高一数学交集并集2

高一数学复习知识点专题讲解与训练并集与交集知识点一并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称自然语言为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”)图形语言知识点二交集一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称自然语言为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．4.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C. 答案：C类型一并集概念及简单应用例1(1)设集合A＝{1,2,3}, B＝{2,3,4}, 则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}(3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)由题意A∪B＝{1,2,3,4}．(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．【答案】(1)A(2)A(3)A(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B.(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.(3)先明确集合A，B都是点集，再判断A∪B中的元素的特征．方法归纳此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．,跟踪训练1(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：(1)先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示．则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案：(1)D (2)A ,先解方程，求出集合M ，N .求M ∪N 时要注意两点：(1)把集合M ，N 的元素放在一起；(2)使M ，N 的公共元素在并集中只出现一次．类型二 交集概念及简单应用例2 (1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 D ．A ∪B ＝R(2)已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x <2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个(3)已知集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2<x <0}，若M ∩N ＝∅，则a 的取值范围为( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <－2 D ．a ≤－2,【解析】 (1)由3－2x >0，得x <32，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，又因为A ＝{x |x <2}，所以A ∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． (2)由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x <2}得，在－2≤x <2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素． (3)画数轴可知，当M ∩N ＝∅时，a 的取值范围是{a |a ≤－2}． 【答案】 (1)A (2)B (3)D(1)先解不等式确定集合B ，再根据交集、并集的定义分别确定A ∩B 和A ∪B.(2)先判断集合N 中元素的特征，再判断Venn 图中阴影部分表示的集合M ∩N ，最后求元素个数．(3)画数轴，根据M ∩N ＝∅，求a 的取值范围．方法归纳(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．,跟踪训练2(1)若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________，P∪M＝________；(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，则M∪N＝________，M∩N ＝________；(3)已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈Z}，集合N＝{y|y＝－x2－2x，x∈Z}，求M∩N.解析：(1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}，P∪M＝{－1,1,3}．(2)借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3<x<－2}．(3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z，∴M＝{－1,0,3,8,15，…}．又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z，∴N＝{1,0，－3，－8，－15，…}，∴M∩N＝{0}．答案：(1){－1}{－1,1,3}(2){x|x>－5}{x|－3<x<－2}(3){0}先求出集合P、M，再求P∩M , P∪M.集合M ，N是函数的值域．类型三交集、并集性质的运用例3已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.审结论(明解题方向)审条件(挖解题信息)(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．,由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，B 分2类，B ＝∅，B ≠∅，再利用数轴求.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－5} B ．{x |x ≤2} C ．{x |－3<x ≤2} D ．{x |－5≤x ≤2} 解析：结合数轴(图略)得A ∪B ＝{x |x ≥－5}． 答案A2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a －1，a ∈N *}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1,2} C ．{1} D ．{2}解析：因为N ＝{1,3,5，…}，M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：C3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝－4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ＝－1，y ＝2} B ．(－1,2)C ．{－1,2}D ．{(－1,2)}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，2x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以A ∩B ＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}7．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：38．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：{a|a≤1}三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝1 3；(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－1 2；(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A12．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．答案：{6}13.设A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．解析：由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.所以A ＝{0,2}．(1)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，所以a <0.当B ＝{0}或{2}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，a 2－a ＝0⇒a ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，4－4a ＋a 2－a ＝0无解， 所以a ＝0，B ＝{0,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝04－4a ＋a 2－a ＝0⇒a ＝1， 综上，a 的取值范围为{a |a ≤0或a ＝1}．(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以B ＝{0,2}，所以a ＝1.。

学科：数学教学内容：交集、并集（第二课时）【自学导引】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝BA ∩UA ＝∅，A ∪UA ＝U ．2．形如2n (n ∈Z )的整数叫偶数，形如2n ＋1(n ∈Z )的整数叫奇数．【思考导学】1．如何用集合A 、集合B 的交集、并集、补集分别表示图中的四个阴影部分所表示的集合？答：Ⅰ部分：A ∩(UB ) Ⅱ部分：A ∩B Ⅲ部分：B ∩UA Ⅳ部分：(UA )∩(UB )或U(A∪B )．2．为什么说A ⊆B 是A ∩B ＝A 的充要条件？ 答：因若A ⊆B ，则对任意x ∈A ∴x ∈B ，∴x ∈A ∩B ．同时有x ∈A ∩B ⇒x ∈A ，∴A ∩B ＝A ．反之若A ∩B ＝A ，则对于任意x ∈A ，有x ∈A ∩B ，从而x ∈B ，∴A ⊆B ． 由上可知A ⊆B 是A ∩B ＝A 的充要条件．【典例剖析】［例1］已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4ax ＋2a ＋6＝0}，若A ∪∅≠∅，求a 的取值范围． 解：∵A ∪∅≠∅，又A ∪∅＝A ，∴A ≠∅．即方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0有实根∴Δ＝(－4a )2－4(2a ＋6)≥0即(a ＋1)(2a －3)≥0 ∴a ≤－1或a ≥23．点评：解此题应明确两个问题，一个是集合A 为方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0的解集，另一个是A ∪∅≠∅就是A ≠∅即方程有解．［例2］设全集U ＝{不大于20的质数}，且A ∩UB ＝{3，5}，(UA )∩B ＝{7，11}，(UA )∩(UB )＝{2，17}，求集合A ，B ．解：U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19} ∵A ∩UB ＝{3，5}∴3∈A ，5∈A ，且3∉B ，5∉B ． 又∵(UA )∩B ＝{7，11}∴7∈B ，11∈B ，且7∉A ，11∉A ．∵(UA )∩(UB )＝{2，17}∴U(A ∪B )＝{2，17}∴A ＝{3，5，13，19}，B ＝{7，11，13，19}点评：(1)本题借助文氏图更加形象直观，只须根据题中所给条件，把集合中的元素填入相应的图1—4中，可得集合A ，B ．(2)在交、并运算中用到集合的如下运算关系：UA ∪U(A ∪B )＝(UA )∩(UB )．［例3］设集合A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0，x ∈R ｝，B ＝｛x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R ｝，若A ∪B ＝A ，求实数a 的值．解：∵A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0，x ∈R ｝，∴A ＝｛－4，0｝， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A当B ＝A ，即B ＝｛－4，0｝时，由一元二次方程的根与系数关系，得 ⎩⎨⎧=--=+-01a 4)1a (22解之得a ＝1． 当B ＝∅，即方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数解时，4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8a ＋8＜0解得a ＜－1．当B ＝｛0｝，即方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根且为零时， ⎩⎨⎧=-=+01a 08a 82解得a ＝－1 当B ＝｛－4｝时，即需⎩⎨⎧=-++-=+01a )1a (81608a 82无解 综上所述，知若A ∪B ＝A ，则a ≤－1或a ＝1．点评：由A ∪B ＝A 转化为B ⊆A 是解本题的关键．另外在求出A ＝｛0，－4｝后，应分别从B＝A，｛0｝，｛－4｝，∅四种情况下求a．【随堂训练】1．若A∪B＝∅，则( )A．A＝∅，B≠∅B．A≠∅，B＝∅C．A＝∅，B＝∅D．A≠∅，B≠∅答案： C2．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系必定是( )A．A CB．C AC．A⊆CD．C⊆A解析：∵A∩B＝A，∴A⊆B又B∪C＝C，∴B⊆C，∴A⊆C答案： C3．已知Ｕ＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，A＝｛3，4，5｝，B＝｛1，3，6｝，那么集合C＝｛2，7，8｝是( )A．A∪BB．A∩BC．( U A)∩(U B)D．(U A)∪(U B)解析：显然A Ｕ，B Ｕ，C Ｕ．因2，7，8∉A且2，7，8∉B，所以2，7，8∈U A且2，7，8∈U B，故答案选C．也可使用文氏图．答案： C4．设S，T是两个集合，且S T，T S，若M＝S∩T，则S∪M等于( )A．∅B．SC．TD．M解析：∵M＝S∩T，∴M ⊆S，∴S∪M＝S答案： B5．若集合A＝｛1，3，x｝，B＝｛1，x2｝，且A∪B＝｛1，3，x｝，则x＝______．解析：由A∪B＝｛1，3，x｝，B A，所以x2∈A，∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±3或x＝0，x＝1(舍)答案：±3或06．若集合A＝｛x｜－1≤x＜2}，B＝｛x｜x≤a｝，若A∩B≠∅，则实数a的集合为．解析：∵A∩B≠∅，∴集合A、B有公共元素，借助数轴，a≥－1答案：｛a｜a≥－1｝【强化训练】1．下列说法中正确的是( )A．任何一个集合必有两个子集B．任何集合必有一个真子集C．若A∩B＝∅，则A、B中至少有一个为∅D．若A∩B＝S，S为全集，则A＝B＝S答案： D2．全集I含有10个元素，它的子集A含有5个元素，子集B含有4个元素，A∩B有两个元素，那么A∪B含有元素的个数是( )A．9B．7C．5D．10解析：借助于文氏图所示，集合A∪B共有7个元素．答案： B3．已知集合A＝{x|x2＋m x＋1＝0，m≥0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围是( )A．m＜4B．m＞4C．0≤m＜4D．0≤m≤4解析：∵A∩R＝∅，∴A＝∅，从而得Δ＝m－4＜0，∴m＜4，又m≥0，∴0≤m＜4．答案： C4．设全集Ｕ＝Z，A＝｛x｜x＝2n，n∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝，则集合A∩(U B)等于( )A．｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝B．｛x｜x＝∅，k∈Z｝C．｛x｜x＝Z，k∈Z｝D．｛x｜x＝2k，k∈Z｝答案： D5．判断下列命题的正误：(1)若A⊆B，则A∩B＝A( )(2)若A∪B＝B，则A⊆B( )(3)(A ∩B ) A (A ∪B )( ) (4)U(A ∩B )＝(UA )∪(UB )( )答案： (1)√ (2)√ (3)× (4)√6．集合｛(2，3)｝⊆ (A ∩B )，A ＝｛(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0｝，B ＝｛(x ，y )|x 2－ay －b ＝0｝，则a ＝______，b ＝______．解析： ∵｛(2，3)｝⊆A ∩B ∴(2，3)∈A 且(2，3)∈B 从而可得⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=--=+-195034092b a b a b a 答案： －5 197．集合M ＝｛1，t ｝，N ＝｛t 2－t ＋1｝，若M ∪N ＝M ，求t 的集合． 解：∵M ∪N ＝M ，∴N ⊆M ∴t 2－t ＋1＝1或t 2－t ＋1＝t 由t 2－t ＋1＝1得t ＝0或t ＝1 由t 2－t ＋1＝t 得t ＝1∴符合条件的t 值集合为｛0｝．8．已知全集Ｕ＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝．A ⊆Ｕ，B ⊆Ｕ，且(UA )∩B ＝｛1，9｝，A ∩B ＝｛2｝，(UA )∩(UB )＝｛4，6，8｝，求A 和B ．解：根据题意作文氏下如图，可知A ＝{2，3，5，7}，B ＝{1，2，9}．9．已知集合A ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，B ＝｛x ｜mx －1＝0｝，且A ∩B ＝B ．求由实数m 所构成的集合M ，并写出M 的所有子集．解：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ．(1)当B ＝∅时，m ＝0；(2)当B ≠∅时，m ≠0∴B ＝｛x ｜x ＝m 1｝∵B ⊆A ，A ＝｛2，3｝，∴B ＝｛2｝或B ＝｛3｝ ∴m ＝21或m ＝31，∴M ＝｛0，21，31｝． M 的所有子集为：∅，｛0｝，｛21｝，｛31｝，｛0，21｝，｛0，31｝，｛21，31｝，｛0，21，31｝．10．设Ｕ＝R ．集合M ＝｛m ｜方程mx 2－x －1＝0有实根｝，N ＝｛n ｜方程x 2－x ＋n ＝0有实根｝，求(UM )∩N ．解：方程mx 2－x －1＝0有实根，∴m ＝0或∴m ≥－41或m ＝0，∴M ＝｛m ｜m ≥－41或m ＝0｝＝｛m ｜m ≥－41｝∴UM ＝｛m ｜m ＜－41}同理N ＝｛n ｜n ≤41｝∴(UM )∩N ＝｛m ｜m ＜－41＝｝∩｛n ｜n ≤41｝＝｛m ｜m ＜－41}∩｛m ｜m ≤41｝＝｛m ｜m ＜－41}【学后反思】正确理解概念是进行交集、并集、补集运算的基础，灵活利用下面性质可给解题带来方便．SA∩∪(【教学建议】子集、补集、交集、并集是集合的核心，是数学语言的充分体现，教学中尽量将集合的概念渗透到以往所学的知识中，特别是数集、方程、不等式的解集中，文氏图解题是数形结合的基本思想方法之一．集合习题课【双基再现】1．下列条件：①充分接近2的实数的全体；②大于0小于20的9与12的公倍数的全体；③实数中不是有理数的所有数的全体；④数轴上到原点的距离大于1的点的全体．其中确定一个集合的是②③④．2．对于两个集合A 与B(1)如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ．(2)B A ⊆，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集． (3)如果A B ,B A ⊆⊆同时，那么A ＝B ． (4)空集是任何非空集合的真子集．(5)符号“∈”是表示元素与集合之间关系的；符号“⊆”是表示集合与集合之间关系的．3．若集合S ＝｛x ∈Z ｜16-x ∈N *｝，用列举法表示出集合S ＝______．解析： 由题意知，x －1为6的正约数，即x －1＝1，2，3，6 ∴x ＝2，3，4，7，∴S ＝｛2，3，4，7｝．答案： ｛2，3，4，7｝4．已知：A ＝｛a ，0，－1｝，B ＝｛b ＋c ，ab 1+，1｝，且A ＝B ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____．解析： ∵A ＝B ，∴a ＝1，又ab +1≠0，∴ab 1+＝－1 ①b ＋c ＝0 ②①、②联立得b ＝－2，c ＝2答案： 1 －2 25．如果全集U ＝｛a ，b ，c ，d ，e ｝，M ＝｛a ，c ，d ｝，N ＝｛b ，d ，e ｝，那么(UM )∩(UN )等于______．解析：UM ＝｛b ，e ｝，UN ＝｛a ，c ｝，∴(UM )∩(UN )＝∅答案： ∅6．已知全集Ｕ＝｛0，1，2｝，则满足U(A ∪B )＝｛2｝的集合A 、B 共有_____组．解析： ∵Ｕ＝｛0，1，2｝，U(A ∪B )＝｛2｝，∴A ∪B ＝｛0，1｝，∴若A ＝∅，则B 为｛0，1｝， A ＝｛0｝，B 分别为｛1｝，｛0，1｝ A ＝｛1｝，B 分别为｛0｝，｛0，1｝A ＝｛0，1｝，B 分别为｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，∅故共有9组． 答案： 9【典例剖析】［例1］设U ＝R ，又集合A ＝｛x ｜－5＜x ＜5＝，B ＝｛x ｜0≤x ＜7｝，则A ∩B ＝______；A ∪B ＝________；(UA )∩(UB )＝_______；(UA )∪(UB )＝______；U(A ∩B )＝_____；A∪(U B)＝______．解析：A∩B＝｛x｜0≤x＜5}；A∪B＝｛x｜－5＜x＜7}(U A)∩(U B)＝｛x｜x≤－5或x≥7｝(U A)∪(U B)＝｛x｜x＜0或x≥5}(A∩B)＝(U A)∪(U B)＝｛x｜x＜0或x≥5}UA∪(U B)＝｛x｜x＜5或x≥7}点评：在求(U A)∩(U B)和(U A)∪(U B)时，可运用摩根律，即(U A)∩(U B)＝U(A∪B)、(U A)∪(U B)＝U(A∩B)，由于已求出A∩B和A∪B，故(U A)∩(U B)和(U A)∪(U B)可直接得出．摩根律可用文氏图验证，证明一般用证集合相等的方法．［例2］已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}；若A B，求实数a的取值集合．解：将数集A表示在数轴上(如图1—5)，要满足A B，表示数a的点必须在4或4的右边，所求a的取值集合为{a|a≥4}．点评：1．这类问题，要利用数轴，数形结合，以形定数．2．要注意验证端点值，做到准确无误．［例3］集合S＝｛x｜x≤10，且x∈N*｝，A S，B S，且A∩B＝｛4，5｝，(S B)∩A ＝｛1，2，3｝，(S A)∩(S B)＝｛6，7，8｝．求集合A和B．解法一：(1)∵A∩B＝｛4，5｝，∴4∈A，5∈A，4∈B，5∈B(2)∵(S B)∩A＝｛1，2，3｝∴1∈A，2∈A，3∈A，1∉B，2∉B，3∉B．(3)∵(S A)∩(S B)＝｛6，7，8｝∴6、7、8都不属于A，6、7、8也都不属于B．∵S＝｛x｜x≤10，且x∈N*｝，∴9、10不知所属由(2)、(3)可知9、10均不属于S B．∴9∈B，10∈B．综上所述知A＝｛4，5，1，2，3｝，B＝｛4，5，9，10｝解法二：如图1—6所示∵A ∩B ＝｛4，5｝，∴将4、5写在A ∩B 中 ∵(SB )∩A ＝{1，2，3}，∴将1，2，3写在A 中 ∵(SB )∩(SA )＝｛6，7，8｝∴将6，7，8写在S 中A 、B 之外 ∵(SB )∩A 与(SB )∩(SA )中均无9、10∴9、10在B 中故A ＝｛1，2，3，4，5｝，B ＝｛4，5，9，10｝ 点评：利用文氏图能清楚地表明各集合间的关系．［例4］已知x ∈R ，集合A ＝｛－3，x 2，x ＋1｝．B ＝｛x －3，2x －1，x 2＋1｝，如果A ∩B ＝｛－3｝，求A ∪B ． 解：∵A ∩B ＝｛－3｝，∴－3∈B又x 2＋1≠－3，∴x －3＝－3或2x －1＝－3 若x －3＝－3，则x ＝0，A ＝｛－3，0，1｝，B ＝｛－3，－1，1｝，A ∩B ＝｛－3，1｝，与已知不符，∴2x －1＝－3，x ＝－1则A ＝｛－3，1，0｝，B ＝｛－4，－3，2｝，满足A ∩B ＝｛－3｝， ∴A ∪B ＝｛－4，－3，0，1，2｝点评：本题关键在于由A ∩B ＝｛－3｝来确定实数x 进而确定A 、B ，解题时要注意题目中的各种可能，特别要注意防止误认为第一种情形也成立．［例5］已知A ＝｛x ∈R ｜x 2－2x －8＝0｝，B ＝｛x ∈R ｜x 2＋ax ＋a 2－12＝0｝，B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解：A ＝｛－2，4｝，∵B ⊆A ，∴B ＝∅，｛－2｝，｛4｝，｛－2，4｝若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)＜0，a 2＞16，a ＞4或a ＜－4 若B ＝｛－2｝，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0解得a ＝4．若B ＝｛4｝，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时a 无解； 若B ＝｛－2，4｝，则⎩⎨⎧⨯-=--=-4212a 24a 2∴a ＝－2综上知，所求实数a 的集合为｛a ｜a ＜－4或a ＝－2或a ≥4｝． 点评：空集是任何集合的子集，B ⊆A ，B 可能是空集，这是容易忽略的．［例6］若A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2x －8＝0｝．(1)若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；(2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．解：由已知，得B ＝｛2，3｝，C ＝｛2，－4｝．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B于是2，3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由韦达定理知：⎩⎨⎧-=⨯=+1932322a a解之得a ＝5． (2)由A ∩B ∅，A ∩C ＝∅，得3∈A ，2∉A ，－4∉A ，由3∈A ，得32－3a ＋a 2－19＝解得a ＝5或a ＝－2当a ＝5时，A ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝｛x ｜x 2＋2x －15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意． ∴a ＝－2．点评：对于(1)，必须理解A ∩B ＝A ∪B 的意义．(∵A ⊇A ∩B ＝A ∪B ⊇B ⇒⊇A ⊇B ；A ⊆A ∪B ＝A ∩B ⊆B ⇒A ⊆B ∴A ＝B )对于(2)，关键是抓住空集这个特殊集合的意义和性质，即由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅．【能力提高】1．下列写法中正确的是( ) A ．0∈∅B ．0∪∅＝｛∅｝C ．0｛0｝D ．∅｛0｝解析： ∅表示不含任何元素的集合；｛∅｝表示以∅为元素的集合；｛0｝表示以0为元素的集合．答案： D2．设Ｕ＝R ，A ＝｛x ｜0≤x ＜5}，B ＝｛x ｜x ≥1｝，则(UA )∪(UB )等于( )A ．｛x ｜x ≥0｝B ．｛x ｜x ＜1或x ≥5}C ．｛x ｜x ≤1或x ＞5｝D ．｛x ｜x ＜0或x ≥5}解析： UA ＝｛x ｜x ＜0或x ≥5}，UB ＝｛x ｜x ＜1}∴(UA )∪(UB )＝｛x ｜x ＜1或x ≥5｝答案： B3．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＞0，xy ＞0}，N ＝{(x ，y )|x ＞0且y ＞0}，那么集合M 、N 之间的关系是( )A ．M NB ．M NC ．M ＝ND ．以上都不对解析： ∵x ＋y ＞0，xy ＞0⇔x ＞0且y ＞0，∴M ＝N ．答案： C4．设集合M＝{x|x2－x－6＝0}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∪N＝______．解析：M＝{－2，3}，N＝{0，3}，∴M∪N＝{－2，0，3}．答案： {－2，0，3}5．设全集为R，集合M＝{x|x≤0}，N＝{x|x＞2}，则集合R(M∪N)＝______．解析：M∪N＝{x|x≤0或x＞2}，(M∪N)＝{x|0＜x≤2}．∴R答案： {x|0＜x≤2}6．已知x∈{1，2，x2}，则x＝______．解析：由集合元素的互异性可知：x2≠1且x2≠2即x≠±1，x≠±2，又x∈{1，2，x2}，∴x＝1(舍)，x＝2或x＝x2，∴x＝2或x＝0．答案： 0，27．若全集U＝｛x｜x≤9，x∈N*｝，M＝｛1，7，8｝，P＝｛2，3，5，7｝，S＝｛1，4，7｝，则(M∪P)∩(U S)＝_________．解析：Ｕ＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，M∪P＝｛1，2，3，5，7，8｝，U S＝｛2，3，5，6，8，9｝∴(M∪P)∩(U S)＝｛2，3，5，8｝答案：｛2，3，5，8｝8．已知A＝｛y∈N｜y＝x2－4x＋6｝，B＝｛y∈N｜y＝－x2－2x＋18｝，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示．解：∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，∴A＝｛y∈N｜y≥2｝又y＝－x2－2x＋18＝－(x＋1)2＋19≤19∴B＝｛y∈N｜y≤19｝∴A∩B＝｛y∈N｜2≤y≤19｝＝｛2，3，4， (19)9．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝｛x∈S｜x2－5x＋m＝0｝，若S A＝｛2，3｝，求m 的值．解：∵S A＝｛2，3｝，∴A＝｛1，4｝，∴1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根由韦达定理得：m＝1×4＝4．10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，{3}⊆B U A．写出所有满足要求的集合B．解：U A＝{3，4，5}，∴集合B满足{3}⊆B {3，4，5}，集合B为{3}，{3，4}，{3，5}．11．已知：集合A＝｛x∈R｜x2＋ax＋1＝0｝，B＝｛1，2｝，且A B，求实数a的取值范围．解：∵B＝｛1，2｝，A B，∴A可能是A＝｛1｝，A＝｛2｝，A＝∅当A ＝｛1｝时，a ＝－2当A ＝｛2｝时，有⎩⎨⎧=-=++04a 01a 242方程组无解 当A ＝∅时，－2＜a ＜2综上，实数a 的取值范围是－2≤a ＜2．【施展才华】1．已知A ＝{y |y ＝x 2－4x ＋6，y ∈N }，B ＝{y |y ＝－x 2－2x ＋7，y ∈N }，求A ∩B ，并分别用描述法和列举法表示出来．解：∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∴y ≥2，∴A ＝{y |y ≥2，y ∈N }又∵y ＝－x 2－2x ＋7＝－(x ＋1)2＋8，∴y ≤8，∴B ＝{y |y ≤8，y ∈N }∴A ∩B ＝{y |2≤y ≤8，y ∈N }用列举法表示为A ∩B ＝{2，3，4，5，6，7，8}．2．设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z }，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z }，试判断集合A 、B 的关系．解：任设a ∈A ，则a ＝3n ＋2＝3(n ＋1)－1(n ∈Z )，∴n ∈Z ，∴n ＋1∈Z ，∴a ∈B ，故A ⊆B ①又任设b ∈B ，则b ＝3k －1＝3(k －1)＋2(k ∈Z )，∵k ∈Z ，∴k －1∈Z ，∴b ∈A ，故B ⊆A ②由①、②知A ＝B ．。

交集、并集教学目标：（1）理解交集与并集的概念；（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；（3）能用图示法表示集合之间的关系；（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．教学重点：交集和并集的概念教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系教学过程设计一、导入新课【提问】试叙述子集、补集的概念？它们各涉及几个集合？补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种．二、新课【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）．【设问】1．第一次看到了什么？2．第二次看到了什么3．第三次又看到了什么？4．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集A、集B元素有何关系？【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集A与集B的公共部分为集A与集B的交集．【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念．【助学】“且”的含义是“同时”，“又”．“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少．【介绍】集合 A与集合 B的交集记作．读做“A交B”·【助学】符号“”形如帽子戴在头上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆．【设问】集 A与集 B的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？【随练】写出，的交集．【设问】大家是如何写出的？我们再看下面的图．【设问】1．第一次看到了什么？2．第二次除看到集B和外，还看到了什么集合？3．第三次看到了什么？如何用有关集合的符号表示？4．第四次看到了什么？这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示．5．第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？6．第六次看到了什么？7．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集A集B的元素有何关系？【注】若同学直接观察到，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行．【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集A集B并在一起的感觉，称为集A集B的并．【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集A中的所有元素要取，集B中的所有元素也要取．【介绍】集A与集B的并集记作（读作A并B）．【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“”混淆，更不能与“”等符号混淆．【设问】集A与集B的并集除上面看到的用图示法表示外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？【随练】写出，的并集．【设问】大家是如何写出的？【例1】设，，求（以下例题用投影仪打出，随用随启）．【助练】本例实为解不等式组，用数轴法找出公共部分，写出即可．【例2】设，，求【例3】设，，求【例4】设，，求【助学】数轴法（略）．想象前面集A集B并集的图示法，类似地，将两个不等式区域并到一起，即为所求．其中元素2虽不属于集A倮属于集B，所以要取，元素1虽不属于集B但属于集A，所以要取，因此，只要将集A的左端点，集B的右端点组成新的不等式区域即为所求（两端点取否维持题设条件）．【助练】以上例题，当理解并较熟练后，且结果可进一步简化时，中间一步或两步可省略．如例4．【练习】教材第12页练习1～5．【助练】1．全集与其某个子集的交集是哪个集合？2．全集与其某个子集的并集是哪个集合？3．两个无公共元素的集合的交集是什么集合？4．两个无公共元素的集合A、B，它们的并集如何表示？5．任意集合A与其本身的交集、并集分别是什么集合？如何表示？6．任意集A与空集的交集、并集分别是什么集合？如何表示？7．与的关系如何表示？与的关系如何表示？【例5】设，，求【助思】1．集A、集B各是什么集合？2．如何理解3．本例实为求两条直线的交点或解二元一次方程组，只不过是从集合的角度提出问题解决问题．【例6】已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求，，，，，【助学】1．偶数包括哪些数？任意偶数如何表示？偶数集（全体偶数的集合）如何表示？2．奇数包括哪些数？任意奇数如何表示？奇数集（全体奇数的集合？如何表示？）【例7】设，，，求，，，．三、课堂练习教材第13页练习1、2、3、4．【助练习】第13页练习4（1）中用一个方向的斜平行线段表示，用另一方向的平行线段表示如图：凡有阴影部分即为所求．【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集则有第13页练习4（2）仿上，如图，凡有双向阴影部分即为所求．【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集．则有：以上两个等式称反演律．简记为“先补后并等于先交后补”和“先补后交等于先并后补”．反演律在今后类似问题中给我们带来方便，因为它将三步工作简化为两步工作．四、小结提纲式（略）．再一次突出交集和并集两个概念中“且”，“或”的含义的不同．五、作业课堂教学设计说明1．本教学设计方案除继续遵循“集合”方案中的“主体教学思想”外，着力研究直观性原则在教学中的应用及多媒体（投影仪）的助学作用．2．反演律可根据学生实际酌情使用．。