高考数学第一轮点拨复习测试题之指数与对数函数中的典型错误分类辨析

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A．(−1,1)B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1)D．(−∞,0)∪(1,+∞)答案：D分析：作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.2、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为r1，第2月的口罩月消耗量增长率为r2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为r，则以下关系正确的是（）A．r2=r1r2B．r2≤r1r2C．2r=r1+r2D．2r≤r1+r2答案：D分析：求出r1,r2,r的关系，再根据基本不等式判断．由题意(1+r1)(1+r2)=(1+r)2，r2+2r=r1r2+r1+r2，r1=r2时，r2=r1r2，2r=r1+r2，r1≠r2时，r1+r2>2√r1r2，1+r=√(1+r1)(1+r2)<1+r1+1+r22，2r<r1+r2，因此r2>r1r2，综上2r≤r1+r2，r2≥r1r2．故选：D．3、设4a=3b=36，则1a +2b=（）A．3B．1C．−1D．−3答案：B分析：先求出a=log436,b=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 因为4a=3b=36，所以a=log436,b=log336，则1a =log364,2b=log369，所以则1a +2b=log364+log369=log3636=1.故选：B.4、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A5、已知函数f(x)=4+a x+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A．(－1，5)B．(－1，4)C．(0，4)D．(4，0)答案：A分析：令x+1=0，即可求出定点坐标；当x+1=0，即x=−1时，a x+1=a0=1，为常数，此时f(x)=4+1=5，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.6、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.7、化简√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可. √a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba3=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B8、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375= 0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B9、已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x，有（）A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f(−x)+f(x)=11+2−x +11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；f(−x)−f(x)=11+2−x −11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；故选：C．10、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）A．−1B．1C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C. 填空题11、若函数f (x )={−(12)x+a,a ≤x <0−x 2+2x −3,0≤x ≤4 的值域为[−11,−2]，则实数a 的取值范围是______. 答案：[−3,−1]解析：利用函数的单调性分别求得函数f (x )在区间[a,0)、[0,4]，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围.当0≤x ≤4时，f (x )=−x 2+2x −3=−(x −1)2−2∈[−11,−2]；当a ≤x <0时，此时函数f (x )=a −(12)x 单调递增，此时f (x )∈[−(12)a+a,−1+a). 由于函数f (x )在区间[a,4]上的值域为[−11,−2]，所以[−(12)a +a,−1+a)⊆[−11,−2].∴{−(12)a +a ≥−11−1+a ≤−2a <0 ，令g (x )=x −(12)x ，则函数g (x )在R 上单调递增，且g (−3)=−11， 所以，不等式a −(12)a ≥−11的解为a ≥−3.解不等式组{−(12)a +a ≥−11−1+a ≤−2a <0得−3≤a ≤−1. 所以实数a 的取值范围是[−3,−1].所以答案是：[−3,−1].小提示：本题考查利用分段函数的值域求参数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、设x ，y 为正实数，已知lg √x+√y 3=lgx+lgy 4，则√x y +√y x的值为______． 答案：7分析：根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.解：由lg √x+√y 3=lgx+lgy 4，可得lg (√x+√y 3)4=lgxy ，则(√x+√y 3)4=xy ， 则(√x+√y 3)2=√xy ，则x +y =7√xy ，两边同时除以√xy 得√x y +√y x =7．所以答案是：713、某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm )的函数关系式___________.答案：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.，(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)分析：由题意，个数越高，系数k 越大，因此在[160,190]上的函数是增函数即可，初始值(160,0)，(190,1)，设出函数式代入求解．由题意函数k(x)是[160,190]上的增函数，设k(x)=ax +b(a >0)，x ∈[160,190]，由{160a +b =0190a +b =1 ，解得{a =130b =−163，所以k(x)=130x −163， 所以k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.所以答案是：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.注：在[160,190]上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如y =b −a x (a >0)，y =ax 2+b (a >0)等等．小提示：思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．14、已知函数f (x ) ={e x −1,x ≥0，ax 2+x +a,x <0 恰有2个零点，则a =__________． 答案：12##0.5分析：先求得f (x )在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax 2+x +a =0有1个负根，a =0时不成立，a ≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x ≥0时，令f(x)=e x −1=0，解得x =0，故f (x )在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax 2+x +a =0有1个负根.当a =0时，解得x =0，显然不满足题意；当a ≠0时，因为方程ax 2+x +a =0有1个负根，所以Δ=1−4a 2≥0.当Δ=1−4a 2=0，即a =±12时，其中当a =12时，12x 2+x +12=0，解得x =−1，符合题意；当a =−12时，−12x 2+x −12=0，解得x =1，不符合题意； 当Δ=1−4a 2>0时，设方程ax 2+x +a =0有2个根x 1，x 2，因为x 1x 2=1>0，所以x 1，x 2同号， 即方程ax 2+x +a =0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a =12．所以答案是：0.5.15、对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a 2−ab,b 2−ab, a ≤b a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，且关于x 的方程为f(x)=m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是___________.答案：(0,14)分析：根据代数式2x −1和x −1之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数f (x )的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求出m 的取值范围.由2x −1≤x −1可得x ≤0，由 2x −1>x −1可得x >0，所以根据题意得f (x )={(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x >0， 即 f (x )={2x 2−x ，x ≤0x −x 2，x >0， 作出函数f (x )的图象如图，当x >0时，f (x )=x −x 2开口向下，对称轴为x =12，所以当x >0时，函数的最大值为f (12)=12−(12)2=14，函数的图象和直线y =m (m ∈R )有三个不同的交点．可得m 的取值范围是(0,14)， 所以答案是：(0,14) 解答题16、已知f(x)=9x −2×3x +4，x ∈[0，2]（1）设t =3x ，x ∈[0，2]，求t 的最大值与最小值；（2）求f(x)的最大值与最小值.答案：（1）最大值为9，最小值为1；（2）最大值为67，最小值3.解析：（1）对于t =3x ，x ∈[0，2]，直接利用t =3x 为增函数求出t 的最大值与最小值；（2）把函数f(x)转化为y =t 2−2t +4=(t −1)2+3,(1≤t ≤9)，利用二次函数求最值即可.（1）设t =3x ，x ∈[0，2]，则1⩽t ⩽32，即，即t 的最大值为9，最小值为1；（2）设t =3x ，x ∈[0，2]，则1⩽t ⩽9，函数f(x)转化为y=t2−2t+4=(t−1)2+3，∵1⩽t⩽9，y=t2−2t+4在[1,9]上单调递增，∴当t=1时，y最小为y=3，当t=9时，y最大为64+3=67，即f(x)的最大值为67，最小值3.小提示：求值域的常用方法：（1）直接法；（2）单调性法；（3）图像法；（4）复合函数法.17、（1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么log a M n=nlog a M(n∈R)；（2）请你运用（1）中的对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（3）因为210=1024∈(103,104)，所以210的位数为4．请判断20222023的位数．（参考数据：lg2022≈3.306，100.038≈1.091）答案：（1）证明见解析；（2）1712；（3）6689．分析：（1）设x=log a M，对数式改写为指数式，等式两边n次方，然后指数式改写为对数式即得；（2）直接利用（1）中性质化简对数后计算即可得；（3）20222023=N，取常用对数，利用（1）求得lgN后可得N的位数．（1）设x=log a M，则M=a x，所以M n=(a x)n=a nx，所以log a M n=log a a nx=nx=nlog a M，得证．（2）lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2×17lg26lg3=1712．（3）设20222023=N，则lgN=2023lg2022≈2023×3.306=6688.038，所以N=106688.038=100.038×106688，又1<100.038<10，所以N有6689位数，即20222023的位数为6689．18、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)={10x2+100x,0<x<40701x+10000x−9450,x≥40，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40；(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.分析：（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W(x)关于x的解析式；（2）根据（1）求出利润W(x)的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0<x<40时，W(x)=0.7×1000x−(10x2+100x)−250=−10x2+600x−250当x≥40时，W(x)=0.7×1000x−(701x+10000x −9450)−250=−(x+10000x)+9200，所以W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40.（2）当0<x<40时，W(x)=−10x2+600x−250=−10(x−30)2+8750，此时函数W(x)开口向上的抛物线，且对称轴为x=30，所以当x=30时，W(x)max=W(30)=8750（万元）；当x≥40时，W(x)=−(x+10000x)+9200，因为x+10000x ≥2√x⋅10000x=200，当且仅当x=10000x即x=100时，等号成立，即当x=100时，W(x)max=W(100)=−200+9200=9000（万元），综上可得，当x=100时，W(x)取得最大值为9000（万元），即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.19、已知函数f(x)=kx+log2(4x+1)(k∈R)是偶函数．（1）求k的值；（2）若f(x)−b>0对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．答案：（1）k=−1；（2）b<1.分析：（1）利用偶函数的特点f(x)=f(−x)，得到关于k的方程，解出k;（2）f(x)−b>0对于任意x恒成立，即b<log2(4x+1)−x对于任意x恒成立，令g(x)=log2(4x+1)−x，只需求出令g(x)的最小值即可，g(x)=log24x+12x =log2(2x+12x)，利用基本不等式及对数函数单调性来求最小值，从而得出b的范围.（1）因为函数f(x)=kx+log2(4x+1)(k∈R)是偶函数，所以f(−1)=f(1)，即−k+log2（4−1+1）=k+log2(4+1)，∴−2k=log25−log254=2，解得k=−1 .（2）f(x)−b>0对于任意x恒成立，即−x+log2(4x+1)−b>0，亦即b<log2(4x+1)−x对于任意x恒成立，令g(x)=log2(4x+1)−x，则有g(x)=log2(4x+1)−x=log2(4x+1)−log22x=log24x+12x =log2(2x+12x)，因为2x>0，2x+12x ≥2√2x⋅12x=2，所以log2(2x+12x)≥log22=1，即g(x)≥1，故b<1 .小提示：结合偶函数的特点来求解，可以利用特殊值；第二问中分离参数是解决恒成立问题的常用办法，特别注意式子的化简，利用基本不等式以及对数函数单调性求最小值.。

高中数学中常见错误分析及解决策略分析——以 "指数 ,对数函数 "为例【摘要】本文以高中数学中常见错误分析及解决策略分析——以"指数,对数函数"为例为主要内容进行阐述，结合当下新课改教学需求为依据，从计算错误；公式、法则和定理混淆；概念理解深度不够这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于减少常见错误，提升正确率，旨在为相关研究提供参考资料。

【关键词】高中数学；常见错误；解决策略；定理混淆引言：当前很多学生经常在数学考试中表现懊悔不已的态度，主要是因为在考试中本应会的题目却没有得到好的分数，虽然很多学生在教学中避免这一现象，但在实际中很多学生无法做到，遇到常见错误总是接连出错。

要想学好数学并非容易的事情，需要教师的努力，要意识到学生在数学中经常出错的内容，寻找到帮助学生有效解决问题的方法，所以本文针对数学学习中经常遇到的错误和解决对策，深度探讨和分析，确保学生能够在考试中取得更好的分数。

1.数学知识性错误高中数学知识逻辑性较强，知识点繁多，难度比较大，很多学生在学习中无法吃透，在数学知识一知半解，掌握不透彻，指示点联系较大，学生学习容易混淆，在学习中容易根据已有经验导致迁移错误现象发生，进而容易在数学学习中出现知识点错误，接下来针对上述三中常见的知识点错误具体分析：1.概念理解深度不够正确合理的理解数学概念是学好数学知识的基础，很多学生之所以数学知识不佳，成绩不高都是因为概念掌握不清晰，尤其是处于中等偏下学生自身理解能力薄弱，加上领悟力不强，对于数学概念理解不到位，一知半解，甚至一些学生死记硬背不愿深入了解，机械零散记忆，长时间将会影响学生对数学概念的理解，甚至无法深度掌握数学基本技能。

数学概念过于抽象，学生学习期间不但不能真正掌握，还很难接受，知道底数和幂的情况下求解指数知识，需要学生掌握对数N），学生掌握上述定义和和指数之间转化关系，（当a＞0，a≠1.a x=N x=loga概念就可以轻松解决运算问题，在转化运算期间学生经常遇到两个常见错误，一个是a＞0，a≠1，二是真数N＞0，在数学中明确规定正分数指数幂的意义是=（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）因此在计算时可以将其转化为根式形式，所以需要考虑根式进行计算，比如是不存在意义的，所以真数N应该是a x，必须是正数，很多学生斌变更为真正理解指数和对数之间存在的转化关系，所以在计算时经常出现错误，比如在解决不等式log x＞2，众多学生在解决数学问题时答案是x＜，从而将x＞0漏掉了使得答案出错。

第8课时对数与对数函数[考试要求]1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg_N．以e为底的对数叫做自然对数，log e N记为ln_N．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数恒等式：a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：log a b＝log log>0，且≠1；>0；>0，且≠1.3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b ＝1log；(2)log am b n ＝log a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；c ＞0，且c ≠1；d ＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x ．()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．()(3)函数y ＝ln1+1−与y ＝ln (1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121的图象重合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A 版必修第一册P 140习题4.4T 1改编)函数y ________．[由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1，12＜x ≤1.所以函数y 1.]2．(人教A 版必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小：(1)log 0.56________log 0.54；(2)log 213________log 123.[答案](1)<(2)＝3．(人教A 版必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．[(log 43＋log 83)×log 32+×lg 2lg 3＝56.]4．(人教A 版必修第一册P 141习题4.4T 12改编)若log a 23＜1，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞)[当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由0<<1，23<log ，得0<a <23.综上，a ∈0(1，＋∞)．]考点一对数的运算[典例1](1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m ＝3n ＝k 且1+1＝2，则k ＝()A．5B．6C．5D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．(1)B(2)－log62[(1)因为2m＝3n＝k且1+1＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以1＝log k2，1＝log k3，1+1＝log k2＋log k3＝log k6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝6.故选B.(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b＝() A．23B．2C．6D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．(1)C(2)4[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝log233＝13log23，所以＝2log2313log23＝6.故选C.(2)原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2×lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2×(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2×lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4．]考点二对数函数的图象及应用[典例2](1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤1时，4x＜log a x，则a的取值范围是()A．02B21C．(1，2)D．(2，2)(1)A(2)B[(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1<b<1.综上，0<a-1<b<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f2＜log a12，则a a1.]的图象和函数y＝log＜a≤22.]对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝a x-2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A BC D(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．(1)AD(2)(3，＋∞)[(1)易知g(x)＝log a|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝a x-2单调递减，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝a x-2单调递增，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b1，所以a＋2b＝a＋2，令g(x)＝x＋2(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例3](1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是() A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b(1)D(2)C[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.法二(图象法)：log1213＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，如图，由图可知c＞a＞b.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2<1log2<1log2<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.]解与对数有关的不等式[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B．012C122D．(0，2](2)设函数f(x)＝log2，＞0，log12(−p，＜0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是() A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)(1)C(2)C[(1)因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.(2)由题意可得＞0，log2＞−log2或＜0，log12(−p＞log2(−p，解得a>1或－1<a<0.故选C.]对数函数性质的综合应用[典例5](1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln2r12K1，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则实数a的值为________．(1)A(2)ACD(3)2[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有1＞0，≥1，即2−>0，≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2)．(2)令2r12K1>0，解得x>12或x<－1，∴f(x)的定义域为−∞，−∪+∞，又f(－x)＝ln−2r1−2K1＝ln2K12r1＝ln＝－ln2r12K1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln2r12K1＝ln1+令t＝1＋22K1，t>0且t≠1，则y＝ln t，又t＝1＋2在+∞上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)+∞上单调递减，故C正确；由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则f(－x)＝ln e−B+1＋x＝f(x)＝ln e B+1－x，即ln e B+1e−B＝2x，化简得ln e ax＝2x，解得a＝2．]题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则() A．x＞y B．x＋1＞y＋1C．ln(x－y)＜0D．12＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则() A．当m>14时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x12对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R(3)已知函数f(x)＝ln(1+2－x)＋2，则f(lg3)＋f________．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min ＝________．(1)ABD(2)AC(3)4(4)5[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x，所以ln x＋x＞ln y＋y.对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)，所以x＞y，故A正确；对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，1＜1，所以x＋1＞y＋1，故B正确；对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误；对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，所以2－x＜2－y，即12＜2－y，故D正确．故选ABD.(2)对于A，若m>14，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln2+−y轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f(x)＝ln++−14＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－12，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝+＋m－14≥34，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.(3)设g(x)＝ln(1+2－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg3)＋f lg f(lg3)＋f(－lg3)＝g(lg3)＋2＋g(－lg3)＋2＝4.(4)由题意得1≤≤9，1≤2≤9，∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．]点拨：易忽视g(x)的定义域．课时分层作业(十三)对数与对数函数一、单项选择题1．若x log34＝1，则4x＋4－x的值为()A．103B．3C．4D．13A[∵x log34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，∴4x＋4－x＝3＋3-1＝103.故选A.]2．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x 的图象可能是()A BC DB[∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a1，∴g(x)＝lo g1x＝log a x，函数f(x)＝a x与函数g(x)＝lo g1互为反函数，∴函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．故选B.]3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．1+1＝1B．2+2＝1C．1+1＝2D．2+1＝2A[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，1＝log k2，1＝log k3，1＝log k6，1+1＝1.]4．(2024·陕西师大附中模拟)已知a＝log23，b＝log34，c＝32，则()A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜bB[因为32＞23，则3＞232，故log23＞log2232＝32，所以a＞c；因为42＜33，则4＜332，故log34＜log3332＝32，所以b＜c.则有b＜c＜a.故选B.]5．(2024·福建龙岩期中)推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是()(参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)A．2033年B．2034年C．2035年D．2036年C[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，则n ln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝ln3ln11−ln10≈11，又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．故选C.]6．(2024·安徽安庆模拟)已知f(x)＝log1(x2－ax＋a)的值域为R，且f(x)在(－3，2－1)上单调递增，则实数a的取值范围是() A．[－2，0]B．−12，0∪[4，＋∞)C．[－2，0]∪[4，＋∞)D．[0，4]B[因为函数f(x)＝log12x2－ax＋a)的值域为R，所以x2－ax＋a取得一切正数，即方程x2－ax＋a＝0有实数解，得Δ＝a2－4a≥0，解得a≤0或a≥4.又函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)在(－3，－1)上单调递增，所以函数y＝x2－ax＋a在(－3，－1)上单调递减，且x2－ax＋a＞0在(－3，－1)上恒成立，−1，++≥0，解得a≥－12，综上，实数a12≤a≤0或a≥4.故选B.]二、多项选择题7．(2023·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6，4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0，4]上单调递增AB[由题意可得+6＞0，4−＞0，解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A 正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．故选AB.]8．已知函数f(x)＝|log a(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间−12，1上的最小值为0D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]ACD[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0，0)，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈−12，1时，x＋12，所以f(x)＝|log a(x＋1)|≥log a1＝0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1，2]上单调递增知log a2≥1，解得1<a≤2，故D正确．]三、填空题9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．(－∞，0)[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)．设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ，由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．]10．函数f(x)＝log2·lo g2(2x)的最小值为________．[依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2+－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x f(x)的最小值为－14.]四、解答题11．设f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．[解](1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以log 2−=1，log 22−2=log 212，即−=2，2−2=12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x－2x＝2−－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，94≤2−≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2，12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.12．已知函数f (x )＝log +.(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．[解](1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，所以log 2(1＋a )＝0，所以a＝0.经检验，当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0.(2)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log +.由题意得log 2(1＋a )－log +≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)．所以1+≥4+2，4+2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是−12，−13．(2024·湖北宜昌协作体期中)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数．(1)求a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋x，h(x)＝x2－2x＋m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．[解](1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(2－x＋1)－ax＝log2(2x＋1)＋ax，log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log1＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log2ax＝0，log22+11+22＋2ax＝0，log22x＋2ax＝0，x＋2ax＝0，(1＋2a)x＝0，所以1＋2a＝0，即a12.(2)g(x)＝log2(2x＋1)＋12，因为对任意的x1∈0，4，存在x2∈0，5，使得g(x1)≥h(x2)，所以g(x)在0，4上的最小值不小于h(x)在0，5上的最小值，因为g(x)＝log2(2x＋1)＋12在0，4上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1，因为h(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，所以h(x)在0，1上单调递减，在1，5上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝m－1，所以1≥m－1，解得m≤2，所以m的取值范围为(－∞，2]。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100.故选：A2、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m <0且m +3>0，即m <0且m >−3，则−3<m <0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1，故选：D ．3、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.4、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)， 所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.5、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A7、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.8、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．多选题9、已知函数f(x)={|lnx|,x>0−x2+1,x≤0，若存在a<b<c，使得f(a)=f(b)=f(c)成立，则（）A．bc=1B．b+c=1C．a+b+c>1D．abc<−1答案：AC分析：采用数形结合可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，然后简单计算可知b+c>1，bc=1，a+b+ c>1，故可知结果.如图：可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1c+c>a+2>1.故选:AC.10、(多选)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝{64,x ≤0,2kx+6,x >0,且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B ．当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少C ．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D ．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间答案：AD分析：由题设可得k =−12即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可. 由题设，可得24k+6=16，解得k =−12， ∴t ={64,x ≤026−x 2,x >0， ∴x =6，则t =23=8，A 正确；x ∈[−6,0]时，保鲜时间恒为64小时，x ∈(0,6]时，保鲜时间t 随x 增大而减小，B 错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C 错误； 由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D 正确.故选：AD.11、已知函数f (x )={−2−x +a,x <0,2x −a,x >0.(a ∈R )，下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上是增函数，则a ≤1C ．若f (x )的值域为R ，则a ≥1D．当a≤1时，若f(x)+f(3x+4)>0，则x∈(−1,+∞)答案：AB分析：对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知−2−0+a≤20−a即可求解；对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合f(x)的值域为R，即可求解；对于D，将f(x)+ f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，利用函数定义域及单调性即可求解；对于A，当x<0时，−x>0，f(x)=−2−x+a，f(−x)=2−x−a=−(−2−x+a)=−f(x)；当x>0时，−x<0，f(x)=2x−a，f(−x)=−2x+a=−(2x−a)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，由f(x)在定义域上是增函数，知−2−0+a≤20−a，解得a≤1，故B正确；对于C，当x<0时，f(x)=−2−x+a在区间(−∞,0)上单调递增，此时值域为(−∞,a−1)，当x>0时，f(x)=2x−a在区间(0,+∞)上单调递增，此时值域为(1−a,+∞)，要使f(x)的值域为R，则a−1>1−a，解得a>1，故C错误；对于D，当a≤1时，由于−2−0+a≤20−a，则f(x)在定义域上是增函数，f(x)+f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，即{x≠0−3x−4≠0x>−3x−4，解得x∈(−1,0)∪(0,+∞)，故D错误；故选：AB填空题12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可.由题设，可得：log4x≤log4412，则0<x≤412=2，∴不等式解集为(0,2].所以答案是：(0,2].13、若log2[log3(log4x)]=0，则x=________．答案：64分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log 2[log 3(log 4x )]=0⇒log 3(log 4x )=1⇒log 4x =3⇒x =43=64.所以答案是：64小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.解答题15、已知函数f(x)=(12)x−a −b(a,b ∈R)的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，满足条件的x 的值.答案：（1）a =1，b =1；（2）x =−log 23.分析：(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.（1）由题意可得{(12)1−a −b =0(12)−a −b =1 ⇒{(12)−a −2b =0(12)−a −b =1 ⇒{b =12a =2 ，解得a =1，b =1， （2）由（1）可得f(x)=21−x −1，而g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，于是有21−x −1=4−x −4，设2−x =t ，t >0，从而得t 2−2t −3=0，解得t =3，即2−x =3，解得x =−log 23，所以满足条件的x=−log23.。

指数函数与对数函数知识回顾：1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 互为 ，其图象关于直线 对称 典型例题分析：一、指对函数的图象及性质应用例1、已知实数,a b 满足等式11()()23ab=，下列五个关系式（1）0b a <<（2）0a b <<（3）0a b <<（4）0b a <<（5）a b = 其中不可能成立的关系式有A 、4个B 、1个C 、2个D 、3个 例2、对于函数()f x 定义域中任意1212,,()x x x x ≠，有如下结论 （1）1212()()()f x x f x f x += （2）1212()()()f x x f x f x =+ （3）1212()()0f x f x x x ->- （4）1212()()22x x f x x f ++<当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 。

例3、如图，是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =， （1） （2） （3） （4） （4）x y d =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系是 A 、1a b c d <<<<0 B 、1b a d c <<<< C 、1a b c d <<<< 2 D 、1a b d c <<<< 3例4、若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则A 、2,2a b ==B 、2a b ==C 、 2,1a b ==D 、a b ==例5、方程log 2(01)a x x a =-<<的实数解的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 例6、函数2xy -=的单调递增区间是A 、(－∞,+∞)B 、(－∞, 0)C 、(0, +∞)D 、不存在例7、当a ＞1时,函数x y a -=与log a y x =的图像是 ( )例8、设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 取值范围是 A 、(－∞,0) B 、(0, +∞) C 、(－∞,log 3a ) D 、（log 3a , +∞） 例9、函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 A 、12 B 、2 C 、4 D 、14例10、已知不等式2log (21)log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围是 A 、1(0,)3 B 、1(0,)2 C 、1(,1)3 D 、11(,)32二、比较大小例1、若92log 3a =, 8log b =14c =，则这三个数的大小关系是 A 、a c b << B 、a b c << C 、c a b << D 、c b a <<例2、若60a =︒, 2log sin30b =︒, 3log 45c tg =︒，则,,a b c 的大小关系是（ ）。

指数函数、对数函数、幂函数专题1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ）A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。

[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。

2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式。

[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。

3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln2D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2<ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴最大的数是ln2。

[考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值（0，1等一些特殊值）结合对数函数的特殊值来加以判断。