（2）如图，以M 为坐标原点，以1MC MA MA ，，所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(7分)则()()()()10,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0A A B C −，∴()()1111,1,0,1,0,1B A BA CA ===−(8分)设平面11A B C 的法向量(),,m x y z =，则11100m B A m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y x z +=⎧⎨−+=⎩ 令1x =，则1,1y z =−=，即()1,1,1m =−(9分) 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =(10分) ∴13cos 33m n m n m n⋅⋅===(11分)即平面11A B C 与平面111A B C .(12分)21．解：（1）由()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点， 得2a =，1b =，即22:14x E y +=；(3分) （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，(4分) 所以设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,M x y ，直线l 的斜率为k ，则(12P x x P C x =−=− 同理(22x PD =−(32x PM =−， 则33122222x x x x PMPMPC PD −−=+−−+ (5分) 设l ：()12y k x −=−，而AB ：12x y +=，联立解得3421k x k =+， 所以342222121k x k k −=−=++ (6分) 联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：()()2224182116160k x k k x k k +−−+−=，(7分) ()()()222=82144116160k k k k k ∆⎡−⎤−+−>⎣⎦解得0k > 所以()12282141k k x x k −+=+，2122161641k k x x k −=+，(8分) 所以()()()1212121212124411222224x x x x x x x x x x x x +−+−+=−=−−−−−−++(9分) ()()2222821441218211616244141k k k k k k k k k k −−+=−=+−−−⨯+++，(11分) 所以()33122222122221x x k x x k −−+=⨯+=−−+，即2PM PM PC PD+=．(12分) 22．解：(1)()ln ()g x x n F x x x +==，定义域为()0,∞+， 21ln ()x n F x x −−='，(1分) 当10e n x −<<时，()0F x '>，当1e n x −>时，()0F x '<，所以()F x 在1e n x −=处取得极大值，也是最大值，(2分) 所以1211()e en n n F x −−+==，解得：1n =−；(3分) (2)()12e ln 1e x m x x −>−，即()3e ln 1x m x x −>−,()3ln 1e x x x m −−>，(4分) 令()()3ln 1e x x x h x −−=，定义域为()0,+∞，()3ln ln e x x x x x h x −'−+=，(5分) 令()ln ln x x x x x ϕ=−+，0x >，则()11ln 11ln x x x x x ϕ=−−+=−'， 可以看出()1ln x x xϕ=−'在()0,+∞单调递减，(6分) 又()110ϕ'=>，()12ln 202ϕ=−<'， 由零点存在性定理可知：()01,2x ∃∈，使得()00x ϕ'=，即001ln x x =，(7分) 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ在0x x =处取得极大值，也是最大值， ()()000000max 01ln ln 111x x x x x x x x ϕϕ==−+=−+>=，(8分) 1112110e e e e ϕ⎛⎫=−++=−< ⎪⎝⎭，7777775717ln ln ln 75ln 022********ϕ⎛⎫⎛⎫=−+=−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()446ln 20ϕ=−<， 故存在101,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120,0x x ϕϕ==，(9分) 所以当()12,x x x ∈时，()0x ϕ>，当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0x ϕ<，所以()3ln ln ex x x x x h x −'−+=在()12,x x x ∈上大于0，在()()120,,x x x ∞∈⋃+上小于0， 所以()()3ln 1e x x x h x −−=在()12,x x x ∈单调递增，在()()120,,,x x +∞上单调递减， 且当e x <时，()()3ln 10e x x x h x −−=<恒成立，(10分) 所以()()3ln 1ex x x h x −−=在2x x =处取得极大值，也是最大值，其中2222ln ln 0x x x x −+=， ()()22222233ln 1ln e ex x x x x h x −−−==，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(11分) 令()3ln e x x x φ−=，7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()31ln e x x x x φ−'−=，当7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()31ln 0ex x x x φ−−=<'， 故()7327ln 21ex φ−<<，所以实数m 的最小整数值为1. (12分)。

2025届高三综合测试（二）物理2024年11月本试卷共6页，15小题，满分100分．考试用时75分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）A．静摩擦力一定不做功，滑动摩擦力一定做负功B．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心C．绕地球做圆周运动的空间站内物体处于完全失重状态，是因为站内重力消失D．物体的速度发生变化，其动能可能保持不变2．如图，半径为R的地球仪上，P0°经线的交点，Q点为赤道与东经90°经线的交点，一只小虫从P点沿0°经线向南爬行t时间到南极点，然后又沿东经90°经线向北爬行t时间到Q点，则（）A．小虫的位移等于2RB．小虫的位移等于4RC．从P到南极点的平均速度大小等于从P到Q全过程平均速度大小的2倍D．从P到南极点的平均速度与从P到Q全过程的平均速度大小相等v从Q点竖直向上抛出，然后用同一只手沿着图乙中的QP路径迅速3．如图甲，儿童将一个石子以初速度捡起P处的石子，该手又沿着PQ路径回到Q点，迅速捡起Q处的石子，同时将抛出的石子在落地前接住．已知某次游戏中P、Q相距40cm，儿童手移动的平均速率为2m/s，不计空气阻力，不计抓石子的时间和手的高度，重力加速度210m /s g =，则0v 至少为（ ）A ．1m/sB ．2m/sC ．3m/sD ．4m/s4．蹦床运动训练中，教练将压力传感器安装在图甲的蹦床上。

华南师大附中2023届高三月考（二）语文试题本试卷共8页，23小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读1（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：由于中西方社会文化的差异以及科学发展历史背景的不同，中国科学家群体在责任、使命以及精神、价值观等方面呈现出显著的独特性，中国科学家精神必然会吸收融合中国传统文化要素，形成科技界独有的气质和传统特征。

中国科学家精神集中体现了科技界的价值追求和文化底色，特别是在科技创新推动人类社会发展的伦理主张中，科技界秉持科技向善这一基本立场，既是中国文化的精华凝练，也是中国作为负责任大国参与国际科技治理的责任和担当。

科学家精神的传播是文化的传播，不应停留在科学信息的传达和科学知识的分发，而应该是全方位的文化渗透。

在科学共同体内部是以科学家精神为核心内容的科技界的自身文化传承；在全社会是以科学家精神涵养社会大众文化，让科学家精神成为中国文化的重要构成。

科学共同体可以归为精神层面的价值共同体。

中国科技界长久以来形成的共同价值观、思想和行为习惯，经历了代际传承和内部交流扬弃，这是科技界自我文化建设的过程。

中国科协2020年科技界作风学风调查显示，中国科技工作者对科学家精神的认知和践行两者之间存在一定差距。

在倡导弘扬爱国、创新、求实、奉献、协同、育人等科学家精神的同时，也要明确科技工作者的科研行为和道德底线，并对两者进行区分。

2015年高考数学 广东卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{1,1}M =-,{2,1,0}N =-,则M N = ( )A. {0，－1}B. {0}C. {1}D. {－1，1} 【参考答案】 C【测量目标】集合交集及其运算 【试题分析】{1}M N = ,故选C.2.已知i 是虚数单位，则复数2(1i)+=（ ） A. －2 B. 2 C.－2i D. 2i 【参考答案】 D【测量目标】复数的乘法运算.【试题分析】22(1i)12i i 12i 1+=++=+-=2i ,故选D.3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. 2sin y x x =+ B. 2cos y x x =-C. 122xxy =+D. sin 2y x x =+ 【参考答案】 A【测量目标】函数奇偶性的判断【试题分析】函数2()sin f x x x =+的定义域为R ,因为(1)1sin1,(1)1sin1f f =+-=- ,所以函数2()sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数2cos y x x =-的定义域为R ,关于y 轴对称,因为22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数2cos y x x =-是偶函数；函数122x xy =+的定义域为R , 关于y 轴对称，因为11()22(),22x x x x f x f x ---=+=+=所以函数122x x y =+是偶函数；函数sin 2y x x=+的定义域为R , 关于原点对称，因为()sin(2)sin 2(),f x x x x x f x -=-+-=--=-所以函数sin 2y x x =+是奇函数.故选A.4 . 若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤, 则23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 2 【参考答案】 C 【测量目标】线性规划.【试题分析】作出可行域如图所示：第4题图作直线0:230,l x y +=再作一组平行于0l 的直线l 经过点A 时,23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得41x y =⎧⎨=-⎩, 所以点A 的坐标为（4 ,－1），所以max z =243(1)5⨯+⨯-=, 故选C.5.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c若2,a c A ===且,b c <则b =（ ）A.B. 2C. D. 3【参考答案】 B【测量目标】余弦定理【试题分析】由余弦定理得：2222cos ,a b c bc A =+-所以2222b =+2b -⨯⨯2, 即2680b b -+=, 解得：2b =或4,b =因为,b c <所以2b =,故选 B. 6. 若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A. l 至少与1l ,2l 中的一条相交B. l 与1l ,2l 都相交C. l 至多与1l ,2l 中的一条相交D. l 与1l ,2l 都不相交 【参考答案】 A【测量目标】空间点、线、面的位置关系.【试题分析】直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，若l 与1l ,2l 都不相交，即1l //l ,2l //l ,即1l //2l ,1l 与2l 在同一平面，与题意不符，则l 至少与1l ,2l 中的一条相交, 故选A.7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1 【参考答案】 B 【测量目标】古典概型【试题分析】5件产品中有2件次品，记为,a b , 有3件合格品，记为,,,c d e 从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(,)a b ,(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c (,),(,),(,),(,),b d b e c d c e(,),d e 恰有一件次品，有6种，分别是(,),(,),(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c b d b e 设事件A =“恰有一件次品”，则)P A （=610=0.6，故选B. 8. 已知椭圆222125x y m+=（m >0）的左焦点为1(4,0),F -则m =( ) A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 【参考答案】 C【测量目标】椭圆的简单几何性质.【试题分析】由题意得：222549,m =-=因为0,m >所以3,m =故选C.9. 在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形, (1,2),AB =-(2,1),AD =则AD AC ⋅= ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【参考答案】 D【测量目标】平面向量的加减运算和坐标运算.【试题分析】因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以(1,2)(2,1)AC AB AD =+=-+=(3,1),-所以AD AC ⋅=231(1)5,⨯+⨯-=故选D.10. 若集合{(,,,)|04,04,04E p q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤且,,,p q r s ∈N},{(,,,)|04,04F t u v w t u v w =<<≤≤≤≤且,,,t u v w ∈N },用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=( ) A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 【参考答案】D【测量目标】推理与证明.【试题分析】当4s =时，,,p q r 都是取0,1,2,3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，,,p q r 都是取0,1,2中的一个,有33327⨯⨯=种,当2s =时,,,p q r 都是取0,1中的一个,有2228⨯⨯=种,当1s =时,,,p q r 都取0,有1种,所以()card E =64+27+8+1=100，当0t =时，u 取1,2,3,4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2,3,4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3,4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有1+2+3+4=10种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F =10⨯10=100，所以()()c a r d Ec a rd F +=100+100=200，故选D.一、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） (一)必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为_________. 【参考答案】 （－4,1） 【测量目标】一元二次不等式.【试题分析】由2340x x +-<得：41,x -<<所以不等式2340x x --+>的解集为 （－4,1），所以答案应填（－4,1）.12. 已知样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，则样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为__________. 【参考答案】 11 【测量目标】均值的性质.【试题分析】因为样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，所以样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为2125111,x +=⨯+=所以答案应填：11.13. 若三个正数,,a b c 成等比数列，其中55a c =+=-则b =__________. 【参考答案】1【测量目标】等比中项.【试题分析】因为三个正数,,a b c成等比数列，所以2(51b ac ==+-=，因为0,b >所以1,b =所以答案应填：1.（二）选作题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2,ρθθ+=-曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为__________. 【参考答案】 （2，－4）【测量目标】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点.【试题分析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28,y x =由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,－4),所以答案应填：（2，－4）. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ,过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB =4，CE=则AD =____________.第15题图【参考答案】 3【测量目标】切线的性质、平行线分线段成比例定理、切割线定理.【试题分析】连接OC ,则OC ⊥DE ，所以OC //,AD 所以,OC OEAD AE=由切割线定理得：2,CE BE AE =⋅所以(4)12,BE BE +=即24120,BE BE +-=解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以263,4OC AE AD OE ⋅⨯===所以答案应填：3.三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. (本小题满分12分)已知tan 2.α= (1)求πtan()4α+的值. （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【测量目标】(1)两角和的正切公式；(2)二倍角的正、余弦公式,同角三角函数的基本关系.【试题分析】（1）tan tantan 1214tan()341tan 121tan tan4παπααπαα++++====----（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--=222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα+---=222sin cos sin sin cos 2cos αααααα+- =22tan tan tan 2ααα+- =222222⨯+-=117. (本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200),[200，220),[220，240),[240，260),[260,280),[280.300]分组的频率分布直方图如图.第17题图(1)求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【测量目标】(1)频率分布直方图；(2)样本的数字特征（众数、中位数）；(3)分层抽样.【试题分析】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）⨯20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+=因为（0.002+0.0095+0.011）⨯20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）⨯20+0.0125⨯（a－220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125⨯20⨯100=25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075⨯20⨯100=15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005⨯20⨯100=10户，月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025⨯20⨯100=5户，抽取比例=111 25151055=+++，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC====第18题图（1）证明：//BC 平面PDA ; （2）证明：BC ⊥PD ; （3）求点C 到平面PDA 的距离.【测量目标】(1)线面平行；(2)线线垂直；(3)点到平面的距离.【试题分析】（1）因为四边形ABCD 是长方形，所以//BC AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以//BC 平面PDA（2）因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PDC ,因为PD ⊂平面,PDC 平面PDC 平面,ABCD CD =所以BC ⊥PD（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ,因为,PD PC =所以PE ⊥CD ，在Rt △PED中，PE因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由（2）知：BC ⊥平面PDC ,由（1）知：//BC AD ，所以AD 垂直平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ,设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为C PDA P ACD V V --=三棱锥三棱锥,所以1133PDA ACD S h S PE ⋅=⋅△△,即ACD PDA S PE h S ⋅=△△=1362342⨯⨯=⨯⨯,所以点C 到平面PDA19.（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，n ∈*N .已知1a =1，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+.（1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式.【测量目标】(1)等比数列的定义；(2)等比数列的通项公式；(3)等差数列的通项公式. 【试题分析】（1）当n =2时，4231458S S S S +=+,即43534(1)5(1)242a +++++= 358(1)124+++，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2)n ≥，即214(2),n n n a a a n +++=≥因为312544164,4a a a +=⨯+==所以24n n a a ++=14n a +，因为2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1111()22n n n a a -+-=，即114,11()()22n n n n a a ++-=所以数列1()2n na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以2(1)442,1()2n n an n =+-⨯=-即1(42)()2n n a n =-⨯，所以数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线L :()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【测量目标】(1)圆的标准方程；(2)直线与圆的位置关系；(3)圆锥曲线与圆的位置关系.【试题分析】 将圆1C ：22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0.（2）设线段AB 的中点()00,M x y ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y mx =（易知直线l 的斜率存在），所以11C M k m ⋅=-，00y mx =，所以000013y y x x ⋅=--，所以200030x x y -+=即22003924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为动直线l 与圆1C 相交，所以2<，所以245m <，所以222200045y m x x =<，所以22000435x x x -<，解得053x >或00x <，又因为003x <≤，所以0533x <≤.所以()00,M x y 满足220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即M 的轨迹C 的方程为223924x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭533x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭. （3）由题意知直线L 表示过定点()4,0T ，斜率为k 的直线结合图形，220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示的是一段关于x轴对称，起点为5,3⎛ ⎝⎭按逆时针方向运动到5,33⎛ ⎝⎭的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P 5,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则3543PT k ==-，而当直线L 与轨迹C32=，解得34k =±.在这里暂取34k =，因为34<，所以PT k k <，第20题图结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或43k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知77k -≤≤或43k =±.综上所述：当77k -≤≤43k =±时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【测量目标】(1)绝对值不等式；(2)函数的单调性；(3)函数的最值和函数的零点. 【试题分析】 （1）()220f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤，当0≤a 时，01≤，显然成立；当0a >时，则有21a ≤，所以12a ≤，所以102a <≤.综上所述，a 的取值范围是12a ≤. (2)()()()2221,212,x a x x a f x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上，所以()f x 在(),a +∞上单调递增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴21122a x a a +==+> ，开口向上，所以()f x 在(),a -∞上单调递减.综上所述：()f x 在 (),a +∞上单调递增，在(),a -∞上单调递减.（3）由（2）得()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以()()2min f x f a a a ==-.（i ）当2a =时，()()min 22,f x f ==-()223,254,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩令()40f x x +=，即()4f x x =-()0x >，因为()f x 在()0,2上单调递减，所以()()22f x f >=-而4y x=-在()0,2上单调递增，()22y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在()0,2上无交点.当2x ≥时，()243f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()()2210x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时()4f x x +有一个零点2x =.（ii ）当2a >时，()()2m i n fx f a a a ==-，当()0,x a ∈时，()024f a =>，()2f a a a =-，而4y x =-在()0,x a ∈上单调递增，当x a =时，4y a=-.下面比较()2f a a a =-与4a -因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=第21题图结合图象不难得当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点.。