2020届一轮复习(文)人教A版四三角函数单元检测

单元质检四三角函数(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点(sin5π6,cos5π6)在角α的终边上,则sin α的值为()A.-√32B.-12C.1 2D.√322.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于()A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 23.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-√2D.2π,2-√24.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象过点(0,√3),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.(-π3,0) B.(-π6,0)C.(π6,0) D.(π12,0)5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一部分图象如图所示,将该图象上每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象对应的函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin(x+π3) B.g(x)=sin(4x+π3)C.g(x)=sin(x+π6) D.g(x)=sin(4x+π6)6.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.12C.√22D.√32二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=.8.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos(3x+π6)在区间[0,π]上的零点个数为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-π2<α<0,f(α)=56,求sin 2α的值.10.(15分)设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间[-π4,3π4]上的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+√3sin ωx sin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[0,π3]上的取值范围.单元质检四 三角函数(A )1.A 解析 因为角α的终边上一点的坐标为(sin5π6,cos 5π6),即(12,-√32), 所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α=-√32√(12)+(-√32)=-√32,故选A . 2.D 解析 因为r=√(2sin2)2+(-2cos2)2=2, 所以sin α=y=-cos 2.3.C 解析 因为f (x )=sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =1+sin 2x+(1+cos 2x ) =2+√2sin (2x +π4), 所以最小正周期为π,当sin (2x +π4)=-1时,f (x )的最小值为2-√2. 4.B 解析 由题意,得√3=2sin(2×0+φ), 即sin φ=√32. 因为|φ|<π2,所以φ=π3.由2sin (2x +π3)=0,得2x+π3=k π,k ∈Z .当k=0时,x=-π6,故选B . 5.A 解析 由题意得A=1,T=5π−(-π)=π, 所以ω=2πT=2.因为f (x )的图象经过点(π,0), 所以f (π3)=sin (2π3+φ)=0,又因为|φ|<π2,所以φ=π3, 即f (x )=sin (2x +π3). 故g (x )=sin (x +π3).6.D 解析 由题中图象可得A=1,T 2=2π2ω=π3−(-π6),解得ω=2. 故f (x )=sin(2x+φ).易知点(π12,1)在函数f (x )的图象上, ∴sin (2×π12+φ)=1,即π6+φ=π2+2k π,k ∈Z .∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f (x )=sin (2x +π3).∵x 1,x 2∈(-π6,π3),且f (x 1)=f (x 2), ∴x 1+x 2=π12×2=π6.∴f (x 1+x 2)=sin (2×π+π)=√3,故选D .7.0或12解析 ∵sin 2α=2-2cos 2α=2-2(1-2sin 2α)=4sin 2α,∴2sin αcos α=4sin 2α, ∴sin α=0或cos α=2sin α,即tan α=0或tan α=12.8.3 解析 令f (x )=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z ,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z .则f (x )在区间[0,π]上的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.9.解 (1)∵函数f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12, ∴函数f (x )的最小正周期为2π2=π.(2)若-π2<α<0, 则2α+π6∈(-5π6,π6). ∵f (α)=sin (2α+π)+1=5, ∴sin (2α+π6)=13, ∴2α+π6∈(0,π6),∴cos (2α+π)=√1-sin 2(2α+π)=2√2, ∴sin 2α=sin (2α+π6-π6)=sin (2α+π6)cos π6-cos (2α+π6)·sin π6=13×√32−2√23×12=√3-2√26.10.解 (1)因为f (x )=sin (ωx -π6)+sin (ωx -π2),所以f (x )=√32sin ωx-12cos ωx-cos ωx=√32sin ωx-32cos ωx=√3(12sinωx -√32cosωx)=√3sin (ωx -π3).由题设知f (π6)=0,所以ωπ6−π3=k π,k ∈Z .故ω=6k+2,k ∈Z .又0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f (x )=√3sin (2x -π),所以g (x )=√3sin (x +π4-π3)=√3sin (x -π12).因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3].当x-π12=-π3,即x=-π4时,g (x )取得最小值-32.11.解 (1)f (x )=1-cos2ωx 2+√32sin 2ωx=√32sin 2ωx-12cos 2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为T=π2,所以2π2ω=π2(ω>0),所以ω=2,即f (x )=sin (4x -π6)+12.于是由2k π-π2≤4x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ), 解得kπ2−π12≤x ≤kπ2+π6(k ∈Z ). 所以f (x )的单调递增区间为[kπ2-π12,kπ2+π6](k ∈Z ). (2)因为x ∈[0,π], 所以4x-π6∈[-π6,7π6], 所以sin (4x -π6)∈[-12,1], 所以f (x )∈[0,32].故f (x )在区间[0,π3]上的取值范围是[0,32].。

第一章单元质量测评对应学生用书P43 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题（本大题共１2小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１.ｓin-错误!的值等于( ）Ａ.＼ｆ（１，２) Ｂ．-错误!Ｃ.错误!未定义书签。

D．－错误!未定义书签。

答案 A解析ｓin-＼f（1９π，6)＝－ｓin错误!未定义书签。

＝-sin错误!未定义书签。

＝ｓｉn 错误!＝错误!.2．已知扇形的半径为r,周长为3r,则扇形的圆心角等于( )A.错误!B.１ C．错误! D.3答案B解析弧长l=3r-2ｒ＝r,则圆心角＝错误!=1.3．若cos(-１0０°)=ａ，则tan８０°=( ）Ａ.－错误!未定义书签。

B.错误!Ｃ．-错误!Ｄ．错误!答案A解析∵cos(-100°）=cos１０0°＝cos(18０°－80°）＝-cos８0°=a,∴cos８0°=-ａ．又∵sｉn２80°+coｓ28０°=１,siｎ８0°>0，∴siｎ80°＝错误!未定义书签。

=ﻬ错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,故tan８0°＝错误!=-错误!.4．设0≤α〈２π，若sinα＞3cosα，则α的取值范围是( )A.错误!B.错误!∪错误!C．错误!∪错误!未定义书签。

D．错误!答案D解析当α∈错误!时,coｓα>0,由ｓinα〉错误!coｓα，得tａnα>错误!，解得α∈错误!未定义书签。

；当α∈错误!时,sｉnα≥0，cｏsα≤0,显然原式成立;当α∈错误!时,ｃosα〈0，易得taｎα<错误!未定义书签。

,解得α∈错误!未定义书签。

；当α∈错误!时，sinα〈0，cｏsα≥0,显然原式不成立.综上，α的取值范围是错误!未定义书签。

第一章三角函数检测试题(时间：12０分钟满分:１50分)选题明细表题目要求的)１。

若α＝-6，则角α的终边在（ A ）(A)第一象限ﻩ(B)第二象限（C)第三象限ﻩ(Ｄ)第四象限解析:因为-2π〈-6〈-,所以角α在第一象限,故选A．2.点A(x，y)是６75°角终边上异于原点的一点,则的值为( B )（A)1 （B)-1 (Ｃ)（D)—解析:由题意，角６75°的终边过点A(x，y），那么tan 67５°=,可得=tan (７２0°-4５°）=－taｎ４5°=-1。

故选B.３．在下列给出的函数中，以π为周期且在(0,)内是增函数的是( D ）（Ａ）y=ｓｉn (Ｂ）y=cｏｓ 2x(C)ｙ=ｓｉn（2x+）ﻩ(D)y=tａn(x-）解析:由函数周期为π可排除A。

x∈(０，)时，2ｘ∈(0,π），2ｘ+∈(，ﻬπ),此时B，C中函数均不是增函数。

故选D。

4.函数y=1＋x＋的部分图象大致为（ D )解析:函数由y=x+向上平移1个单位,则ｙ=1+x+关于（0,１)对称,排除B,C,当x>0时y＞0,排除A,故选D。

５。

在△ＡBC中,若sｉn A·coｓB·tan C〈0,则△ＡＢＣ的形状是（ C ）（Ａ)锐角三角形（B）直角三角形(C)钝角三角形（D）不能确定解析:由已知在△ABC中,Ａ,B,C均在(0，π）内,所以ｓin Ａ〉0。

又因为sｉn Ａ·cｏｓB·tan C<0,所以coｓ B〈0或ｔan C〈0,从而B为钝角或C为钝角,故选C。

6。

函数y=2sin(—２x)(x∈[0,π］)为增函数的区间是( C )(A)［0,］ﻩ(Ｂ）[,π］(C)［,π]ﻩ（D)[π,π］解析:因为ｙ=2ｓｉn（—2ｘ)=—2ｓin(2x-),所以所求函数的增区间就是y=2ｓin(2x—)的减区间,即２kπ+≤2x－≤2kπ+π,k∈Ｚ,ﻬ所以kπ+≤ｘ≤ｋπ＋π，k∈Z,令ｋ=０,得选项C正确.7。

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

单元检测四　三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．终边在x 轴正半轴上的角是零角B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则角α与β的终边相同答案　D解析　对于A ，因为终边在x 轴正半轴上的角可以表示为α＝2k π(k ∈Z )，A 错误；对于B ，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B 错误；对于C ，例如30°≠－330°，但其终边相同，C 错误，故选D.2．若角α的终边经过点P ，则cos α·tan α的值是( )(35，－45)A ．－ B.C ．－ D.45453535答案　A解析　因为角α的终边经过点P ，(35，－45)所以cos α＝，tan α＝－，所以cos α·tan α＝×＝－，故选A.354335(－43)453．(2019·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知sin ＝，则sin 等于( )(π3－α)13(π6－2α)A.B ．－C ．±D ．－79797929答案　B解析　∵sin ＝cos (π3－α)[π2－(π3－α)]＝cos ＝，(π6＋α)13∴sin ＝cos (π6－2α)[π2－(π6－2α)]＝cos ＝2cos 2－1[2(π6＋α)](π6＋α)＝2×－1＝－.19794．(2018·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2017)＝－1，则f (2020)等于( )A ．1B ．2C ．0D ．－1答案　A解析　由题知，f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，则a sin α＋b cos β＝1，所以f (2020)＝a sin(2020π＋α)＋b cos(2020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1，故选A.5．函数y ＝cos 2－sin 2的最小正周期为( )(x ＋π4)(x ＋π4)A. B.C ．πD．2ππ4π2答案　C解析　函数y ＝cos 2－sin 2(x ＋π4)(x ＋π4)＝cos＝－sin2x ，(2x ＋π2)所以函数的最小正周期是T ＝＝π，故选C.2π26．设a ＝tan35°，b ＝cos55°，c ＝sin23°，则( )A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案　A解析　由题可知b ＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b >c ，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a >b .综上，a >b >c ，故选A.7．若函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( )3A. B. C. D.π6π32π35π6答案　B解析　f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2·sin.因为f (x )为偶函数，所3(2x ＋θ＋π6)以当x ＝0时，2x ＋θ＋＝θ＋＝k π＋(k ∈Z )，解得θ＝k π＋(k ∈Z )．当k ＝0π6π6π2π3时，θ取得最小正实数值，故选B.π38．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，(A >0，ω>0，0<|φ|<π2)则f (x )等于( )A.sinB.sin12(14x ＋π8)12(4x －π8)C.sinD.sin 12(14x －π8)12(4x ＋π8)答案　C解析　由题图知，函数f (x )的最小正周期T ＝2＝8π，A ＝，所以ω＝＝，(9π2－π2)122π8π14f (x )＝sin ，由点在函数f (x )的图象上，可知sin ＝0，又12(14x ＋φ)(π2，0)(π8＋φ)0<|φ|<，所以φ＝－，所以f (x )＝sin .π2π812(14x －π8)9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C ．则角B 的大小为( )A. B. C. D.π6π32π35π6答案　C解析　由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，所以cos B ＝＝＝－，又B ∈(0，π)，解得B ＝，故选C.a 2＋c 2－b 22ac －ac 2ac 122π310．已知函数f (x )＝sin2x －2cos 2x ，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，313纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝－4，则|x 1－x 2|的值可能为( )A. B. C.D ．ππ3π4π2答案　C解析　由题意得f (x )＝sin2x －cos2x －13＝2sin－1，则g (x )＝2sin ，故函数g (x )的最小正周期T ＝＝.由(2x －π6)(6x －π6)2π6π3g (x 1)·g (x 2)＝－4，知g (x 1)与g (x 2)的值一个为2，另一个为－2，故|x 1－x 2|＝＝|T2＋kT |(k ∈Z )．当k ＝1时，|x 1－x 2|＝，故选C.|π6＋k π3|π211．在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，c 2sin A cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ，cos B ＝，已知D 是AC 上一点，且S △74BCD ＝，则等于( )23ADAC A. B. C. D.59492313答案　A解析　设＝＝＝k ，则由c 2sin A ·cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ，得a sin Ab sin B csin C k 2sin A sin C (sin C ·cos A ＋sin A cos C )＝4sin B ，即k 2sin A sin C sin(C ＋A )＝4sin B ，所以k 2sin A sin C ＝4，即ac ＝4.又cos B ＝，所以sin B ＝，所以S △ABC ＝ac sin B ＝，所以74341232＝＝1－＝，故选A.AD AC S △ABD S △ABC S △BCD S △ABC 5912．已知f (x )＝2sin ωx cos 2－sin 2ωx (ω>0)在区间上是增函数，(ωx 2－π4)[－2π3，5π6]且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A. B.(0，35][12，35]C.D.(12，35](12，＋∞)答案　B解析　f (x )＝sin ωx (1＋sin ωx )－sin 2ωx ＝sin ωx ，所以是含原点的单调递[－π2ω，π2ω]增区间，因为函数f (x )在区间上是增函数，所以[－2π3，5π6]⊆，所以Error!解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因为函数f (x )[－2π3，5π6][－π2ω，π2ω]3535在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范π2ω5π2ω1252围为，故选B.[12，35]第Ⅱ卷(非选择题　共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知锐角α满足cos ＝cos2α，则sin αcos α＝________.(α－π4)答案　14解析　由cos＝cos2α，得(cos α＋sin α)＝cos 2α－sin 2α，因为(α－π4)22cos α＋sin α≠0，所以可化简得cos α－sin α＝，即(cos α－sin α)222＝1－2cos αsin α＝，解得sin α·cos α＝.121414．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm ，内圆半径为30cm ，则π3制作这样一面扇面需要的布料为________cm 2.答案　450π解析　由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π(cm 2)．12π312π315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝，△ABC 的面积为，且72332tan A ＋tan B ＝(tan A tan B －1)，则a ＋b ＝________.3答案　112解析　由tan A ＋tan B ＝(tan A tan B －1)，3得tan(A ＋B )＝＝－，又A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＝，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B 32π3C ＝.由S △ABC ＝ab sin C ＝，得ab ＝6.又cos C ＝＝＝，π312332a 2＋b 2－c 22ab (a ＋b )2－c 2－2ab 2ab 12解得a ＋b ＝.11216．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin2θ＝________.答案　1665解析　由题意知函数y ＝sin(πx ＋φ)的最小正周期为T ＝＝2，过点P 作PQ 垂直x 轴2ππ于点Q (图略)，则tan∠APQ ＝＝，tan∠BPQ ＝＝，T411234T132tan θ＝tan(∠APQ ＋∠BPQ )＝8，故sin2θ＝2sin θcos θ＝＝＝.2sin θcos θsin2θ＋cos2θ2tan θtan2θ＋11665三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.171314π2(1)求tan2α的值；(2)求β.解　(1)由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝，17π21－cos2α1－(17)2437∴tan α＝＝×＝4，sin αcos α437713∴tan 2α＝＝＝－.2tan α1－tan2α2×431－(43)28347(2)由0<β<α<，得0<α－β<，π2π2又cos(α－β)＝，1314∴sin(α－β)＝＝＝.1－cos2(α－β)1－(1314)23314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.171314437331412π318．(12分)已知函数f (x )＝sin ＋sin 2x .22(2x ＋π4)(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若对任意x ∈R ，有g (x )＝f，求函数g (x )在上的值域．(x ＋π6)[－π6，π2]解　(1)f (x )＝sin＋sin 2x22(2x ＋π4)＝＋sin 2x22(22sin 2x ＋22cos 2x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x 1212＝sin 2x ＋cos 2x －＋sin 2x 1212＝sin 2x ＋1－＝sin 2x ＋，12121212故函数f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋.1212∵对任意x ∈R ，有g (x )＝f，(x ＋π6)∴g (x )＝sin 2＋＝sin ＋，12(x ＋π6)1212(2x ＋π3)12当x ∈时，2x ＋∈，[－π6，π2]π3[0，4π3]则－≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴－×＋≤g (x )≤＋，即≤g (x )≤1.32121212122－34故函数g (x )在上的值域为.[－π6，π2][2－34，1]19．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos2A －cos2B ＝2cos cos .(π6－A )(π6＋A)(1)求角B 的值；(2)若b ＝，且b ≤a ，求a －的取值范围．3c2解　(1)由cos 2A －cos2B ＝2cos cos ，得2sin 2B －2sin 2A ＝2(π6－A )(π6＋A)，(34cos2A －14sin2A )则sin B ＝，32所以B ＝或.π32π3(2)因为b ≤a ，所以B ＝，π3由正弦定理＝＝＝＝2，a sin A c sin C b sin B 332得a ＝2sin A ，c ＝2sin C .所以a －＝2sin A －sin C ＝2sin A －sin c2(2π3－A)＝sin A －cos A ＝sin.32323(A －π6)又b ≤a ，所以≤A <，则≤A －<，π32π3π6π6π2所以≤sin<，323(A －π6)3所以a －∈.c2[32，3)20．(13分)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .3(1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin＋cos ωx (ω>0)，且f (x )的图象上两相邻的最高点之间的(ωx ＋π6)距离为π，求f (A )的取值范围．解　(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝.c 24ab 又sin 2C ＝2sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝2ab ，33所以cos C ＝＝＝，c 24ab 23ab 4ab 32又C ∈(0，π)，所以C ＝.π6(2)f (x )＝sin＋cos ωx ＝sin ，(ωx ＋π6)3(ωx ＋π3)则最小正周期T ＝＝π，解得ω＝2，2πω所以f (x )＝sin.3(2x ＋π3)因为C ＝，B ＝－A ，π65π6则Error!解得<A <，π3π2所以π<2A ＋<，π34π3则－<f (A )<0.32所以f (A )的取值范围是.(－32，0)。

第一章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：∵角α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴－k ·360°－270°<－α<－k ·360°－180°，k ∈Z .∴角－α的终边在第二象限．故选B.2．已知扇形AOB 的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( A ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析：S ＝12l ·r ＝12·α·r 2＝4，∵α＝2，∴r ＝2，∴l ＝α·r ＝4.3．点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( A )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12解析：点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝⎛⎭⎫－12，32，故选A. 4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( C ) A ．－433B ．4 3C ．－4 3D ．±4 3解析：∵tan600°＝tan(60°＋3×180°)＝tan60°＝3，又点(－4，a )在600°角的终边上，∴－a4＝tan600°＝3，∴a ＝－4 3. 5．sin1，cos1，tan1的大小关系为( C )A ．sin1>cos1>tan1B ．sin1>tan1>cos1C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1解析：本题主要考查同角的不同三角函数值的大小．由于π4<1<π3，则有1>sin1>22>cos1，又tan1>1，故tan1>sin1>cos1，故选C.6．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝( B )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由图象可知函数的周期为π2，所以2πω＝π2，ω＝4.7．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝( C )A.13B.23C.107D.32解析：本题主要考查同角三角函数关系的应用.sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107，故选C. 8．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：∵b ＝cos55°＝sin(90°－55°)＝sin35°，且35°>33°，根据y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，可得b >a ；结合三角函数线可知b <c ，∴c >b >a ，故选C.9．函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( C )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8)解析：本题主要考查三角函数的单调性的判断和单调区间的求法．由sin(π4－2x )>0，得sin(2x －π4)<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π(k ∈Z )．又f (x )＝lgsin(π4－2x )的增区间即为sin(π4－2x )在定义域内的增区间，即sin(2x －π4)在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π(k ∈Z )，化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C.10．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则以下说法正确的是( C ) A ．函数的最小正周期为π4B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上为减函数解析：该函数的最小正周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是增函数，因此只有C 正确．11．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)的图象，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝π4，故选B.12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 解析：∵ω>0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z )．∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，πω＋π4≤2k π＋32π，即4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．令k ＝0，得12≤ω≤54，故选A.(本题也可用排除法)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－1.解析：原式＝sin ⎣⎡⎦⎤8π＋⎝⎛⎭⎫α－π2cos (π2－α)sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos αsin αcos α[]－()－sin α＝－1.14．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间是[k π＋23π，k π＋76π](k ∈Z )． 解析：由题意得2k π＋π≤2x －π3≤2k π＋2π，k ∈Z .∴k π＋23π≤x ≤k π＋76π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为[k π＋23π，k π＋76π]，k ∈Z .15．已知tan α＝cos α，则sin α＝－1＋52. 解析：由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1＋52或sin α＝－1－52(舍去)．16．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知tan α＝－34.(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos (π2＋α)cos (152π－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin (132π＋α)的值．解：(1)2＋sin αcos α－cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×(－34)2＋(－34)＋1(－34)2＋1＝98－34＋11＋916＝2225.(2)原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos[7π＋(π2－α)](－cos α)sin αsin αsin[6π＋(π2＋α)]＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α＝34. 18．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)图象最低点的纵坐标是－3，相邻的两个对称中心是⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0.(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的值域； (3)求f (x )的图象的对称轴．解：(1)由题意知，A ＝3，T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又点⎝⎛⎭⎫π3，0在f (x )的图象上，∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，∴3sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0；∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，结合－π<φ<0，可得φ＝－2π3.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )的值域是[－3，3]．(3)令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．∴f (x )的图象的对称轴是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＋b .令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1.又∵a <0，∴2a ≤2a sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤－a ，∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .∵f (x )的值域是[2,3]，∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3.解得a ＝1－2，b ＝3.20．(本小题12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若点Q 的坐标是(m ，45)，其中m <0，求cos(π－α)＋sin(－α)的值；(2)设点P (32，12)，函数f (α)＝sin(α＋β)，求f (α)的值域． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(45)2＝1，m <0得m ＝－35，所以cos α＝m ＝－35，sin α＝45.所以cos(π－α)＋sin(－α)＝－cos α－sin α＝－15.(2)由已知得β＝π6，因为α∈[0，π)，则α＋π6∈[π6，7π6)，所以－12<sin(α＋π6)≤1.故f (α)的值域是(－12，1]．21.(本小题12分) 设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f (π4)＝cos(2×π4＋φ)＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0， ∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －π3)，列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x －π3－π3 0 π2 π 3π2 5π3 f (x )121－112作图象如图所示：(3)∵f (x )>22，即cos(2x －π3)>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4(k ∈Z )，则2k π＋π12<2x <2k π＋7π12(k ∈Z )，即k π＋π24<x <k π＋7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是{x |k π＋π24<x <k π＋7π24，k ∈Z }．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 10π3 f (x )－1131－1131(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，由表格中的数据，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω＝2π，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋A ＝3，b －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝1，令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，所以k ＝2π2π3＝3，令t ＝3x －π3，因为x ∈[0，π3]，所以t ∈[－π3，2π3]，作出y ＝sin t (t ∈[－π3，2π3])的图象，如图所示．由图象可知，sin t ＝s 在t ∈[－π3，2π3]上有两个不同的实数解时，s ∈[32，1)，所以方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]上恰好有两个不同实数解时，m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。

2020年高中数学 人教A 版 必修4 单元测试卷三角恒等变换一、选择题1.化简sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．42.化简：cos 20°cos 35°1－sin 20°=( )A ．1B ．2 C. 2 D. 33.如果α∈(π2，π)，且sin α=45，则sin(α＋π4)-22cos(π-α)=( )A.225 B ．-25 C.25 D ．-2254.函数f(x)=sin 2x-cos 2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π5.若2sin 2x=cos 2x ＋1，且cos x≠0，则tan 2x=( )A.43 B ．-43 C ．2 D.8176.已知向量a =(2，sin x)，b =(cos 2x,2cos x)，则函数f(x)=a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π7.计算cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°-2cos 75°cos 15°的值等于( )A ．0 B.32 C ．1 D ．-128.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=45，且β的终边在第三象限，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．-55D ．-2559.已知sin α=55，cos α=255，则tan α2等于( ) A ．2- 5 B ．2＋ 5 C.5-2 D ．±(5-2)10.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x =35，则sin 2x 的值为( )A.1925B.1625C.1425D.72511.若0＜α＜π2，-π2＜β＜0，cos(π4＋α)=13，cos(π4-β2)=33，则cos(α＋β2)=( )A.33 B ．-33 C.539 D ．-6912.函数y=sin xcos x ＋3cos 2x-3的图象的一个对称中心是( )A ．(2π3，-32)B ．(5π6，-32)C ．(-2π3，32)D ．(π3，-3)二、填空题13.已知α∈(0，π2)，sin α=35，则1cos 2α＋tan 2α的值为________．14.若sin θ2-2cos θ2=0，则tan θ=________.15.已知α，β为锐角，且 cos(α＋β)=sin(α-β)，则tan α=________.16.若函数y=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6与函数y=sin 2x ＋acos 2x 的图象的对称轴相同， 则实数a 的值为________．三、解答题17.已知函数f(x)=2asin x 2cos x 2＋sin 2x 2-cos 2x2(a ∈R )．(1)当a=1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴； (2)当a=2时，在f(x)=0的条件下，求cos 2x1＋sin 2x 的值．18.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2=-277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β=12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．19.已知tan α=2，tan β=-13，其中0<α<π2，π2<β<π.求：(1)tan(α-β)的值；(2)α＋β的值．20.已知函数f(x)=sin(3x ＋π4)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α-sin α的值．21.已知f(x)=2cos 2 ωx2＋3sin ωx＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R ，求f(x)的递增区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a 的值．22.已知锐角α，β满足tan(α-β)=sin 2β，求证：tan α＋tan β=2tan 2β.答案解析1.答案为：C.解析：原式=sin （30°－20°）＋sin （30°＋20°）sin 35°·cos 35°=2sin 30°·cos 20°12sin 70°=2.2.答案为：C.解析：原式=cos 210°－sin 210°cos 35°cos 10°－sin 10°=cos 10°＋sin 10°cos 35°=2sin 45°cos 10°＋cos 45°sin 10°cos 35°=2sin 55°cos 35°= 2.3.答案为：B.解析：sin(α＋π4)-22cos(π-α)=22sin α＋22cos α＋22cos α=22sin α＋2cosα.∵sin α=45，α∈(π2，π)，∴cos α=-35.∴22sin α＋2cos α=22×45-2×35=-25.4.答案为：B.解析：f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故T=2π2=π.5.答案为：A.解析：由已知得4sin xcos x=2cos 2x ，∴tan x=12，∴tan 2x=2tan x 1－tan 2x =43，故选A.6.答案为：B.解析：∵f(x)=a·b =2cos 2x ＋2sin xcos x=1＋cos 2x ＋sin 2x=1＋2sin(2x ＋π4)，∴f(x)=a·b 的最小正周期是π.7.答案为：A.解析：因为cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°=cos 76°·cos 16°＋sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=12，2cos 75°·cos 15°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12，所以原式=12-12=0，故选A.8.答案为：A.解析：由已知，得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=45，即sin β=-45.∵β在第三象限，所以cos β=-35，∴cos β2=± 1＋cos β2=±15=±55.9.答案为：C.解析：因为sin α=55＞0，cos α=255＞0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tan α2＞0，故tan α2=1－cos α1＋cos α=1－2551＋255=5-2.10.答案为：D.解析：sin 2x=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x =1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x =1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352=725.11.答案为：C.解析：∵0＜α＜π2，-π2＜β＜0，∴π4＜π4＋α＜3π4，π4＜π4-β2＜π2，∴sin(π4＋α)= 1－19= 223，sin(π4-β2)=63.∴cos(α＋β2)=cos[(π4＋α)-(π4-β2)]=cos(π4＋α)cos(π4-β2)＋sin(π4＋α)sin(π4-β2)=539，故选C.12.答案为：B.解析：y=12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2-3=12sin 2x ＋32cos 2x-32=sin(2x ＋π3)-32，h(x)=sin(2x ＋π3)的对称中心为(-π6＋kπ2，0)，k ∈Z ，∴y=sin(2x ＋π3)-32的对称中心为(-π6＋kπ2，-32)，k ∈Z ，经验证知B 正确．13.答案为：7；解析：∵α∈(0，π2)，sin α=35，∴cos α=45.∴1cos 2α＋tan 2α=1＋sin 2αcos 2α=sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α1－2sin 2α=sin α＋cos α21－2sin 2α=7.14.答案为：-43；解析：由sin θ2-2cos θ2=0，得tan θ2=2.∴tan θ=2tanθ21－tan 2θ2=2×21－22=-43.15.答案为：1；解析：∵cos(α＋β)=sin(α-β)，∴cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)=sin α(sin β＋cos β)． ∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α=sin α， ∴tan α=1. 16.答案为：-33； 解析：y=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6=1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32，这个函数图象的对称轴方程是2x ＋π3=kπ(k∈Z )，取k=0，得其中一条对称轴方程是x=-π6.如果x=-π6是函数y=sin 2x ＋acos 2x 的对称轴，则当x=-π6时，这个函数取得最值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3=±1＋a 2，即-32＋12a=±1＋a 2，解得a=-33.当a=-33时，函数y=sin 2x ＋acos 2x=sin 2x-33cos 2x=233⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x =-233cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，显然符合要求．17.解：f(x)=asin x-cos x.(1)当a=1时，f(x)=sin x-cos x=2sin(x-π4)，则函数f(x)的最小正周期为2π.令x-π4=kπ＋π2(k ∈Z )，得x=kπ＋3π4(k ∈Z )．则函数f(x)的图象的对称轴是x=kπ＋3π4(k ∈Z )．(2)当a=2，f(x)=0时，有0=2sin x-cos x ，则tan x=12，则原式=cos 2x －sin 2x （cos x ＋sin x ）2=cos x －sin x cos x ＋sin x =1－tan x 1＋tan x =13.18.解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α-β2<π，-π4<α2-β<π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2=1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2=217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β=1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β=32.∴cos α＋β2=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β=⎝ ⎛⎭⎪⎫－277×32＋217×12=-2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4，∴sin α＋β2=1－cos2α＋β2=5714. ∴tan α＋β2=sin α＋β2cos α＋β2=-533.∴tan(α＋β)=2tanα＋β21－tan2α＋β2=5311.19.解：(1)∵tan α=2，tan β=-13，∴tan(α-β)=tan α－tan β1＋tan αtan β=2＋131－23=7.(2)∵tan(α＋β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=2－131＋23=1，且0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2.∴α＋β=5π4.20.解：(1)由-π2＋2kπ≤3x＋π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得2kπ3-π4≤x≤2kπ3＋π12，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ3-π4，2kπ3＋π12](k ∈Z )．(2)由f(α3)=45cos(α＋π4)cos 2α，得sin(α＋π4)=45cos(α＋π4)cos 2α.因为cos 2α=sin(2α＋π2)=sin[2(α＋π4)]=2sin(α＋π4)cos (α＋π4)，所以sin(α＋π4)=85cos 2(α＋π4)sin(α＋π4)．又α是第二象限角，则得sin(α＋π4)=0或cos 2(α＋π4)=58.①由sin(α＋π4)=0，得α＋π4=2kπ＋π⇒α=2kπ＋34π(k∈Z )，所以cos α-sin α=cos 3π4-sin 3π4=- 2.②由cos 2(α＋π4)=58⇒cos(α＋π4)=-522⇒12(cos α-sin α)=-522，所以cos α-sin α=-52. 综上可知cos α-sin α=-2或cos α-sin α=-52.21.解：由f(x)=2cos2ωx2＋3sin ωx＋a =3sin ωx＋cos ωx＋a ＋1=2sin(ωx＋π6)＋a ＋1.因为f(x)的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2=π2⇒T=π⇒ω=2πT=2， ∴f(x)=2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.(1)由-π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，解得-π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z )，所以f(x)的递增区间为[-π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z )．(2)若x ∈[0，π2]，则π6≤2x＋π6≤7π6，所以-12≤sin(2x＋π6)≤1，所以f(x)max =2＋a ＋1=4，所以a=1.22.证明：因为tan(α-β)=sin 2β，tan(α-β)=tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β=2sin βcos β=2sin βcos βsin 2β＋cos 2β=2tan β1＋tan 2β， 所以tan α－tan β1＋tan αtan β=2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α=3tan β＋tan 3β1－tan 2β. 所以tan α＋tan β=3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β=2×2tan β1－tan 2β=2tan 2β.。