1.1.1集合的概念及其表示(一)

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1.1.1集合的含义与表示1. 1. 1 集合的含义与表示第 1 课时集合的含义与表示（一）教学目标 1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解属于关系的意义．理解集合相等的含义. （3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的属于关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法. 3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合. （三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，1 / 8加深对概用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心例 1（1）利用列举法表法下列集合：①{15 的正约数} ；②不大于 10 的非负偶数集. （2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1， 3， 5， 7，， 39， 41} . 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用. 用心爱心专心【解析】（1）①{1， 3， 5，15} ②{0， 2， 4， 6， 8， 10} （2）①{x | x = 2n，nN*} ②{x | x = ( 1) n 1 (2n 1) ，n N*且 n21} . 【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况. （2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集. 例 2 用列举法把下列集合表示出来：（1） A = {xN | （2） B = {9N} ； 9 x9 N | xN } ；9 x （3） C = { y = y = x2 + 6， xN ， yN } ；（4）D = {(x， y) | y = x2 +6， xN } ；（5）E = {x | p= x，p + q = 5， pN ， qN*} . q 【分析】先看五个集合各自的特点：集合 A 的元素是自然数 x，它必须满足条件是自然数；集合 B 中的元素是自然数 9 也 9 x9，它必须满足条件 x 也是自然数；集合C 中的元 9 x 素是自然数 y，它实际上是二次函数 y= x2 + 6 (xN ) 的函数值；集合 D 中的元素是点，这些点必须---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------在二次函数 y = x2 + 6 (xN ) 的图象上；集合 E 中的元素是x，它必须满足的条件是 x =p，其中 p + q = 5，且 p N， qN*. q 【解析】（1）当 x = 0， 6， 8 这三个自然数时， 9=1， 3， 9 也是自然数. 9 x A = {0， 6， 9} （2）由（1）知， B = {1， 3， 9} . （3）由 y = x2 + 6， xN， yN 知 y6. x= 0， 1， 2 时， y = 6， 5， 2 符合题意. C = {2， 5， 6} . （4）点 {x， y} 满足条件 y = x2 + 6， xN， y N，则有：x 0, x 1, x 2, y 6, y 5, y 2.D = {(0， 6) (1， 5) (2， 2) } （5）依题意知 p + q = 5，p N， q N*，则p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, q 5, q 4, q 3, q 2, q 1. Px 要满足条件 x =，q 132E = {0，，，， 4} . 423【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么用心爱心专心条件，从而准确理解集合的意义. 例 3 已知 3A = {a 3， 2a 1， a2 + 1} ，求 a 的值及对应的集合 A. 3A，可知 3 是集合的一个元素，则可能 a 3 = 3，或 2a 1 = 3，求出a，再代入 A，求出集合 A. 【解析】由 3A，可知， a 3 = 3 或 2a 1 = 3，当 a 3 = 3，即 a = 0时， A = { 3，1， 1} 当 2a 1 = 3，即 a = 1 时， A = { 4， 3， 2} . 【评析】元素与集合的关系是确定的， 3 A，则必有一个式子的值为 3，以此展开讨论，便可求得 a. 用心爱心专心3 / 8HcQkYs) B5J dSm#u-D 7LfTn$w0E8N h Vp%y2GaOiXr* z3IcQkYt) B5J dSm#u-D7LfTo$w0E9NhVp%y2 GaOjXr *z4IcQ kYt) B5JeSm#u+D7LfTo$w0E9 NhVpy 2GaPjX r*z4IcQkZt) B5KeSm#u+D7Lf Uo$w0F9NhVp y2GaPjXr*A4IcQlZt) B5KeSm #v+D7L gUo$w0 F9NhVqy2GbPjXr*A4IcQlZt ) B6KeSm! v+D7 LgUo$w1F9NhWqy2GbPjXr(A 4IcRlZ t) B6Ke Sm!v+D7MgUo$x1F9NhWqy2H bPjXs( A4IcRl Zt) C6KeSn!v+D7MgUo$x1F9N iWqy3HbPjXs (A4IdRlZt-C6KeSn!v+D8MgU o%x1F9NiWqy 3HbPjYs(A4JdRlZt-C6KeTn! v+E8M gUo%x1F 9OiWqz3HbPjYs(A4JdRlZu- C6KfTn ! v+E8M gUp%x1FaOiWqz3HbPkYs(A5 JdRlZu-C6KfT n!v0E8 MgVp%x1FaOiWq*z3H bQkYs(A 5JdRl #u-C6LfTn!v0E8MgVp%x1GaO iWr*z3HbQkYs (B5JdRm#u-C6LfTn!w0E8MhV p%x1Ga OiWr*z 3HcQkYs) B5JdRm#u-C7LfTn$ w0E8Mh Vp%x2G aOiXr*z3HcQkYs) B5JdSm#u- D7LfTn$w0E8N hVp%y2GaOiXr * z3IcQkYt) B5 JdSm#u -D7LfT o$w0E9NhVp%y 2GaOjXr*z4Ic QkYt) B5JeSm# u+D7LfTo$w0E 9NhVpy2GaPj Xr*z4IcQkZt) B5KeSm#u+D7L f Uo$w0F9NhVp y2GaPjXr*A4 IcQlZt) B5KeSm#v+D7LgUo$w 0F9NhV qy2Gb PjXr*A4IcQlZt) B6KeSm!v+D 7LgUo$w1F9Nh Wqy2GbPjXr(A4IcRlZt) B6K eSm! 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1.1.1集合的含义与表示一、教材分析本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.1集合的含义与表示。

《课程标准》对本课内容的要求是：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

集合在高中阶段的数学课程中，具有十分重要的地位。

集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念，是整个高中数学课程内容的基础，集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。

集合是学习掌握使用数学语言的基础，集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来，从而简化了用数学分析实际问题的语言，为相关数学知识奠定一定的理论基础。

许多重要的高中数学内容，如函数，方程，不等式，立体几何解析几何，概率统计的，都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。

集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。

在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合，学生已经有了一定的感性认识，在此基础上，本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念，集合中元素的特征，及集合的表示方法等。

二、学情分析学生在初中阶段的学习中，已经有了对集合的初步认知，有了对周围事物的发现总结能力。

对部分粗心大意的学生，培养其细致的观察力，在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法：列举法和描述法会有所混淆，通过不断的练习巩固来达到标准要求。

学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习，鼓励学生理解学习，事半功倍。

三、教学目标1、知识与技能目标：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

2、过程与方法目标：通过集合含义教学，培养学生的抽象思维能力。

通过集合表示方式的教学，培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。

树立用集合语言表示数学内容的意识。

3、情感态度与价值观目标：学生在掌握集合相关的基本概念的基础上，解决相关问题，获得数学学习的成就感；学生的数学学习进入到新阶段，培养学生对数学学习的兴趣。

§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。

○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。

（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。

（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素． 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ， 即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

高中数学必修一知识点总结第一章〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. （3）集合与元素间的关系（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集. 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A→B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象②过定点：所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)③单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞)上为增函数．如果a<0，则幂函数的图象在[0, +∞)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点。

1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

1.1.1集合的含义与表示学习目标展示1. 元素与集合的概念2. 集合中元素的性质3. 集合的表示方法4. 数学中常用数集及其记法5. 集合的分类 衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 数；2k 表示所 数。

2. 如果a 为实数，则= , = ，当0a ≥= ，当0a<时，=3. 一元一次方程与不等式的解法 （1）一元二次方程(0)axb a =≠的根为 （2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a>时，它的解为 ； 当0a <时，它的解为 。

4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根a,}nx或()}x A∈}∈是明确x A的，可以省略）例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x=+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。

（4）使22Z x ∈-的自然数x 组成的集合例4.已知集合2{|210,}P x kx x x R =++=∈（1）若集合P 为单元素集，求实数k 的值； （2）若集合P 为空集，求实数k 的取值范围； （3）若集合P 二元素集，求实数k 的取值范围。

精练部分A 类试题（普通班用） 1.已知集合{|2,}A x x n n N ==∈，集合2{|280}B x x x =--=，试判断0,2-与集合A 与B 的关系2.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+（5）使22N x ∈-的整数x 组成的集合4.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值5.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？B 类试题（尖子班用）1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．好看的书B ．高尔基写的书C ．学校图书馆的藏书D ．语文书、数学书、英语书 2. 设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是（ ）A ．1M ∈B ．2M ∈C ．(1,2)M ∈ C ．(2,1)M ∈ 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．集合2{|1,}x x x R =∈中有两个元素B ．集合{0}中没有元素C{|x x <D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合4．用描述法表示集合{1,2,3,4}为_______________5．方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13}，则a ＝_______，c ＝_______.6.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+8.已知使2|2A x Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的整数x 组成的集合9.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值10.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？课后习题 习题一一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有31天的月份 B.平面上到点O 距离是1的点 C.满足方程x 2-2x-3=0的x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【补偿训练】下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市B.方程x 2-9=0在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.的近似值的全体2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以 是 ( ) A.3.14B.-5C.D.3.设a,b∈R,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= ( )A.1B.0C.-1D.不确定4.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.2【补偿训练】对于含有三个元素2,4,6的集合A,若a∈A,则6-a∈A,那么a的取值是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于自然数集N,若a∈N,b∈N,则a+b N,ab N.7.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的取值范围为.8.(2015·成都高一检测)已知集合P中元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.若所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-2是不是集合A中的元素.10.(2015·广州高一检测)已知集合M含有三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4.若2∈M,求x.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·兰州高一检测)由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )A.6个B.5个C.4个D.3个2.(2015·宿州高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( )A.0B.1C.0或1D.小于等于1二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·乌鲁木齐高一检测)若集合P中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,若集合P与集合Q相等,则a= .4.若∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知由方程kx2-8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素,试求实数k的值.6.某研究性学习小组共有8位同学,记他们的学号分别为1,2,3,…,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若x号同学去,则8-x号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题:(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( )A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-15.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?习题四一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是.【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q 的所有元素之和为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.(2)用列举法表示集合B.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.。