高考数学 玩转压轴题 专题3_2 动点轨迹成曲线 坐标关系是关键

轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得3k =±． 将3y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x =1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（2）一．复习目标： 1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．二．知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．三．课前预习：1．已知椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP 的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ） ()A 14875)6(22=+-y x ()B 14875)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(22=++y x2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是 （ B ）()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线4．双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22(2)(2)143y x ---= 5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是40(||x y x +=< 四．例题分析：例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．解：（一）直接法：设OQ 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则0CP OQ ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211()(01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵090OPC ∠=，动点P 在以1(,0)2M 为圆心，OC 为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24x y x -+=<≤ （三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则：122121x x x k +==+，21k y kx k ==+ 消去k 得2211()(01)24x y x -+=<≤小结：例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． 解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y，椭圆的下方的顶点为||1AF =，即点F 的轨迹方程是2200(1)(2)1x y -+-=， 又00,2x x y y ==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12x y -+-=． 例3．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ① ②).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五．课后作业： 班级 学号 姓名1．抛物线x y 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 212-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆22194x y +=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）()A 22194x y += ()B 22194y x += ()C 22194x y -= ()D 22194y x -= 3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________．4．自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为5．已知椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．6．如图， 7．设,x y R ∈,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++ (5)b x i y j =-+，||||8a b -=，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上）8．设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q 两点，右焦点为F ，且PQF ∆为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b =+截得的弦长为22b e a ，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆，其短轴的端点为B ，求BF 中点的轨迹方程．。

专题2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键 【题型综述】1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x ，y)；③列式,列出动点P 所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 【典例指引】 类型一 代点法求轨迹方程例1 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【解析】 类型二 定义法求轨迹方程 例2.【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】 类型三 参数法求轨迹方程例3[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【解析】类型四 直译法求轨迹方程例4. 已知动圆C 过点()1,0Q ，且在y 轴上截得的弦长为2.（Ⅰ）求圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 交轨迹C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，证明：2211QA QB +为定值，并求出这个定值.【解析】点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 【扩展链接】1.若一个圆1C 内含于另一个圆2C ，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；2.在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

点，求Q 点的轨迹方程，并指出该轨迹的名称.解：设直线OP 的斜率为)(R k k ∈，则点P 的坐标为OP l k ⊥,2,2）（.得l 的方程：0=+ky x ，因为直线m 过A 、P 两点，所以方程)1(2-=x k y 即022=--k y kx .),(y x Q 是l 、m 的交点，所以),(y x Q 满足方程组⎩⎨⎧=--=+0220k y kx ky x ，消去k 得：)1(02222≠=-+x x y x ，即)1(12)21(422≠=+-x y x 可化方程）（）（1121)21()22(2222≠=-+x x y ，故轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为22，短半轴长为21，焦点在21=x 直线上的椭圆且去掉)0,1(.例4、如图，已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解： 设动点),(y x M ，则M点到圆的切线长2222)2(.1y x MQ y x MN +-=-+=于是由题意得：2222)1(1y x y x +-=-+λ,整理得014)1(4)1(22222=++-+--λλλλy x x . 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线； 当）（01>≠λλ时，方程为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x ，表示一个圆例5、设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足【课堂小练】1、已知定点)0,6(A ，B 是曲线1)1(22=-+y x 上的动点，延长BA 到P ，使AB PA =，求动点P 的轨迹方程. 解：设),(y x P ，有条件知点A 为PB 的中点，所以点),12(y x B --，将点B 坐标代人已知曲线方程，得：1)1()12(22=--+-y x .即1)1()12(22=++-y x2、已知△ABC 中，三边a 、b 、c 满足2,=>>b a b c ，且a 、b 、c 成等差数列，求顶点B 的轨迹方程. 解：以边AC 的中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，得)0,1(),0,1(C A -.由42==+b c a .知AC BC BA >=+4.则由椭圆定义知点B 的轨迹方程为)20(13422<<=+x y x 3、如图，给出定点)0)(0,(>a a A 和直线l ：1-=x ，B 是直线l 上动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.解：依题意，记))(,1(R b b B ∈-，则直线OA 和OB 的方程为0=y 和bx y -= 设点),(y x C ，则有a x <≤0，由OC 平分AOB ∠，则点C 到OA 、OB 的距离相等，根据点到线的距离公式得21bbx y y ++=（1） 依题设点C 在直线AB 上，故有)(1a x a b y -+-=，由于0≠-a x 得ax ya b -+-=)1( （2） 将（2）代人（1）得：0,)()1()()1(122222≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++y a x xy a y a x y a y 则222222)1()1)((2)()1()(x a x a a x a x y a a x +++---=++-，又因01≠+a ，整理得：0),0(0)1(2)1(22=<<=++--y a x y a ax x a ，则0=b .)0,0(C 满足上式.① 当1≠a ，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x ≤≤=-+---（3） 当10<<a ，方程（3）表示椭圆弧段；当1>a ，方程（3）表示双曲线一支弧度.② 当1=a ，轨迹方程化为)10(2<≤=x x y （4），此时方程（4）表示抛物线弧段.【课后练习】1、设抛物线经过定点)2,0(A 且以x 轴为准线，求抛物线顶点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，则焦点)2,(y x F由AO AF = 得2)22()(22=-+-y o x ，整理得：1)1(422=-+y x . （除)0,0( 点外） 2、如图，设1A 、2A 为双曲线12222=-by a x 的两顶点，21P P 是垂直于实轴的弦，求11P A 与22P A 的交点P 的轨迹方程.解：设垂直于实轴的弦的端点分别为),(),,(002001y x P y x P -， 其中)(220222a x ab y -= ① 则直线11P A ：)(00a x ax y y ++=； ② ②直线22P A ：)(0a x x a y y --=； ③ ③设11P A 与22P A 的交点),(y x P ，②×③得：)(2222202a x ax y y ---=，将①代人并化简得：12222=+b y a x . 3、已知，动椭圆的一个焦点为)0,3(1F ，长轴长为6，且恒过原点，求动椭圆中心的轨迹方程. 解：设椭圆中心),(y x P ，另一焦点),(002y x F由中点公式x x =+230，则y y x x =+-=2,3200，则y y 20=，得)2,32(2y x F - 因621=+OF OF ,则6)2()32(322=+-+y x .整理得：0()23()23(222≠=+-x y x ,且)3≠x .4、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的角平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解：设),(y x Q ，再设),(11y x P ，则12121=+y x①Q 分PA 的比为21==OA PO QA PQ ，则211021,21122111+⨯+=+⨯+=y y x x ， 得：y y x x 23,12311=-=，代人①得点Q 的轨迹为圆，方程为94)32(22=+-y x .5、已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足1222≤+b a ，过点P 的直线交椭圆于A 、B 两点，点。

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =， 则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一 证明分点问题例1 【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点..直线ON 的方程为22y y x x，点B 的坐标为2112(,)y y x x .故A 为线段BM 的中点. 类型二 几何证明问题例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形（ii ）由24x y =得'y =2x，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即，令0=y ，得，∴1(,x FM =，而11(,1)FA x y =-，于是FA ⋅21x FM =-，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形. 类型三 等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明 （2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值. 类型四 长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆EE 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D【扩展链接】1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【同步训练】1．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（2）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，设A的坐标为（），求出OM的方程为y=x（y0≠0），推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点B 的纵坐标，判断直线DB平行于x轴．即可得到结果．4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD 的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1•k2为定值．设直线l的方程y=﹣x+t，，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，则k1•k2==，===，∴k1•k2为定值．5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【思路点拨】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．（1）证明线段AB的中点M在定直线上；（2）求线段AB长度的最大值．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M在直线x=﹣2上．（2）当AB与x轴垂直时，，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．，∴x1+x2=﹣4，，…（8分）∴=（11分）∴．…（12分）7.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．（1）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．（2）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．由韦达定理得：．…（8分）∴．∵，∴x1x2+y1y2=0，即，…（9分）整理得m2=2k2+2满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，∴直线l与圆x2+y2=2相切．…（10分）当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，）∵，∴．此时直线为x=，显然也与圆x2+y2=2相切．…（11分）综上，直线l与定圆E：x2+y2=2相切．…（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR+k TS=0，即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值．由R，S两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），则=，由2x1x2﹣5（x1+x2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR+k TS=0，∴直线TS与TR的斜率之和为0，综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．11.椭圆C：过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C (2)由题意可得()35S k ，，则以线段ST12.已知点()11,A x y ， ()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()240y x y =≥上的两点， A ， D 两点在x 轴上的射影分别为点B ， C ，且（1）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；（2）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：【思路点拨】(1)； (2) 设直线AD 的方程为y kx m =+.联立直线与抛物线的方程，可，。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的定点问题)练习1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C ：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，离心率e =(1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PBPF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． (1)求p 的值；(2)是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =． （1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBFS S ⋅△△为定值.参考答案1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【过程详解】（1）由题意得1TM TM =，所以12TC TM TC TM CM -=-=<=，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C '：2214y x -=；（2）由已知得AM l ：()11y k x =+，AN l ：()21y k x =+，联立直线方程与双曲线方程()()12222211121424014y k x k x k x k y x ⎧=+⎪⇒----=⎨-=⎪⎩， 由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即()1121814M Mk y k x k =+=-， 所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭， 联立直线方程与圆方程()()2222222222112101y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩， 由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211Nk x k -+=+，即()2222211N N k y k x k =+=+， 因为14ANAM k k =-，即2114k k =-，所以2112211168,1616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(),0T t ，由三点共线得MT NT k k =，即()()1122222211111122112211884164416161416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+， 所以直线MN 过定点()1,0T ．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，半径为3．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【过程详解】（1）设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，||||PQ PO ≥当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时||PO最小，故||||33PQ PO b ≥-≥-，即133-=-b依题意得2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩11a b c ⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上， 所以直线AB 与圆O 相切.（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33B -⎝⎭， 此时0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB3=， 即223220m k --=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=， 所以2121222422,2121km m x x x x k k --+==++， ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k mkm km m k k +-+-++=+222322021mk k --==+，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O . 综上，以AB 为直径的圆过点O .3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率2e =. (1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 【过程详解】（1）由题意点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率e =可得；221691a b⎧-=⎪=，解出，2,a b == 所以，双曲线C 的方程是22143x y -=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，则可设()()00,,,A n y B n y -，代入22143x y -=，得220334y n =-，则221222003123393444(4)(4)2n y y k k n n y n n -----=⋅===----，即2948480n n -+=，解得43n =或4n =， 当4n =时，03y =±，,A B 其中一个与点()4,3P 重合，不合题意； 当43n =时，直线AB 的方程为43x =，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y kx m =+代入22143x y -=， 整理得，()2223484120k x kmx m ----=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k ++==---， 由()()22222Δ(8)4344120,34km kmm k =----->∴+>，所以()()()221212121212121212123(3)33334444416k x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-=⋅=⋅=-----++ 32=所以，()()()221212232612212300k x x km k x x m m -+-+++--=，即()()2222241282326122123003434m km k km k m m k k ---⋅+-+⋅+--=--, 整理得()2231661690m k m k +-+-=，即()()343430m k m k +++-=， 所以3430m k ++=或430m k +-=， 若3430m k ++=，则433k m +=-，直线AB 化为413y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；若430m k +-=，则43m k =-+，直线AB 化为()43y k x =-+，它过点()4,3P ，舍去综上，直线AB 恒过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点． 【过程详解】（1）由||4,120FM OFM =∠=︒，可得2,2p M ⎛+± ⎝，代入2:122242p C p p p ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．解得2p =或6p =-（舍）， 所以抛物线的方程为：24y x =．（2）由题意可得(1,2)Q ，直线AB 的斜率不为0， 设直线AB 的方程为x my n =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，从而216160m n ∆=+>， 则121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩． 所以()21212242x x m y y n m n +=++=+，()()()22212121212x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=， ∵QA QB ⊥ ， ∴()()()()121211220QA QB x x y y ⋅=--+--=uu r uur，故()()121212121240x x x x y y y y -+++-++=， 整理得2246850n m n m ---+=．即22(3)4(1)n m -=+， 从而32(1)n m -=+或32(1)n m -=-+， 即25n m =+或21n m =-+．若21n m =-+，则21(2)1x my n my m m y =+=-+=-+，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合； 若25n m =+，则25(2)5x my n my m m y =+=++=++，过定点(5,2)-． 综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,2)-．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【过程详解】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12ce a==，所以1c =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<， 所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--． 又()12128y y k x x +=+-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212212121842443kx x x k x x x ky x x x x x x x k +---=++---+， 即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+， 所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+， 联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=， 由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+． 因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-． 又()12121244x x my my m y y -=+--=-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()()()()12121121121121212144y y y y my y m y y y y y x my y x m y y m y y m y y -++++-+=--+=-+---()()()()()()12121222121212424134my y y y y y x x m y y m y y m y y +++=-+=---+-， 此时直线AD 恒过点（1,0），当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y ＝0，也过点（1，0）． 综上，直线AD 恒过点（1，0）．6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．【过程详解】（1）双曲线22:(0)3-=>y C x m m的渐近线方程为y =，则不妨令点(),(,)A m B m ，||AB =，而点O 到直线AB 的距离为m ，因此212OAB S m =⋅⋅== ，解得1m =， 所以1m =．（2）由（1）知，双曲线C 的方程为22:13y C x -=，右焦点(2,0)F ，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(,0)t ，直线l 的方程为()(0)y k x t k =-≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，由22()13y k x t y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()()222223230k xtk x k t -+-+=，显然有230k -≠且()()()22222Δ24330tk k k t =+-+>，化简得23k ≠且()22130t k -+>，则22212122223,33tk k t x x x x k k ++=-=---，1122(2,),(2,)FM x y FN x y '=--=-， 而M '，F ，N 三点共线，即//FM FN '，则()()122122y x y x --=-，因此()()()()122122k x t x k x t x ---=--，又0k ≠，有()()()()1221220x t x x t x --+--=， 整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，于是得22222322((2)()4033k t tk t t k k +⋅--+-+=--，化简得12t =， 即直线l ：1()2y k x =-，0k ≠过定点1(,0)2，所以直线l 经过x 轴上的一个定点1(,0)2．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【过程详解】（1）由线段RS22b a=又2c a =，所以22212a b a -=，解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以C 的标准方程为2212x y +=．（2）由PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭， 可知PF 平分APB ∠，∴0PA PB k k +=．设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A my t y +，()22,B my t y +， 由2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩得()2222220m y mty t +++-=， ()22820m t ∆=-+>，即222m t >-，∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，∴1212022PA PB y y k k my t my t +=+=+-+-，∴()()1212220my y t y y +-+=，∴()()222220m t t mt ---⋅=，整理得()410m t -=，∴当1t =时，上式恒为0， 即直线l 恒过定点()1,0Q ．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．【过程详解】（1）由题设1c =，又12||2F F c =，112||||AF A F a ==， 若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以112()222r a c c b ⨯+=⨯⨯，即()r a c bc +=，222(2)4c r b r +-=，而222a b c =+，即24a rb =，综上，22()4a a c b c +=，即222(1)444a a b a +==-，可得2a =，所以24a =，23b =，则22:143x y C +=.（2）当直线斜率都存在时，令DE 为1x ky =-，联立22:143x y C +=，整理得：22(34)690k y ky +--=，且2144(1)0k ∆=+>， 所以2634D E k y y k +=+，则28()234D E D E x x k y y k +=+-=-+，故2243,33)44(kk k P -++， 由0DE MN ⋅= ，即DE MN ⊥，故MN 为1y x k =--，联立22:143x y C +=，所以2236(4)90y y k k ++-=，有2634M N k y y k +=-+，则228234M N M N y y k x x kk ++=--=-+，故22243,(3434k kQ k k +--+， 所以274(1)PQ k k k =-，则PQ 为222374()344(1)34k k y x k k k -=++-+，整理得2(74)4(1)k x k y +=-， 所以PQ 过定点4(,0)7-；当一条直线斜率不存在时,P Q 对应1,O F ，故PQ 即为x 轴，也过定点4(,0)7-；综上，直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.【过程详解】（1）因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线C 的标准方程为224x y λ-= 代入点A 坐标，解得4λ=所以双曲线C 的标准方程为2214x y -=（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，设()()1122,,E x y F x y ，联立y kx m =+与双曲线2214xy -=，化简得()()222418410k x kmx m -+++=，()()222Δ(8)444410km m k =-+->，即22410k m --<， 则有12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=，所以()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-⋅+++=，所以()()2222244812404141m kmk km m k k +-+⋅+-⋅++=--，化简，得22316200m km k ++=，即()()31020m k m k ++=， 所以12102,3m k m k =-=-， 且均满足22410k m --<，当12m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾， 当2103m k =-时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-， 与双曲线C 方程联立解得103E F x x ==，此时EF 也过点10,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，直线EF 过定点10,03M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点8,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使GH 为定值23.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【过程详解】（1）因为(),0,0,22p F P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124pp =⋅，即22p =，解得P = （2）设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212y y y y +==又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k++++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩)4T，此时2218TA TB m n ⋅=+=11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【过程详解】（1）设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210m y my ++-=，又因为2BF FA = ，所以1221222122122m y y m y y m y y ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =，12228m y m ==+，所以18FA == ，即8FA = . （2）假设在x 轴上存在异于点F 的定点()(),01Q t t ≠，使得QA QBk k 为定值.设直线AB 的方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，所以12122y y my y +=. 所以()()()()11212122121211QA QBy k y x t y my t x t y k y x t y my t x t⋅-+--===⋅-+--1211211212212212(1)22(1)(32)(1)22(1)(32)my y t y my y t y t y y my y t y my y t y y t y +-+--+===+-+-+-.要使QA QBk k 为定值，则321132t t-=-， 解得2t =或1t =（舍去），此时1QA QBk k =-.故在x 轴上存在异于F 的定点()2,0Q ，使得QA QBk k 为定值.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =． （1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据1MA MB k k ⋅=求解.【过程详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线：2p x =-，于是得0522p pMF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =， 所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-， 因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅=⋅=⋅=--++--， 化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-， 所以直线l 过定点()0,4-.13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【过程详解】（1）根据题意，由对称性得12PF F △为等腰直角三角形，且1290F PF ︒∠=，因为12PF F △的面积等于2，所以12F F =c = 因为椭圆C，即e a==，解得a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：2213x y +=.（2）由（1）得(P ，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ， 因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即0PB PA k k +=，因为12AP BP k k ==12120y y x x +=，整理得2112((0x y x y +=又因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以(()121220kx x m x x ++=，由2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(31)6330,k x kmx m +++-= 所以0∆>，即2231m k <+，2121222633,,3131km m x x x x k k -+=-=++所以2223362((03131m mkk m k k -⋅+⋅-=++，整理得22(33)6(0,k m mk m ⋅--= 由于0k ≠，故解方程得2m =， 此时直线l的方程为2y kx =+，过定点⎛ ⎝⎭ 所以直线l恒过定点⎛ ⎝⎭. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【过程详解】（1）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 因为P 、Q 在双曲线上，所以212x a －212y b ＝1，222x a －222y b＝1，两式作差得12122()()x x x x a +-－12122()()y y y y b +-＝0，即01222()x x x a -＝01222()y y y b-， 即012012()()y y y x x x --＝22b a，即k 1ꞏk 2＝22b a；（2）因为AMPQ ＝12，所以 APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入22x a －22y b＝1得，y ＝±由|t －a |＝得，(a 2－b 2)t 2－2a 3t ＋a 2(a 2＋b 2)＝0， 即[(a 2－b 2)t －a (a 2＋b 2)](t －a )＝0，得t ＝2222()a ab a b+-或a (舍)，故直线l 的方程为x ＝2222()a ab a b+-；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，代入22x a －22y b＝1，得(b 2－k 2a 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0，Δ＝a 2b 2(m 2＋b 2－k 2a 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22222kma b k a -，x 1x 2＝－222222()a mb b k a+-；因为AP ⊥AQ ， 所以AP ꞏAQ＝0，即(x 1－a ，y 1)ꞏ(x 2－a ，y 2)＝0， 即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(km －a )(x 1＋x 2)＋(k 2＋1)x 1x 2＋m 2＋a 2＝0，即32222222242222kma k a b m a m b k a b k a ---+--＝0，即a 2(a 2＋b 2)k 2＋2ma 3k ＋m 2(a 2－b 2)＝0， 即[a (a 2＋b 2)k ＋m (a 2－b 2)](ak ＋m )＝0，所以k ＝－2222()()m a b a a b -+或k ＝－ma； 当k ＝－m a 时，直线l 的方程为y ＝－max ＋m ，此时经过A ，舍去；当k ＝－2222()()m a b a a b -+时，直线l 的方程为y ＝－2222()()m a b a a b -+ x ＋m ， 恒过定点(2222()a ab a b +-，0)，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点(2222()a ab a b+-，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【过程详解】（1）当l x ⊥轴时，易得2AB p =， 所以22p =，解得1p =， 所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()102x my m =+≠， 代入抛物线C 的方程22y x =，并整理得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12=2y y m +，121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==，所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点， 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线PQ 的方程为12x ty =+，代入抛物线C 的方程22y x =，整理得2210y ty --=，所以112P Q Q y y y m=-⋅=-， 故2Q y m =，因此()22,2Q m m ，故可得22212212M m x m +=⨯-=，220M y m m =-=，故点M 的坐标为()1,0M ，因此存在定点()1,0M ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d == 由()11,A x y ，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1AF =， 因此11124QAF S AF d y =⋅=△， 同理可得214QBF S y = ， 所以12111616QAF QBF S S y y ⋅== ，为定值.。

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动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．:根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =,0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =,化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等)，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可．(5）交轨法．．．:即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点,12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=(0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠) （C ）22116925x y +=（0y ≠) （D)221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y ++=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上,则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点,1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．（212y x =）8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．（4kx =(28k y >））9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 立，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ,则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时,易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-,设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时,有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-(二)解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切,求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =,2A 为椭圆另一顶点,连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2)若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =,试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ．∵ GM AB λ=,点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=,即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2)设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±)，11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ,得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++，∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥,∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠． ∴ 20134k <+<且2132k +≠,解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程;（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解:(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =,(,2)PN x y =--，48MP MN y ⋅=+．4PN MN ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅， ∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点,点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅,1()2ON OA OF =+,//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解:∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上,∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆,且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-, 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合,与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+,所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=． 1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=． 即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k kk k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图,平面内的定点F 到定直线l 的距离为2,定点E 满足：||EF =2,且EF l ⊥于G ,点Q 是直线l 上一动点，点M 满足:FM MQ =，点P 满足://PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程; B ，（II)若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、范令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时,求直线1l 的斜率k 的取值围．建解:（1)以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，立平面直角坐标系xoy ,设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ,(0, 3)E ,:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=,∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2)设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y (8)分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k 解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ,动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；(2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-,且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ,由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N程为24y x =．（2)10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1)中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解:（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =, 故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y (0x >)，由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-,∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =,∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心,焦点在x 轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则,直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<,又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-, 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法!！ 解之得:2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=． 12．设A,B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I) 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围．解:（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II）设N(s，t），M（x,y),则由λ=，可得（x，y-16）=λ (s，t—16)．故x sλ=，16(16)y tλ=+-．∵ M、N在曲线C上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+1.16)1616t(25s1,16t25s22222λλλ消去s得116)1616t(16)t16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ,且1≠λ，解得17152tλλ-=．又4t≤，∴421517≤-λλ．解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ)．13．设双曲线22213y xa-=的两个焦点分别为1F、2F，离心率为2．（1)求此双曲线的渐近线1l、2l的方程；（3y x=±）(2）若A、B分别为1l、2l上的动点，且122||5||AB F F=，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y+=）提示：||1010AB=⇒=，又113y x=-，223y x=,则1221()3y y x x+=-，2112()3y y x x-=+．又122x x x=+，122y y y=+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点,且0OP OQ⋅=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．(不存在)到直线l的距离14．已知点(1, 0)F，直线:2l x=，设动点P为d ，已知2||2PF d =,且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=,求向量OP 与OF 的夹角；（3)如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P,求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >)交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB(O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；(3a =） （2）若2a =,当k 变化时（k R ∈)，求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．(1)求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点,求实数k 的取值范围． 解:（I ）依题意有: 2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠,∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y )则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D（00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =（0,1），动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM —d 2）,其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=,1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．(1）求证：直线MN 过定点；（2)记（1)中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ,求H 的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西)如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA MB =．(1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值; （2）若M 为动点，且90EMF ∠=,求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1)由直线MF （或ME )方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >）, 则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-． ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=,解得01F ky y k-=,∴ 202(1)F ky x k -=，∴002200022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值）． 所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ,由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++,∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B 都落在边AD 上,记为B '，折痕l 与AB 交于点E ,点M 满足关系式EM EB EB '=+．(1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。