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基于太阳影子定位的研究摘要本文研究的是在经纬度、日期、时刻、杆长、影长等变量之间建立起量化关系，构建出模型，能够达到在已知一些量的情况下求解出其余的量。
针对问题一：我们先将各个变量之间有数学表达式建立出关系,然后通过球面三角形的运算公式，借助高度角、赤纬角、时角等相关概念求解出实际问题。
针对问题二：由于无法确定题目给出的数据是如何建立坐标系的，所有就考虑到可以通过建立函数关系和拟合曲线的方式来解决问题。
首先，根据附件坐标，将与其一一对应的影长计算出来，并将这些数据进行拟合后可以发现影子长度与时间所构成的关系式完全满足二次函数，拟合的相关系数为1。
所以由二次函数图象的特殊性，图象的最低点就可以直接取到正午影长L。
再根据时间差与经ZW度差的关系，就可以直接计算出经度。
之后又由于构建了杆长和当地纬度的关系式，进行等量取值后再用matlab软件进行循环处理，每循环一次就可得出一个正午影长，将此时循环得到的影长与之前拟合的影长数进行取差比较，绝对值最小影长对应的纬度就为最后所求的结果。
整个思路主要是避免了由于坐标系不确定而带来的误差。
针对问题三：本题求解经度的方式还是同题二大致一样，都是通过拟合影子长度，获得函数曲线，再由时间差求解经度差。
对于纬度和日期求解采用的是间隔取值的方法，运用matlab软件进行循环，解出不同时间的影子长度，在于附件二、三中计算的影长做比较，计算方差，由最小方差来确定最合适的解。
针对问题四：本问题中只给了一段视频，所以要通过2D图的坐标转换成3D 空间坐标。
先假设相机光学中心所在的平面坐标系以及摄像机平面与直杆所在平面的法向量，通过视频间隔时间段截图，获取每幅图上影子端点、直杆与地面的交点以及直杆顶点的二维坐标，通过转换可得到影子端点在像平面的坐标与真实的影子端点的坐标之间的关系，将影子端点在像平面的坐标转换成真实坐标，然后再对数据进行处理得出要求的地点。
最后，我们对模型进行了优缺点分析，以及下一步要进行的工作.关键词数据拟合；循环计算；Matlab；数图分析；一、问题重述A题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
太阳影子定位技术数学建模(共12页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-利用影长变化来定位的方法研究摘要本文基于太阳的运动学规律，设计出了一套符合于题目要求的模型。
首先，我们利用地球自转与地球公转的运动规律将影子分成东西方向和南北方向的分量，然后分别表示出南北分量上与东西分量影子长度的变化，发现在南北方向上影子的长度在一天中不会发生变化（可以忽略不计），影子长度产生变化的主要原因是地球产生自转，分别建立了模型一、模型二、模型三解决问题一、问题二、问题三和问题四的一部分。
模型一：首先分析了太阳直射点在不同的时间段直接影响正午太阳直射杆的影子的长度，然后建立模型来刻画影子长度的变化，求得函数关系式，并用MATALAB给出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线；模型二：利用影子分量的变化规律，建立方程，通过MAPLE中多项式的求解方法，算出经度值与纬度值，从而确定杆的位置；模型三：因为附件2没有给出了日期、只给出了横纵坐标，所以在模型二的基础上，我们通过解方程组可以得到地理纬度和太阳直射点纬度，然后通过太阳直射点纬度解出第几天，从而确定日期。
关键词经纬度东西方向分量南北方向分量定位方法一、引言、问题重述如何通过太阳影子长度的变化来估计杆所在的位置、时间研究发现太阳影子长度的变化遵循着某种函数规律，我们的目标就是想通过研究这种规律来进行定位和确定日期。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
我们小组对这个方法进行了探究。
二、问题的解决问题一模型的建立建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
太阳影子变化模型作者：王菁来源：《速读·上旬》2016年第06期摘要：本文给出了物体在太阳照射下影子长度随太阳高度角及太阳方位角变化的动态规律，并建立了相关数学模型，运用matlab绘制出了北京天安门广场上午9时至下午15时影子长度变化曲线（如图2.1）及影子轨迹变化曲线（如图2.2）。
关键词：经纬度，太阳高度角，太阳方位角，太阳时角，matlab仿真1问题的提出2015年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛A题“太阳影子定位”问题中要求建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
这一赛题由国防科学技术大学的吴孟达教授及刘易成博士提供。
对于该问题，关键在于建立影子长度变化模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。
首先想到影子长度变化受到太阳位置和经纬度的影响。
本文首先分析了太阳高度角及方位角的变化，由高度角和影子长度的三角函数关系建立影子长变化模型，由太阳高度角投影作用下得到影子轨迹移动图形；然后考虑到由于不同经纬度影响下影子变化规律各异，因此运用matlab 编制程序得到了不同经纬度下影子变化规律图；最后分析影子了变化规律与经纬度的联系，全面的求解了问题。
2太阳影子长度及轨迹数学模型2.1模型假设在建立模型时，作者首先对问题进行了仔细的分析，为排除建模时一些次要因素的影响，作者对问题进行了如下的合理假设。
2.1.1假设数据真实可靠2.1.2假设太阳光传播不受空气折射率的影响2.1.3假设一年有365天，即平年2.1.4假设相机拍摄角度对视频效果的影响可忽略不计2.1.5假设相机与被拍摄物体间的空间距离不影响拍摄效果2.2模型的建立2.2.1太阳高度角和太阳方位角的计算[2]太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角，而太阳方位角则指太阳直射光线在地平面上的投影线与地平面正南向所夹的角，通常以南点为，向西为正值，向东为负值，如图2.1所示。
基于变步长搜索和分层次搜索的太阳影子定位技术摘要本文主要研究如何利用太阳影子变化规律以实现位置确定。
用影响影子长度的多种参数建立数学模型，进而对各参数如何影响影子长度，各参数之间的关系进行确定，从而绘制影子长度变化曲线，并且可以根据影子顶点坐标数据反向确定直杆的位置及数据采集日期。
而对于问题一中直杆的影子长度的变化曲线求解问题，本文建立了由太阳赤纬，太阳高度角，固定直杆的高度，以及观测日的时刻这些参数所构建的数学模型，得到了在直杆高度，观测地点已知的情况下，影长在确定时间内变化的图像，呈现一个近似抛物线型非对称的变化图。
并在后面与实际情况进行对比，论证了其余参数对于直杆的影长的变化影响的合理性。
对于问题二中已知数据采集日期求解直杆所处的地点问题，本文根据不同地点在两个时刻的直杆影长之比存在差异这一现象，将相邻时刻的影长作比，并利用最小二乘法定义匹配指标，提出了变步长搜索的方法，这样保证模型准确性的基础上，降低了算法的时间复杂度。
最后求解得到的直杆可能所处的地点（108.52°E, 19.19°N)，该点位于海南岛。
然后应用此模型代入问题一中的影长数据，进行了验证，相对误差极小，说明模型的准确度比较高。
然后又对影长数据进行了白噪声干扰，最后与真实结果的均方误差0.01的数量级上，所以模型的抗干扰性还是比较强的。
问题三中要求同时估计数据采集日期和地点。
本文在模型二的基础上提出了分层次搜索算法，首先进行粗略匹配，排除完全不可能的日期，而后进行精细的搜索，提高搜索精度，筛选出可能的采集日期和地点。
最后利用此模型找到附件2可能的地点为（78.9705°E, 40.0043°N）。
该点位于新疆境内；同时，利用附件3中的数据，对采集日期和地点进行了估计，最终找到了两个可能地方，分别是（113.65°E, 32.3043°N）位于河南境内，与（106.15°E, 32.9227°N）位于陕西境内。
基于搜索算法的太阳影子变化建模
作者：刘婵江伟
来源：《科技风》2017年第06期
摘要：如何确定视频的拍摄地点和日期是视频数据分析的重要方面。
本文旨在2015年数学建模A题数据资料前提下建立基于搜索算法的太阳影子变化模型。
首先通过建立地平坐标系，利用太阳高度角和太阳方位角来定位太阳的影子，并联立太阳高度角，太阳方位角，赤纬角，时角等的计算公式，得到影子长度的变化模型一，使用MATLAB软件编程求解模型，计算出影子长度以及变化的曲线图。
然后对数据进行分析发现影子的长度是先减小后增大，在11时44分达到最小值3.8411m，在15时达到最大值7.7393m，太阳高度角则先增大后减小并与影子长度呈相反的增长过程，影子长度最短时太阳高度角达到最大值37.991°，影子长度最长时达到最小值21.1878°，而太阳方位角则随时间增长而变大，最后对影子长度的变化曲线图进行了拟合，误差（MSE）不超过10-2。
关键词：太阳影子；太阳高度角；太阳方位角；MATLAB
1 问题的提出与分析
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的一个非常重要的技术，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化规律来确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
如何建立影子长度变化的数学模型来计算出某固定地点直杆太阳影子的变化曲线，并找到影子长度关于各个参数的变化规律。
由于太阳和地球半径差别很大，故在可假定地球是一个球体，位置不动，仅仅考虑太阳公转来建立地平坐标系，根据公式的推导借助软件计算影子的长度以及画出曲线图并分析。
2 定义与符号说明
3 模型的建立与求解
3.1 模型假设
1）地球自转忽略不计，仅考虑地球公转。
2）地球为规则球体。
3）附件数据真实无误差。
3.2 地平坐标系的建立
尽管地球绕着太阳运行，但由相对运动，在地球上看却是太阳在天空中运动。
为了精确描述太阳在天空中的运动和位置，由于太阳和地球半径差别很大，故在本文中假定地球是一个球体，位置不动，仅仅考虑太阳公转来建立地平坐标系，以地平面为xoy平面，以直杆底端的端点为原点，以直杆的方向为z轴，这样就可以用太阳高度角和太阳方位角来确定太阳天空中所处的位置，如下图所示：
其中xoy面表示地平面，原点o为直杆底部顶点，h为太阳高度角（即太阳直射光线与地平面间的夹角），A为太阳方位角（即太阳直射光线与地平面正北向所夹的角）。
3.3 分析与建模
模型的分析和建立分为以下几个步骤：
3.3.1太阳高度角h的计算
其中，
φ表示纬度，即某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，其数值在0至90度之间；
δ表示太阳赤纬角，即地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角；
Ω表示时角，即在地球赤道平面上的投影与当地时间12点时、地中心连线在赤道平面上的投影之间的夹角。
3.3.2太阳方位角A的计算
其中δ表示太阳赤纬角；Ω表示时角。
3.3.3太阳赤纬角δ的计算
其中n表示积日，例如从2015年1月1日到2015年10月22日之间的积日n=295天。
3.3.4时角Ω的计算
其中真太阳时ST=北京时间t+时差，时差=（120-当地经度）/15。
3.3.5影长与直杆长度的关系
图一中直杆的高度为H=3m，太阳影长为L，满足如下关系式：
3.3.6太阳影子投影分量之间的关系
影子长度在x、y轴方向上的投影分别为x、y，则有：
将以上（1）至（6）式联立，可建立由当地时间、经度、纬度计算太阳影子长度的模型一，如下所示：
3.4 模型的求解
将2015年10月22日9：00——15：00这一时间段按3分钟为单位进行划分（参考了附件中时间的划分方式），通过如下MATLAB程序对模型一进行求解（软件版本号为
7.0.1.），画出随时间变化的影子长度图如下图所示：
为了便于分析各个参数对影子长度的影响，同时将太阳高度角和太阳方位角随时间变化的曲线与图二曲线放在一起进行分析：
从图三很容易观察到：随着时间的推移，影子的长度是先减小后增大，在11时44分达到最小值3.8411m，在15时达到最大值7.7393m，太阳高度角则先增大后减小并与影子长度呈相反的增长过程，影子长度最短时太阳高度角达到最大值37.991°，影子长度最长时达到最小值21.1878°，而太阳方位角则随时间增长而变大。
3.5 影子长度曲线拟合
从图三可以看出，由影子的轨迹图像，关于最低点是左右对称的，从以下的影子轨迹线形成图四中也可以观察出来，也就是说影子的轨迹图像与某个抛物线的形状很接近，因此，可对影子曲线轨迹进行二次函数拟合。
以时间t为自变量，以影子长度为因变量，使用MATLAB程序对影子曲线图进行二次函数拟合，得出拟合函数为：
拟合图如下所示：
由于样本数量较多，故在误差估计时计算的是均方差的数值，均方差（MSE）=8.9*10-3，拟合效果较好。
l（t）是一个抛物线，关于时间11时45分对称，即为拟合出的当地正午时间，与图二的真实正午时间相差一分钟，说明拟合的效果比较好，符合实际情况。
参考文献：
[1] 郑鹏飞，林大钧，刘小羊，吴志庭.基于影子轨迹反求采光效果的技术研.自然科学版，2010，8.
[2] 王国安，米鸿涛，邓天宏，李亚男，李兰霞.太阳高度角和日出时刻太阳方位角一年变化范围的计算.气象与环境科学，2007，9.
[3] 汪晓银，周保平.数学建模与数学实验.科学出版社，2012，8.
通讯作者：江伟。
