2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 文

第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算知识梳理一、复数的有关概念 1．复数的概念．形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ).3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．5．复数的模．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.6．复数的几何意义．(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.答案：1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数5.|z | |a ＋b i| \r(a 2＋b 2)二、复数代数形式的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． 三、常见运算规律1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )．2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．(1±i)2＝±2i. 4.1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. 5．1的立方根是1，－12＋32i ，－12－32i ；－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.6．设ω＝－12＋32i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ；(2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→，那么，以OP 1，OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量 OS →就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→的终点，并指向被减数的向量z 2z 1→对应．六、几个重要的结论1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)．2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.基础自测1．(2013·潮州二模)设i 为虚数单位，则复数i2＋i等于( )A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25i 解析：i 2＋i ＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i.故选A.答案：A2．(2013·广州一模)已知a1－i＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i＝( )A ．1＋2iB ．2＋IC ．2－ID ．1－2i 解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.答案：B3．设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝ 0∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：14．若(1－2i)i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：由(1－2i)i ＝i －2i 2＝2＋i ＝a ＋b i ，根据复数相等的条件可得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.答案：21．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i＝－4i.答案：C2．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i(i 为虚数单位)的共轭复数z －是( )A ．1－iB ．1＋i C.12＋12i D.12－12i解析：因为复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i.所以z －＝12－12i.故选D.答案：D2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2－i(其中，i 是虚数单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数是( )A ．－2－IB ．－2＋iC ．2＋iD ．1－2i解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →对应的复数是2＋i ，故选C.答案：C。

第四节 数系的扩充与复数的引入[考情展望] 以客观题的形式考查复数的有关概念、复数相等的充要条件及复数代数形式的运算．有时与集合、充分必要条件等知识结合命题，考查对复数基本概念的理解．一、复数的有关概念 1．定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) 2．3.⇔a ＝c ，b ＝d (4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 5．模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．三、复数的运算1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R图11－4－12．几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图11－4－1给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 【解析】 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 【答案】 C2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15【解析】 i1＋2i ＝i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i 5＝25＋15i ，故选A.【答案】 A3．若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【解析】 ∵z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i.【答案】 D4．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 【解析】 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1. 【答案】 D5．(2013·山东高考)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5【解析】 z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.【答案】 C6．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D考向一 [173] 复数的有关概念(1)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【思路点拨】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，结合选项逐一判断．(2)把复数z 化成m ＋n i(m ，n ∈R )的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确． 【尝试解答】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确． 选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确． 选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．(2)∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 【答案】 (1)C (2)C规律方法1 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解.考向二 [174] 复数的代数运算(1)(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(2014·武汉模拟)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 015＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1【思路点拨】 (1)先求x ＋y i ，再求模；也可直接求模．(2)先化简1＋i1－i，再根据i n 的周期性求值．【尝试解答】 (1)法一 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法二 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法三 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法四 ∵|i(x ＋y i)|＝|3＋4i|， ∴|x ＋y i|＝5.故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 3＝－i. 【答案】 (1)D (2)A规律方法2 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i )2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；3.熟知“i n ”的周期性.,i n 的周期性,i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i (n ∈N ＋).对点训练 (2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i【解析】 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝5＋i ，∴z＝5－i.故选D.【答案】 D考向三 [175] 复数及其运算的几何意义如图11－4－2，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图11－4－2(1)AO →对应的复数，BC →对应的复数； (2)CA →对应的复数．【思路点拨】 (1)AO →＝－OA →，BC →＝AO →，然后根据复数的几何意义求解；(2)根据复数减法的几何意义及CA →＝OA →－OC →求解．【尝试解答】 (1)AO →＝－OA →， ∴AO →对应的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →对应的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →， ∴CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.规律方法3 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.对点训练 (1)图11－4－3若i 为虚数单位，图中11－4－3复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H (2)(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.【解析】 (1)由图可得z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.对应的点为(2，－1)，即点H .(2)(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i. 【答案】 (1)D (2)－2＋3i思想方法之二十二 解决复数问题的根本方法——实数化复数集是实数集的推广和发展，在解决复数问题时，将复数问题转化为熟悉的实数问题，有助于解决问题．复数问题向实数问题的转化，主要用于求实数、虚数、纯虚数、对应点在复平面的某一位置等，其转化的关键在于利用复数相等的条件解题．复数转化为实数化的有效途径有以下四种： (1)复数的概念及分类； (2)复数的相等； (3)复数的模；(4)z 与z 的关系：z ·z ∈R .————[1个示范例]————[1个对点练]————(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.【解析】 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.(2012·湖北高考)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】 3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，3＋b2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 3。