集合的概念(英文版)

英语中集合名词概念
在英语中，“集合名词”是一个重要的概念，主要用来指代一群人或事物的总称。

这类名词通常没有复数形式，也不与动词连用，但有时可以与表示“全体”或“部分”的形容词连用。

以下是几个常见的集合名词示例：
1. “family”（家庭）
2. “team”（团队）
3. “audience”（观众）
4. “committee”（委员会）
5. “army”（军队）
6. “government”（政府）
7. “public”（公众）
8. “mankind”（人类）
9. “police”（警察）
10. “cattle”（牛群）
这些词在句子中通常作为主语，后面跟动词和形容词，例如：“The audience was enchanted by the performance.”（观众被演出迷住了。

）
“The government is responsible for maintaining law and order.”（政府有责任维护法律和秩序。

）“Mankind has always been fascinated by the unknown.”（人类一直对未知事物着迷。

）
需要注意的是，虽然集合名词通常没有复数形式，但有些集合名词可以用复数形式表示不同种类或分类，例如“families”（家庭），“teams”（团队），“committees”（委员会）等。

集 合
集 合:一般的，把一些能够确定 的不同的对象看成一个整体，就 说这个整体是由这些对象的全体 构成的集合（或集）。 构成集合的每个对象叫做B,C…表示，
它们的元素通常用英
文小写字母a,b,c…表示。
（1）小于10的自然数
（2）方程x2 =1的解的全体构成的集合
已知1，x,x2三个 实数构成一个集合， 求x应满足的条件
1.由x2,3x+1,2x2-x+5 三个式子构成的集合 2.平面上与一个定点O的 距离等于1的点的全体构 成的集合 3.方程x2=-1的全体实数 解构成的集合
含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 把不含有任何元素的集合叫做空集
（3）高一（1）班全体同学
（4）平面上与一定点O的距离等于r的
点的全体构成的集合
如果a 是集合A的元素， 就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”。 如果a不是集合A的元素， 就说a不属于A，记作a∉A， 读作“a不属于A”。
集合的基本性质： 确定性：集合的元素 必须是确定的，不能 确定的对象不能构成集合 互异性：集合的元素 一定是互异的，相同的几 个对象归于同一个集合时 只能算作一个元素。 无序性
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。记作N 在自然数集内排除0的集合叫做正整数集。记作N+ 整数全体构成的集合叫做整数集，记作Z 有理数全体构成的集合叫做有理数集，记作Q 实数全体构成的集合叫做实数集，记作R
(1) π _ Q (2) √3 _ Z (3) √3 _ R (4) 0 _ N (5) 0 _ Z

幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举， 列举法；将集合中的元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征，例如： 素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合，例如： 特征来表示集合，例如： V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ，B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集

3. 集合运算
• 集合的并 • 集合的交 • 集合的差运算和余(补)运算 • 集合运算的性质
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB}
• 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
6. 集合的势
• 等势的概念 • 自然数和有限集 • 可数集 • 幂集 • 不可数集
等势的概念
• 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合
A和B之间存在双射,就说A与B是对等的 或等势的.记做A~B. • 等势的性质:
– 1. 自返性: A~A; – 2. 对称性: A~BB~A; – 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
• 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连 续统的势
• 事实3. F={f: N{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={AP(N) | kN, nk, nA}
是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)
1. 集合概念与符号
• 集合(直观描述) • 集合相等和子集合 • 子集的表示方式和全集 • 常用数学符号和常用集合记号
起源
• 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研 究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家 康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理 论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合 进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数 和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此， 康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展， 以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初， 出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗 素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了 集合论的发展．