高中数学人教B版必修五2.2.2《等差数列的前n项和》word学案1

《等差数列前n项和》教学设计一、教学目标1、知识与技能（1）掌握等差数列前n项和公式的推导过程和公式的简单应用（2）通过对公式从不同角度的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思进一步培养学生灵活运用公式的能力。

3、情感态度价值观（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过生动具体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感二、教学重难点教学重点：等差数列前n项和公式教学难点：等差数列前n项和公式的推导方法及公式的灵活应用三、教学过程结课后作业2 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）A．5880 B．5684 C．4877 D．45663．已知等差数列{}n a，150a=，2d=-，0nS=，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．514等差数列{}n a中，4612a a+=，nS是数列{}n a的前n项和，则9S等于（）A．48 B．54 C．60 D．665已知数列{}n a的通项公式为23na n=-，则{}n a的前n项和n S等于（）A,2322nn-+ B．2322nn-- C．2322nn+D．2322nn-6、求集合M={m| m=2n - 1 n∈*N，且m < 60} 的元素个数，并求这些元素的和。

课堂小结（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

2、课后作业：1 数列｛na｝是等差数列，公差为3，na＝11，前n和nS＝14，求n和3a2 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2 这些数的和是多少？3：求4：已知函数，求)10099(10098)1002()1001(ffff++⋯⋯⋯++）（的值学生代表进行分析。

《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）第一篇：《等差数列的前n项和》教学设计:等差数列的前n项和是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。

学情分析：学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。

但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。

教学目标：1、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

2、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学资源：现代教育多媒体技术教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。

高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。

高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=50502.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。

教学设计2．2.2 等差数列的前n项和整体设计教学分析本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题．等差数列求和公式的推导，是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成．通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用．在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识．三维目标1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值．2．学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．重点难点教学重点：掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？求图2共有多少朵花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．图1图2思路 2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1 000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1 000＋2 000＝3 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2 100(元)，总数也是3 000元．但到第三年，第一种方案可得1 000＋2 000＋3 000＝6 000(元)，第二种方案则为300＋600＋900＋1 200＋1 500＋1 800＝6 300(元)，比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)教师出示幻灯投影1.印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)(2)教师出示幻灯投影2.高斯是伟大的数学家、天文学家．高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1＋2＋…100＝？”过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1＋2＋3＋…＋100＝5 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？(3)根据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗？(4)等差数列的前n项和公式有什么结构特征？(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题？活动：教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题(1)，另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋...＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋...＋(50＋51)＝101×50＝5 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习，实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法．也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝...＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋ (100)50×101＝5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5 050了．高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题．现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到下图，则下图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就好首尾配成对了．高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行．则三角形中的宝石个数就是(1＋21)×212.这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是： 1＋2＋3＋...＋21， 21＋20＋19＋ (1)这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的闪现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n 的问题，得到如下算式： 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n －1 ＋ n n ＋ n －1 ＋ n －2 ＋ … ＋ 2 ＋ 1 (n ＋1)＋(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1)＋(n ＋1)可知1＋2＋3＋…＋n ＝(n ＋1)×n2.再进一步探究，等差数列{a n }的前n 项和的问题，让学生明白S n 就表示{a n }的前n 项和，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，根据倒序相加法可得如下算式：S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，S n＝a n＋a n－1＋a n－2＋…＋a1，2S n＝(a1＋a n) ＋(a2＋a n－1) ＋(a3＋a n－2) ＋…＋(a n＋a1).根据上节课等差数列的性质有a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a n＋a1.所以，2S n＝n(a1＋a n)．由此可得等差数列{a n}的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n)2这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．将等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差数列{a n}前n项和的另一公式：S n＝na1＋n(n－1)2d以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式．从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知a n，后者还需要知道d.从方程角度看两公式共涉及5个元素：a1，d，n，a n，S n，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.讨论结果：(1)～(3)略．(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底＋下底)×高÷2相类比，上底就是等差数列的首项a1，下底是第n项a n，高是项数n；后一个公式是二次函数的形式．(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路．应用示例例1计算：(1)1＋2＋3＋…＋n ； (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)； (3)2＋4＋6＋…＋2n ；(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n －1)－2n.活动：对于刚学完公式的学生来讲，直接解答课本上的例1跨度太大．因此先补充了这样一个直接运用公式的题目．目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n 2－n(n ＋1)＝－n.有的学生可能观察得很快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.解：(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2； (3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (2n ＋2)2＝n(n ＋1)；(4)原式＝－n.点评：本例前3小题直接利用等差数列求和公式，对于(4)小题给我们以启示：在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解．变式训练已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 答案：C解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可解得d ＝3，a 1＝－4，∴a 10＝a 1＋9d ＝23，∴S 10＝a 1＋a 102×10＝95.例2(教材本节例2)活动：通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系．并结合边注引导学生探究数列中项的性质问题．教学中应引起高度重视，可让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：求使S n 最小的序号n 值的方法很多，可鼓励学生课后进一步探究．例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？活动：教师与学生一起探究，本例的已知条件是在等差数列{a n }中，S 10＝310，S 20＝1 220.由前面我们所学知道，将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得两个关于a 1与d 的关系式，它们都是关于a 1与d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求得a 1与d ，a 1与d 确定了，那么就可求出这个等差数列的前n 项和公式．解：方法一：由题意可知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220.解这个关于a 1与d 的方程组，得到a 1＝4，d ＝6， 所以S n ＝4n ＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n.方法二：由S 10＝a 1＋a 102×10＝310，得a 1＋a 10＝62，①S 20＝a 1＋a 202×20＝1 220.所以a 1＋a 20＝122.②②－①，得10d ＝60，所以d ＝6.代入①，得a 1＝4，所以有S n ＝a 1n ＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n.点评：本例的给出方式是设问“由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和吗”，而不是“求这个数列的前n 项和”．这就更深了一层，让学生领悟到a 1与d 一旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟等差数列中a 1与d 是所给5个量中的基本量.5个量中已知3个量则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题．教学时教师要充分利用本题的训练价值，使学生熟练地掌握这一基本题型．解完后教师要再引领学生反思总结．变式训练设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，求S 9. 解：由S 4＝14，S 10－S 7＝30，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(10a 1＋45d )－(7a 1＋21d )＝30， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝7，a 1＋8d ＝10.解得a 1＝2，d ＝1， ∴S 9＝9a 1＋36d ＝54.例4已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？活动：这是一道合作探究题．教学时给出一定的时间让学生对本题进行思考探究． 本题给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列．解题的出发点是从所给的和的公式去求出通项．那么通项与前n 项和的公式有何种关系呢？由S n 的定义可知，当n ＝1时，S 1＝a 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.这种由已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的．本题即用这种方法求出的通项a n ＝2n －12，我们从中知道它是等差数列，这时当n ＝1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n ＝1时，a n ＝S n －S n －1满足呢？请同学们来探究一下．解：根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)，可知当n ＞1时，a n＝S n －S n －1＝n 2＋12n －＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32.也满足①式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可知，数列{a n }是一个首项为32，公差为2的等差数列．点评：如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列．实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项．通过本例，教师应提醒学生注意：这实际上给出了已知数列前n 项和求其通项公式的一个方法，即已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.这种已知数列S n 来确定a n的方法对于任何数列都是可行的，但要强调a 1不一定满足由S n －S n －1＝a n 求出的通项表达式．因此最后要验证首项a 1是否满足已求出的a n .这点要引起学生足够的注意．变式训练已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件，知当n ＝1时，a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n)－＝－3n ＋104.把n ＝1代入上式也适合．∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．知能训练1．等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝5，a n ＝95，n ＝10，求S n ；(2)已知a 1＝100，d ＝－2，n ＝50，求S n .2．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．答案：1．解：由等差数列求和公式，直接求得：(1)S n ＝500；(2)S n ＝2 550.2．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2， 所以n ＝2时，S n 取到最大值4.课堂小结1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n 项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2．你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？作业课本习题2—2 A 组8、9.设计感想本教案设计力求突出实际背景的教学，以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来铺垫学生学习等差数列的本质内涵．除了本教案设计的几个实例，教学时还可根据实际情况再补加一些实例背景．本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．说到底，学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密．本节的思考与探究没有涉及，设计的意图是留给学有余力的学生课后选做．鉴于习题2—2B 组中3,4,5,6都有一定的难度，因此也设计为选做．(设计者：周长峰)第2课时导入新课思路 1.上一节课我们一起探究推导了等差数列的求和公式，得到了求和公式的两种形式．我们知道以前在公式的学习过程中，不仅要会对公式正用、逆用及变形用，还要从运动、变化的观点来认识公式，从函数及数列结合的角度透彻理解公式．这里公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 表明S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，那么你能看出点列(n ，S n )均在同一条抛物线上吗？这样的抛物线有什么特点？由此展开新课．思路 2.上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要的公式，我们也知道等差数列有着十分丰富的有趣性质，那么根据等差数列的特点，你能探究出等差数列的哪些重要结论呢？比如单调性、奇偶性、最大值等．教师引导学生由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆上节课等差数列前n 项和公式的推导方法，并写出等差数列前n 项和的两个公式.(2)等差数列求和公式中共有几个量？基本量是什么？(3)等差数列前n 项和公式与二次函数有着怎样的关系？(4)你能探究出哪些与和有关的等差数列的性质？(5)怎样利用所学知识灵活地处理求和问题？活动：教师与学生一起回忆上节课我们用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d.在公式涉及的5个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，知三可求其二．其中a 1，d 是最基本的两个量．我们称为基本元素，在等差数列的不少问题中，我们往往都转化为这两个量来求．当然如果熟悉并掌握一些常用结论及性质，往往能找到简洁明快、轻盈优美的灵活解题技巧，提高我们的解题速度．下面我们探究等差数列求和的一些性质问题．从等差数列的两个求和公式中我们可以看出，公式里不含常数项．教师引导学生进一步探究，如果a 1，d 是确定的，那么S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n.可以看出当d ≠0时，S n是关于n 的二次式．从图象角度看(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx(A ≠0)的图象上．所以当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 图象上的一群孤立点，这样我们就可以借助于二次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前n 项和S n 的有关问题．若d ＝0，则S n ＝na 1.因此我们可以得出这样的结论：数列{a n }为等差数列的充要条件是：数列{a n }的前n 项和可以写成S n ＝an 2＋bn 的形式(其中a 、b 为常数)且公差为2a.结合二次函数图象与性质我们还可得到：当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0 ⇒S m 为最大值；当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0 ⇒S m 为最小值． 通过具体例子验证、猜想并推广到一般，我们还可得到：设等差数列{a n }的前n 项和为A ，紧接着n 项的和为B ，再紧接着n 项的和为C ，…，则A ，B ，C ，…也成等差数列．通过以上这些探究，我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地，而且有些解法更加简单、快捷，提高了我们解题的质量和效果．如下例：已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10，则可这样解：∵S 5＝5a 3＝40，∴a 3＝8，a 2＋a 5＝a 3－d ＋a 3＋2d ＝2a 3＋d ＝16＋d ＝19，得d ＝3.∴a 10＝a 3＋7d ＝29.此解法比常规解法优越得多，这类解题技巧在等差数列中比比皆是，让学生在解题探究中细心领悟．讨论结果：(1)(4)(5)略．(2)等差数列求和公式中共有5个量，其中a 1，d 是基本量．(3)等差数列求和公式可看作n 的二次函数式，上节课的例题中初步涉及了这一思想，本节将作进一步的探究． 应用示例例1已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 活动：本例目的是让学生在上节初步理解的基础上，对等差数列求和公式的二次函数特征做进一步的螺旋提升．我们知道，等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，所以S n 可以看成函数y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x(x ∈N *)当x ＝n 时的函数值．另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点，因此我们可以利用二次函数来求n 的值．解：由题意知，等差数列5,427，337，…的公差为－57， 所以S n ＝n 2＝75n －5n 214＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数7或8时，S n 取得最大值． 点评：我们能否换一个角度再来思考这个问题呢？由已知，它的首项为5，公差为－57.因为它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当该数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下先求出它的通项，求得结果是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－57n ＋407.令a n ＝－57n ＋407≤0，得到了n ≥8，这样就可以知道a 8＝0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7＝S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8＝0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大．这就是上节课留给学生课后探究的问题．教师与学生一起归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和S n 有最大值，可通过⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0求得n 的值． ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和S n 有最小值，可以通过⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0求得n 的值．有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就可从通项与求和两个角度入手解决：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值．变式训练已知a n ＝1 024＋lg21－n (lg2＝0.301 0)，n ∈N *.问前多少项之和最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1 024＋(1－n )lg2≥0a n ＋1＝1 024－nlg2＜0 1 024lg2＜n ≤1 024lg2＋＜n ＜3 403.所以n ＝3 402.(2)S n ＝1 024n ＋n (n －1)2(－lg2)，当S n ＝0或S n 趋近于0时其绝对值最小， 令S n ＝0，即1 024＋n (n －1)2(－lg2)＝0，得n ＝2 048lg2＋1≈6 804.99. 因为n ∈N *，所以有n ＝6 805.例2等差数列{a n }中，a 1＜0，S 9＝S 12，求该数列前多少项的和最小？活动：写出前n 项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路．教学时，教师充分让学生合作讨论此题，从不同角度来探究此题的解法，教师只是给予必要的点拨．解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得9a 1＋12×9×(9－1)·d ＝12a 1＋12×12×(12－1)·d ，即3a 1＝－30d ， ∴d ＝－110a 1. 又∵a 1＜0，∴d ＞0.∴S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2(n －212)2－2128d. ∵d ＞0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N *，∴当n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0，a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，即⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥0，1－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴取n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，即a 1＋a 2＋…＋a 9＝a 1＋a 2＋…＋a 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，即3a 11＝0.又∵a 1＜0，∴前10项或前11项的和最小．点评：解完本题后教师引领学生对以上三种解法进行反思总结．本题的三种解法从三个不同的视角说明了等差数列前n 项和的最值问题，方法迥异，殊途同归，由此看出等价转化思想在简化运算中的作用，其中第一种解法运算量偏大，不容易进行到底，即便做对了，所花时间也较多，要让学生深刻领悟这一点．事实上，本题还能探究出另一种解法——图象法．∵S 9＝S 12，∴S n 的图象所在的抛物线的对称轴为x ＝9＋122＝10.5， 又∵a 1＜0，∴数列{a n }的前10项或前11项和最小．例3(教材本节例3)活动：本例是教材等差数列部分的最后一个例题，目的是让学生通过学到的等差数列知识，解决实际问题．教学时，教师引导学生分析题中的数量关系，观察教育储蓄的规律．通过分析知李先生的每个100元的利息依次可组成等差数列，然后得出算式求解．点评：解决本例的关键是建立等差数列的数学模型．例4已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)由通项公式b n ＝S n n ＋c构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c. 活动：让学生自己探究本题(1)，对(2)教师可引导学生充分利用等差数列的特征，可由学生合作探究，教师仅给予必要的点拨．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14.又a 2·a 3＝45，∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根．又公差d ＞0，∴a 2＜a 3.∴a 2＝5，a 3＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n·1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，即b 1＋b 3＝2b 2.∴2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c. 解之，得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n. 易知{b n }是等差数列，c ＝－12. 例52000年11月14日，教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？活动：这是一道实际应用题，从题中给出的信息我们发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a 1，公差为50，记为d ，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了．解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52 B ．51 C ．50 D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( )A.12B.13C.14D.16 答案 A解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2)＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列．(2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

等差数列前n项和教学设计山东省昌乐二中徐平然课标分析：课程标准中对等差数列的说明是：掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。

等差数列前n项和公式”是《数列》一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。

等差数列前n项和公式在《数列》一章具有极为重要的位置，还是高考的命题的热点。

教材分析：《等差数列的前n项和》是必修五的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。

推导等差数列前n项和的"例序相加法"是今后数列求和的一种常用的重要方法，公式又有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础知识，且能体现解决数列问题的通性通法，又可考查运算能力和推理能力及等价转化，函数方程、数形结合的重要数学思想方法。

学情分析：在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是本节课启发学生思维的重点。

学习目标：1掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，能用前n项和公式解决等差数列求和问题。

2自主学习、合作交流，探究求等差数列前n项和的规律和方法。

3激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。

教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用教学难点：灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题教学方法：启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握教学过程：【教学过程】情境导入在泰姬陵内有一个镶满宝石的三角形图案，共有100层高，宝石在第1层1颗，第2层2颗，第3层3颗……第100层有100颗，我们能否算算看那种图案共含有多少颗宝石？按照以上描述，每层的颗数整好构成了等差数列{}n a ：1,2,3,4，……100 ，对于等差数列我们有没有方法来计算前100项之和？观察数列，首项与末项相加为101，第2项和倒数第2项相加也是101，依次类推，总颗数为101505050⨯=设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。

《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和"的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列前n 项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1。

从特殊到一般的研究方法；2。

逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系.二、学情分析●知识基础:高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和.●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级,学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念,并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和.●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。

●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为:●重点等差数列前n项和公式的推导和应用。

●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入，通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路，同时,借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下：五、教学过程教学环节活动说明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片-—泰姬陵。

数学必修Ⅴ人教新课标B 第二章等差数列的前n 项和教案（一）教学知识点等差数列前n 项和公式：S n =.2)1(2)(11d n n na a a n n -+=+ （二）能力训练要求1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. （三）德育渗透目标 1.提高学生的推理能力. 2.增强学生的应用意识. ●教学重点等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. ●教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. ●教学方法 启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握. ●教具准备投影片一张：记作 例:如图（课本），一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?●教学过程 Ⅰ.复习回顾［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1=d （n ≥1），d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A =2ba +. （3）若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .（其中m ,n ,p ,q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. （打出投影片）这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101， ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×2100=5050. 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n , ① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n =a n +a n －1+…+a 1 ② ①+②⇒2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n －1）+…+（a n +a 1）又∵a 2+a n －1=a 3+a n －2=a 4+a n －3=…=a n +a 1,∴2S n =n （a 1+a n ）,即：S n =2)(1n a a n + 若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+（a 1+d ）+…+［a 1+（n －1）d ］ ①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +（a n －d ）+…+［a n －（n －1）d ②］,把①、②两边分别相加，得2S n ==n （a 1+a n ）,即：S n =2)(1n a a n +. 由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n =2)(1n a a n +. 也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S 100=2)1001(100+=5050.又∵a n =a 1+（n －1）d ,∴S n =[]d n n na d n a a n a a n n 2)1(2)1(2)(1111-+=-++=+∴S n =2)(1n a a n +或S n =na 1+2)1(-n n d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？ （打出投影片）［师］分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1=1,a 120=120,n =120.［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n =120,a 1=1,a 120=120.则：S 120=2)1201(120+=7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为｛a n ｝，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1=－10,d =（－6）－ （－10）=4，S n =54由等差数列前n 项求和公式可得： －10n +2)1(-n n ×4=54 解之得：n 1=9,n 2=－3（舍去）答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54. Ⅲ.课堂练习 ［生］练习课本1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{a n }的S n ; （1）a 1=5,a n =95,n =10;解：由S n =2)(1n a a n +,得S n =2)955(10+⨯=500.（2）a 1=100,d =－2,n =50;解：由S n =na 1+2)1(-n n d , 得S 50=50×100×+2)150(50-⨯×（－2）=2550.（3）a 1=14.5,d =0.7,a n =32解：由a n =a 1+（n －1）d ,得32=14.5+（n －1）×0.7,解之得n =26由S n =na 1+2)1(-n n d ,得S 26=26×14.5+2)126(26-×0.7=604.5 评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.2.（1）求正数数列中前n 个数的和.解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n ,…,∴S n =2)1(+n n （2）求正整数列中前n 个偶数的和.解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n ,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n ,…，设正整数列中前n 个偶数的和为S n ，则S n =2)22(n n +=n （n +1）. 评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解. 3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？ 解：由题意可知，a 1=5,d =4－5=－1.由S n =na 1+2)1(-n n d ,得－30=5n +2)1(-n n ×（－1）,解之得：n 1=15,n 2=－4（舍去） 评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式:S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d 及其获取思路.Ⅴ.课后作业 （一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题? ●板书设计课 题 等差数列求和公式：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d 推导过程 例题感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2.2.2 等差数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.掌握等差数列与其前n 项和S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)是等差数列，其公差等于k 2d .(2)若在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若在等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．(3)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)时，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，且S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1 .(4)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)时，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n,S 奇S 偶＝n n －1.在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前n 项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题． 探究点一 等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答 由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d .同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ； 同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n (－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .探究点二 求数列{|a n |}的前n 项和例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，2n 2－15n ＋56，n ≥5.反思与感悟 等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．跟踪训练2 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列b n 的前n 项之和T n 的表达式．解 由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N ＋)． 验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N ＋. ∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ； 当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50(n >5).探究点三 等差数列的前n 项和公式在实际中的应用例3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20%的利息税) 解 (1)100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰＝0.27(元)．第1个100元存36个月，得利息0.27×36(元)； 第2个100元存35个月，得利息0.27×35(元)； ……第36个100元存1个月，得利息0.27×1(元)． 因此，到期时李先生获得利息0．27×(36＋35＋…＋1)＝179.82(元)． 本息和为3 600＋179.82＝3 779.82(元)． (2)100元“零存整取”的月利息是 100×1.725‰＝0.172 5(元)， 存三年的利息是0．172 5×(36＋35＋…＋1)＝114.885(元)， 因此，李先生多收益179．82－114.885×(1－20%)＝87.912(元)． 答 (1)李先生一次可支取本息共3 779.82元．(2)李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元．反思与感悟 解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．1．等差数列前n 项和的性质(1)对于前n 项和形如S n ＝An 2＋Bn 的数列一定为等差数列，且公差为2A ，记住这个结论，如果已知数列的前n 项和可以直接写出公差．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S 偶的关系是不相同的．(3)数列{S n n }是等差数列，首项为a 1，公差为d2.2．等差数列{a n }与数列{|a n |}的前n 项和等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n |}的前n 项和，可分为以下情形：(1)等差数列{|a n |}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段来处理．(3)等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理．一、基础过关1．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000 答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D 解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11.3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .6．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是252，则它的首项与公差分别是a 1＝__________，d ＝________. 答案 12 12解析 S 偶－S 奇＝5d ＝15－252＝52，∴d ＝12. 由10a 1＋10×92×12＝15＋252＝552，得a 1＝12.7．已知数列{a n }中，a 1＝－7，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋2，求S 100. 解 由a 1＝－7，a n ＋2＝a n ＋2，可得a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50×(－7)＋50×(50－1)2×2＝2 100.同理，a 2，a 4，a 6，…，a 100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50×3＋50×(50－1)2×2＝2 600.∴S 100＝2 100＋2 600＝4 700. 二、能力提升8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.10．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，则a 7b 7＝________.答案1910解析 方法一 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13－113＋7＝1910. 方法二 因为S n T n ＝3n －1n ＋7，所以设S n ＝(3n －1)kn ，T n ＝(n ＋7)·kn (k ≠0)． 所以a 7＝S 7－S 6＝38k ，b 7＝T 7－T 6＝20k . 所以a 7b 7＝38k 20k ＝1910.11．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5). 三、探究与拓展13．有两个加工资的方案：一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．如果在该公司干10年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，问a 取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解 按第一种方案，每年加薪数形成等差数列{a n }且a 1＝1 000，d ＝1 000，n ＝10，按第二种方案，每半年加薪数形成等差数列{b n }且b 1＝300，d ＝300，n ＝20.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪S n ＝(1 000＋2 000＋3 000＋…＋10 000)＝55 000(元)．依第二方案可得共加薪T n ＝(300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20)＝63 000(元)，因此在公司干10年，选择第二方案好，多加薪63 000－55 000＝8 000(元)．(2)到第n 年年末，依第一方案可得共加薪1 000(1＋2＋…＋n )＝500n (n ＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a (1＋2＋3＋4＋…＋2n )＝an (2n ＋1)(元)．由题意an (2n ＋1)>500n (n ＋1)对一切n ∈N ＋都成立，即a >500(n ＋1)2n ＋1＝250＋2502n ＋1， 又因为250＋2502n ＋1≤250＋2503， 所以a >250＋2503＝1 0003. 所以当a >1 0003元时， 总是选择第二方案比第一方案加薪多．。