高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第1讲坐标系知能训练轻松闯关文北师大版选修44

学习资料第十章选修系列选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系课时规范练1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin错误!＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2，0),直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin错误!＝2,化成直角坐标方程为y＝错误!（x－4)，则直线l过A(4，0)，倾斜角为错误!，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B,则∠OAB＝错误!。

如图，连接OB。

因为OA为直径,从而∠OBA＝错误!，所以AB＝4cos π6＝2错误!.所以直线l被曲线C截得的弦长为2错误!。

2．(2020·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(其中φ为参数)．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1）求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsin错误!＝2，射线OM：θ＝错误!与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解析:(1)圆C的普通方程为x2＋（y－1)2＝1，又x＝ρcos θ,y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(2)把θ＝错误!代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝错误!代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以｜PQ｜＝|ρP－ρQ|＝1。

3．（2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0,曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程;（2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π。

解析：(1）依题意，将错误!代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0。

将错误!代入y2＝x,得ρsin2θ＝cos θ.故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ.（2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去），当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1，1)，(1,－1),记A（1，1)，B （1，－1）,所以ρA＝错误!＝错误!，ρB＝错误!＝错误!，tan θA＝1，tan θB＝－1，因为ρ≥0，0≤θ＜2π，点A在第一象限,点B在第四象限，所以θA＝错误!，θB＝错误!，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为错误!，错误!. 4．(2020·山西八校联考）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3）2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1:θ＝错误!，l2：θ＝错误!，若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB 的面积．解析：（1）∵曲线C的普通方程为（x－3)2＋(y－4）2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2）设A错误!,B错误!。

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第1课时绝对值不等式1．设函数f(x)＝|2x＋1|－｜x－4|.(1）解不等式f(x）＞2；(2)求函数y＝f(x）的最小值．解（1)法一令2x＋1＝0,x－4＝0分别得x＝－错误!,x＝4。

原不等式可化为：错误!或错误!或错误!即错误!或错误!或错误!∴x＜－7或x＞错误!.∴原不等式的解集为错误!.法二f（x)＝|2x＋1｜－｜x－4｜＝错误!画出f（x)的图像，如图所示．求得y＝2与f（x）图像的交点为(－7，2），错误!.由图像知f(x)＞2的解集为错误!.（2)由(1)的法二图像知：当x＝－错误!时,知：f（x)min＝－错误!。

2．（2017·长沙一模）设α,β，γ均为实数．(1）证明：｜cos(α＋β)｜≤｜cos α｜＋｜sin β|，｜sin(α＋β）｜≤|cos α|＋｜cos β｜;(2)若α＋β＋γ＝0，证明：｜cos α｜＋|cos β｜＋|cos γ|≥1。

证明（1）|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β｜≤|cos αcos β｜＋|sin αsin β｜≤｜cos α|＋|sin β|；|sin（α＋β)|＝｜sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋｜cos αsin β｜≤|cos α｜＋｜cos β|。

第十三篇坐标系与参数方程(选修44)第1节坐标系知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化 1直线和圆的极坐标方程及应用 2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.(2)由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

故直线l与圆O公共点的极坐标为错误!未找到引用源。

.2.在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cos θ,过点A(5,α)（α为锐角且tan α=错误!未找到引用源。

）作平行于θ=错误!未找到引用源。

(ρ∈R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C 两点.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的直角坐标方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),由曲线L的极坐标方程ρsin2θ=2cos θ,得ρ2sin2θ=2ρcos θ,所以L的直角坐标方程为y2=2x.由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的直角坐标方程为y-3=x-4,即y=x-1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),由错误!未找到引用源。

消去y,得x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式得|BC|=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

.3.在极坐标系中,圆C是以点C(2,-错误!未找到引用源。

选修4－4 坐标系与参数方程第1讲 坐标系 基础知识整合1．坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧01x ′＝λ·x λ>0，02y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做03极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做04极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M ，若设|OM |＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角为θ，则点M 可用有序数对05(ρ，θ)表示．(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，射线Ox 的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P 的直角坐标为(x ，y )，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝06ρcos θ，y ＝07ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝08x 2＋y 2，tan θ＝09y xx ≠0.3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆10ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆11ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆12ρ＝2r sinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线(1)13θ＝α(ρ∈R)或14θ＝π＋α(ρ∈R)(2)15θ＝α和16θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线17ρcosθ＝a⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线18ρsinθ＝a(0≤θ≤π) 1．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．2．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线答案 C解析因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x2＋y2＝1，得x2＋y2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线．2．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( ) A．1,1 B．1,2C．2,1 D．2,2答案 C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1. 3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B ．4＋π29C ．9＋π9D ．7答案 D解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1,0)，所以所求距离为1＋12＋－3－02＝7.故选D.4．曲线ρ＝－2cos θ与ρ＋4ρ＝42sin θ的位置关系为( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切答案 B解析 曲线方程ρ＝－2cos θ化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，ρ＋4ρ＝42sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －22)2＝4，两圆圆心距为－12＋222＝3＝1＋2，所以两圆外切．5．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3 答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.故选A.6．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.答案 1＋ 2解析 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)，得x ＋y ＝a (a >0)， 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，因为直线与圆相切，所以|1－a |2＝1，所以a ＝1±2，又因为a >0，所以a ＝1＋ 2.核心考向突破考向一 平面直角坐标系下的坐标变换例1 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设点(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求的直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理，得2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ>0，y ′＝μ·y μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．[即时训练] 1.求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 考向二 极坐标与直角坐标的互化例2 在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，把⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y代入ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0.由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得ρsin θ－ρcos θ＝1，因为⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，进而，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2，故公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．[即时训练] 2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)，知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设，知C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考向三 极坐标方程及其应用例3 (1)(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .①当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；②当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 ①因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知，得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.②设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. (2)(2019·南宁模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，⊙C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．①求C 1，C 2的极坐标方程；②若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 ①∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.②将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于⊙C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，用极坐标法使问题变得简单、直接，解题的关键是极坐标选取要得当，这样可以简化运算过程．如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标转化为直角坐标来求解．[即时训练] 3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解 (1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)，知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设，知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设，知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积为S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。

选修－坐标系与参数方程第一节坐标系[考纲传真].理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：(\\(′＝λ，λ＞，′＝μ，μ＞))的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．．极坐标系()极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫作极点，从点引一条射线，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点，用ρ表示线段的长，θ表示以为始边、为终边的角度，ρ叫作点的极径，θ叫作点的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记作(ρ，θ)．当点在极点时，它的极径ρ＝，极角θ可以取任意值．图--()极坐标与直角坐标的互化设为平面内的一点，它的直角坐标为(，)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：(\\(＝ρ θ＝ρ θ))或(\\(ρ＝＋ θ＝()(≠())图--．常用简单曲线的极坐标方程．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )()若点的直角坐标为(，－)，则点的一个极坐标是.( )()在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )()极坐标方程θ＝π(ρ≥)表示的曲线是一条直线．( )[答案]()×()√()√()×．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段＝－(≤≤)的极坐标方程为( )．ρ＝θ＋ θ)，≤θ≤。

第一节 坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第158页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．图­­(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x x ≠0图­­3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ≤2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cosθ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin θ＝a (0＜θ＜π)1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)． ∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.]5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.【导学号：00090368】[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.(对应学生用书第159页)平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x 2y 2C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.10分[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程．极坐标与直角坐标的互化立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 2分 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). 4分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB6分＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.8分当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.10分[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法． [变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线． 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1. ∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆． (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心．∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径． 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.直线与圆的极坐标方程的应用(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求A ．[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 8分从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (2018·石家庄模拟)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式 得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. 4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 8分 ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分。