11-1复变函数
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复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小.2.复数的表示1)模:z=2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3)()arg z 与arctan y x之间的关系如下:当0,x > arg arctan y z x=;当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法:1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2)若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=;()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1) 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
第一章复数1 =-1欧拉公式z=x+iy2i 1-=i 实部Re z 虚部 Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+==⑤共轭复数iy x z -=共轭技巧()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅运算律P1页3代数,几何表示z 与平面点一一对应,与向量一一对应iy x z +=()y x ,辐角当z ≠0时,向量z 和x 轴正向之间的夹角θ,记作θ=Argz=πθk 20+k=±1±2±3…把位于-π<≤π的叫做Arg z 辐角主值 记作=0θ0θ0θ0arg z 4如何寻找arg z例:z=1-i4π-z=i 2πz=1+i 4πz=-1π5 极坐标:,θcos r x =θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z 6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程的ω值称为z 的n 次方根,记作 z n=ωn z=ω即()n k i re z ωπθ==+2nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一都有 与其对应D Z ∈E ∈W ()z f =ω注:与实际情况相比,定义域,值域变化例()zz f =②称当时以A 为极限()A =→z f z z 0lim 0z z →()z f 0z z →☆当时,连续()0z f =A 例1证明在每一点都连续()z z f =证: ()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以在每一点都连续()z z f =3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2时有 ()C z f =()0'=C证:对有 所以z ∀()()0lim lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z ()0'=C 例3证明不可导()z z f =解:令0z z -=ω()()iyx iy x z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当时,不存在,所以不可导。