§4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
一、基础过关
1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是
( )
A ．y 轴上
B ．xOy 平面上
C ．xOz 平面上
D ．x 轴上 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为
( )
A ．垂直于xOz 平面的一条直线
B ．平行于xOz 平面的一条直线
C ．垂直于y 轴的一个平面
D ．平行于y 轴的一个平面
3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是
( )
A ．一定在xOy 平面上
B ．一定在yOz 平面上
C ．一定在xOz 平面上
D ．可能在xOz 平面上
4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为
( )
A ．(－3,4,5)
B ．(－3，－4,5)
C ．(3，－4，－5)
D ．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．
7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标． 二、能力提升
9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是
( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于yOz 平面对称
C ．关于坐标原点对称
D ．以上都不对
10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝1
3
|BD ′|，则P 点的坐标为
( )
A.⎝⎛⎭⎫13，13，13
B.⎝⎛⎭⎫
23，23，23
C.⎝⎛⎭⎫
13，23，13
D.⎝⎛⎭⎫
23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，
那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标． 三、探究与拓展
13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝
60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．
答案
1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)
7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，
D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，
E ⎝
⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝
⎛⎭⎫1，1，12. 8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)．
又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．
而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．
又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)． B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)． 同理D 1(2，－3,1)．
综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)． 9．C 10．D
11.⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22
12．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.
以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．
13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直
线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，3
2
，0)，P (0,0,2)，
