分式的意义综合练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---. （三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x xx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）bxa211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

分式的概念练习题一、选择题1. 下列哪个式子是分式？A. 3x + 2B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{x}{y+1}$D. $\sqrt{a+b}$A. $\frac{1}{x}$B. $\frac{x^2 1}{x 1}$C. $\frac{2}{x^2 + 1}$D. $\frac{x^3 + 3x^2 4x + 4}{x^2 2x + 1}$3. 分式$\frac{3}{x2}$的定义域是？A. 全体实数B. 除了2以外的全体实数C. 除了0以外的全体实数D. 除了0和2以外的全体实数二、填空题1. 分式$\frac{a}{b}$中，a叫做______，b叫做______。

2. 若分式$\frac{x3}{x+2}$的值等于2，则x的值为______。

3. 已知分式$\frac{2}{x1}+\frac{3}{x+2}=1$，则x的值为______。

三、简答题1. 请简要说明分式与整式的区别。

2. 什么情况下分式无意义？什么情况下分式有意义？3. 如何求分式的值？四、计算题1. 计算$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$。

2. 计算$\frac{3}{4}\frac{2}{5}$。

3. 计算$\frac{4}{5}\times\frac{3}{7}$。

4. 计算$\frac{5}{8}\div\frac{2}{3}$。

5. 简化分式$\frac{x^2 9}{x^2 + 6x + 9}$。

五、应用题1. 某班有男生x人，女生人数是男生人数的$\frac{2}{3}$，求班级总人数与男生人数的比例。

2. 甲、乙两人共同完成一项工作，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要8天。

求甲、乙合作完成这项工作的时间。

3. 一辆汽车行驶了a千米，其速度是b千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间（用分式表示）。

六、判断题1. 分式的分子和分母都是整式。

（）2. 分式的值在分母不为零的情况下一定有意义。

三.分式考点一：分式的概念1. 定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，0B ≠，那么式子A B叫做分式.例1.下列代数式是分式的是 （ ）.31x A x + 21.2x B +-C x.aD π2. 分式有意义的条件：分式中分母的值不能为零，即A B中，0B ≠使，分式有意义，否则分式没有意义. 例2.若分式15x -有意义，则实数x 的取值范围是 .3. 分式的值的讨论： （1） 若分式0A B =，则A=0，且0B ≠，即0{A B =≠时，0A B=.（2） 若分式0A B >，则A 、B 同号，即0{0A B >>或者0{0A B <<（3） 若分式0A B<，则A 、B 异号，即0{0A B ><或者0{0A B <>例2. 分式211x x -+的值为0，则 （ ）.1A x =- .1B x = .1C x =± .0D x =针对训练： 1.若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 .考点二.分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用符号来表示为：A A M A MB B MB M÷==÷ (M 的值不为0)2. 分式的基本性质的应用（1） 分式的约分：把一个分式的分子与分母的公共因式约去，分式的值不变，叫做约分。

说明：约分时，分子与分母不是乘积的形式，不能约分.（2） 分式的通分：把n 个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 说明：①通分的依据是分式的基本性质, ②通分后的各分式的分母相同.③通分后的各式分式分别与原来的分式相等. ④通分的关键是确定最简公分母 ⑤分式通分的步骤：ⅰ.确定最简公分母；ⅱ.将各分式化成相同分母的分式.(3)分式的符号规则：分式的分子、分母及分式本身的符号中，改变其中任意俩个，分式的值不变.用式子表示为：,A A A A A A A BBB BBBB---==--=-==---(0B ≠).例3.（1）先化简，再求值：()2111211x x x ⎛⎫-÷+- ⎪+-⎝⎭，其中x =.（2）先化简，再求值：221211,24x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭其中 3.x =- 针对训练：1. 化简：221211.241x x x x x x --+÷++--2. 先化简，再求值：22211.221x x x x x x x ++--÷++-其中2x =-考点三：分式的加减 1. 分式的加减,.a b a b a c ad bc ad bcc c c bd bd bd bd±±±=±=±= 2. 分式的乘除,.a c ac a c a d adb d bd b d bc bc=÷== 说明：对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，如分子、分母是多项式，可先将分子、分母分解因式，再相乘. 3．分式的乘方nnna ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数） 例4.（1）化简：22221369x y x yx yx xy y+--÷--+（3） 先化简，再求值：22211(1),11m m m m m m -+-÷---+其中m =针对训练：1. 计算：2.b a ba b a b a ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭2.先化简，再求值：()2211,1a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪+⎝⎭其中 1.a =-课堂针对训练一、选择题 1.化简2111x x x x -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是 （ ） 1.A xB. 1x - 1.x C x- D.1x x -2．若分式31x x -有意义，则x 应满足 （ ）.0A x = B. 0x ≠ C. 1x = D. 1x ≠3．设22220,4,m n m n m n mn mn->>+==则（ ）A B. C. D.3二、填空题4.当x= 时，25x -.5.若ab=1，11,,1111a b x y abab=+=+++++则xy= .三、解答题 6.先化简，再求值：()222,a b a b a b-+-+其中2, 1.a b ==7.先化简，再求值：2242,6926a a a a a --÷+++其中 5.a =-。

分式的意义典型例题
例01．下列各式中不是分式的是（ ）
A ．y
x x 2 B ．21 C ．21x D ．13 x x
解答
B 说明
①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ② 是一个常数，不是一个
字母 例02．分式)
3)(2(1 x x x 有意义，则x 应满足条件（） A ．1 x B ．2 x C ．2 x 且3 x D ．2 x 或3 x
分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即
0)3)(2( x x ，所以2 x 且3 x
解 C
说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点
例03．当x 取何值时，下列分式的值为零？
（1）212 x x ； （2）3
3 x x 分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零 解 （1）由分子012 x ，得21
x .又当21 x 时，分母02 x . 所以当21 x 时，分式2
12 x x 的值为零。

（2）由分式03 x ，得3 x .当3 x 时，分母063 x ；当3 x 时，分母03 x .所以当3 x 时，分式3
3 x x 的值为零. 例04．
932 x x 与3
1 x 是同一个分式吗？ 分析 分式93
2 x x 有意义的条件是092 x ，即
3 x 和3 .而3
1 x 有意义的条件是3 x ，而当3 x 时，3
1 x 是有意义的. 解 由于93
2 x x 与31 x 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式. 说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑。

分式值为零及分式有意义的条件》测试题含答案1.若分式 (x-3)/(x+1) 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(x≠-1且x≠3)。

2.若分式(x^2-1)/(x+1) 的值为零，那么x的值为(-1或1)。

3.使分式 (x-3)/(x+2) 有意义的x的取值范围是(x>-2)。

4.若分式 (x^2-1)/(x-1)^2 的值为2，则x的值为(-1)。

5.若分式 (x^2-9)/(x^2+x-12) = 0，则x的值是(3或-3)。

6.函数 y=(x-1)/√(x+1) 的自变量x的取值范围为(x>-1)。

7.若分式 (x^2-4)/(x-2) 的值为1，则x的值为(2)。

8.要使分式 (x+1)/(x-2) 的值为-2，那么x的值为(-2)。

9.若分式1/√(x-2) 有意义，x的取值范围是(x>2)。

10.要使式子√(x^2-1)-1/(x+1) 有意义，x的取值范围是(x≥1或x≤-1)。

11.函数 y=1/(x+1)-√(x+2)/(√3-x) 中自变量x的取值范围是(x>-1且x<-2)。

12.分式 (x+1)/(x-1) 有意义的x的取值范围是(x≠1)。

13.若分式 (x^2-1)/(x-1) 的值为零，则x的值为(-1或1)。

14.对于分式 2x^2-8/(x-2)(x+3)，当x=2时，分式无意义；当x≠-3且x≠2时，分式的值为(2x-4)/(x+3)。

15.若分式 (x+3)/(2x+3) 的值为零，则x的值为(-3/2)。

16.函数y=√(x-1)/(x+1) 中自变量x的取值范围是(x>1)。

17.要使分式 (x+1)(x-2)/(x^2-1) 有意义，则x应满足的条件是(x≠-1且x≠1)。

18.当x=2时，分式 x^2-4/(x-2) 的值等于零。

19.若分式(x+1)/(√(x-2)) 有意义，则x的取值范围是(x>2)。

分式综合应用（习题）例题示范例1：已知关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【思路分析】分式方程无解包括两部分：第一，分式方程化为整式方程，整式方程的解是原分式方程的增根；第二，分式方程化为整式方程，整式方程无解．【过程书写】2(2)3(2)2436(1)10x ax x x ax x a x ++=-++=--=-解：（1）当a -1≠0，即a ≠1时101x a =--∵原分式方程无解 ∴101x a =--是原分式方程的增根 ∴10102211a a -=-=---或∴a =-4或a =6（2）当a -1=0，即a =1时0=-10，不成立 此时原分式方程无解综上，a 的值为1，-4或6巩固练习1. 化简下列分式．1(3)(6)x x ++++…221156712a a a a +++-+-+2. 下列关于x 的分式方程无解，求m 的值．132x x-=--；（2）33m x x=-；（3）2213m x x x+-=-．3. 若113x y -=，则2322x xy y x xy y+-=--_________．4. 若2310x x -+=，则2421x x x ++的值为_________．5. 若a 为正实数，且15a a -=，则221a a-=_________．6. 若53m n =，则222m m n m n m n m n+-=+--_________． 【思路分析】①观察已知和所求，发现已知条件为连比的形式，考虑_____________． ②设________________，∴m =____________，n =____________，∴原式=7. 分式224321x x -++的最大值是_________． 【思路分析】①由已知条件求分式最大值，考虑_____________．②原式=③取值说理：因为______________，所以___________的最小值是______；所以___________的最大值是______；所以分式2243 21xx-++的最大值是_________．8.若分式2232x xx+++的值为整数，则整数x的值为_________．【思路分析】①由已知条件求分式的值为整数，考虑_____________．②原式=③取值说理：∵分式2232x xx+++的值为整数，且x为整数，∴x+2能整除_______，∴x+2=____________，∴x=_________________．思考小结类比学习分式时，我们注意将分式与分数进行类比，通过回忆分数的有关知识来探索、发现、建立分式的新知识．鲁班由小茅草割破手发明了锯，维也纳医生奥恩布鲁格由父亲敲击酒桶判断酒的多少发明了扣诊法，仿生学利用生物的结构和功能原理来研制机械或各种新技术．这些平凡而伟大的创意都源自类比．什么是类比呢？数学家、数学教育家波利亚说过：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能（并非必定）推出它们在其他某些性质上的类似．这种推理形式的结构可以表示如下：对象A有性质P，Q，R，…，X对象B有性质P，Q，R，…推测（猜想）：B可能也有性质X就拿分数和分式来说吧．从表示形式和意义来看，分数的形式是ab（a，b是整数，b≠0），它表示两个整数的商；分式的形式是AB（A，B是整式，B≠0），它表示两个整式的商．从基本性质来看，分数的分子、分母同乘以一个不等于零的数，分数的大小不变，它是分数约分和通分的依据；分式也有类似的基本性质，它是分式约分和通分的依据．其他方面，从约分、通分到运算，甚至是最简分式与最简分数（既约分数）的概念，分式与分数都十分相似！类比是我们学习数学的一种有效方法，我们还可以举出许多例子．如学习整式时，常常可以和整数类比．两个整数的和、差、积都是整数，但两个整数的商却未必是整数，从而需要引进分数；类似地，两个整式的和、差、积都是整式，但两个整式的商未必是整式，从而需要引进分式．整式的因式分解可以与整数的因数分解类比，等等．类比能揭示自然界的奥秘，它是数学发现的重要方法．但类比不具有证明的力量．由类比得到的结论可能成立，也可能不成立，需要进一步研究，加以证明或反驳．科学家将火星与地球作了类比，发现火星有很多与地球类似之处：火星是行星，绕太阳运行，绕轴自转；火星上有大气层，空气成分很类似，一年中有四季的变更；火星上有水，大部分时间的温度适合地球上某些生物的生存．地球上有生命存在，科学家推测：火星上也可能有生命存在！但事实究竟怎样，需要进一步的科学考证．在数学学习时理解这一点也很重要．例如，学习一元一次不等式，它的解法、步骤与解一元一次方程非常相似．不等式与等式的性质也有类似的地方，但是不能全盘照搬，特别是不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变，在运用类比时应该引起注意．【参考答案】 巩固练习1.（1）2672 2016x x +（2）2465a a-+2.（1）m的值为1（2）m的值为0或3（3）m的值为32-或12-3.3 54.1 85.6.4116，思路分析略7.3，思路分析略8.-1，-3，-5或1，思路分析略。

2021-2022学年人教版八年级数学上册《第15章分式》单元综合练习题（附答案）1．分式有意义的条件是（）A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣32．关于x的分式方程＝0的解为x＝2，则常数a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝2D．a＝53．计算（x3y2）2•，得到的结果是（）A．xy B．x7y4C．x7y D．x5y64．若分式的值总是正数，a的取值范围是（）A．a是正数B．a是负数C．a＞D．a＜0或a＞5．分式可变形为（）A．B．﹣C．D．﹣6．若分式的值等于0，则x的值为（）A．±1B．0C．﹣1D．17．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）A．B．C．D．8．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元9．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程＝表示题中的等量关系，则方程中x表示（）A．甲队每天修路的长度B．乙队每天修路的长度C．甲队修路300米所用天数D．乙队修路400米所用天数10．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．1511．化简：﹣＝．12．计算：＝．13．计算：+＝．14．当x＝时，分式的值为0．15．当x时，分式无意义；当x时，分式值为零．16．若分式的值是负数，则x的取值范围是．17．解分式方程：．18．某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？19．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？20．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第⑤个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？参考答案1．解：当x2﹣9≠0时，分式有意义，由x2﹣9≠0得x2≠9，则x≠±3，故选：C．2．解：方程两边都乘以x（x﹣a），得：3x﹣2（x﹣a）＝0，将x＝2代入，得：6﹣2（2﹣a）＝0，解得a＝﹣1，故选：A．3．解：（x3y2）2•＝x6y4•＝x7y．故选：C．4．解：由题意可知：a＞0且2a﹣1＞0，或a＜0且2a﹣1＜0，∴a＞或a＜0，故选：D．5．解：分式可变形为：﹣．故选：D．6．解：＝＝x﹣1＝0，∴x＝1；经检验：x＝1是原分式方程的解，故选：D．7．解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天．所列方程为：﹣＝4，故选：A．8．解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：，解得：x＝2000，经检验：x＝2000是原方程的解，答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C．9．解：方程中x表示甲队每天修路的长度，故选：A．10．解：解不等式组，得，∵不等式组无解，∴a﹣1≤6，∴a≤7．解分式方程，得y＝，∵y＝为非负整数，a≤7，∴a＝﹣1或1或3或5或7，∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，故选：C．11．解：原式＝＝．故答案为：．12．解：＝．故答案为：．13．解：原式＝＝＝2，故答案为：214．解：∵分式的值为0，∴，解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．15．解：（1）若分式无意义，则x+2＝0，故x＝﹣2，（2）分式的值为0，即x2﹣4＝0且x+2≠0，故x＝2．16．解：∵＜0，x2+1≥1＞0，∴2﹣3x＜0，解得：x＞．故答案为：x＞17．解：去分母得：72000﹣60000＝24x，合并得：24x＝12000，解得：x＝500，经检验x＝500是分式方程的根．∴x＝500．18．解：设爱国主义读本原价x元，＝+5，解得：x＝25，经检验，x＝25是分式方程的解，答：爱国主义读本原价25元19．解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．解得x＝80．经检验：x＝80是原分式方程的解．∴x+20＝100．答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．解得m≤10．答：最多可购买10个A种书架．20．解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，∴第5个等式为：﹣﹣＝﹣；（2）第n个等式为：﹣﹣＝﹣，证明：左边＝＝﹣，右边＝﹣，∴左边＝右边，∴原式成立．21．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．。

第五章 分式与分式方程5.1 认识分式（一）一、问题引入：1． 叫分式.2．对于任意一个分式，当 不为0时，分式有意义.3.当分式的 为0，而 不为0时，分式的值为0.二、课堂检测：1．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +-D ．211m m ++ 2．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x +3．当x ______时，分式2134x x +-无意义． 4．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零． 5．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±6．解答题：已知123x y x-=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是零； （2）分式无意义．7．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．8.下列说法正确的是（ ）A.如果A ，B 是整式，那么BA 就叫做分式; B.只要分式的分子为零，则分式的值就为零;C.只要分式的分母为零，则分式必无意义;D.因为xx 2不是分式，而是整式.9.在x 1，21，212+x ，πxy 3，a+m 1中,分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个10.使分式12--a a a 有意义的a 取值应是（ ） A. 任意实数 B. a 1-≠ C. a 1≠ D. a 0≠或111.要使分式1122+-a a 有意义，则a 取值应是（ ） A ．-1 B. 1 C. 1± D. 任意实数12.当x=2时，下列各式的值为0的是（ ） A.2322+--x x x B. 21-x C. 942--x x D. 12-+x x 13对于分式13-+x a x 中，当x=-a 时，下列结论正确地是（ ） A. 分式无意义 B. 分式值为0C. 当a 31-≠时，分式的值为0D. 当a 31≠时，分式的值为0 14.下列各式从左到右的变形不正确的是（ ） A.y y 3232-=-. B. x y x y 66=-- C. y x y x 4343-=- D. yx y x 3838-=-- 15.下列各个算式中正确的是（ ）A ．22a b a b =;B. b a b a b a +=++22;C. Y X Y Y X Y +=+22;D. xy y x xy y x 23613121-=- 16.把分式则分式的值倍都扩大中,2b ,a 2ba a +（ ） A ．扩大4倍 B.扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变17.下列等式成立的是（ ）A ．b a b a b a -=-+22B b a b a ba b ab a +-=-+-2222 C ．a b b a b ab a -=-+-222 D ()b a a b b a --=--12 18.在-3x,52,53,8,7,32,22b a y x xy y x y x -+--中，是分式的是 . 19.要使分式321-+a a 有意义，则a 的值应是 ；要使分式142--a a 的值为零，则a 的值应为 .20.分式x x-1，当 时，其值为0；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为正数.21,化简=abbc a 15252 . 22,当x=3时，分式44422+--x x x 的值为 . 23如果,311=-yx 试求y -2xy x 2y -3xy -2x -的值。

专训 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础.分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共可以构成________个分式．分式有无意义的条件3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )A.a ＋1a 2B.a －1a 2＋1C.1a 2－1D.1a ＋14．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜1C ．x ＞－2且x ≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x的值为负数，则x 的取值范围是________． 8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( )A.a b ＝a 2b 2B.a b ＝aba ＋bC.a b ＝a ＋c b ＋cD.a b ＝abb 210．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右变形成立，x 应满足的条件是() A ．x ＞－2 B ．x ＝－2C ．x ＜－2D ．x ≠－211．已知x 4＝y 6＝z 7≠0，求x ＋2y ＋3z6x －5y ＋4z 的值．12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值．答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式． 2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．B4．±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为已知分式的值为正数，所以x ＋2＞0，x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b ≠±1. 9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z 7＝k(k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722. 12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1－1－1＝－1.。

分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。

二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。

（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。

例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。

A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。

当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。

例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。

C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。

例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

专训1 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m 中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．【 2017·武汉】若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a>4C ．a<4D ．a ≠4 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义．5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．x ＜1C ．x ＞－2且x ≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用 9．下列各式正确的是( )A.ab＝a2b2B.ab＝aba＋bC.ab＝a＋cb＋c D.ab＝abb210．要使式子1x－3＝x＋2x2－x－6从左到右的变形成立，x应满足的条件是()A．x＞－2 B．x＝－2C．x＜－2 D．x≠－211．已知x4＝y6＝z7≠0，求x＋2y＋3z6x－5y＋4z的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求x|y＋z|＋y|z＋x|＋z|x＋y|的值．答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．D 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． 因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b ≠±1.9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z7＝k(k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k. 所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k＝37k 22k ＝3722.12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值．。

分式有无意义练习题对应知识点：1．一般的，对分式A／B都有：①分式有意义B≠0；②分式无意义③分式的值为0A=0且B≠0；④分式的值大于0分子分母同号；⑤分式的值小于0分子分母异号。

B=0；练习题：1.. 当时,分式分式值无意义.2.当x________，分式x?1值为0;x 时,这个分式值有意义,x 时,这个2x?1x?1有意义；当x_________这个分式没有意义。

x?525?x2x2?6x?53．当x为何值时，下列分式的值为零：?|x?1| x?4x24.当x为何值时，分式的值为负．?xx2?3x?185.分式,当x为何值时，分式无意义; 当x 为何值时，分式值为0. x2?96.当x为何值时，分式7.当x为何值时，分式x?2为非负数. x?34为正；?x8.当x有何值时，下列分式有意义x?413x26?x 1x?4|x|?3x?2x?1x?x19.当x取何值时，下列分式的值为0.x?1 x?3|x|?2x?4 x2?2x?3x?5x?6210.当x取何值时，下列分式有意义：1 ?x1|x|?3?11?1x2分式重点复习练习题1.分式有意义:确定字母的取值范围,使分式有意义的条件是:分式的分母不为0. B?0x2?41x：A：B: C:x?2|x|?1x?x?22. 分式无意义:确定字母的取值,使分式无意义的条件是:B=0,再解方程. A:1x?2x?B: C: x?2x?3x?2|x|?23. 分式值为0.确定字母的取值,使分式值为0的条件是:??A?0. B?0?x2?1|x|?1x?2x?1,. A:B C:22?xx?1x?x?22x?y应用性质和符号法则变化解答下列问题: 不改变分式的值,使分式?yy?y的分子,分母不含“-”号. ,,?2y?2x2x不改变值,使分式1?x分子,分母最高次项系数为正.1?3x?x不改变值,使分式0.01x?0.5y的分子,分母各项系数均为整数.0.3x?0.04y完成填??a1x2?x?112?xx?2?2空:1... ??,2?22,3x?1x?1bcbc3?xx?1：检查分式概念问题：2x是分式；3x?4x11211,a?,0,中，整式有分式在,,323bc?当x 时，代数式有.本节达标反馈练习题:A:1.在a4n?m1x?51中,整式有,分式,,,,,24a3m?nx5x?yx?1值为0;x 时,这个分式值有意义,x 时,2x?1有 .2. 当时,分式这个分式值无意义.13.把分式a的a,b都扩大3倍,则分式的值 . a?bb2?b)1b?1x?y?x?y?x?ybx?5.不改变分式值,使分式的分子,分母中各项的系数化为整数,y3x?2y4?6.不改变分式值,使分式的分子,分母中最高次项系数为正的.?3a?1.2a?1?5aB: 1.判断正误: ?xx?5m5m?.?? ?6n6n?y?xy?x11?3?x3?x??22?xx?2?2?7x?3x2?7x?3x?2. 说明下面等号右边是怎样从左边得到的:2x?62?)x2?2x?3x?11x?3?2 x?2x?x?63.不改变分式的值和它本身的符号,使下列的第二个分式的分母和第一个分式的分母相同:6a?14a?5,.a2?a?3?a2?a?3a?b4.将分式中字母a,b分别扩大2倍,则变形后的分式的值.abx25.当x 时，分式的值为负．3?xx2?3x?186.分式,当x时，分式无意义; 当x时，分式值为0.x?9四种运算与变形1.约分变形:约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.?4m3n2x2x3x2?xy?2y2例: ,,2m3n44y2x2?3xy?2y22.通分变形:通分是异分母的几个分式化为相同分母的过程,是与约分运算相反,为了加减法的运算,不惜把自身的简美化繁.其根据还是分式的基本性质.2例 .1y2xy2,?4x2.12m2?9,49?3m 1x?2,x?2. A?C?AC3.乘除运算:1)法则:BDBDACADB?D?B?C?ADBC)步骤:当分子,分母都是单项式时可直接约分;当分子,分母是多项式时,先做因式分解,然后按运算法则进行.3计算?a?a2例:3b,n?m3?m????2??,a2?8a?1616?a2?n?9?a2?9?6a?a2本节知识反馈A.1,约分①a?xa2?ab?b2x?a ② a3?b ③ ?4a2bc316abc42.通分①b32a,acb4ab ②112,. x2?1,x2?3x?2.3.计算① ?2a3b4?20a3b55cd4?3cd8ab ②16a2b3 ???4???3xy2???2222233③ x?2xy?yx?y?c2?x2?xy?y2?x3?y ④ ????ab?????a??bc??????c??a2b??, B:. 约分:1?x4a2nx3?x2?x?1,bnn?25. 计算:① ?x2?2xy?y2xy?x?yx2?2x?327?3x2x② x3?1?1?x?x24.加减运算1)同分母分式加减法则AM?BM?A?BM2)异分母分式加减法则bdbca?c?ac?adac?bc?adac运算步骤:①先确定最简公分母;②对每项通分,化为分母相同;③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简.例: ①4x?35x7y119x?2?2?x ②z6y2z?12xz2?8x2y③x?3?3?x④x?x2?y2x2?y210x?y?y ⑤a2?3a?4?a?1a?1?1 本节达标反馈 A：计算 1.1?x2.1n?1n?13.xyyx2?y2?x?y4.ca6a2b?4b2c?b3c2a5.a?2?42?a6.1x?1?11x2?1?x?1B:7.xx?61x?3?x23x?x.2xx2?9?13?x?2 x2?6x?99.5m?2?m2?2m?10.11.??a?b?4ab??a?b?????a?b?4ab?a?b??C.12.已知:4x?1A?x?5?Bx?2求A,B.13.1a?x?1a?x?2x4x38x7a2?x2?a4?x4?x8?a8分式四则混合运算例:1.a2a?2b?1a?2b?2ba?2b?a?2b 2b2.3x?2x2?x?2????1?1?x?1??????1?1?x?1??3.3?x2x?4????x?2?5?x?2??4本节反馈 A:1.x?.??11??11??a?b?????a?b??.?a2?4a2?3a???a2?1?4a24.?a?1?a?1????a2?1,???2x2x??x?y?y?x??8x??x2?y2B:.??x?2x?1??4??x2?2x?x2?4x?4?????1?x??6.??11???2?2?????1?x?y?1?x?y??? C:7.当a??12,b?2时,求 a?ba?b?a2?b2a2?b2?a?bab?a2b?ab2a2?b2的值. 两点问题;1.含字母系数的一元一次方程或可看作此问题的公式变形例;x?mxn?m?n..xa?b?3a?b?2bxa2?b2. 例2:公式变形:在公式E?I中已知E,I,R,r且E?IR,求n. 反馈:A:1.解关于x的方程;a=cx,m2?n2,2, 在y?3bx2a?x,,求x.B:3.解关于x的方程. ①xa?b?32bxa?b?a2?b25第十六章分式一、分式的要概念：一般地，如果A、B表示两个整式，，并且B中含有字母，那么式子叫作BA分式。