小学奥数 组合之排除法 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

六年级奥数—包含与排除（含答案）A卷1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图10-1，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是平分厘米。

2.一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都有借语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有人。

3.某班有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有人。

4.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最少人，最多有人。

5.某校有500名学生报名参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数为人。

6.全班有48人，每人至少订有一份《小学生报》或一份《少年先锋报》。

张老师在统计订报纸人数的时候，发现有38人订了《小学生报》，42人订了《少年先锋队》。

请你算一算，有同学订了两种报纸。

7.文凤小学五年级（1）班的同学都到学校图书馆借科技书和故事书，有45人借了科技书，35人借了故事书，30人既借了科技书，又借了故事书，这个班共有名学生。

8.有两个正方形，一个边长是4厘米，一个边长是6厘米。

把他们按如图10-2放置。

中间重叠的部分是一个边长为2厘米的小正方形。

被这两个正方形盖住的面积是。

9.在1~100中，是2或3的倍数的整数一共有个。

10.五年级（1）班有46人，其中有12人没有参加语文竞赛和数学竞赛。

参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有18人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有人。

B卷1.在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么甲班共有人。

1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．模块一、排列之计算教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】23326P =⨯=． 【答案】6【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =． 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n=，2m=，根据排列数公式，一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P=⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】l～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个．【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）． 【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29，对应的十位数字取07，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17，十位数字取39，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n mP C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n nC C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元知识要点 教学目标7-5-3.组合之排除法素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例 1】 在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？【考点】组合之排除法 【难度】2星 【题型】解答【解析】 先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有91090⨯=个，四位数中，千位是1，百位和个位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，1010100⨯=个，但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位与个位相同的数共有9099189+=个，所以，百位数与个位数不相同的自然数有：189********-=个．【答案】1707【例 2】 1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从问题的反面考虑：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，不发生进位？这样的数，个位数字有2种可能(即0，1)，十位数字有3种可能(即0，1，2)，百位数字有4种可能(即0，1，2，3)，千位数字有2种可能(即0，1)．根据乘法原理，共有234248⨯⨯⨯=个．注意上面的计算中包括了0(=0000)这个数，因此，1到1999的自然数中与5678相加时，不发生进位的数有48147-=个所以，1到1999的自然数中与5678相加时，至少发生一次进位的有1999471952-=个．【答案】1952【巩固】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有99999900-=个，其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，根据乘法原理，一共有554100⨯⨯=个数，所以与456相加产生进位的数一共有900100800-=个数．【答案】800【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 千位数小于等于1，百位数小于等于1，十位数小于等于3，个位数小于等于3，应该有2244163⨯⨯⨯-=种可以不进位，那么其他2004631941-=个数都至少产生一次进位．【答案】1941【例 3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？【考点】组合之排除法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6．我例题精讲们可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数．三位偶数共有450个，我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含6的三位偶数共有⨯⨯=个,则至少出现一个6的三位偶数有450498162-⨯⨯=个．498288【答案】162【例 4】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

1.使學生正確理解組合的意義；正確區分排列、組合問題；2.瞭解組合數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數與排列數之間的關係；4.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數問題進行歸納總結，重點掌握組合的聯繫和區別，並掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．一、組合問題 日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這裏，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從n 個不同元素中取出m 個(m n ≤)元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關．如果兩個組合中的元素完全相同，那麼不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從n 個不同元素中取出m 個元素(m n ≤)的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個不同元素的組合數．記作m n C ．一般地，求從n 個不同元素中取出的m 個元素的排列數n m P 可分成以下兩步： 第一步：從n 個不同元素中取出m 個元素組成一組，共有m n C 種方法；第二步：將每一個組合中的m 個元素進行全排列，共有m m P 種排法．根據乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅． 因此，組合數12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 這個公式就是組合數公式．知識要點教學目標7-5-3.組合之排除法二、組合數的重要性質一般地，組合數有下麵的重要性質：m n m n n C C -=(m n ≤)這個公式的直觀意義是：m n C 表示從n 個元素中取出m 個元素組成一組的所有分組方法．n m n C -表示從n 個元素中取出(n m -)個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從n 個元素中選出m 個元素的分組方法恰是從n 個元素中選m 個元素剩下的(n m -)個元素的分組方法．例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即3255C C =．規定1n n C =，01n C =．對於某些有特殊要求的計數，當限制條件較多時，可以先計算所有可能的情況，再從中排除掉那些不符合要求的情況．【例 1】 在100~1995的所有自然數中，百位數與個位數不相同的自然數有多少個？【考點】組合之排除法 【難度】2星 【題型】解答【解析】 先考慮100～1995這1896個數中，百位與個位相同的數有多少個，在三位數中，百位與個位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有91090⨯=個，四位數中，千位是1，百位和個位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，1010100⨯=個，但是要從中去掉1999，在100～1995中，百位與個位相同的數共有9099189+=個，所以，百位數與個位數不相同的自然數有：189********-=個．【答案】1707【例 2】 1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，至少發生一次進位？【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從問題的反面考慮：1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，不發生進位？這樣的數，個位數字有2種可能(即0，1)，十位數字有3種可能(即0，1，2)，百位數字有4種可能(即0，1，2，3)，千位數字有2種可能(即0，1)．根據乘法原理，共有234248⨯⨯⨯=個．注意上面的計算中包括了0(=0000)這個數，因此，1到1999的自然數中與5678相加時，不發生進位的數有48147-=個例題精講所以，1到1999的自然數中與5678相加時，至少發生一次進位的有1999471952-=個．【答案】1952【巩固】所有三位數中，與456相加產生進位的數有多少個？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】與456相加產生進位在個位、十位、百位都有可能，所以採用從所有三位數中減去與456相加不產生進位的數的方法更來得方便，所有的三位數一共有99999900-=個，其中與456相加不產生進位的數，它的百位可能取1、2、3、4、5共5種可能，十位數可以取0、1、2、3、4共5種可能，個位數可以取0、1、2、3共4種可能，根據乘法原理，一共有554100⨯⨯=個數，所以與456相加產生進位的數一共有900100800-=個數．【答案】800【鞏固】從1到2004這2004個正整數中，共有幾個數與四位數8866相加時，至少發生一次進位？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】千位數小於等於1，百位數小於等於1，十位數小於等於3，個位數小於等於3，應該有2244163-=個數都至⨯⨯⨯-=種可以不進位，那麼其他2004631941少產生一次進位．【答案】1941【例 3】在三位數中，至少出現一個6的偶數有多少個？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】至少出現一個“6”，意思就是這個三位偶數中，可以有一個6，兩個6或三個6．我們可以把這三種情況下滿足條件的三位數的個數分別求出來，再加起來；也可以從所有的三位偶數中減去不滿足條件的，即減去不含6的三位偶數．三位偶數共有450個，我們先來計算不含6的偶數的個數，不含6的偶數，個位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其餘9個數字，百位可以是除6，0以外的8個數字，因此不含6的三位偶數共有-⨯⨯=個．⨯⨯=個,則至少出現一個6的三位偶數有450498162498288【答案】162【例 4】能被3整除且至少有一個數字是6的四位數有個。

简单的排列问题教学目标1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m（m n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m （m n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做 P n m．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2 ：从剩下的（ n 1）个元素中任取一个元素排在第二位，有（n 1）种方法；步骤m ：从剩下的 [n （m 1）]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有 n （m 1） n m 1 （种）方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m个元素的排列数是 n（n 1）（n 2）（n m 1），即P n m（n n 1）（. n 2）（n m 1），这里，m n，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n的情况，排列数公式变为 P n n n（n 1）（n 2） 3 2 1 ．表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为 n!，读做n的阶乘，则 P n n还可以写为： P n n n! ，其中 n! n（n 1）（n 2） 3 2 1 ．例题精讲模块一、排列之计算巩固】 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 考点】简单排列问题 【难度】 2 星 【题型】解答 解析】 4 个人到照相馆照相，那么 4 个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从 4 个元素中选 4个，排成一列的问题．这时 n 4， m 4 ．由排列数公式知，共有 P 444 3 2 1 24 （种 ）不同的排法． 答案】 24巩固】 9名同学站成两排照相，前排 4人，后排 5 人，共有多少种站法？ 考点】简单排列问题【难度】 3 星 【题型】解答 解析】 如果问题是 9名同学站成一排照相， 则是 9个元素的全排列的问题， 有P 99种不同站法． 而问题中， 9 个人要站成两排，这时可以这么想，把 9 个人排成一排后，左边 4个人站在前排，右边 5 个人站在后 排，所以实质上，还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有 P 999 8 7 6 5 4 3 2 1 362880 （种 ）不同的排法． 方法二：根据乘法原理 ,先排四前个，再排后五个． 【考简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答【解析】 由 排列数公式 P n m （n n 1）（. n 2）（ n m1）知： 2 ⑴ P 5 4 20⑵ P 74 7 6 5 4 840 ,P 73 7 6 5 210 ，所以 P 74 P 73 840 210 630 ．【答案】 ⑴ 20 ⑵ 630【巩固】 计算：⑴ P 32 ；⑵ 32 P 6 P 10 ． 【考点】 简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答【解析】 2 ⑴ P 3 2 6 32 ⑵ P 63 P 120 6 5 4 10 9 120 90 30 ． 【答案】 ⑴6 ⑵ 30 【巩固】 计算：⑴ P 134 P 124 ； ⑵ 3P 65 P 33 ． 【考点】 简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答【解析】32 ⑴ P 134 P 142 14 13 12 14 13 2002 ； 53 ⑵ 3P 65 P 33 3 (6 5 4 3 2) 3 2 1 2154 ． 【答案】 ⑴ 2002 ⑵ 2154模块二 、排列之排队问题【例 2】 有 4 个同学一起去郊游， 照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？ 相时 3 人站成一排 )【考点】 简单排列问题 【难度】 2 星 【 题型】解答【解析】 由于 4 人中必须个人拍照，所以，每张照片只能有 3 人，可以看成有 3个位置由这 3 人来站 ．由 于要选一人拍照，也就是要从四个人中选 3 人照相，所以，问题就转化成从四个人中选 3人，排在 3 个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法． 由排列数公式，共可能有： P 434 3 2 24 （种）不同的拍照情况． 也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有： P 444 3 2 1 24 （种） 不同的拍照情况．答案】 24例 1】 计算：⑴ P 52 ；⑵ P 74 P 73． （45p 9 p 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 362880答案】 362880巩固】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？ 考点】简单排列问题【难度】 3 星 【题型】解答 解析】 由 于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且 n 4 ．由全排列公式，共有 P 444 3 2 1 24 （种）不同的站法． 答案】 24 巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照 “全家福 ”， 5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少 种不同的站法？考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答 解析】 由 于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且 n=4 ．4 由全排列公式，共有 P 444 3 2 1 24 （种）不同的站法．答案】 24 例 3】 5 个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有 _ 种？考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】学而思杯， 4 年级，第 8 题解析】 5个人全排列有 5! 120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是 60 种 答案】 60 种 例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠 不同的车票． 考点】简单排列问题 【难度】 3 星解析】 P 124 14 13 182 （种 ）． 答案】 182 例 5】 班集体中选出了5 名班委， 他们要分别担任班长， 有多少种不同的分工方式？ 考点】简单排列问题 【难度】 3 星 解析】 P 55120 （种）．答案】 120 例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信 号？考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答解析】 这 里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的 问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关， 而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中 n 5 ， m3． 由排列数公式知，共可组成 P 535 4 3 60 （种）不同的信号． 答案】 60巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少 种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答2【解析】 P 323 2 6 ． 【答案】 614 个车站 （包括北京和上海 ），这条铁路线共需要多少种题型】解答学习委员、 生活委员、 宣传委员和体育委员． 问【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成 P333 2 1 6 （种）不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有 3 种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2 种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是： 3 2 16（种）．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】 6模块三、排列之数字问题【例7】用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】这是一个从 8个元素中取4个元素的排列问题，已知 n 8， m 4 ，根据排列数公式，一共可以组成 P848 7 6 5 1680 （个）不同的四位数．【答案】 1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、 6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 P63120 ．【答案】 120【例8】用0、1、2 、 3 、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是 0 不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有 P42种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是： 4 P4248 （个）．（法2）：从 0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是 0 的．从320 、1 、2 、 3 、4 这五个数字中任选三个数字的排列数为P53，其中首位是 0 的三位数有 P42个．三位数的个数是：32P53P425 4 3 4 3 48 （个）．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．答案】 48例9】用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】个位数字已知，问题变成从从 5 个元素中取2个元素的排列问题，已知 n 5 ，m 2 ，根据排列数公式，一共可以组成 P525 4 20 （个）符合题意的三位数．答案】 20巩固】用 1、2、 3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4， 6中选一张，有 3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5 张中选二张，有 P525 4 20 （种）选法．由乘法原理，一共可以组成 3 20 60 （个）不同的偶数．．答案】 60例10】由0，2， 5， 6， 7 ， 8组成无重复数字的数，四位数有多少个？考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P646 5 4 3 360 ，由于 0不能在千位上，而以 0为千位数的四位数有 P535 4 3 60 ，它们的差就是由 0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为： 360 60 300 个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是： 5 5 4 3 300 （个）．答案】 300例11】用1、2、 3、4 、 5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？考点】简单排列问题难度】 4 星题型】解答解析】按位数来分类考虑：⑴ 一位数只有1个 3 ；⑵ 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P222 1 2（个）不同的两位数，共可组成 2 4 8 （个）不同的两位数；⑶ 三位数：由1，2与 3；1， 3与 5；2，3与4； 3，4与5 四组数字组成，每一组可以组成3P333 2 1 6 （个）不同的三位数，共可组成 6 4 24（个）不同的三位数；⑷ 四位数：可由1，2，4， 5这四个数字组成，有 P444 3 2 1 24 （个）不同的四位数；⑸ 五位数：可由1，2，3，4， 5组成，共有 P555 4 3 2 1 120 （个）不同的五位数．由加法原理，一共有 1 8 24 24 120 177 （个）能被 3整除的数，即 3的倍数．答案】 177例12】用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 20000大且百位数字不是 3的无重复数字的五位数？考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】解答解析】可以分两类来看：⑴ 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有P444 3 2 1 24（种）放法，对应 24 个不同的五位数；⑵ 把 2，4，5放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3个数字可以选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3个数位上，有 P336 种选择．由乘法原理，可以组成 3 3 6 54 （个）不同的五位数．由加法原理，可以组成 24 54 78 （个）不同的五位数．答案】 78巩固】用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687 是第几个数？考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】解答解析】从高位到低位逐层分类：⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0 ~ 9中除千位已确定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3个的排列问题，所以百、十、个位可有 P939 8 7 504（种）排列方式．由乘法原理，有 4 504 2016 （个）．⑵ 千位上排 5 ，百位上排 0 ~ 4 时，千位有1 种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从 8个元素中取2 个的排列问题，即 P828 7 56 ，由乘法原理，有 1 5 56 280 （个）．⑶ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0，1，2，3，4 ， 7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有 1 1 6 7 42 （个）．⑷ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8时，比 5687 小的数的个位可以选择 0，1，2，3，4共 5个．综上所述，比 5687 小的四位数有 2016 280 42 5 2343 （个），故 5687是第2344 个四位数．答案】 2344例13】用数字l～8各一个组成8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___ 种组成方法．考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】填空关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7 题解析】 l ～8中被三除余 1和余 2 的数各有 3个，被 3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以 3位周期”，所以 8个数字，第 1、4、7位上的数被 3除同余，第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3整除，第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144 种方法.【答案】144种【例14】由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列． 2008 排在个．【考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】比 2008小的4位数有 2000和2002 ，比 2008小的3位数有 2 3 3 18 （种），比 2008小的2位数有2 3 6 （种），比 2008小的1位数有2（种），所以 2008排在第 2 18 6 2 1 29 （个）．【答案】 29【例15】千位数字与十位数字之差为 2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为 2: 9 ，对应的十位数字取 0: 7 ，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2 个作百位和个位就2行了，因此总共有 8 P82个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取 1: 7 ，十位数字取3: 9，共有 7 P82个这样的四位数．所以总共有 8 P827 P82840 个这样的四位数．【答案】 840模块四、排列之策略问题【例16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0 数码组成，且四个数码之和是 9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】四个非 0数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑 6的位置就可以了， 6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4 种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3种选择，剩下的位置放1，共有4 3 12（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似， 3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4 种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成 4 12 12 12 12 4 56（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试 56 次．【答案】 56【例17】幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把 3把椅子看成是 3个位置，而 6名小朋友作为 6 个不同元素，则问题就可以转化成从 6 个元素中取 3个，排在 3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有： P636 54 120（种）不同的坐法．【答案】 120【巩固】幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】与例 5 不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把 6 把椅子看成是 6个元素，而把 3名小朋友作为 3个位置，则问题转化为从 6把椅子中选出 3把，排在 3 名小朋友面前的排列问题．3由排列公式，共有： P636 5 4 120（种）不同的坐法．答案】 120巩固】 10个人走进只有 6 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】把 6辆碰碰车看成是 6个位置，而 10 个人作为 10个不同元素，则问题就可以转化成从 10 个元素中取 6 个，排在 6 个不同位置的排列问题．共有 P10610 9 8 7 6 5 151200 （种）不同的坐法．答案】 151200例18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D ，E ，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E 以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4 个人对应4 个位置，有 P444 3 2 1 24（种）排列．由乘法原理， 424 96 ，故一共有 96 种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有P555 4 3 2 1 120（种）排列方式，E 能做中锋一共有P444 3 2 1 24（种）排列方式，则E 不能做中锋一共有 P55P44120 24 96 种不同的站位方法．答案】 96例19】小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?考点】简单排列问题【难度】 3 星【题型】解答解析】我们将 10块大白兔奶糖从左至右排成一列 ,如果在其中 9个间隙中的某个位置插入“木棍”则,将 lO 块糖分成了两部分．我们记从左至右 ,第1部分是第 1天吃的,第 2部分是第 2天吃的 , ⋯，如 : ○○○ | ○○○表○示○第○一○天吃了 3 粒 ,第二天吃了剩下的 7 粒：○○○○ | ○○表○示第| 一○天○吃○了 4粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3粒．不难知晓 ,每一种插入方法对应一种吃法 ,而 9 个间隙 ,每个间隙可以插人也可以不插入 ,且相互独立，9故共有 29=512 种不同的插入方法 ,即 512 种不同的吃法．答案】 512。

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)知识要点教学目标7-5-2.组合的基本应用（二）这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01nC =．模块一、组合之几何问题【例 1】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形． 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题． 由组合数公式：⑴ 可画出221010221094521P C P ⨯===⨯(条)直线段． ⑵ 可画出331010331098120321P C P ⨯⨯===⨯⨯(个)三角形． ⑶ 可画出44101044109872104321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯(个)四边形． 【答案】⑴21045C = ⑵310120C = ⑶410210C =【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，由组合数公式，2101094521C ⨯==⨯，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．【答案】45【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选出3个点的选法，等于3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．【答案】3735C =【例 2】 平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 分三类：①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯个；例题精讲②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯(个)；③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯个．根据加法原理，可确定909020200++=个三角形． ⑵ 两点可以确定两条射线，分三类： ①共线的6点，确定10条射线；②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2665223021C ⨯⨯=⨯=⨯(条)射线； ③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272⨯⨯=(条)射线．根据加法原理，可以确定103072112++=(条)射线．【答案】⑴200 ⑵112【巩固】 如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？ ⑵ 图2中，共有多少个角？54321 ...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 在线段AB 上共有7个点（包括端点A 、B ）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而27C 表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有27C 条线段． 由组合数公式知，共有227722762121P C P ⨯===⨯(条)不同的线段； ⑵ 从O 点出发的射线一共有11条，它们是OA ， 1OP ，2OP ，3OP ，，9OP ，OB ．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有211C 种不同的取法，所以，可组成211C 个角． 由组合数公式知，共有2211112211105521P C P ⨯===⨯(个)不同的角． 【答案】⑴2721C = ⑵21155C =模块二、组合之应用题【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．由组合数公式知，26651521C ⨯==⨯(次)．所以一共握手15次．【答案】15【巩固】 某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 220201919021C ⨯==⨯(次)． 【答案】220190C =【例 4】 学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．由组合数公式知，3665420321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．所以共有20种不同的选法．【答案】3620C =【例 5】 有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出 种不同的质量。

小学生奥数排除法、多人行程、发车问题练习题1.小学生奥数排除法练习题篇一1、幼儿园一老师带着7名小朋友，她让六个小朋友围成一圈坐在操场上，让另一名小朋友坐在中央，拿出七块头巾，其中4块是红色，3块是黑色。

然后蒙住7个人的眼睛，把头巾包在每一个小朋友的头。

然后解开周围6个人的眼罩，由于中央的小朋友的阻挡，每个人只能看到5个人头上头巾的颜色。

这时，老师说："你们现在猜一猜自己头上头巾的颜色。

"大家思索好一会儿，最后，坐在中央的被蒙住双眼的小朋友说："我猜到了。

"问：被蒙住双眼坐在中央的小朋友头上是什么颜色的头巾？他是如何猜到的？2、小白羊、小黑羊、小灰羊一起上街各买了一件外套。

3件外套的颜色分别是白色、黑色、灰色。

回家的路上，一只小羊说："我很久以前就想买白外套，今天终于买到了！"说到这里，她好像是发现了什么，惊喜地对同伴说："今天我们可真有意思，白羊没有买白外套，黑羊没有买黑外套，灰羊没有买灰外套。

"小黑羊说："真是这样的，你要是不说，我还真没有注意这一点呢！"你能根据他们的对话，猜出小白羊、小黑羊和小灰羊各买了什么颜色的外套吗？2.小学生奥数多人行程练习题篇二1、有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。

问：这个花圃的周长是多少米？分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

五年级奥数包括与清除专题剖析：会合是指拥有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的观点之一。

会合中的每一个事物为这个会合的一个元素。

两个会合能够做加法运算，把两个会合归并在一同，就构成了一个新的会合，新的会合的个数的思虑方法主假如包括和清除。

在解答包括和清除问题时，要擅长使用形象的图示帮助理解题意，提升数目关系和逻辑关系。

例 1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？思路：两个会合相加成了一个新的会合，采纳清除法就能够计算重复的元素。

即 64＋ 48－96＝ 16（人）练习 1、一个班的 52 人都在做语文和数学作业，有32 人做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业，这个班语文、数学都做完的有多少人？2、五年级有 112 人参加语文、数学考试，每人起码有一门功课得优，此中，语文得优的有 65 人，数学得优的有87 人。

问语文、数学都得优的有多少人？3、某班有 50 名学生，在一次测试中有26 人满分，在第二次测试中有21人得满分。

假如两次测试都没得过满分的学生有17 人，那么，两次测试都获取满分的有多少人？例 2、某地域的外语教师中，每人起码懂得英语和日语的一种语言。

已知有35 人懂英语， 34 人懂日语，两种语言都懂的有21 人，这个地域有多少名外语教师？思路：把两个会合相加减去此中重复的元素即可。

35＋34－21＝ 48（人）。

练习 1、某校的每个学生起码喜爱体育和娱乐中的一种活动，已知有900 人喜好体育，有 850 人喜好娱乐活动，此中 260 人两种活动都喜爱。

这个学校有多少个学生？2、某班在一次测试中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，此中语、数双优的有 12 人，此外还有 8 人语、数均未获优。

这个班有多少学生？3、第一小组的同学们都在做两道数学思虑题，做对第一道的有15 人，做对第二道的有 10 人，两题都做对的有7 人，两题都做错的有 2 人。

包含与排除（二）在日常生活中,我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑,并且给它一个总称。

如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜；苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。

在数学里,我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑,这些相同性质的对象便组成了一个“集合”,每个集合总是由一些成员组成的,集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A、B的并集（又叫A与B的和）。

记作,记号“”读作“并”,读作“A并B”。

（2）A、B两个集合公共的元素,也就是那些既属于A,又属于B的元素,它们所组成的集合叫做A和B的交集,记作“”,记号“”读作“交”,读作“A交B”。

下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。

（一）典型例题例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组,其中参加数学小组的有16人,参加作文小组的有20人,两组都参加的有5人,六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|,参加作文小组的可以看成是集合|B|,两组都参加的可以看成,问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人,也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起,即（人）根据上面列式,我们可以得出：答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。

例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。

分析与解：（1）1～20的自然数中2的倍数用集合A表示A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}|A|=10（2）1～20的自然数中3的倍数用集合B表示B={3,6,9,12,15,18}|B|=6（3）既是2的倍数又是3的倍数,也就是（4）答：1～20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。

例3. 四年级有学生75人,在一次校田径运动会中,参加田赛的有35人,参加径赛的有29人,既参加田赛又参加径赛的有6人,问两项都未参加的有多少人？分析与解：如图,要求两项都未参加的,要先求出至少参加一项的有多少人,从全年级中除去至少参加一项的就是所求。