江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案数学归纳法2苏教版选修22

第2课时 用数学归纳法证明不等式 学习目标 1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用．一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0时结论正确；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时成立，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．类型一 利用数学归纳法证明不等式例1 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760， 故左边>右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*) 方法一 (分析法)下面证(*)式>56， 即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0，只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练1 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k 2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型二 猜想并证明不等式例2 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624， 令2624>a 24⇒a <26，且a ∈N *， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证结论正确．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， 所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.反思与感悟 (1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键．(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值．跟踪训练2 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，n ∈N *，有a n ≥n ＋2.(1)解 由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，n ∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3.即当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对任意的n ≥1，n ∈N *，都有a n ≥n ＋2.1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明的不等式为____________________________．答案 1＋122＋132<2－122－12．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，那么，下列命题成立的是________．(填序号)①若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立；②若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立；③若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立；④若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．答案 ④解析 若f (4)＝25，则f (4)≥42，由条件可知，当k ≥4时，f (k )≥k 2，故④正确．3．以下是用数学归纳法证明有“n ∈N *时，2n >n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21>12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k >k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意n ∈N *不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号) 答案 (2)解析 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中 用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2<2k ＋1.4．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1时，假设n ＝k 时，命题成立，那么当n ＝k ＋1时，只需证明________________________________即可．答案 3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3k ＋32k ＋3解析 由假设知：1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2， ∴只需证明3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝3k ＋32k ＋3.1．n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．2．“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设．3．由于是不等式的证明，所以在转化过程可能用到基本不等式及分析法、综合法、放缩法等．课时作业一、填空题1．已知a i >0(i ＝1,2，…，n )，考查①a 1·1a 1≥1； ②(a 1＋a 2)(1a 1＋1a 2)≥4； ③(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥9. 归纳得对a 1，a 2…a n 成立的类似不等式为________________________．答案 (a 1＋a 2＋…a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2 2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式为______________．答案 1＋12＋13<2 解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证1＋12＋13<2. 3．仔细观察下列不等式：(1＋11)>3， (1＋11)(1＋13)>5， (1＋11)(1＋13)(1＋15)>7， (1＋11)(1＋13)(1＋15)(1＋17)>9， 则第n 个不等式为________________________________．答案 (1＋11)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n －1)>2n ＋1(n ∈N *) 4．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．上述证法的错误在于________________．答案 没有用归纳假设6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_____． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 7．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案 5解析 当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.8．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋39．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 二、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)并用数学归纳法证明你的结论．解 当n ＝1时，21＋2＝4>12，当n ＝2时，22＋2＝6>22，当n ＝3时，23＋2＝10>32，当n ＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又因为k ＋1>0，k －3≥0，所以(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，2n ＋2>n 2.11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋122＝54， 右边＝2－12＝32，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 那么当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2， 又由于[2－1k ＋1(k ＋1)2]－(2－1k ＋1) ＝1k ＋1－1k ＋1(k ＋1)2＝k (k ＋1)－(k ＋1)2＋k k (k ＋1)2＝－1k (k ＋1)2<0， 所以2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 所以1＋122＋132＋…＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①，②知，对于大于等于2的正整数n ，不等式成立．12．用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，其中n ≥2，n ∈N *. 证明 ①当n ＝2时，左边＝12，右边＝0，结论成立； ②设n ＝k 时，结论成立，即12＋13＋14＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋2k －12k >k －12， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，n ≥2，n ∈N *. 三、探究与拓展13．求证：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ≥1，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．14．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． ②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

数学归纳法学案
【知识清单】
数学归纳法步骤：
〔1〕〔归纳奠基〕证明当取第一个值时命题成立．
〔2〕〔归纳递推〕假设时命题成立，证明当时命题也成立．
【适用范围】归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要的证明方法，也是一种完全归纳法。

它常用来解决以下几类问题：
〔1〕用于证明恒等式；〔2〕用于证明不等式；
〔3〕用于证明整除问题；〔4〕用于证明某些几何问题．
使用数学归纳法要注意证明的步骤与书写格式的标准性．
【易错点解读】
运用数学归纳法需要注意的问题主要有以下几点:
〔1〕对项数估算出错即寻找与的关系时,项数发生什么变化被弄错．
〔2〕归纳假设的漏用,归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了．
〔3〕关键步骤模糊不清〞假设时结论成立,利用此假设证明时结论也成立〞,是数学归纳法关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性,标准性．
【课前预习】
，
（1）求出其前四项，你能猜测的通项公式吗？
【方法生成】
数学归纳法可用来证明与正整数n有关的命题，其证明步骤为：
【例题选讲】
例1：用数学归纳法证明课前预习的猜测!
例2、用数学归纳法证明：当时，
小结：
例3：，求证：．
小结：
课堂练习1：用数学归纳法证明：
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是_________________课堂练习2:，那么_______________________
思考题：，求证：．【课堂小结】
【课后作业】
数学归纳法学案课后检测。

合情推理－归纳推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学过程一．问题情境1．情境：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何一个推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推导得的命题．它告诉我们推理的知识是什么．下面是三个推理案例．（1）前提：当0n =时，21111n n -+=；当1n =时，21111n n -+=；当2n =时，21113n n -+=；当3n =时，21117n n -+=；当4n =时，21123n n -+=；当5n =时，21131n n -+=；11,11,13,17,23,31都是质数．结论：对于所有的自然数n ，211n n -+的值都是质数．2．问题：上述案例中的推理各有什么特点？二．学生活动从个别事实推演出一般性结论．三．建构数学1．归纳推理：从个别事实中推演出一般性结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

2．归纳推理的思维规程大致为：3．归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围.（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,“瑞雪兆丰年”等谚语一样，是 人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.四．数学运用1．例题：例1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的．例2．三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540，……由此我们猜想：凸n 边形的内角和是(2)180n -⨯．例3．221222223,,331332333+++<<<+++，…… 由此我们猜想：(,,b b m a b m a a m+<+均是正实数)． 五．回顾小结：1．归纳推理的概念和特点；2．归纳推理的思维过程．。

第1课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．(2)数学归纳法的框图表示类型一从n＝k到n＝k＋1左边增加的项例1 用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 反思与感悟 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 类型二 用数学归纳法证明恒等式例2 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12. 左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式都成立．1．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_______________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________．答案 1＋a ＋a 2＋a 3解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，那么可以通过求a 2，a 3，a 4的值猜想出a n ＝________.答案 6n －52n －14．请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6， 则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、填空题1．设n ∈N *，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 时，第一步应证明：左边＝________. 答案 22．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，n 所取的第一个值n 0为________．答案 3解析 由题意知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．①n ＝k ＋1时等式成立②n ＝k ＋2时等式成立③n ＝2k ＋2时等式成立④n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 ②解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (2)的表达式为________． 答案 f (2)＝12＋13＋14解析 代入表达式可得．5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳得出a n 的通项表达式为________．答案 26n －5解析 由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任意的n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤错误的是________．(填序号)答案 ③解析 ③中没有用到归纳假设．7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝128．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_________________________________________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)29．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案 缺少步骤归纳奠基二、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4. 证明 ①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4. 那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4. 所以当n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N *等式成立．三、探究与拓展13．证明1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设当n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数为________．答案 2k解析 当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项数为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k .14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。

归纳推理一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

2.数学归纳法-苏教版选修2-2教案一、知识概述1.1 数学归纳法的定义数学归纳法是一种重要的证明方法，是对一些基本等式或者命题在正整数的范围内依次递推证明的方法。

该方法的基本思想是从一些基本事实出发，递推地得出更一般的结论。

1.2 数学归纳法的应用数学归纳法在各个学科中具有广泛的应用，特别是在数学中。

例如，可以通过归纳证明某些重要的等式或命题，甚至是数学定理。

二、教学内容及教学方式2.1 教学内容本次教学的主要内容是数学归纳法，包括其定义、原理、常见的数学归纳法证明方法等。

通过学习，学生将掌握数学归纳法的基本思想和应用方法，以及数学归纳法证明的具体过程。

2.2 教学方式本次教学采用小组探究与讲解相结合的方式。

首先，由教师简要介绍数学归纳法的基本原理和应用；然后，分组让学生自己探究和总结数学归纳法的证明方法，并回答一些教师提出的问题；最后，教师进行总结和讲解，帮助学生全面掌握数学归纳法的相关知识和方法。

三、教学目标3.1 知识目标1.掌握数学归纳法的定义和原理；2.理解数学归纳法的基本思想和应用方法；3.学会使用数学归纳法证明数学等式和命题。

3.2 能力目标1.培养学生归纳思维和递推思维能力；2.提高学生解决问题的能力和方法；3.培养学生对证明过程的清晰和严谨的掌握和理解。

四、教学重点和难点4.1 教学重点1.掌握数学归纳法的定义和原理；2.学会使用数学归纳法证明数学等式和命题。

4.2 教学难点1.学生对数学归纳法的理解和应用方法；2.学生对数学归纳法证明过程的严谨和清晰的掌握和理解。

五、教学方法5.1 案例教学法通过引导学生找到数学归纳法应用的例子，同时解析归纳法的应用方法和具体证明过程。

5.2 小组讨论法将学生分成小组，让每组自己探究数学归纳法的证明方法，并通过小组讨论，帮助学生理解和掌握数学归纳法的相关知识和方法。

六、教学过程6.1 案例分析以斐波那契数列为例，通过归纳法证明其递推式至第 n 阶。

四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ） 备课时间教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1 教学目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程（一）、复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;（2） （归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时 命题也成立 。

--------------数学归纳法（二）、例题剖析：例1．用数学归纳法证明：)(17)13(+∈-⋅+N n n n 能被9整除.证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立（2）假设当n=k 时命题成立，即)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除那么，当n=k+1时，17]1)1(3[1-⋅+++k k1111(31)73717(31)7371(31)716(31)737[(31)71](1827)7k k k k k k k k kk k k k k k ++++=+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅-=+⋅-+⋅+⋅+⋅=+⋅-++⋅由归纳假设)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除2221k k k +++212122n n n n n+-=+++-++ 22211+n=k(k ∈N)时等式成立，。

四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高一数学 ）
备课
时间 3.15
教学
课题
教时
计划
1
教学
课时 1
教学 目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
重点难点
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义
教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算 2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
2
1
()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
2
1
()T T v t dt ⎰
=12()()S T S T -。

2．3 数学归纳法1．在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】 (1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．与正整数n 无关的数学命题能否应用数学归纳法？数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1?【提示】 不能，数学归纳法只能证明与正整数n 有关的数学命题；n 的初始值不一定为1，如凸n 边形的内角和(n －2)×180°，n 取的初始值为3.数学归纳法公理对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，2等)时结论正确；(2)假设当n ＝k(k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．证明(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n2)＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．【思路探究】(1)先验证n＝2成立，(2)由假设n＝k时等式成立，证明n ＝k＋1时，命题成立．【自主解答】(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，即n＝2时，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即(1－14)(1－19) (1)1k2)＝k＋12k.那么n＝k＋1时，(1－14)(1－19) (1)1k2)[1－1（k＋1）2]＝k＋12k·（k＋1）2－1（k＋1）2＝k＋22（k＋1）＝（k＋1）＋12（k＋1）.∴当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*等式成立．1．用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．(1)验证是基础：找准起点，验证的初始值n0不一定是1；(2)递推是关键，利用假设是核心，第二步证明中一定要利用归纳假设，否则不是数学归纳法．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.【证明】(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋(1k＋1－12（k＋1）)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12（k＋1），∴n＝k＋1时命题成立根据(1)和(2)，对任意n∈N*，1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.n n＋1n(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{a n}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有a n≥n＋2.【思路探究】(1)由a2，a3，a4，猜想a n.(2)验证n＝1时a1≥1＋2→假设ak≥k＋2→推证ak＋1≥k＋3【自主解答】(1)由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a2－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5，由此猜想{a n}的一个通项公式：a n＝n＋1(n≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1＝2k ＋5＞k ＋3.故n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2，不等式成立．由①②，对n ≥1，都有a n ≥n ＋2成立．1．数列是定义在N *上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．2．数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳——猜想——证明．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）ann －an(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．【解】 ∵a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）an n －an(n ≥2)， ∴a 3＝a22－a2＝142－14＝17，a 4＝2a33－a3＝2×173－17＝110. 猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确．(1)当n ＝1，2时，由题设，知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确，即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝（k －1）ak k －ak ＝（k －1）·13k －2k －13k －2＝k －13k2－2k －1 ＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2.∴当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)，(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．【思路探究】从简单情况入手，可借助于图形，归纳出一般规律，证明时要明晰k→k＋1中数量的变化．【自主解答】(1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，即1个圆把平面分成2部分，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆与原来的k个圆相交于2k个点，则该圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面的总区域增加了2k块．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意的n∈N*都成立．1．本题中，由n＝k到n＝k＋1的证明，要充分利用数形结合，明确多增加一个圆，多分割多少区域，完成递推，还要注意有必要的文字说明．2．用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”即几何元素从k增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系．试证明：凸n边形(n≥3，n∈N*)的内角和等于(n－2)π.【证明】(1)当n＝3时，三角形的内角和为π＝(3－2)π，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即凸k边形的内角和为(k－2)π.当n＝k＋1时，凸k＋1边形A1A2A3…A k A k＋1比凸k边形A1A2A3…A k增加一个顶点．∴比原图形增加一个三角形，内角和增加π，故凸k＋1边形的内角和为(k －2)π＋π＝[(k＋1)－2]π.则当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)和(2)，可知凸n边形(n≥3，n∈N*)的内角和等于(n－2)π.【思路探究】先验证n＝1时成立；假设n＝k时成立，即42k＋1＋3k＋2能被13整除，推证n＝k＋1时成立，即42k＋3＋3k＋3能被13整除，这里要对42k＋3＋3k ＋3分拆凑配，以利用结论“42k＋1＋3k＋2能被13整除”．【自主解答】(1)当n＝1时，42＋1＋31＋2＝64＋27＝91＝13×7能被13整除，∴命题成立．(2)假设当n＝k时，命题成立，即42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋1＋2＝16·42k＋1＋3·3k＋2＝16·42k＋1＋16·3k＋2－13·3k＋2＝16·(42k＋1＋3k＋2)－13·3k＋2.∵42k＋1＋3k＋2和－13都能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)可以断定，对于任意的n∈N*，42n＋1＋3n＋2都能被13整除．1．本题证明的关键是把3·3k＋2化为16·3k＋2－13·3k＋2，从而配凑出归纳假设．2．用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是数学归纳法证明整除问题的一大技巧．利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．【证明】(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除，那么，当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n∈N*都成立．不用归纳假设导致数学归纳法证明错误用数学归纳法证明1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)．【错解】①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以当n＝1时，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，则当n＝k＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]＝12(k＋1)(3k＋2)．由于等式左端是一个以1为首项，公差为3，项数为k＋1的等差数列的前n项和，其和为12(k＋1)(1＋3k＋1)＝12(k＋1)(3k＋2)，等式成立，∴当n＝k＋1时，命题也成立．根据①和②知，对一切n∈N*，命题都成立．【错因分析】在第二步的证明过程中没有利用归纳假设，而是直接利用等差数列的前n项和公式求解，这是错误的．【防范措施】运用数学归纳法证明数学命题，关键看两个步骤一定要齐全，特别是第二步归纳假设一定被应用，如果没有用到归纳假设，那么就是不正确的．【正解】①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以当n＝1时，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，则当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12k(3k－1)＋(3k＋1)＝12(3k2＋5k＋2)＝12(k＋1)(3k＋2)＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据①②可知，对一切n∈N*，命题都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可．(2)“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．在证明时，一定要用以上归纳假设；在寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，要弄清项数发生了什么变化．1．用数学归纳法证明不等式n3＋1≥4n＋1时，n所取的第一个值n0为_____ ___．【解析】n＝1时，1＋1＝2，4×1＋1＝5，2＜5；n＝2时，23＋1＝9，4×2＋1＝9，9≥9，∴n0＝2.【答案】 22．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________．【解析】由于n为正偶数，第一步应检验n＝2时，命题成立．第二步，应假设n＝2k(k∈N*)时命题成立，即n＝2k(k∈N*)时x2k－y2k能被x＋y整除．【答案】 2 假设n＝2k(k∈N)*时x2k－y2k能被x＋y整除3．平面内原有k条直线，它们的交点个数为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．【解析】设增加直线为l k＋1，它最多与前k条直线有k个交点．【答案】f(k)＋k4．证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，就是12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，那么当n＝k＋1时，1 2＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－2－12k＋1＝1－12k＋1.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．一、填空题1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1，则当n ＝1时f(n)为________．【解析】 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13＝116.【答案】 1162．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取值________．【解析】 ∵当n ＝1时，21＝12＋1，由n ＝2时，22<22＋1，当n ＝3时，23<32＋1，当n ＝4时，24<42＋1，当n ≥5时，2n >n 2＋1恒成立．∴n 0＝5.【答案】 53．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上________． 【解析】 当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2. 比较以上两式发现，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上12k ＋1－12k ＋2. 【答案】 12k ＋1－12k ＋24．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 014＝________．【解析】 a 2＝1－2＝－1，a 3＝1＋1＝2，a 4＝1－12＝12，∴以3为一个周期，∴a 2 014＝a 1＝12.【答案】 125．用数学归纳法证明an ＋bn 2≥(a ＋b 2)n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________．【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的(a ＋b 2)k ＋1.【答案】 a ＋b 26．用数学归纳法证明：n ∈N *，34n ＋2＋52n ＋1一定能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．【解析】 34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋2·34＋52k ＋1·52＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋2.【答案】 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋27．对于不等式n2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k2＋k ＜k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k2＋3k ＋2＜（k2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题成立．上述证法的错误在于________． 【解析】 在(2)中，不是由n ＝k 命题成立推证n ＝k ＋1时命题成立．【答案】 没用归纳假设8．用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f(n)＝12n(n －3)(n ≥4)时，f(k ＋1)与f(k)的关系是________．【解析】 假设n ＝k(k ≥4，k ∈N *)时成立，则f (k )＝12k (k －3)，当n ＝k ＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k ＋1－2＝k －1条，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋k －1二、解答题9．设n∈N*，利用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9是36的倍数．【证明】(1)当n＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，结论显然成立．(2)假设n＝k时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；那么，当n＝k＋1时，有f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除．这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切n∈N*，都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9是36的倍数．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n2＜1－1n(n≥2，n∈N*)．【证明】(1) 当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即122＋132＋142＋…＋1k2＜1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1（k＋1）2＜1－1k＋1（k＋1）2＝1－k2＋k＋1k（k＋1）2＜1－k（k＋1）k（k＋1）2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．11．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－an，a1＝0.试猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解】由a n＋1＝12－an，a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n＝n－1n(n＝1，2，3，…)．下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n＝1时，猜想显然成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，即a k＝k－1 k，那么，当n＝k＋1时，a k＋1＝12－ak＝12－k－1k＝kk＋1＝（k＋1）－1k＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2), 可知猜想a n＝n－1n对所有正整数都成立，即为数列{a n}的通项公式．。