11集合的概念及其表示一
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集合及其表示知识要点1.集合概念(1)我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体,这个整体就叫做集合,简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ,B ,C ……表示,集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如:a 是集合A 中元素,记作a A ∈,a 不是A 中元素,记作a A ∉,分别读作“a 属于A ”,“a 不属于A ”。
(2)集合的分类:有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
(3)特殊集合的表示:自然数:N ;不包括零的自然数:N *;整数:Z ;有理数:Q ;实数:R 。
2.集合的表示法(1)列举法:将集合中的元素一一列举出来(列举时不考虑元素的顺序)并且写在大括号内,这种表示集合的方法叫列举法。
(补充:比较适合个数较少的有限集)(2)描述法:在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性,即{}A x x P =∈,这中表示集合的方法叫做描述法。
(3)图示法:用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法,通常用圆及圆内部表示集合。
3.集合元素的性质:确定性、互异性、无序性。
4.集合之间的关系(1)子集及子集相关定义:对于两个集合A 和B ,如果A 中任何一个元素都属于B ,那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇,读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ,如果A B ⊆,并且B 中至少有一个元素不属于A ,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A ,读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
(2)相等的集合:两个集合A 、B ,如果A B ⊆且B A ⊆,那么叫做集合A 与集合B 相等,记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合:(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集;(2) 所有奇数构成的集合;(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合;(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点;(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的含义及其表示1.1集合的含义及其表示一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出:“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系;能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质:⑴确定性特征:集合中的元素必须是明确的,不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定,若有一具体对象,则要么是的元素,要么不是的元素,二者必居其一,且只居其一。
⑵互异性特征:集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定,的元素是指含于其中的互不相同的元素,相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如:是集合的元素,记作,读作“ 属于”;不是集合的元素,记作,读作“ 不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地,不含任何元素的集合叫做空集,记作。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法,非常直观,一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如:集合可以用它的特征性质描述为{ },这表示在集合中,属于集合的任意一个元素都具有性质,而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外,集合还常用韦恩图来表示,韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法(有时,也用小写字母分别定出集合中的某些元素),同学们在下节课中会接触到这个内容。
知识点一:集合的含义与表示一、集合的概念实例引入:⑴1~20以内的所有质数;⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸所有的正方形;⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.概念结论:一般地,我们把研究对象统称为元素;把一些元素组成的总体叫做集合,也简称集.二、集合元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习:判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2,3,4 ⑵(2,3),(3,4)⑶三角形⑷2,4,6,8,…⑸1,2,(1,2),{1,2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解三、集合相等构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等四、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示:(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a∈A五、常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),除0的非负整数集,也称正整数集,整数集,;有理数集,实数集,练习:(1)已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边,那么此三角形一定不是()A直角三角形 B 锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形(2)说出集合{1,2}与集合{x=1,y=2}的异同点?六、集合的表示方式(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;(2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示的方法.(具体方法)例1、用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成。
第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1.一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.2.集合通常用大写拉丁字母A,B,C…表示,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.3.如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于A”,如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a A或a∈A,读作“a不属于A”.4.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质.5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N+来表示.练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合:(1)著名的数学家;(2)某校2010年在校的所有高个子同学;(3)不超过20的非负数;(4)方程x2-9=0在实数范围内的解;(5)直角坐标平面内第一象限的一些点;(6)3的近似值的全体.规律方法判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.变式迁移1 下面有四个命题:(1)集合N中最小的数是零;(2)0是自然数;(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合;(4)若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2.其中正确的命题有________个.集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a.变式迁移2 已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,求实数m的值.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a+2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-22是不是集合A中的元素.规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.像此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.变式迁移3 集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,判断12-3是不是集合A 中的元素.1.充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础.2.两集合中的元素相同则两集合就相同,与它们元素的排列顺序无关.3.解集合问题特别是涉及求字母的值或范围,把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤.特别是互异性,最易被忽视,必须在学习中引起足够重视.课时作业一、填空题 1.由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号).①不超过π的正整数;②高一数学课本中所有的难题;③中国的大城市;④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生.2.下列四个说法中正确的个数是________.①集合N 中最小数为1;②若a ∈N ,则-a ∉N ;③若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.3.用“∈”或“∉”填空.(1)-3______N ;(2)3.14______Q ;(3)13______Z ; (4)-12______R ;(5)1______N *;(6)0________N . 4.集合A ={1,2,3,5},当x ∈A 时,若x -1∉A ,x +1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,则A 中孤立元素的个数为________.5.已知x 、y 、z 为非零实数,代数式x |x |+y |y |+z |z |+|xyz |xyz的值所组成的集合是M ,则M 中元素的个数为________. 6.方程x 2-2x +1=0的解集中含有________个元素.7.已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长,那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形.二、解答题8.已知集合M ={-2,3x 2+3x -4,x 2+x -4},若2∈M ,求x .9.设P 、Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P +Q 中的元素是a +b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则P +Q 中元素的个数是多少?10.设A 为实数集,且满足条件:若a ∈A ,则11-a∈A (a ≠1). 求证:(1)若2∈A ,则A 中必还有另外两个元素;(2)集合A 不可能是单元素集.答案:集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合:(1)著名的数学家;(2)某校2010年在校的所有高个子同学;(3)不超过20的非负数;(4)方程x 2-9=0在实数范围内的解;(5)直角坐标平面内第一象限的一些点; (6)3的近似值的全体.解 (1)“著名的数学家”无明确的标准,对于某个人是否“著名”无法客观地判断,因此“著名的数学家”不能构成一个集合;类似地,(2)也不能构成集合;(3)任给一个实数x ,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;类似地,(4)也能构成集合;(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值,所以(6)不能构成集合.规律方法 判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.变式迁移1 下面有四个命题:(1)集合N 中最小的数是零;(2)0是自然数;(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合;(4)若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值为2.其中正确的命题有________个.答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零,故(1)(2)正确,(3)(4)错误.故正确的命题有2个.集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a -2,2a 2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A ,求a .分析 考查元素与集合的关系,体会分类讨论思想的应用.解 ∵-3∈A ,则-3=a -2或-3=2a 2+5a ,∴a =-1或a =-32.则当a =-1时,a -2=-3,2a 2+5a =-3,不符合集合中元素的互异性,故a =-1应舍去. 当a =-32时,a -2=-72,2a 2+5a =-3, ∴a =-32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考,特别关注元素在集合中的互异性.分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想,我们一定要在以后的学习中熟练掌握.变式迁移2 已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,求实数m 的值.解 ∵2∈A ,∴m =2或m 2-3m +2=2.若m =2,则m 2-3m +2=0,不符合集合中元素的互异性,舍去.若m 2-3m +2=2,求得m =0或3.m =0不合题意,舍去.经验证m =3符合题意,∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a +2b (a ∈Z ,b ∈Z )的数组成集合A ,判断6-22是不是集合A 中的元素.分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义,然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的,6-22能否化成此形式,进而去判断6-22是不是集合A 中的元素.解 因为在3a +2b (a ∈Z ,b ∈Z )中,令a =2,b =-2,即可得到6-22,所以6-22是集合A 中的元素.规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.像此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.变式迁移3 集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,判断12-3是不是集合A 中的元素. 解 ∵12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z , ∴2+3∈A , 即12-3∈A .1.充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础.2.两集合中的元素相同则两集合就相同,与它们元素的排列顺序无关.3.解集合问题特别是涉及求字母的值或范围,把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤.特别是互异性,最易被忽视,必须在学习中引起足够重视.课时作业一、填空题1.由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号).①不超过π的正整数;②高一数学课本中所有的难题;③中国的大城市;④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生.答案 ①④⑤2.下列四个说法中正确的个数是________.①集合N 中最小数为1;②若a ∈N ,则-a ∉N ;③若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.答案 03.用“∈”或“∉”填空.(1)-3______N ;(2)3.14______Q ;(3)13______Z ; (4)-12______R ;(5)1______N *;(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4.集合A ={1,2,3,5},当x ∈A 时,若x -1∉A ,x +1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,则A 中孤立元素的个数为________.答案 1解析当x=1时,x-1=0∉A,x+1=2∈A;当x=2时,x-1=1∈A,x+1=3∈A;当x=3时,x-1=2∈A,x+1=4∉A;当x=5时,x-1=4∉A,x+1=6∉A;综上可知,A中只有一个孤立元素5.5.已知x、y、z为非零实数,代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M,则M中元素的个数为________.答案 3解析分类讨论:x、y、z中三个为正,两个为正,一个为正,全为负,此时代数式的值分别为4,0,0,-4,根据集合中元素的互异性知,M中的元素为4,0,-4.6.方程x2-2x+1=0的解集中含有________个元素.答案 17.已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长,那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形.答案不能解析由元素的互异性知a,b,c均不相等.二、解答题8.已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,求x.解当3 x2+3x-4=2时,即x2+x-2=0,则x=-2或x=1.经检验,x=-2,x=1均不合题意.当x2+x-4=2时,即x2+x-6=0,则x=-3或2.经检验,x=-3或x=2均合题意.∴x=-3或x=2.9.设P、Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是多少?解∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个.10.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则11-a∈A (a≠1).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(2)集合A不可能是单元素集.证明(1)若a∈A,则11-a∈A.又∵2∈A,∴11-2=-1∈A.∵-1∈A,∴11-(-1)=12∈A.∵12∈A,∴11-12=2∈A.∴A中另外两个元素为-1,1 2.(2)若A为单元素集,则a=11-a,即a2-a+1=0,方程无解.∴a≠11-a,∴A不可能为单元素集.。
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1.集合的概念:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set )。
集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素(element ),简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。
①我国的直辖市;②十四中高一③班全体学生;④较大的数⑤young 中的字母;⑥大于100的数; 2.关于集合的元素的特征: ①确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; ①如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作a ∉A (不能把a ∈A 颠倒过来写) 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等,与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集:集合中元素的个数是可数的,只含有一个元素的集合叫单元素集合; ②无限集:集合中元素的个数是不可数的; ③空集:不含有任何元素的集合,记做∅. 6.常用数集的记法:①非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{} ,2,1,0=N②正整数集:非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集:全体整数的集合记作Z , {} ,,,210±±=Z ④有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注:①自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z *7.集合的表示方法:①自然语言法:用文字叙述的形式描述集合。
第1讲 集合及其表示1.集合的概念(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集),常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q ……(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素,常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q …… 2.常用数集及记法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N ,{} ,2,1,0=N ; (2)正整数集:非负整数集内除0的集合.记作N *或N +,{}*1,2,3,N = ;(3)整数集:全体整数的集合.记作Z,{} ,,,210±±=Z ; (4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q ,{}整数与分数=Q ;(5)实数集:全体实数的集合.记作R ,{}数数轴上所有点所对应的=R ; 3.元素对于集合的隶属关系(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A(2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉ 4.集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准,给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,二者居其一而且只居其一.不能模棱两可;(2)互异性:集合中的元素没有重复;(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出). 5.集合的表示方法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合; 如:{}6,4,8A =,{}B =刘,世,华,{}C =刘,思,法…(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法,格式:{x ∈A|P (x )}含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合; 如:{}x R 2x-30∈≥…(3)文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. 点拨:{}21A x y x ==-,{}21B y y x ==-,(){}2,1C x y y x ==-是互不相同的集合.6.按元素的多少,集合可分为以下三类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合记作Φ,如:}01|{2=+∈x R x点拨:注意Φ,0,{}0三者的区别与联系.三【典例精析】例1.下列语句能确定是一个集合的是 (要简述理由)(1)著名的科学家:(2)留长发的女生;(3)不超过π的正整数;(4)视力差的男生:(5)本班中成绩好的同学;(6)高一数学课本中所有的简单题;(7)平方后等于自身的数. 例2.下列对象能否组成集合:(1)所有小于10的自然数;(2)某班个子高的同学; (3)方程210x -=的所有解;(4)不等式20x ->的所有解. 例3.由实数,,x x x -,332,x x -所组成的集合中,最多含几个元素?例4.用描述法表示下列集合:(1){1,4,7,10,13}; (2){-2,-4,-6,-8,-10};(3)所有奇数组成的集合; (4)坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.例5.用列举法表示下列集合(1){(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}; (2)⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ;(3)},)1(|{N n x x n ∈-=; (4)},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+;(5)设a,b 是非零实数,那么bb aa +可能取的值组成集合.例6. 用符号“∈”或“∉”填空:(1)−3 N ,0.5 N ,3 N ; (2)1.5 Z ,−5 Z ,3 Z ; (3)−0.2 Q ,π Q ,7.21 Q ; (4)1.5 R ,−1.2 R ,π R .例7.设集合A=(x,y,x+y ),B=(0,2x ,xy)且A=B ,求实数x ,y 的值例8. 指出下列各集合中,哪个集合是空集?(1)方程210x +=的解集; (2)方程22x +=的解集.例9 用列举法表示下列集合:(1)由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合; (2)方程2560x x --=的解集.例10 用描述法表示下列各集合: (1)不等式210x +…的解集; (2)所有奇数组成的集合;(3)由第一象限所有的点组成的集合.例11.用列举法表示下列各集合:(1)方程2340x x --=的解集;(2)方程430x +=的解集;(3)由数1,4,9,16,25组成的集合;(4)所有正奇数组成的集合. 2.用描述法表示下列各集合:(1)大于3的实数所组成的集合;(2)方程240x -=的解集; (3)大于5的所有偶数所组成的集合;(4)不等式253x ->的解集.四【过关精练】一.选择题1.给定四个集合:(){}(){}1,22,1M N ==,,{}{}1,22,1P ==,Q ,则( )A.M N =B.N P =C.M P =D.P Q = 2.集合A 只含有元素a ,则下列各式正确的是( )A .0∈AB .A a ∉C .a ∈AD .a =A3.已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.由2,2,4a a -组成一个集合A ,A 中含有3个元素,则实数a 的取值可以是( ) A .1 B .-2 C .6 D .25.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 为( ) A .2 B .3 C .0或3 D .0,2,3均可 6.集合{x ∈N +|x -3<2}用列举法可表示为( )A .{0,1,2,3,4}B .{1,2,3,4}C .{0,1,2,3,4,5}D .{1,2,3,4,5}7.将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x +y =52x -y =1表示成列举法,正确的是( ) A .{2,3} B .{(2,3)} C .{x =2,y =3} D .(2,3)8.集合,,,b a c x x a b c R a b c ⎧⎫⎪⎪=++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的列举法表示应该是( ) A .{-3,-1,1,3} B .{1,3} C .{-1,1,3} D .{-1,1}二.填空题9.集合A=}{0122=++x ax x 中只有一个元素,则a 的值是______10.已知P=}{R k N x k x x ∈∈<<,,2,若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围是_____ 11.用列举法表示集合A ={x |x ∈Z ,86-x∈N}=____________12.已知a ∈Z ,A ={(x ,y )|ax -y ≤3}且(2,1)∈A ,()14A -∉,则满足条件的a 的值为________. 三.解答题13.设P 、Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P +Q 中的元素是a +b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则P +Q 中元素的个数是多少?14.用适当的方法表示下列集合:①方程x (x 2+2x +1)=0的解集;②在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合; ③不等式x -2>6的解的集合;④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.15.对于,a b N +∈,现规定:()()b b a b a a b a b a ⎧+⎪*=⎨⨯⎪⎩,与的奇偶性相同,与的奇偶性不同集合(){},36,,M a b a b a b N +=*=∈.(1)用列举法表示,a b 奇偶性不同时的集合M ; (2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素?第2讲 子集、全集、补集1.子集的概念:一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.记作A B (B A)⊆⊇或,读作A B (B A )“包含于”或“包含”.当集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A 时,则记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2.集合相等与真子集的概念:(1)如果A B ⊆,且B A ⊆,则称 ,记作A B = (2)如果A B ⊆,但存在元素B A x x ∈∉,且,则称A 是B 的真子集,记作A B(B A)⊂⊃≠≠或3.空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.并规定: 空集是任何一个集合的子集;空集是任何非空集合的真子集. 4.集合之间的基本关系.(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A ⊆;(2)对于集合A B C 、、,如果A B B C ⊆⊆,,那么A C.⊆+结论:含n 个元素的集合共有2n个子集;有 个真子集;有 个非空真子集. 5.补集:引入:观察下列三个集合: U ={高一年级的同学}——全集; A ={高一年级参加军训的同学}; B ={高一年级没有参加军训的同学}. 可知:(1)A U ⊆,B U ⊆;(2)集合B(或A)就是集合U 中除去集合A(或B)之外.——补集(1)定义定义(1)所要研究的集合都是某个给定集合的子集,这个给定的集合就是全集.全集常用U 表示. 定义(2)设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即S A ⊆),则由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集),记作S A ð, (2)符号语言:{|}且ðS A x x S x A =∈∉ (3)图形语言:如右图:(3)性质:ðU U φ=;ðU U φ=:()痧U UA A =.三【典例精析】例1.写出集合{}1,2,3A =的所有子集和真子集.例2.说出下列每对集合之间的关系: (1){}1,2,3,4,5A =,{}1,3,5B =; (2){}21P x x ==,{}1Q x x ==;(3){}21,C x x k k Z ==+∈,{}D x x Z =∈.例3.(1)填空:N___Z ; N___Q ; R___Z ; R___Q ; Φ___{0}.(2)若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗?(3)是否对任意一个集合A ,都有A ⊆A ,为什么? (4)集合{a,b}的子集有那些?(5)高一(1)班同学组成的集合A ,高一年级同学组成的集合B ,则A 、B 的关系为 . 点拨:(1)“∈”与“⊆”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ,{1}⊆{1,2,3}.(2){0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.例4.填空:(1)U={x|0≤X<6,X ∈Z},A={1,3,5},B={1,4}, 则U A ð=_____________,U B ð=_____________(2)U={3,6,9},{}210A x R x x =∈++=,则U A ð=____ ____ (3)U={实数},A={有理数},则U A ð=____ ____(4)A={1,3,5},U A ð={2,4,6},B={4,6},则U B ð=____ ____ (5)全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则U A ð=_____________ ______例5.已知全集U =R ,集合A ={x |1≤2x +1<9},求U A ð.例6.已知U ={x |-1≤x +2<8},A ={x |-2<1-x ≤1},B ={x |5<2x -1<11},讨论A 与U Bð的关系四【过关精练】一、选择题1.下列八个关系式①{0}=φ;②φ=0;③φ={φ};④φ∈{φ};⑤{0}⊇φ;⑥0∉φ;⑦φ≠{0};⑧φ≠{φ}其中正确的个数( )A.4B.5C.6D.7 2.集合{1,2,3}的真子集共有( )A.5个B.6个C.7个D.8个 3.集合A={x Z k k x ∈=,2};B={Z k k x x ∈+=,12};C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有( )A.(a+b )∈AB.(a+b)∈BC.(a+b)∈CD.(a+b)∈A 、B 、C 任一个 4.下列各组对象不能形成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=1图象上所有的点 5.设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( ) A .M N = B.M ⊆N C .M ≠⊃N D .M≠⊂N 6.下列各式中,正确的是( )A.2}2{≤⊆x xB.{12<>x x x 且}C.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}7.设一元二次方程()200ax bx c a ++=<的根的判别式042=-=∆ac b ,则不等式20ax bx c ++≥的解集为( )A.RB.φC.{abx x 2-≠} D.{a b 2-}8.集合A={x|x=2n +1,n∈Z}, B={y|y=4k ±1,k ∈Z},则A 与B 的关系为 ( ) A .A ≠⊂B B .A ≠⊃B C .A=B D .A≠B二、填空题9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为__________________10.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ,则实数k 的取值范围 是 。
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
一般地,研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系通常用大写拉丁字母A ,B ,C ···表示集合,用小写拉丁字母a ,b ,c ···表示集合中的元素 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ,B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n -非空真子集.(8)空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集 二.直击考点(一)、判断集合间的关系例1已知集合{}1,2,3M =,{}2,3,4N =,则( ) A .M N ⊆ B .N M ⊆C .{}2,3MN = D .{}1,4MN =例2设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 ( )名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈(1)A A A = (2)A ∅=∅(3)A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)A A A = (2)AA ∅= (3)AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C u{|,}x x U x A ∈∉且 (1)=)(A C A u ø(2)=)(A C A u U(3))()()(B C A C B A C u u u =(4))()()(B C A C B A C u u u =(A )Q P ⊆ (B )P Q ⊆(C )Q C P R ⊆ (D )P C Q R ⊆(二)、集合间的运算例3.已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U )(为( ) A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4} D .{0,2,3,4}例4.已知A ,B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B={3} , (C U B)∩A={9},则A= (A ).{1,3} (B).{3,7,9} (C).{3,5,9} (D).{3,9} 例5. 已知集合A={}1,),(22=+y x y x y x 为实数,且,B={}1,),(=+y x y x y x 为实数,且,则A ⋂B 的元素个数为 ( )A .4B .3C .2D .1例6.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .(三)、由集合间的关系及运算求字母参数的值或范围例7.已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =( )A .0B .0或3C .1D .1或3例8. 已知集合P={x ︱x 2≤1},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A .(-∞, -1] B .[1, +∞)C .[-1,1]D .(-∞,-1] ∪[1,+∞)(四)集合中的新定义问题例9.定义集合运算:{}.,,B y A x xy z z B A ∈∈==*设{}{}2,0,2,1==B A ,则集合B A *的所有元素之和为 ( D )A.0B. 2C. 3D. 6例10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)c ( )A.aB.bC.cD.d 例11设{}{}{}等于则若且N M N M B x A x x B A -==∉∈=-,10,9,8,7,8,7,6,5,4, ( ) A .{4,5,6,7,8,9,10}B .{7,8}C .{4,5,6,9,10}D .{4,5,6}四. 课后作业1.设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =( )A .{}bB .{,,}b c dC .{,,}a c dD .{,,,}a b c d2.设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(C U Q) =( )A .{1,2,3,4,6}B .{1,2,3,4,5}C .{1,2,5}D .{1,2}3. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=( )A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6}4.已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则( )A .A ⊂≠BB .B ⊂≠AC .A=BD .A∩B=∅5.已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的( )A .N M ⊆B .M N M ⋃=C .M N N ⋂=D .{}2M N ⋂=6.已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则( )A .AB ⊆B .C B ⊆C .D C ⊆D .A D ⊆7.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为 ( ) A .3 B .6 C .8 D .108.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( )A .5B .4C .3D .29.设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= ( )A .{0}B .{0,1}C .{-1,1}D .{-1,0,0} 10. 设全集U 为R,,集合2{|50}A x x x q =-+=,2{|120}B x x px =++=,若{}{}4)(2)(==A C B B C A U U ,,求实数p 、q 的值及B A .。