四川省成都石室中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学理试题+Word版含答案

成都石室中学2017—2018学年度下期高2019届半期考试历史试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分。

满分100 分，考试时间100 分钟。

考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共48 分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卷上。

2．本卷共24 小题，每小题 2 分，共计48 分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，并填涂在答题卷的相应位置。

一、选择题（共48 分，每题2分，每题只有一个正确选项）1. 伯利克利时代雅典的法庭每次审理案件时，在公民中抽签产生500 人组成的法庭陪审团、负责监督原告和被告发言时间的水时计监督人、法庭主持人、监票人也由抽签产生。

审理中原告和被告各发言两次，最后由陪审团以两轮投票的多数票作为审判的结果。

这一审判过程 A．保证了司法的公正性 B．开始司法权的平民化C．体现了雅典民主特征D．容易滋生多数人暴政2．对于雅典人进行的民主政治试验，西方人的意见从来就不一致，在古典世界，它就有理想政体和民众暴政两副截然不同的面孔。

这表明( )A．民主范围有限引发社会分裂B．民主力量和贵族斗争激烈C．奴隶制下民主缺乏社会基础D．直接民主存在着制度缺陷3.罗马法最初很注重形式，规定正式的买卖要有5 个以上的证人，1 个司秤，举行一定的仪式，非常麻烦。

因此，罗马人就创造出一种拟诉弃权的办法，就是买卖双方伪装打官司，用假装诉讼的办法来使买方(原告)取得所有权，以避免法律的繁琐程式。

这表明A. 罗马人注重以法律保护私产B．罗马人试图逃脱法律的约束C．罗马法注重形式、缺乏灵活D．早期的罗马法体系过于繁杂4．《十二制表法》中规定，在进行财产交易时，当事人要说出规定的套语，至于这种套语的言辞是否反映了当事人的真实意思，法律不予过问，只要交易的仪式符合要求，即使当事人的交易协议是在受欺骗情况下达成的，也不影响法律效力。

这说明当时在罗马( ) A．公民法不重视对私有财产的保护B．经济领域容易出现法律漏洞 C．对法律的随意解释影响司法公正D．公民法具有形式主义的特征5．在古希腊早期文学作品中，国王和神明之间的关系就像一般人和国王之间的关系一样。

四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}24|0log 1,|40A x x B x x =<<=-≤，则AB =（ ）A ．()0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．(]1,2 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得{}{}|14,|22A x x B x x =<<=-≤≤，所以{|12}A B x x =<≤，故选D.考点：集合的运算.2.设x R ∈，且0x ≠，“112x⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“11x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充要条件的应用.3.已知动点P 到点()2,0M -和到直线2x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线左支C ．一条直线D ．圆 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设(,)P x y ，因为动点P 到点()2,0M -和到直线2x =-的距离相等，即PA d =，2x =+，化简得0y =，所以动点P 的轨迹是一条直线，故选C. 考点：轨迹方程的求解.4.下列结论中，正确的是（ ）A ．“2x >”是“220x x ->”成立的必要条件B ．命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为假命题C ．命题“2:,0p x R x ∀∈≥”的否定形式为“200:,0p x R x ⌝∃∈≥”D ．已知向量,a b ,则“a b ”是“0a b +=” 的充要条件 【答案】B考点：命题的真假判定.5.如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的3a =,则输入的,a b 分别可能为（ ）A ．15,18B ．14,18C ．13,18D ．12,18 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，执行程序后，输出的3a =，则执行该程序框图前，输入,a b 的最大公约数是3，分析选项中的四组数，满足条件的选项A ，故选A. 考点：程序框图.6.过抛物线24y x =的焦点作两条垂直的弦,AB CD ,则11AB CD+=（ ） A ． 2 B ．4 C ．12D ．14【答案】D考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.7.过点()1,1M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点, 且点M 平分弦AB ,则直线AB 的方程为（ ） A ．4370x y +-= B ．3470x y +-= C ．3410x y -+= D ．4310x y --= 【答案】B 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得：222211221,14343x y x y +=+=，两式相减可得：12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，又211212212,2,y yx x y y k x x -+=+==-，所以12123()34()4x x k y y +=-=-+，所以直线AB 的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选B.考点：直线与椭圆的位置关系的应用.8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．43【答案】D考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图，得出是一个三棱锥，确定三棱锥的底面积和高是解答问题的关键.9.已知正方体1111ABCD A BC D 的棱长为2,E 是棱11C D 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF 平面11A BC ,则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A ．92B ．．．【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，分别取1111,,,,CC BC AB AA A D 的中点,,,,G H M N K ，并连同点E 顺次连接，根据EG 为11C CD ∆的中位线，可得1//EG CD ，而11//CD A B ，所以1//EG A B ，因为1A B ⊂平面11,A BC EG ⊄平面11A BC ，所以//EG 平面11A BC ，同理可证，,,,,GH HM MN NK KE 都平行与平面11A BC ，由题意得，点F 的轨迹为正六边形EGHMNK ，该正六边形EGHMNK 的边长为，所以该正六边形EGHMNK 的面积为016(60)2⋅= C.考点：线面位置关系的应用.10.如图所示,,,A B C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且BF CF =,则该双曲线的离心率是（ ）A ．32 D ．3【答案】A 【解析】试题分析：由题意得可得在直角三角形ABF 中，OF 为斜边AB 上的中线，即有222AB OA OF c ===,设(,)A m n ，则222m n c +=，又22221m n a b -=，解得2b m n c==，即有22),()b b A BA c c-，又(,0)F c ，由于BF AC ⊥且BF CF =，可设(,)C x y ，考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质.11.已知函数()cos sin 2f x x x =,下列结论中不正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x 既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】试题分析：对于A 中，因为()()()cos sin2cos sin2fx x x x x πππ+=++=-，则()()()cos sin2cos sin2f x x x x x πππ-=--=，所以()()0f x f x ππ++-=，可得()y f x =的图象关于(,0)π中心对称，故A 正确；对于B ，因为()cos()sin 2()sin (sin 2)222f x x x x x πππ+=++=-- sin sin 2x x =，()cos()sin 2()sin sin 2222f x x x x x πππ-=--=，所以()()22f x f x ππ+=-，可得()y f x =的图象关于2x π=中心对称，故B 正确；对于C ，化简得()2cos sin22cos sin f x x x x x ==22sin (1sin )x x =-，令()()2sin ,2(12),11t x f x g t t t t ===--≤≤，因为()22(1)g t t t =-的导数()2262(1)(1)g t t '=-=，所以当(1,t ∈-或t ∈时，()0g t '<，函数()g t 为减函数；当()33t ∈-时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，因此函数()g t 的最大值为1t =-或3t =时的函数值，结合()10g g -=<=()g t ，由此可得()f x 的最大值为D ，因为()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数，因为(2)cos(2)sin(42)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，所以2π为函数的一个周期，得()f x 为周期，可得()f x 既是奇函数，又是周期函数，所以正确，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质及三角函数的最值问题，其中解答中涉及到三角函数的解析式、三角函数的奇偶性、三角函数的单调性和周期性等知识点的综合考查，着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数的图象的对称性等知识，体现了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.设奇函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,且在()0,+∞上()2'f x x <,若()()()331113f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦,则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B考点：函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.211dx x+=⎰⎰． 【答案】ln 24π+考点：定积分求解曲边形的面积.14.在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中, 斜率为()0k k >的直线交椭圆于左顶点A 和另一点B ,点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若椭圆离心率13e =,则k 的值为_ ． 【答案】23【解析】试题分析：因为椭圆的离心率为13e =，所以13c a =，所以1,33c a b a ==，因为点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，所以点2(,)b B c a ，又(,0)A a -，所以22829133b a a kc a a a ===++.考点：椭圆的几何性质.15.若直线:1l y kx =+与圆22:230C x y x +--=交于,A B ,则AB 的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，直线:1l y kx =+恒经过定点(0,1)，当直线l 和过(0,1)的直径垂直时，AB 取得最小值，此时圆心为(1,0)到(0,1)的距离d =AB ==.考点：直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的弦长公式、两点间的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，根据直线与圆的位置关系，得到当直线l 和过(0,1)的直径垂直时，AB 取得最小值是解答的关键.16.已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ,M 在直线PF 上, 且满足0OM PF =,则PM PF= ．【答案】12考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、渐近线方程和直线、双曲线的位置关系以及共线向量的坐标表示等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把直线的方程代入双曲线的方程，求解点P 的坐标是解得难点和一个易错点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且2441,1,a a S ++成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设112n n n n na ab a a ++=+-,求数列{}n b 的前n 项和为n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）421n nn T =+．考点：等差数列的通项公式及数列求和.18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值.【答案】（1）3C π=；（2）a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】考点：正弦定理；余弦定理.19.（本小题满分12分）如图 1，在等腰梯形ABCD 中,1,2,602BCAD BC AD A ==∠=,E 为AD 中点, 点,O F 分别为,BE DE 的中点, 将ABE ∆沿BE 折起到 1A BE ∆的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE (如图 2).（1）求证:1AO CE ⊥； （2）求直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值； （3）侧棱1AC 上是否存在点P ,使得BP 平面1AOF ？若存在，求出11A PAC 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）1113A P AC =． 【解析】试题分析：（1）要证1AO CE ⊥，只需证明1AO ⊥平面BCDE 即可；（2）以O 为原点,1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设平面1ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，根据法向量与平面的两个向量的数量积为零，解得()3,1,1n =-，进而可求解直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值；（3）假设在侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1A OF ,设[]11,0,1A P AC λλ=∈，由四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，结合（1）可知，CE ⊥平面1AOF，得到()1,CE =-为平面1AOF 的一个法向量．据此可求解11APAC 的值. 因为2BC =,易知(()()()11,1,0,0,,1,0,0OA OC A B C E ==∴-,()()(1111,0,3,0,3,3,1,0,,A B AC A E ∴=-=-=- 设平面1ACE 的一个法向量为(),,n xy z =, 由1100n AC n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得00x =-+=⎪⎩,即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z =,得()3,1,1n =-,设直线1A B 与平面1ACE 所成角为θ,则1sin cos ,A B n θ-====所以直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值为5. （3）假设在侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1AOF ,设[]11,0,1A P ACλλ=∈,因为1111BPBA A P BAAC λ=+=+,所以((()BP λ=-+=-. 易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥,又由（1）可知，1,AO CE CE ⊥∴⊥平面()1,1,AOF CE ∴=-为平面1AOF 的一个法向量． 由()()1,3,331,3,0130BP CE λλλ=----=-=,得[]10,13λ=∈,所以侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1AOF ,且1113A P AC =. 考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成的角；空间向量的运算. 20.（本小题满分12分）已知函数()xf x e x =-.（1）求()f x 的极小值；（2）对()()0,,x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的极小值为1；（2）(),1e -∞-． 【解析】试题分析：（1）求解函数的导数()'1xf x e =-，判定函数的单调性，即可求解()f x 的极小值；（2）当0x >时,1x e a x -> 恒成立，令()1,0xe g x x x=->，求解()'g x ，得出函数的单调性，求解函数()g x 的最小值，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：（1）()'1xf x e =-()f x 的极小值为1.（2）当0x >时,1x e a x -> 恒成立. 令()1,0xe g x x x =->,则()()21'x e x g x x-=,()()min 11g x g e ==-,实数a 的取值范围是(),1e -∞-.考点：利用导数研究函数的单调性与极值；恒成立问题的求解.21.（本小题满分12分）定圆(22:16M x y ++=,动圆N 过点)F且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）设点,,A B C 在E 上运动,A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时, 求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）y x =或y x =-. 【解析】试题分析：（1）因为4NM NF FM +=>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,a c ==1b =，从而可求解轨迹E 的方程；（2）分类讨论，直线AB 的方程为y kx =，代入椭圆的方程，求出,OA OC ，表示出ABC S ∆=2OAC S OA OC ∆=⋅，利用基本不等式求最值，即可求解直线AB 的方程.当且仅当 22144k k +=+,即1k =±时等号成立，此时ABC ∆面积最小值是85. 82,5ABC >∴∆面积最小值是85,此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到基本不等式的运用，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，其中此类问题解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系是解答此类问题的关键.22.（本小题满分12分）已知曲线 ()()()ln f x x a x a R =+∈在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）求a 的值；（2）若[)()()21,,1x f x m x ∀∈+∞≤-恒成立，求实数m 的取值范围；（3）求证：11111ln 1...,2223n n N n n+++≤++++∈. 【答案】（1）1y x =-；（2）12m ≥；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求导数，曲线 ()()ln f x x a x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直，即可求解a 的值；（2）设()1ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，则()'g x ，分类讨论，利用()()1,,0x g x ∀∈+∞≤恒成立，结合函数的单调性，即可求解实数m 的取值范围；（3）由(2)知,当1x >时,12m =时, 11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立，不妨令21,21k x k N k *+=∈-，进而得到221121214ln 212212141k k k kk k k k ++-⎛⎫∴<-= ⎪--+-⎝⎭,由此可得证.(3) 当1n =时,11≤, 当2n ≥时, 在11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭中, 令1k x k =-得()11ln2,121k k k k k k ⎛⎫<+≥ ⎪--⎝⎭()()()22111111ln 2,1ln 112211221n nk k k k k k k k k k k k k ==⎡⎤+-<≥++-<+⎢⎥----⎣⎦∑∑, 即11111ln 1...,2223n n N n n*++≤++++∈. 考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性与极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中涉及到导数的运算、函数恒成立问题的求解、不等关系的证明等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时解答中注意转化思想的应用，试题有一定的难度，属于难题.。

5n = 0s =While 15s < s s n =+ 1n n =- EndPr int nEnd（第9题）四川省成都市石室中学高二年级期中考试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x2．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是 ①②③④ .4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人， 剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ．502255．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ， 1sin ,:>∈∃⌝x R x p 6．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为14。

7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是 ▲ ． (－∞，0)∪[3，＋∞）8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_________2572_____9．右边程序执行后输出的结果是 010．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)必要不充分11． 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：甲 乙5 69 6 7 0 99 8 1 8 3 6 85 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11甲、乙同学中 数学成绩发挥比较稳定.12．若存在实数[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为 13x x <->或 。

⎨⎩ 成都石室中学 2017—2018 学年度下期高 2019 届半期考试数学试卷（理科）（时间：120 分钟 满分：150 分） 一.选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．每小题只有一个正确选项．1. 已知集合 P {x | x2 x 2 0}, Q {x | ln x 1} ,则 P Q （ ）A ． (0,1]B ． [2, e)C ． (0, 2]D ． (1, e)2. 记复数 z 的共轭复数为 z .已知 (1 2i) z 4 3i ,则 z ( )A ． 2i B ． 2 i C ． 2 i D ． 2 i3. 在 ( x 21 )8 的展开式中常数项是（ ） 3 xA ．-28B ．-7C ．7D ．284. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是（ ）A. 129B. 126C. 128D. 2565. “ x R , x2 bx 1 0 成立”是“ b 0,1 ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件x y 46. 设实数 x, y 满足约束条件 x y 2, 则目标函数 zx 1 0yx 1的取值范围是（ ） A ． (, 1 ] [0, 3 ]B． [ 1 , 3 ]C. [ 1 , 1 ]D．[ 1 , 3 ]2 2 4 2 2 4 2 27. 已知数列an 的前 n 项和 Sn a1（ a 是不为 0 的实数），则an ( )A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列18. 设 e1 ,e2 ,e3 是单位向量，且 e3e1 k e2 ， k 0 .若以向量 e1 ,2e2 , e1 e 2 为三边的三角形的面积为 1 ，则 k 的值为（）2A． 22B． 32C． 52D． 729. 将函数 f ( x) 3sin(2x ) 图象向右平移个单位长度，得到函数 y g(x) 的图象，则6 6y g(x) 图象的一条对称轴是（）A． x12B． x6C． x3D． x 2310. 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是（）2A．B． 4 C． 2 22 211.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (x 1) f (1 x) ，且当 x 0,1时， f (x) ex .那么函数 F (x) 1 f (x) cos x 在区间2, 4上的所有零点之和为（）2A．0 B．2 C.4 D．6x2 y 212. 已知 F1、F2 是双曲线 2 2a b1(a 0, b 0) 的左右焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 M ，与双曲线交于点 N ，且 M、N 均在第一象限，当 MF1 // ONx时，设双曲线的离心率为 e ，若函数 f ( x) ，则 f (e) （）x3 2x2 25 1A． B．5 23C. D．13二.填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 已知正实数 a, b 满足 2a b 1 ,则 1 2 的最小值为a b14. 2 位教师和 4 名学生站成一排合影，要求 2 位教师站在中间两位，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为（结果用数字表示）.15.已知 sin() sin 43 , 0 ,则 cos =3 5 22 216.已知曲线 C1 的方程为 x y1，过平面上一点 P1 作 C1 的两条切线，切点分别为 A1 、B1 ,且满足A1P1B1 ,记 P1 的轨迹为 C2 ，过一点 P2 作 C2 的两条切线，切点分别为 A2 、 B2 满3足A2 P2 B2 ,记 P2 的轨迹为 C3 ，按上述规律一直进行下去…….记 an3An An 1 max ，bnAn An 1 min ,则 (a1 b1 ) (a2 b2 ) (a10 b10 )三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分 12 分）在ABC 中， a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边，且3(b2 c2 ) 3a2 2bc .（Ⅰ）若 sin B2 cos C ，求 tan C 的大小；（Ⅱ）若 a 2 ，ABC 的面积 S2且 b c ，求 b, c .218.（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2 ，对角线 AC 、 BD 交于点 O ， DE 平面 ABCD .（Ⅰ）求证： AC BE ；2（Ⅱ）若ADC, DE 2 , BE 上一点 F 满足 OF // DE ，求直线 AF 与平面 BCE 所成3角的正弦值 .19.（本小题满分 12 分）卫生部门为了对全省水果超市的“水果防腐安全”进行量化评估，现采取抽样的方法得到了其中 16 个超市量化评分（总分 10 分）情况，如下表所示．（Ⅰ）现从这（Ⅱ）以这 16 个水果超市评分数据来估计全省所有水果超市的水果质量，将频率视为概率.若从全省的水果超市中任选 3 个进行量化评估，记 X 表示抽到评分不低于 9 分的超市个数，求 X 的分布列及数学期望．20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : x2 y21(a b 0) 的离心率 e3 ，且椭圆 C 的a2 b2 2下顶点 E 到直线 x ay 3 0 5 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点 M , N 均在椭圆 C 上，点 N 在第一象限，点 A 为椭圆的右顶点，若 ON OM ，| ON |且 ON∥MA ，求| MA |的值．21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ex x 1, x R（Ⅰ）求函数 f ( x) 的极值；（Ⅱ） F (x) a( f (x) x 1) a 1 2 (a 0) ，若对于任意的 x (0, ) ，恒有 F (x) 0 成立，x求 a 的取值范围；1 1 1(III) 求证： (1 )(1 ) (1 ) 2, n N .3 32 3nx 2 t22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y 2 t（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C ： 2 sin．（Ⅰ）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）记射线 0, 0 π与直线 l 和曲线 C 的交点分别为点 M 和点 N（异于点2ONO ），求OM的最大值．。

四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分。

） 1、在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B 等于( )A 、a b c +-B 、a b c -+C 、a b c -++D 、a b c -+-2、函数()sin xf x x e =+，则()'0f 的值为( )A 、1B 、2C 、3D 、03、已知m n 、表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A 、若,m n αα，则m n B 、若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C 、若,m m n α⊥⊥，则n α D 、若,m m n α⊥，则n α⊥4、函数()()1ln xf x x x =>的单调递减区间是( )A 、(1,)+∞B 、2(1,)e C 、(1,)e D 、(,)e +∞ 5、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E F 、分别是1CC AD 、的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( )A、 B、 C 、45 D 、236、已知函数()sin f x x x =-，若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()()120f x f x +>， 则下列不等式中正确的是( ) A 、12x x > B 、12x x < C 、120x x +> D 、120x x +<7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是( )A 、3B 、92C 、32 D 、28、若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ）A 、()0,1 B 、(]0,1 C 、()1,+∞ D 、[)1,+∞9、甲、乙两人约定在下午4:305:00间在某地相见，且他们在4:305:00之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以 离去，则这两人能相见的概率是（ ）A 、34B 、89C 、716D 、111210、如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且1,2AB AC BD ===，则CD 的长为( ) A 、2 B、1 11、已知函数()32f x ax bx cx d=+++的图象如图所示，则12b a ++的取值范围是( )A 、21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D 、31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭12、已知曲线()21:0,0C y tx y t =>>在点4,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与曲线12:1x C y e +=-也 相切，则24lne t t 的值为（ ） A 、24e B 、8e C 、8 D 、2 二、填空题（每小题5分，共20分。

四川省成都石室中学2017-2018学年高二数学4月月考试题文（时间：120分钟满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．1.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( ) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大4．如右图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( ) A．相关系数r变大 B．残差平方和变大C．相关指数R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强5．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数6．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人7．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①② C．①③② D．②③①8．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′ C ．y ′＝13cos x ′2 D ．y ′＝13cos 2x ′9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 310．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝112．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为常数．若f (x )在(1，＋∞)上是减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞) B．[e ，＋∞) C．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝14．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据以上式子可以猜想第n (n ≥2)个不等式为 （用正整数n 表示）15.已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则椭圆C 1的离心率为 .16．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，2()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程为_____.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ＜2π)．（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆C的公共点的极坐标．18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．19.（本小题满分12分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：（Ⅰ）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（Ⅱ）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i－x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －，20．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD 中， AB ＝3, BC ＝4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影E 落在BC 上． （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥A －BCD 的体积．21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)22A -，离心率为22，点12,F F 分别为其左右焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（Ⅱ）若24y x =上存在两个点,M N ，满足2,,M N F 三点共线，椭圆上有两个点,P Q ，满足2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．22.（本小题满分12分）已知函数()()()ln 11axf x x a R x=+-∈-. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若11x -<<时，均有()0f x ≤成立，求实数a 的所有取值组成的集合.参考答案（时间：120分钟满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．1.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )解析：选D 在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( ) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大．因此，A、C、D都不正确．4．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )A．相关系数r变大 B．残差平方和变大C．相关指数R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．5．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数解析：选C 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.6．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 解析：选C7．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的序号顺序为( )A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.8．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′ C ．y ′＝13cos x ′2 D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cosx ′2.9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.10．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选C 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c .11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →，∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6a 2.∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.12．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为常数．若f (x )在(1，＋∞)上是减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞) B．[e ，＋∞) C．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 答案A f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x－a ，由题意得，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )≤0恒成立，即x ∈(1，＋∞)时a ≥1x恒成立，则a ≥1.因为g ′(x )＝e x－a 在(1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )>g ′(1)＝e －a .又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则必有e －a <0，即a >e.综上，a 的取值范围是(e ，＋∞)．二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝解析：∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a＝－3(舍)．【答案】 314．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据以上式子可以猜想第n (n ≥2)个不等式为 （用正整数n 表示）解析：观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1。

四川省成都市石室中学2017—2018学年高二上期期中考试数学试题（理科）1. 若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，可设抛物线的方程为，因为其准线方程为，焦点坐标为，解得，所以抛物线的方程为，故选D．2. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. 不存在，【答案】A【解析】因为命题“，”是特称命题，所以特称命题的否定是全称命题，得“，”的否定是：“，”，故选A．3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由椭圆图象可知，...........................根据三角形面积公式，故选B4. 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，所以设双曲线的方程为，把点代入，得，所以双曲线的方程为，故选D．5. 三棱锥中，点，分别在，上，且，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，故选B.6. 将曲线按：变换后的曲线的参数方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由变换：可得：,代入曲线可得：，即为：令 (θ为参数)即可得出参数方程。

故选：D.7. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设点在x轴上方,坐标为，∵为等腰直角三角形∴||=||,即=2c,即故椭圆的离心率e=.故选C.8. 如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．其中一定正确的选项是（）A. ①③B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B【解析】如图所示：①连接，则分别为的中点，所以，所以，所以共面，所以直线与不是异面直线，所以错误；②因为平面平面平面，所以直线与直线是异面直线，所以是正确的；③由①知，因为平面平面，所以直线平面，所以正确；④假设平面平面，过点作分别交于点，在上取一点，连接，所以，又，所以．若时，必然平面与平面不垂直，所以不正确，故选B．9. 椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得．取P点坐标为，，，cos∠F1PF2==．故选A．10. “”是“对任意的正数，”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据基本不等式，我们可以判断出“”?“对任意的正数x，2x+≥1”与“对任意的正数x，2x+≥1”?“a=”真假，进而根据充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“a=”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+≥1”一定成立，即“a=”?“对任意的正数x，2x+≥1”为真命题；而“对任意的正数x，2x+≥1的”时，可得“a≥”即“对任意的正数x，2x+≥1”?“a=”为假命题；故“a=”是“对任意的正数x，2x+≥1的”充分不必要条件故选A视频11. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则，∴设平面BED的一个法向量为，则，取z=1,得，平面ABE的法向量为，∴.∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.故选B.点睛：用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；12. 点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题分析：由题意知在抛物线上，设，则有，化简得，当时，符合题意；当时，，有，，则，所以选D．考点：1、点到直线的距离公式；2、抛物线的性质．【方法点睛】本题考查抛物线的概念、性质以及数形结合思想，属于中档题，到点和直线的距离相等，则的轨迹是抛物线，再由直线与抛物线的位置关系可求；抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决．13. 在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为__________．【答案】4【解析】两点，，在同一条直线上，点在第四象限，点在第二象限.所以.答案为：4.14. 若，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当m=0时，符合题意。

成都石室中学2017—2018学年度上期高2019届10月月考数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为两点关于时，则两点的横坐标、竖坐标相同，纵坐标互为相反数，故点关于平面对称的点的坐标是。

选D。

2. 若表示两条直线，表示平面，下列说法中正确的为（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】对于选项A，与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。

对于选项B，与可能平行、相交、垂直，故B不正确。

对于选项C，由线面垂直的定义可得必有，故C正确。

对于选项D，与可能相交、平行或异面，故D不正确。

选C。

3. 空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，。

选B。

4. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知2b=2,2c=2,∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,...........................5. 直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则又，所以或。

即直线的倾斜角的取值范围为。

选B。

6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线的焦点为，离心率为，所以椭圆的离心率。

设椭圆的标准方程为，则，解得。

所以椭圆的方程为。

选A。

7. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A. B. C. 21 D. 18【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体，截去两个侧棱互相垂直的正三棱锥，侧棱长为1，所以该几何体的表面积为，故选A．考点：1、空间几何体的三视图；2、多面体的表面积．8. 在正三棱柱中，点为的中点，点是线段上的动点，则关于点到平面的距离说法正确的是（）A. 点运动到点时距离最小B. 点运动到线段的中点时距离最大C. 点运动到点时距离最大D. 点到平面的距离为定值【答案】D【解析】如图，取的中点，连。

成都石室中学下期高二数学理科期中考试试卷参考公式： 球的表面积24S R π=，其中R 为球半径 球的体积343V R π=，其中R 为球半径锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高第 I 卷一、选择题：(本题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1.222234C C C ++=A 20B 17C 11D 10 2.10(1)x -的展开式的第六项的系数是A 610CB 610C - C 510CD 510C -3.点(1,1)-到直线10x y -+=的距离是A2B 2C 32D 124.在下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中,真命题是A 若l β⊂，αβ⊥，则l α⊥.B 若l β⊥，//αβ，则l α⊥.C 若m αβ=，//l m ，则//l α D 若l β⊥，αβ⊥，则//l α.5.在正方体1111ABCD A BC D -中，与面对角线1AD 成60的面对角线有 A 10条 B 8条 C 6条 D 4条6.设坐标原点为O ，过点(,0)M m 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，若0OA OB ⋅=， 则m =A 4B 3C 2D 17.若(3)nx y +的展开式的系数和等于10(7)a b +的展开式的二项式系数之和，则n 的值是 A 15 B 10 C 8 D 5 8.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中大于20000且不是5的倍数的五位数的个数是A 96B 78C 72D 369.五个旅客入住3个不同的房间，每个房间至少入住1人，则不同的入住方法有 A 60 B 90 C 150 D 3001A 1CB10.如图，在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点， 且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球 的表面积是A 12πB 32πC 36πD 48π11.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 长为定值. 则下面的四个值中，不．为定值的是 A 点P 到平面QEF 的距离 B 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C 二面角P EF Q --的大小 D 三棱锥P QEF -的体积12.点P 为四面体SABC 的侧面SBC 内的一点，若侧面．．SBC 内．的 动点P 到底面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 在侧面SBC 内的轨迹是A 椭圆的一部分B 椭圆或双曲线的一部分C 双曲线或抛物线的一部分D 抛物线或椭圆的一部分 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.不等式组004312x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩所表示的区域内的整点个数是 .14.以等腰直角三角形斜边上的高为棱把它折成直二面角，则折成后两直角边的夹角为 .15.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，给出下列三个条件： ① 11A B AC ⊥ ； ② 11A B B C ⊥ ；③ 1111B C AC =； 利用①②③中的任意两个作为条件，另外一个作为结论， 可以构造出三个命题，其中正确命题的个数是 .16.已知在平面直角坐标系中，坐标原点(0,0)到直线1(0)x yab a b+=≠的距离可记为，在空间直角坐标系中，坐标原点(0,0,0)到平面1(0)x y zabc a b c++=≠的距离可记为，则类比到n 维超空间，坐标原点(0,0,,0)到n 维超平面11221(0,1,2,,)n n i a x a x a x a i n +++=≠=的距离为 .第 II 卷 (非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. ， 14. ，15. ，16. .1B 1CAS三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17(本小题满分12分)用1，2，3，4，5这五个数字中的三个组成没有重复数字的三位数． (I)不同的三位数有多少个？(II)若所组成的三位数中既含有奇数数字，又含有偶数数字，则不同的三位数有多少个？18 (本小题满分12分)已知22)(*)nn N x ∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比为10:1． (I)求n 的值；(II)求展开式中含32x 的项.19(本小题满分12分)在直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，90ACB ∠=，,E F 分别是,BA BC 的中点，G 是1AA 上一点，且1AC EG ⊥.(I)求AG 的长；(II)求直线1AC 与平面EFG 所成的角θ的大小.GB 1A 1AB20(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的等边三角形，侧面11ABB A 是160A AB ∠=的菱形，且平面11ABB A ⊥平面ABC ，点M 是11A B 上的动点.(I)当点M 是11A B 的中点时，求证：BM ⊥面ABC ； (II)当二面角1A BM C --的平面角最小时， 求三棱锥1M ACB -的体积．21(本小题满分12分)如图，梯形ABCD 中，//CD AB ，12AD DC CB AB a ====，E 是AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置，且二面角P DE C --的大小为120︒. (I)求证：DE PC ⊥；(II)求点D 到平面PBC 的距离；(III)求二面角D PC B --的大小.22(本小题满分14分)一斜率为1的直线l的双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>交于,P Q 两点，直线l 交y 轴于R 点，且3OP OQ ⋅=-，3PR RQ =。

四川省成都石室中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项． 1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A ．实数分为有理数和无理数 B ．π不是有理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．有理数都是有限循环小数 2．sin xdx π⎰的值为（ ）A ．2πB ．πC ．1D ．2 3．用反证法证明“如果整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( )A. 假设a ，b ，c 都是偶数B. 假设a ，b ，c 都不是偶数C.假设a ，b ，c 至多有一个偶数D. 假设a ，b ，c 至多有两个偶数 4．曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ）A ．2y x ππ=-+B ．2y x ππ=+C ．2y x ππ=--D ．2y x ππ=- 5．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立6．已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈．若()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞-7．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ） A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人8．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞9．已知四棱锥ABCD S -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为18，则球O 的表面积等于（ ） A ．π18 B ．π36 C ．π54 D ．π7210．已知函数()()221,101,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则()11f x dx -=⎰（ ）A. 3812π-B. 3412π+C. 44π+D. 3412π-11．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ） A.213 B. 213 C. 13 D. 1312．若关于x 不等式32ln x x x x x ae -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [,e +∞） B. [0,+∞） C. 1[,e+∞） D. [1,+∞） 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，()f x '为()f x 的导函数，(1)2f '=，则a = .14．由曲线2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）和2y x =+围成的封闭图形的面积等于___________15．已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆()221412x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上，则PQ 的最小值为________.16．已知函数321()3f x x x ax =++，若1()x g x e =，对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12()()f x g x '≤成立，则实数a 的取值范围是________.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ()2sin cos ρθθ=-，直线的参数方程为：212x ty t=+⎧⎨=-+⎩(为参数) .（1）写出圆C 和直线的普通方程；（2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线的距离的最小值.18．已知函数a x x x x f +++-=12434)(23. （1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若1-=a ，求)(x f 在区间]32[，-上的最大值和最小值.19．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，,E F 分别是11A C ，11B C 上的点，且满足11A E EC =，113B F FC =．（注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.） （1）求证：平面AEF ⊥平面11BB C C ；（2）设直三棱柱111ABC A B C -的棱均相等，求二面角1C AE B --的余弦值．20．已知函数()(22)xf x x e -=-，若方程()a f x =有两根12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当02x <<时，求证：(2)(2)f x f x +<- （3）证明：421>+x x .21．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值．22．已知函数()()()2,ln 11ax bxf xg x x x +==++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是5410x y -+= （1）求,a b 的值；（2）若当[)0,x ∈+∞时，恒有()()f x kg x ≥成立，求k 的取值范围； （35 2.2361=，试估计5ln4的值（精确到0.001）参考答案（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项． 1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A ．实数分为有理数和无理数 B ．π不是有理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．有理数都是有限循环小数【解析】演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C. 【答案】C 2．sin xdx π⎰的值为（ ）A ．2πB ．πC ．1D ．2 【答案】D3．用反证法证明“如果整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( )A. 假设a ，b ，c 都是偶数B. 假设a ，b ，c 都不是偶数C.假设a ，b ，c 至多有一个偶数D. 假设a ，b ，c 至多有两个偶数【答案】B【解析】反设时“至少有一个”的否定是“都不是”． 4．曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ）A ．2y x ππ=-+ B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2y x ππ=- 【答案】A考点：利用导数求切线方程.5．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n ＝4时该命题成立，则n ＝5时该命题成立；而n ＝5时该命题不成立，却无法判断n ＝6时该命题成立还是不成立，故选C.6．已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈．若()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞- 【答案】A 【解析】试题分析：123)(2'++=ax x x f ,由题意得当)31,32(--∈x 时'''2()073()0,,14()03f f x a f ⎧-≤⎪⎪≤∴∴≥⎨⎪-≤⎪⎩,故选A.7．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ） A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 【答案】C8．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞【答案】B9．已知四棱锥ABCD S -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为18，则球O 的表面积等于（ ） A ．π18 B ．π36 C ．π54 D ．π72 【答案】B【解析】：由题意正方形ABCD 的中心就是球心O ，当四棱锥S ABCD -体积最大时，SO ⊥平面ABCD ，此时31122218323V r r r r =⨯⨯⨯⨯==，3r =，2244336S r πππ==⨯=球．故选B ．10．已知函数()()221,101,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则()11f x dx -=⎰（ ）A. 3812π-B. 3412π+C. 44π+D. 3412π-【答案】B11．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ） A.2133 B. 2135 C. 135 D. 133【答案】D12．若关于x 不等式32ln x x x x x ae -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [,e +∞） B. [0,+∞） C. 1[,e+∞） D. [1,+∞） 【答案】B本题选择B 选项.二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，()f x '为()f x 的导函数，(1)2f '=，则a = .【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.14．由曲线2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）和2y x =+围成的封闭图形的面积等于___________【答案】92【解析】所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为2y x =，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为1,2x x =-=，结合图象可得：()222321-111922|232S x x dx x x x -⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭⎰ 15．已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆()221412x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上，则PQ 的最小值为________. 【答案】3512-16．已知函数321()3f x x x ax =++，若1()x g x e =，对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12()()f x g x '≤成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,8]e-∞-考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ()2sin cos ρθθ=-，直线的参数方程为：212x ty t =+⎧⎨=-+⎩(为参数) .（1）写出圆C 和直线的普通方程；（2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线的距离的最小值.解：（1）由已知()2sin cos ρθθ=-得()22sin cos ρρθρθ=-，所以2222x y y x +=-，即圆C 的普通方程为：()()22112x y ++-=. …………3分由212x ty t=+⎧⎨=-+⎩,得12(2)y x =-+-，所以直线的普通方程为250x y --=. …6分（2）方法一：由圆的几何性质知点P 到直线的距离的最小值为圆心C 到直线的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线的距离为d ，则()2211585521d ⨯---==+，………9分 所以最小值525-分 方法二：令()12,12P ϕϕ-++，………………………………………………7分设点P 到直线的距离为d .()()2212cos 12sin 522cos 2sin 8521d ϕϕϕϕ⨯-+-+---==+20.()10cos 810852555ϕα+-=≥=-10分18．已知函数a x x x x f +++-=12434)(23. （1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若1-=a ，求)(x f 在区间]32[，-上的最大值和最小值.解：(1)2()48124(1)(3)f x x x x x '=-++=-+⋅-令()0f x '< 得 13x x <->或∴函数()f x 的单调减区间为(,1)3-∞-+∞和（，）………………5分（2）当1a =-，则324()41213f x x x x =-++- 由（1）知 2()48124(1)(3)f x x x x x '=-++=-+⋅- 令()0f x '= 得13x x =-=或x [)2,1--1-(]1,3-()f x '+0 -()f x↑ 极大值↓5(2)3f -= 23(1)3f -=- (3)35f =………………10分∴max ()35f x = min 23()3f x =-………………12分19．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，,E F 分别是11A C ，11B C 上的点，且满足11A E EC =，113B F FC =．（注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.）（1）求证：平面AEF ⊥平面11BB C C ；（2）设直三棱柱111ABC A B C -的棱均相等，求二面角1C AE B --的余弦值．【命题意图】本题主要考查空间平面与平面的垂直关系、运用空间向量求二面角，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力、逻辑推证能力、计算能力．（2）以A 为坐标原点，以1,AA AC 分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．………6分设直三棱柱111ABC A B C -的棱均为2，则(0,0,0)A ，(3,1,0)B ，(0,1,2)E ， 所以(0,1,2)AE =，(3,1,0)AB =．………8分 设1(,,)x y z =n 是平面ABE 的一个法向量，则由1100AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得2030y z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则1(2,23,3)=--n ．………9分易知平面1AEC 的一个法向量2(1,0,0)=n ，………10分 所以121212219cos ,||||1919⋅<>===-⋅n n n n n n ．…………11分 由图易知，二面角1C AE B --为锐角，二面角1C AE B --的余弦值为21919…12分20．已知函数()(22)xf x x e -=-，若方程()a f x =有两根12,x x ，且12x x <. （1）求a 的取值范围；（2）当02x <<时，求证：(2)(2)f x f x +<- （3）证明：421>+x x .解：（1）由()(22)xf x x e -=-得：(24)()xx f x e -'=0=，2x = ()f x 在(,2)-∞上减，在(2,)+∞上增. min 22()(2)f x f e-==,因为(1)0f =,x →+∞时, ()0f x → 所以, a 的取值范围是22(,0)e -………5分 (2) 证明:由（1）知: ()f x 在(,2)-∞上减，在(2,)+∞上增.而12()()a f x f x ==,所以1202x x <<< 令()F x =(2)(2)f x f x --+,02x <<所以()(2)(2)F x f x f x ''=---+=22()x x x e e e --0>………9分()F x 在(0,2)上为增, ()(0)0F x F >=所以当02x <<时， (2)(2)f x f x +<-………9分(3)证明:由(2) 02x <<时， (2)(2)f x f x +<-,考虑12(0,2)x -∈代入得:11(4)()f x f x -<,结合12()()f x f x =知: 12(4)()x f x -<因为142x ->,22x >,而()f x 在(2,)+∞上增. 所以: 124x x -<.得421>+x x .………12分21．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值．∴当21=k 时，23)21()(max ==ϕϕk ， 即⋅的最大值为32.22．已知函数()()()2,ln 11ax bxf xg x x x +==++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是5410x y -+=（1）求,a b 的值；（2）若当[)0,x ∈+∞时，恒有()()f x kg x ≥成立，求k 的取值范围； （3）若5 2.2361=，试估计5ln4的值（精确到0.001） 解： (1)f(x)=ax 2+2ax+b(x+1)2由题意：f (1)=3a+b 4= 54 f(1)=a+b 2= 32解得：a=1,b=2………………3分(2)由（1）知：f(x)=x 2+2xx+1 由题意：22ln(1)1x x k x x +-++≥0对0x ≥恒成立。