2018版高中数学苏教版必修四学案：2.2.1 向量的加法

2.2.1向量的加法教学设计与教学反思一、教材分析：平面向量这章是数学的重要内容之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。

向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。

它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同事它在实际生活、生产中有着广泛的应用。

二、学情分析：学生通过上节课的学习，已经掌握了向量的概念，几何表示，理解了什么是共线向量，在物理课本中，已经知道了位移、速度和力这些物理量都是向量并可以进行合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这些都为这节课的引入提供了较好的前提条件。

三、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．四、重点难点重点：向量加法运算的意义和法则．难点：向量加法法则的理解．五、教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．六、授课类型新授课七、教学过程Ⅰ．数学文化师：伟大的数学家傅里叶曾说过：“数学的发现来源于生活，来源于自然界”。

数学是美的，数学的运算更加优美，我们曾学习过数的运算，那么向量是否具有同样的运算呢？今天我们一起来探讨：Ⅱ．创设情境直观感知师：请观察问题1：直航之前如何从台北到达上海？直航之后可以从台北直达上海，此时的位移与前面两次位移的结果如何呢？两次位移的结果可称为两次位移的和，那么，如何用等式来刻画这三个位移的关系呢?生：OB OA AB =+u u u r u u u r u u u r .师：问题2：这是杭州湾大桥的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为F1、 F2 ，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力 可称为力 和 的和，如何用等式来刻画这三个力的关系呢?生：12F F F =+u r u u r u u r.师：力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）【设计意图】从学生已有的生活经验和物理知识出发，让学生在位移合成和力合成的基础上，感知向量加法的概念，进而让学生感知出向量加法的三角形法则和平行四边形法则．Ⅲ．抽象概括、形成定义师：问题3：如何定义两个向量a r 与b r的和？定义（师生共同完成）：已知向量,a b r r ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==u u u r r u u u r r ，则向量OB u u u r叫做向量,a b r r 的和．记作：a b +r r ．即a b OA AB OB +=+=r r u u u r u u u r u u u r．塔斜拉桥示意梁O斜拉索柱斜拉索 塔柱 斜拉桥示意图O F 1F 2FAOB上海台北香港向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．师：1、从行观察：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们“首尾相连首尾连”．师：2、从数观察（a b OA AB OB +=+=r r u u u r u u u r u u u r）：三角形法则求向量和的特性“首尾相连首尾连”还实用吗？师：3、是不是所有的两向量通过平移均能和三角形的两条边对应呢： 学生讨论：两种特例(两向量平行) ①方向相同；②方向相反。

2．2.1 向量的加法作者：陆正海，江苏省泰州中学高级教师、泰州市数学学科带头人，本教学设计获江苏省教学设计大赛三等奖．整体设计设计思想数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．教学内容分析本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．教学目标分析理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．教学过程1．情景设置从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？ 探索讨论：已知向量a 和b ，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作OA →＝a ，AB →＝b ，连结OB 得到新向量OB →；按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，得到新向量OC →.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的AC→＝OB →＝b ，也就说明由“平行四边形”法则得到的OC →(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量OB →(见图1(1))是相等的．(1)(2)图12．向量加法定义 我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a 与b 的和，记作a ＋b ，求两向量和的运算叫做向量的加法．3．验证向量加法满足交换律、结合律利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：a ＋0＝0＋a ＝a .a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.a ＋b ＝b ＋a (加法交换律)(见图2(1))．(1) (2)图2(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(加法结合律)(见图2(2))． 思考讨论：(1)A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 1→＝？(多个向量相加法则)(2)|a ＋b |与|a |±|b |的大小关系．(数形结合)4．例题选讲(以学生活动为主)例1如图3，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：图3(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.解：(1)因为四边形OABC 是以OA 、OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →与FE →方向相同且长度相等，所以BC →与FE →是相等向量，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →长度的2倍，因此，BC →＋FE →可用AD →表示．所以BC →＋FE →＝AD →.(3)因为OA →与FE →是一对相反向量，所以OA →＋FE →＝0.例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？分析：如图4，渡船的实际速度AC →、船速AD →与水速AB →应满足AB →＋AD →＝AC →.图4解：如图4，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°.答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.例3在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上取两点E 、F ，使BE ＝DF ，用向量方法证明四边形AECF 也是平行四边形.分析：要证四边形AECF 是平行四边形，只需证AE →＝FC →.图5∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又四边形ABCD 是平行四边形，BE ＝DF ，∴AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →.小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？5．练习与反馈(1)如图6，已知向量a 、b ，作出a ＋b .(1) (2)图6 (2)已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是( )A.AB →＋CB →＝AC →B.AB →＋AD →＝AC →C.AD →＋CD →≠BD →D.AO →＋CO →＋OB →＋OD →≠0(3)在△ABC 中，求证：AB →＋BC →＋AC →≠0.(4)一质点从点A 出发，先向北偏东30°方向运动了4 cm ，到达点B ，再从点B 向正西方向运动了3 cm 到达点C ，又从点C 向西南方向运动了4 cm 到达点D ，试画出向量AB →，BC →，CD →以及AB →＋BC →＋CD →.6．课堂小结今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．。

《向量的加法》教学设计江苏睢宁高级中学南校孙永一．教材分析：本节内容位于高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。

向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，实乘向量及平面向量基本定理等知识奠定基础，因此，本节内容起着承上启下的重要作用。

由于之前物理里面也学习过力、速度等矢量的分解，因此学生对向量的加法具有一定的基础，在向量的加法学习过程，学生能够与物理中学习过的内容联系起来，对于新课学习很有帮助。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一个本节课最重要的内容，讲授时应一次到位。

不仅要讲述清楚、表述规范，还有通过问题的解决加以强调，并要求学生亲自实践以加深理解。

向量加法的运算律也是本节课的重点内容。

其结论不应简单的给出，而应该让学生按照加法法则作图检验。

二．教学目标：（一）知识和能力：1．通过本节课的学习，学生掌握向量加法的概念，能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和。

掌握向量加法的交换律和结合律，并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识。

（二）情感、态度与价值观：学生经历类比物理中求合力的平行四边形法则及30届青少年科技创新大赛机器人的行走位移到向量加法问题的提出的过程，能感受到数学问题来自于客观现实，感受到学好数学有利于解决实际问题。

学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程，不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成分解的作图方法，体现出数学的实用性，还感受到了数学和物理的合作，从而感悟出一种合作精神，迁移到同学们的学习和生活中，便能体会出团结协作尤为重要。

三．学情分析与教法设计：（一）学情分析1．知识方面本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。

更重要的是学生在物理中的学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解）概念，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。

2.2.1 向量的线性运算--加法【学习目标】1．能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和向量．2．能结合图形进行向量计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．【重点、难点】1.如何作出两个向量的和向量．2.对向量加法定义的理解及向量加法运算时方向的确定． 【预学单】：一、问题情境如图所示，飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京．这两次位移的结果与直接飞往北京的位移是相同的，那么这三个位于必然有一种必然的运算关系．向量之间能否象数与式那样进行运算？这样的运算又将遵循什么样的运算法则？1．如图a ，飞机从A 到B ，再从B 按原来的方向到C ，则两次位移的和是+，即是_______．2．如图b ，飞机从A 到B ，再从B 到C ，则两次位移的和是+，即是_______．3．如图c ，船的速度是AB ，水流速度是，则两个速度的和是+，即是 ．从这个问题我们可以看出：两个向量的和仍是一个向量．二、数学理论1.定义：2.作图法则：3.向量加法的运算律：【研学单】主题一、作图例1 已知向量，，求作向量+．(1)(2)A B C a 图A B C b图A B C c 图a b a b主题二、向量的加法运算例2 化简下列各式：(1) →AB ＋→BC ＋→CD ＋→DA ；(2) →AB ＋→DF ＋→CD ＋→BC ＋→F A ；(3) (→AB ＋→MB )＋(→BO ＋→BC )＋→OM ．例3 如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，设→BA ＝a ，→BC ＝b ，试用a ，b 表示向量→OE ，→BF ，→BD ．例4 在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【续学单】课本P65页练习1、若点M 是ABC ∆边BC 的中点，且b AC a AB ==,,用b a ,表示AM =_______2、平行四边形ABCD 中，用AD AB ,表示__________=AC3、思已知a ，b 为非零向量，试比较b a +与a +b 的大小．4、已知点O 为ABC ∆内一点，若00=++C OB OA ，求证：点O 为ABC ∆的重心．。

2．2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).要点一 向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.(3)在平行四边形ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O .则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.★答案★ (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 ①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二 利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．证明 AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： ①要把几何问题中的边转化成相应的向量； ②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题：①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点．其中真命题为________． ★答案★ ②解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 可能三点共线，③错误． 要点三 向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答． 跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度．设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10， ∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°， ∴∠CMB ＝30°，所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是________．①FD →＋DA →＋DE →＝0； ②AD →＋BE →＋CF →＝0； ③FD →＋DE →＋AD →＝AB →； ④AD →＋EC →＋FD →＝BD →. ★答案★ ①②③解析 FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0； AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0； FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →； AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.2．下列结论正确的是________． ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. ★答案★ ①③解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，而不是0，②不正确． DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确．3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. ★答案★ (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD →；②DB →；③BC →；④CB →. ★答案★ ①③解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →＝AD →.2．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． ★答案★ 平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →.3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________________________________________________________________________.★答案★ 2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.4．如图在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD →； ②AD →＋CO →＝BO →；③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →. ★答案★ ②③5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b模长的最大值是________________________________________________________________________． ★答案★ 8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8.∴|a ＋b |的最大值为8. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. ★答案★3解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →，|OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1， ∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.证明 如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点， 所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升 8．已知点G是△ABC的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________________________________________________________________________. ★答案★ 0解析 如图所示，连结AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． ★答案★ 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4.10．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．★答案★ 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有AB →与AC →的夹角为90°.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平形四边形． 证明 如图所示．AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →. 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 为平形四边形． 三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置． 解 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的和位移，即AC →＝AB →＋BC →， 在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ， 在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

课题：向量的加法江苏省盐城中学徐瑢一、教学目标向量是近代数学中重要的根本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以表达的．向量的加法运算是向量运算的根底,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算．依据?高中数学课程标准?的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、开展思维、提升能力基于此,本节课的教学目标确立为: 1理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；2经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,开展各种能力；3开展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养．二、学情分析向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃．然而学生的认知存在着缺乏，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度．这就需要去分析学生已有的知识经验．其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比拟熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法那么的抽象原型，同时，学生在学习?向量的概念和表示?时，已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法那么奠定了根底；此外，学生在初中已图1 经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法．因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法那么，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回忆，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用．三、重点、难点重点：从实际问题中抽象出数学模型，引导学生归纳出向量加法的定义和运算法那么，培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括能力；难点：对向量加法法那么本质的理解四、教法方法问题探究式五、教学过程设计1 问题情境师:我们知道,数能进行运算,有了运算,从而使得数变化无穷、魅力无比那么与数的运算类比,我们目前研究的向量——既有大小又有方向的量,它是否也能进行运算呢？因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象: 情境1速度的合成 今年7月,江淮流域发生了历史罕见的大洪灾．某城外有一条自西向东流淌的大河,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去〔如图1〕,船的静水速度为8,河水以4的速度东流．请问如果船不改变方向,他们能否准确到达出事地点？为什么？生:由于受水流的影响,船的实际航向将会偏离,从而不能准确到达．图3图2 师:从物理角度怎么解释？生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成．师:很好,这说明速度与速度之间是可以合成的． 情境2力的合成 如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么？生:两个孩子用的力和一个成人用的力是等效的,力也是可以合成的． 情境3 位移的合成 如图3,你能读懂这幅画吗 现在仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的．师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——加法！这就是我们今天要研究的课题． 2 自主探究问题 1 对于给定的两个向量,我们该如何定义它们的和？前面这些物理原型,给我们什么启发？师:请大家认真思考,可相互讨论交流留足够的时间供学生自主探究生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点,分别作,以为邻边作平行四边形,那么以为起点的对角线就是向量的和如图4．师:这是通过构造平行四边形来操作的,可称之为平行四边形法那么这种操作要注意什么？生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O 为起点的对角线．师:还有其他想法吗？生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点,作,那么向量叫做向量的和如图5．师:这个可称为三角形法那么,在操作中要注意什么？生:首尾顺次连接．问题2 这两个法那么之间有什么联系？生:在图4中,只要将向量平移至,平行四边形法那么和三角形法那么就可以相互转化,平行四图4图5边形法那么中蕴含了三角形法那么〔图形中有两个完全一致的三角形〕,三角形法那么也可以生成平行四边形法那么师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的．问题 3 如果我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢？为什么？生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作．师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法那么作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言表达出来．3 意义建构定义:向量、,在平面内任取一点O,作,那么向量叫做向量的和记作:,即．师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能与原来的两个向量方向都不相同,它的模也不一定是原来两个向量模的简单叠加我们把求两个向量和的运算叫做向量的加法显然,这里是通过几何作图的方式加以定义的．在具体求和时,应该根据情况灵活地选择两个法那么．练习:、,作出．〔黑板上给出三个问题:①两个是不共线的向量；②两个同向共线的向量；③两个反向共线的向量〕追问1:问题③是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形——两个相反向量的和什么？该如何求和？生:两个相反向量,其和是,即,这种情况实质上就是向量的终点又回到起点．师:请注意,和0有着本质的区别；和任意向量都共线,其和满足:．追问2:后面的两个小题及其拓展说明了什么？生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法那么来实施操作．追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法那么？生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作师:这进一步说明用三角形法那么来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、科学．从数学的角度看,前面提及的物理问题中矢量的合成实质上都是向量的加法．问题 4 以前学习数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即,．那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如果满足,具体形式是什么呢？生:应该满足,即交换律:；结合律:追问:该如何来验证呢？生:作图．师:好,下面我们分组来试一试〔学生热情高涨,思维活泼,学生代表积极交流、展示〕师:研究结果说明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的．经过大家的协作探究,我们对向量的加法有了一些认识．向量加法的引入,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃．4 数学应用例1 如图6,为正六边形的中心,作出以下向量:1；〔平行四边形法那么〕2；〔共线向量的和〕3；4；〔多个向量的和〕解析:略师:更一般地,如图7,这是2021年第30届伦敦奥运会的会徽,现在,它的外围有假设干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么？这说明什么？请用文字语言来描述．生:,即．师:其实这是连续运用三角形法那么的结果．因此,这可以看作为向量加法三角形法那么的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法那么；进一步,如果再加上一个向量,和向量是什么？生:,即．师:请用文字语言来描述．生:如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这个向量的和为．师:这里“终点又回到起点〞,结果是,但过程中却可以是精彩纷呈的这启示我们,生命的意义在于过程,而不是结局． 图6 图7例2 回到情境11如果船不改变方向,船的实际航向是什么？用与水流速度所成角的正切值表示图82如果要使船能够垂直到达对岸,该如何确定其航向？解析:略师:这里的第2小题,其实质是知道了两个向量的和向量以及其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题5 课堂小结师:船成功到达此岸的时刻,也是我们这节课结束的时候了本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此根底上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们,数学源于生活,又效劳于生活．马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,才算到达真正完善的地步．向量的加法为研究物理的相关问题提供了理论根底, 随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．6 课后作业〔1〕作业：P66 习题2．2的1，2，3〔2〕拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？〔是任意两个向量，那么与之间有什么关系？〕可以根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．。

2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)[基础·初探]教材整理1向量的加法阅读教材P63第1,2自然段及P64思考前的有关内容，完成下列问题．1．向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．图2-2-12．向量加法的运算法则(1)三角形法则：已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →.图2-2-2(2)平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，则以O 为起点的对角线上的向量OB →＝a ＋b ，如图．这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( ) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )【解析】 (1)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(2)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 向量加法的运算律 阅读教材P 63，完成下列问题． (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (3)a ＋0＝0＋a ＝a . (4)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.1．化简：AO →＋OB →＋CD →＋BC →＝________.【解析】 (AO →＋OB →)＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD → ＝AC →＋CD → ＝AD →【答案】 AD →2.AB →＋BC →＋CA →＝________.【解析】 AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 【答案】 0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF ＝b ，则AC ＝________，AD→＝________，AE →＝________.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.【精彩点拨】 (1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．(2)由向量加法的三角形法则求解．【自主解答】 (1)如图，连结FC 交AD 于点O ，连结OB ，由平面几何知识得四边形ABOF ，四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO →＝AB →＋AF →＝a ＋b .在平行四边形ABCO 中，AC →＝AB →＋AO →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b .AD →＝2AO →＝2a ＋2b .而FE →＝AO →＝a ＋b ，由三角形法则得：AE →＝AF →＋FE →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b . (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0. 【答案】 (1)2a ＋b 2a ＋2b a ＋2b (2)01．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．[再练一题]1．四边形ABCD 是边长为1的正方形，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，作向量a＋b ＋c ，并求|a ＋b ＋c |.【导学号：06460042】【解】 如图，延长AC 到E ，使AC ＝CE ，则CE →＝AC →， ∴a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CE →＝AE →， 即AE →为所求作的向量．∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴|AC →|＝2， ∴|AE →|＝2|AC →|＝2 2. 故|a ＋b ＋c |＝2 2.在F ，E ，使BE ＝DF (如图2-2-3)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．图2-2-3【精彩点拨】 要证AECF 是平行四边形，只要证AE →＝FC →. 【自主解答】 因为AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →， 又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →. 因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →.所以AB →＋BE →＝FD →＋DC →，即AE →＝FC →，所以AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．用向量证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.[再练一题]2．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，OB →＝D O →，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【证明】 如图，AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.即AB ∥CD ，且|AB →|＝|DC →|， ∴四边形ABCD 是平行四边形．[探究共研型]探究1【提示】 是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素． 探究2 利用向量加法解决实际问题的关键是什么？【提示】 关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)【精彩点拨】 (1)结合向量共线知识求解； (2)借助三角形的边角关系求解．【自主解答】 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度． 设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°，所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答.[再练一题]3．小雨滴在无风时以4 m /s 的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s 的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan 37°＝34)【解】 如图，设OA →表示小雨滴无风时下落的速度，OB →表示风的速度，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt △OAC 中，|OA →|＝4 m/s ，|AC →|＝3 m/s ， 所以|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2＝5 m/s.且tan ∠AOC ＝|AC →||OA →|＝34，即∠AOC ≈37°.所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s ，方向约为南偏东37°.[构建·体系]1．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝________. 【解析】 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】 AC →2．如图2-2-4所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.(填序号)图2-2-4①AD →；②DB →；③BC →；④CB →.【解析】 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BC →＝AD →，∴BC →＋DC →＋BA →＝AD →＋DC →＋BA →＝AC →＋BA →＝BC →. 【答案】 ③3．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是________． 【解析】 结合平行四边形法则可知，ABCD 一定是平行四边形． 【答案】 平行四边形4．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示________.【导学号：06460043】【解析】 如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】 向东南走5 2 km5．如图2-2-5所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .图2-2-5求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 【证明】 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十五) 向量的加法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a 与b 是互为相反向量，则a ＋b ＝________. 【解析】 由题意可知，a ＋b ＝0. 【答案】 02．下列等式不成立的是________． ①0＋a ＝a ；②a ＋b ＝b ＋a ； ③AB →＋BA →＝2AB →；④AB →＋BC →＝AC →. 【解析】 ∵AB →，BA →是互为相反向量， ∴AB →＋BA →＝0，故③错误． 【答案】 ③3．(2016·南通高一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝3，|BC →|＝4，则： (1)|AC →|________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；(2)若|AC →|＝5，则此四边形为________． 【解析】 (1)三角形两边之和大于第三边；(2)由|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，可知△ABC 为直角三角形，所以应填“矩形”． 【答案】 (1)＜ (2)矩形4．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是________．图2-2-6①AB →＝CD →，BC →＝AD →； ②AD →＋OD →＝DA →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →.【解析】 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →， 所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →. 【答案】 ③5．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图2-2-7所示，化简下列各式：图2-2-7(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.【解析】 (1)DE →＋EA →＝DA →；(2)BE →＋AB →＋EA →＝EA →＋AB →＋BE →＝EB →＋BE →＝0； (3)DE →＋CB →＋EC →＝DE →＋EC →＋CB →＝DB →；(4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝BA →＋AE →＋EC →＋DB →＝BC →＋DB →＝DC →. 【答案】 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →6．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿________方向前进，速度为________．【解析】 如图所示，∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°. 【答案】 与水流方向成60° 8 km/h(答案不唯一)7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.【导学号：06460044】【解析】 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABD 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.【答案】 18．(2016·苏州高一检测)已知△ABC 是正三角形，给出下列等式： ①|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →|； ②|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →|； ③|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|； ④|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|.其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号) 【解析】 AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CA →＝BA →，而|AC →|＝|BA →|，故①正确； |AB →|≠|BA →＋BC →|，故②不正确； 画图(图略)可知③，④正确． 【答案】 ①③④ 二、解答题9．如图2-2-8所示，两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上，且F 1的大小为3 N ，F 2的大小为4 N ，且∠AOB ＝90°，试作出F 1和F 2的合力，并求出合力的大小．图2-2-8【解】 如图所示，OA →表示力F 1，OB →表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →是力F 1和F 2的合力．在△OAC 中，|OA →|＝3，|AC →|＝|OB →|＝4，且OA ⊥AC ，则|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2＝5，即合力的大小为5 N.10．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点．求证：EF →＋EF →＝AB →＋DC →.【证明】 如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0，∴EF →＝－FC →－CD →－DE → ＝CF →＋DC →＋ED →.① 在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0，∴EF →＝BF →＋AB →＋EA →.② ①＋②得EF →＋EF →＝CF →＋DC →＋ED →＋BF →＋AB →＋EA →＝(CF →＋BF →)＋(ED →＋EA →)＋(AB →＋DC →)．∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴CF →＋BF →＝0，ED →＋EA →＝0， ∴EF →＋EF →＝AB →＋DC →.[能力提升]1．(2016·南京高一检测)下列命题中正确命题的个数为________． ①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．【解析】 ①假命题，当a ＋b ＝0时，命题不成立；②真命题； ③假命题，当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0； ④假命题，只有当a 与b 同向时才相等． 【答案】 12．若|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的取值范围是________．【解析】 当a 与b 同向时，|a ＋b |取最大值13； 当a 与b 反向时，|a ＋b |取最小值3. 【答案】 [3,13]3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. 【解析】 ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，∴①③⑤正确．【答案】 ①③⑤4．如图2-2-9所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →.图2-2-9【解】 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝O D →.由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|. 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|， ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0.。

2．2．1 向量的加法一、课题：向量的加法二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量；3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。

四、教学过程： （一）复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）（A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE（C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC、OD（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b，求作向量a b + .作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a = ，AB b = ，则OB a b =+.（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b为邻边作ABCD，则则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

b a O BA baaACD A B C3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++ ；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．4．例题分析：例1 如图，一艘船从A点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

§2.2.1向量的加法班级： 姓名：学习目标1． 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则作两个向量的和，并由此为基础推导 出平行四边形法则，向量加法的交换律和结合律；2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会用向量加法的交换律和结合律进行向量运算；3．经历将实际问题抽象为数学概念的过程，体会数学思维的严谨性和数学的简约美，同时掌握思想方法，丰富学生的学习情感，提升数学素养学习过程一、新课导学：（预习教材O A OA A B AB OB OA AB OB A B C ,,AB BC AC a b a b ba ba123456A A A A A A 1326351651223453546122345635461(1)___;(2)____;(3)____;(4)_____;(5)OA OA A A A A OA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A +=+=+=++++=+++++=_____.0121121122113...______;..._____.n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++++=++++=/h 若要使渡船垂直地渡过长江,其航向应如何确定DCABO BAaA 2A 1A 6A 5A 4A 3Oa bbba a12 3※ 你完成本节导学案的情况为（ ）A 很好B 较好C 一般D 较差 ※（时间：10分钟 满分：60分）计分： 1、化简下列各式：(1);(2);(3)()().AB CD BC DA AB DF CD BC FA AB MB BO BC OM +++++++++++2、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为 ；两次位移的和的方向为 ，大小为 千米。

3、在△ABC 中，D 为边BC 的中点，求证：1().2AD AC AB =+4、 如图，一艘船从A 点出发以2错误!m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向用与流速间的夹角表示C。