2020届高三上学期第六次月考数学(理)试题+参考答案

2020届高三第六次月考试题

理科数学

考试时量：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =

A ．(,1)-∞

B ．(,1]-∞

C ．(2,)+∞

D ．[2,)+∞

2. 设i 为虚数单位，若()2a i

z a R i

-=

∈+是纯虚数，则a = A ．

12 B ． 1

2

- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是

A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高

B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低

C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益

D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin(

)32π

α-=2020cos()3

π

α+= A 2

3

．2

3

．

12

D ．12

-

5. 已知1

2121ln ,2

x x e -==，3x 满足3

3ln x e x -=，则

A ．123x x x <<

B ．132x x x <<

C ．213x x x <<

D ．312x x x <<

6. 函数2()1sin 1x

f x x e ⎛⎫

=-

⎪+⎝⎭

图象的大致形状是

A B C D

7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为 A ．4101

90

-米

B ．5101900

-米

C ．510990

-米

D ．4109900

-米

8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()08

2

f x x f f π

π

ωϕωϕπ=+><<=

=，且()f x 在(0,)π上单调.则

下列说法正确的是 A ．12ω=

B ．62()82

f π-= C ．函数()f x 在[,]2

π

π--

上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(

,0)4

π

对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r

，则AOB ∆的面积的最大值为

3 B. 2

C. 232210．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，

若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2

B 3．2 D ．3

11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q

某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；

③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；

④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是

A. ①②④

B. ①③④

C. ①③

D. ②④

12

．若函数1

()2(0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a

的取值范围是

A. 22)e

B. (0,2]

C. 22

2

)e + D. 3

424

(2,2

)e +

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）

13

．若2

5

(ax 的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)

21

11

(1)

i i n

i i a a +=+-=∑ .

16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路

PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.

Q

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．

17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

tan

(sin 2cos )cos 2222

A C A C a b

a +=． （1）求角B 的值；

（2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．