安徽省滁州高二数学《231 数学归纳法》教案 新人教A版选修2-2

2. 3数学归纳法第1课时数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【核心扫描】1.用数学归纳法证明数学命题的两个步骤相辅相成，缺一不可.2.对数学归纳法的考查主要是在解答题屮出现，用数学归纳法证明不等式是高考的热点.AJ KEOIANTANJIUXUEXI .............................................................................................................................................................................................................................01 »课前探究学习挑战自我i点点落实自学导弓I1.数学归纳法公理对于某些与正整数刃有关的数学命题,可以用数学归纳法证明.2.数学归纳法证明一个少止整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值必SoWN)时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(k$g, Rd)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.想一想：(1)数学归纳法的第一步必的初始值是否一定为1?提示不一定，如证明几边形的内角和为⑺-2)-180° ,第一个值HQ = 3.(2)为什么可以先假设n = , MN + )时命题成立？再证n二£ + 1时命题也成立就可说明命题成立？提示“假设n - k(k^n(), kUNJ时命题成立，证明当n = k + 1时命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷・如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立・名师点睛运用数学归纳法的注意点数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的止确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可.如果缺少步骤(2),无法对舁取％后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了.(1)验证是慕础一般情况下，用数学归纳法证明与正整数冇关的数学命题时，第一个允许值是命题成立的第一个止整数，并不一定所冇的第一个允许值％都是1.(2)递推乃关键“假设心唇®圧N)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，a n=k+\时命题成立”则是求证的H标.在证明a n=k+\时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设, 再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证岀n=k+ 1时命题成立.可见数学归纳法证明的关键在于第二步.说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛•一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前〃项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明・(2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证•一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确.题型一 正确判断命题从n=k 到"=R+ 1项的变化【例1】己知知)=1+*+*+…+知胡)，证明不等式夬2")遡时,夬2竹比曲)多的项数是 _______［思路探索］仔细观察命题的结构特点，理解命题由n = R 到"* +1的变化趋势• 解析 观察・/(m 的表达式可知，右端分母是连续的正整数,夬 2人）二 1 +* + *+・•• +*，而夬2*“）二 1 +£ + *+・•• +21+/4^ 因此刖)比形)多了 2*项・答案2“项 规律方法》在书写夬R+ 1)时，一定要把包含人灯的式子写出来，尤其是/U+ 1)中的最后一 项•除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚・【变式1】设知)=1+*+* ------------- 3丄］。

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证:能被整除（n∈N+）。

例2：数列{a n}中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想{a n}的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n}满足，n∈N+,(1)当a1=2时，求，并猜想{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有①a n≥n+2 ②例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。

教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。

高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（1）》教案 新人教A 版选修2-2 教学目标知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点: 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学难点: 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时， 5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，… f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=． 例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=，那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++- 222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=． 证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立． （2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=， 那么。

2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。

二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。

二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。

我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。

师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。

（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。

师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。

《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。

2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。

2013年高中数学 2.3 3数学归纳法教案新人教A版选修2-2 教学目标：1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；2．理解数学归纳法原理的科学性；3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤；4．体会归纳演绎推理的思想；5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法。

教学重点和难点：1.数学归纳法原理的理解和基本步骤；2.数学归纳法原理的理解。

教学背景分析：数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。

它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用。

但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重。

为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可。

你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受。

学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题等等。

为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。

这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。

教学过程：一、引入：（介绍归纳法，引出课题）【教学过程】教师提出问题：1.观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

2.教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。

以上两个案例中的猜想问题有什么不同？学生讨论后回答：这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法。