平面几何讲义-过伯祥

1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图1-2-1①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图1-2-1②.①②图1-2-13.平面的表示法上图中图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.平面无厚薄，但有边界线C.任何一个平面图形都是一个平面D.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项A、B错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项C错误；选项D正确.【答案】 D教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材P35～P37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图1-2-2推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-2①).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-2②).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-2③).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理3共面与异面直线阅读教材P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-32.空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[再练一题]1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图1-2-4(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题内.【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内.由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.[再练一题]2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.[再练一题]3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】 D[探究共研型]点共线与线共点问题探究1如图1-2-6，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线.如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.图1-2-7【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.[再练一题]4.如图1-2-8，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC 分别与平面α相交于点E，G，H，F.图1-2-8求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】 B2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.【答案】 C3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【导学号：45722038】【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】 C4.有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中正确的序号是________.【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.【答案】①③5.如图1-2-9，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.图1-2-9求证：a，b，c三条直线必过同一点.【证明】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交.设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点.。

目录第一章平面几何证题方法通论1.1 概念和命题……………………………………………………………………….1.2 逻辑推理概要……………………………………………………………………1.3 几何命题的证明与三段论……………………………………………………….1.4 间接证法………………………………………………………………………….1.5 综合法和分析法…………………………………………………………………. 第二章几何证题方法分论…………………………………………………………..2.1 证线段或角相等………………………………………………………………….2.1 证线段或角的和差倍分………………………………………………………….2.3 证线段或角的不等……………………………………………………………….2.4 证直线的垂直或平行…………………………………………………………….2.5 证几何定值问题………………………………………………………………….2.6 证线段成比例或等积式………………………………………………………….2.7 几何证题的其它方法……………………………………………………………..第一章 平面几何证题方法通论平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法.1.1 概念和命题数学总是运用一些抽象的概念，从已知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系.概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础.1.1.1 数学概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式，一般有两种方式：（1）直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来.如自然数的概念，源于对事物的数数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是下定义的，只能通过具体事例来描述它.（2）在已有概念的基础上，经过多次层次的抽象、概括而形成新的概念，在数学上称为概念的定义.数学中大量的概念都是要定义的. 定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明确概念的逻辑方法. 例如，平行四边形的定义：“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行四边形.”这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念.1.1.2 数学命题对于某种事物（现象）及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断.例如：（1）两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形；（2）经过两点可以作且只能作一条直线；（3）对顶角相等；（4）三角形的内角和等于0180；（5）a b b a +=+等等都是判断.判断的表述要依附语句.在数学中，表判断的语句称为命题.从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则（公式）等几种类型.定义——说明名词或术语意义的命题.公理——在数学中不经过证明直接运用的命题. 它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题.在平面几何中，常用的公理有：（1）经过两点有且只有一条直线.（2）连接两点的所有直线中，线段最短.（3）过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行.（4）矩形的面积等于它的长和宽的乘积.（5）等量公理（如等量加等量其和相等）.定理——由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论.例如，“两直线相交只有一个交点.”可以从公理（1）经过逻辑推理而证明；“三角形的内角和等于0180”，它由“平角等于0180”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明.由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论；仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，叫作引理.1.1.3 命题的结构数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如（1）2是无理数；（2）直线a 平行于直线b ；（3）A B ??.复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题.例1.1.1 （1）如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；（2）若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补.在例1.1.1中，（1）由三个判断组成，（2）由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题.一个命题包含两部分：条件和结论（或者假设和终结；题设和题断；已知和求证）.条件以“如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、“则”、“求证”等词开头.图1.1.2图1.1.1E D A C B D A C B 命题的一般形式表述为“若A ,则B .”其中A 为条件，B 为结论. 有些命题的条件和结论表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了.例1.1.2 改写下列命题的条件和结论：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.解：如图1.1.1，已知D 为ABC D 边BC 上的一点，090,,ABD DC ?= 则12AD BC =.（2）如图1.1.2已知ABC D 中，,,AD DE AE EC ==则//DE BC ,且12DE BC =. 1.1.4 命题的四种形式一般地，命题有四种形式：（1）原命题：若A ,则B .（2）逆命题：若B ，则A .（3）否命题：若A ,则B （A 表示非A ）.(4) 逆否命题：若B ，则A .这四个命题的相互关系可用下图表示：互逆 互 互 为 互否 逆 否否图1.1.3 原命题若A,则B 逆命题 若B,则A 否命题若A,则B 逆否命题 若B,则A例1.1.3 写出下列命题的四种形式，并判断真假.（1）原命题：若两角对顶，则两角相等.（真）（2）原命题：三角形中，若两边相等，则对角相等.（真）解：（1）逆命题：若两角相等，则两角是对顶角.（假）否命题：若两角不是对顶角，则两角不相等.（假）逆否命题：若两角不相等，则两角不是对顶角（真）（2）逆命题：三角形中，若对角相等，则对边相等.（真）否命题：三角形中，若两边不相等，则对角不相等.（真）逆否命题：三角形中，若对角不相等，则对边不等.（真）可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假.同真同假的两个命题称为等效命题 原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题.若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理. 所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理.1.1.5 逆命题的构造方法原命题“若A ,则B ”逆命题“若B ，则A ”.当条件A 和结论B 都只包含一个事项时，以B 为条件，A 为结论，则为逆命题.当条件A 和结论B 所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题.例1.1.4 原命题：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.条件：ABC D 中，AD DB AE EC 禳=镲镲Þ睚镲=镲铪结论：1//,2DE BC DE BC =. 构造逆命题时，将结论“//DE BC ”交换条件“AE EC =”.条件：ABC D 中，,//AD DB DE BC =,结论：则AE EC =，且12DE BC =. 逆命题：过三角形一边AB 的中点D 而平行于BC 的直线必过AC 的中点E ，且12DE BC =. 1.1.6 充分条件和必要条件如果命题“若A ,则B ”是真命题，是指从条件A 出发，经过逻辑推理，可以得到结论B ，即如果A 成立，B 一定成立（A 蕴含B ）.记为A B Þ.则称A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件.如，“若2x >，则2x >4”是一个真命题，那么2x >是2x >4的充分条件，2x >4是2x >的必要条件.如果原命题“若A ,则B ”真，逆命题“若B ，则A ”也真， 即既有A B Þ，又有B A Þ,记作A B Û. 则称A 是B 的充分必要条件，简称充要条件.表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件. 例如，平行四边形的定义：“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等.”例1.1.5 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：（1）p ：()()230,:30x x q x --=-=；（2）2:4,:16;p x q x ==（3）p ：同位角相等，q ：两直线平行；（4）p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形.解：（1）p 是q 的必要条件而不是充分条件.因为()()30230x x x -=?-=，而()30x -=?30x -=.（2）p 是q 的充分条件而不是必要条件. 因为2416x x=?，而216x =?4x =.（3）p 是q 的充要条件.因为同位角相等Û两直线平行.（4）p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 因为四边形的两条对角线相等Þ四边形是平行四边形，四边形是平行四边形Þ四边形的两条对角线相等.习题1.11.什么叫做命题？一个命题的内容包括哪两部分？2.改造下列定理的字句，配以图形和字母说明.（1）三角形的内角和等于0180；（2）一个三角形中，较大的边所对的角也大；（3）等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线；（4）在圆中，垂直于弦的半径必平分线所对的弧.3.命题有哪几种形式？怎样由原命题得出它的其他形式？它们相互关系怎样？4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假：（1）垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）等腰三角形两底角相等；（4）直角三角形的两个锐角互余；（5）在一圆中，两条平行弦所夹的弧相等；（6）若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直.5.就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假.（1）若两个三角形由两边对应相等，则夹角大的，它所对的边也大.（2）从圆外一点引圆的两条切线长相等. （3）()()()()1324AB AC AD BC ABC AD A AD BC =^D ?Ð禳镲?镲?睚?镲?镲?铪中平分平分. 6. 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：(1) :,:;P A B q ac bc == （2）:5P a +是无理数，:q a 是无理数.（3）:p 两个三角形全等，:q 两个三角形相似. （4）22:,:p a b q a b >>.（5）:12,:11p x x q x x ==-=-或. （6）:,p a b 是整数，:q 20x ax b ++=有且仅有整数解.1.2 逻辑推理概要推理是又一种重要的思维形式，它是通过判断与判断词之间的有机联系，从已知前提推断新的结论的思维形式.逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，就是进行推理时要合乎推理的逻辑形式，要遵守逻辑思维的规律.合乎逻辑的推理，称为逻辑推理.1.2.1逻辑思维的基本规律1.同一律同一律的内容是：在同一时间内，从同一方面思考或议论同一事物的过程中，必须保持同一的认识.即同一事物过程中，所用的概念、判断必须确定，必须保持前后一致.具体地说，一是思维对象保持同一，不能中途变更；二是概念保持同一，要用同一概念表示同一思维对象，既不能用不同概念表示同一事物，也不能把不同事物混起来用同一概念表示，否则，推理所得的结论不真.例如：如下推理：物质是不灭的，（大前提）桌子是物质，（小前提）所以，桌子是不灭的.（结论）其结论是错误的.因为大前提中的“物质”是抽象的、哲学意义上的概念，“不灭”是指转化为其它物质；而小前提中的“物质”是具体的器物，与大前提中“物质”不是同一概念.结论中“桌子是不灭的”，桌子打碎了或烧掉了，转化为其它物质，就不是桌子了.2.矛盾律矛盾律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象不能既肯定它是什么，又不能否定它是什么.即在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假.矛盾律是同一律的引伸，它是用否定的形式表达同一律的内容.3.排中律排中律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象，必须作出明确的肯定或否定，不能模棱两可.排中律要求人们的思维有明确性，它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指出正确的思维不仅要求明确、不互相矛盾，要鲜明地表明肯定或否定.排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律.它们的区别在于：矛盾律指出两个矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指出了两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真.4.理由充足律理由充足律的内容是：在思维过程中使用的判断必须是已经证实其真确性的判断，思维推断要“有理有据”，指明“因为有A,使用有B”.1.2.2推理的种类常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等1.类比推理类比推理又称类比法，是一种从特殊到特殊的推理.它是根据两个或两类有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理.例如。

第26课平面课程标准课标解读1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．1.前面我们从整体的角度认识了柱体、锥体、台体、球等简单几何体的结构特征，接下来从局部的角度来认识构成空间几何体的基本元素一点、直线、平面之间的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力.2.本节内容的安排是首先让学生认识新的几何元素“平面”及其性质，其次让学生经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，最后让学生在直观感受的基础上形成三个基本事实和三个推论，初步体会欧几里得公理化体系，为后续学习做好准备因此本节内容具有极其重要的地位与价值3.本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、逻辑推理等知识精讲知识点01平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的．2．平面的画法画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画图示3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.【即学即练1】反思感悟知识点02点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l【即学即练2】知识点03平面的基本性质及作用1．三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B ，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l2.三个推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面【即学即练3】给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有________．(填序号)答案①解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A ，B ，C ，但A ，B ，C ，D ，E 不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．考法01图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【典例1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，b⊂βC．A⊂b，b⊂βD．A⊂b，b∈β答案B解析直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b⊂β.反思感悟用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．【变式训练】如图所示，用符号语言可表述为()B．α∩β＝m，n∉α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n答案A解析由题图知α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A，A∈m，A∈n.考法02点、线共面【典例2】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示，∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面．反思感悟证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．【变式训练】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．考法03证明点共线、线共点问题【典例3】)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明如图，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于点M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．【变式训练】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E ∈β，∴E 在α与β的交线l 上．同理，F ，G ，H 也在α与β的交线l 上，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．反思感悟(1)点共线与线共点的证明方法①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养．分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC ，13CH DC，则直线FH 与直线EG （）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直∵四边形ABCD 是空间四边形，EF 为三角形ABD 的中位线//EF BD 且12EF BD又∵11.33CG BC CH DC ，CHG CDB ∽，且//HG BD 2．下列命题中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面D ．四边形可确定一个平面【答案】B【分析】根据确定平面的依据，判断选项.【详解】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误；D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；故选：B3．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC 正确，根据异面直线的定义可判断D 错误.【详解】在A 图中，分别连接,,,PS QR AB CD ，由正方体可得四边形ABCD 为矩形，则//AB CD ，因为,P S 为中点，故//PS AB ，则//PS QR ，所以,,,P S R Q 四点共面.在B 图中，设,E F 为所在棱的中点，分别连接,,,,,PS SR RF FQ EQ PE ，由A 的讨论可得//PS ER ，故,,,P S E R 四点共面，同理可得//ER QF ，故//PS QF ，同理可得//EP RF ，//SR EQ 故F 平面PRS ，Q 平面PRS ，所以,,,,,P S R Q E F 六点共面.在C 图中，由,P Q 为中点可得//PQ AB ，同理//RS AB ，故//PQ RS ，所以,,,P S R Q 四点共面.在D图中，,故选：D.4．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.5．在空间中，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形【答案】C【分析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．【详解】对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A 不正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的四边相等，但不是平面图形．故B 不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故C 正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D 不正确．故选：C6．平面内8条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（）A ．9个B ．10个C ．11个D ．12个【答案】C【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，如图123////l l l ，456////l l l ，这6条线共有9个交点，如图交点分别为,,,,,,,,A B C D E F G H M ，若要使交点最少可以使7l 过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，因为平面内8条直线没有四条直线共点，8l 不能过三条线的公共点，比如不能过图中的,,A E M ，由于不能过点E 为了保证交点最少，8l 可以过两条直线的交点，最少增加2个新的交点，如图点,O P ，所以至少有9211 个交点，故选：C.二、多选题7．已知直线a ，b 和平面 ，且a ，//b ，则a 与b 的关系可以为（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】BCD【分析】根据,a b 是否共面，讨论a ，//b 时,a b 之间的位置关系即可.【详解】当,a b 共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 相交；当,a b 不共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 不相交，即异面垂直关系；故选：BCD8．下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面 内，又在平面 内，则 与 相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面【答案】ABC【分析】由基本事实3可判断选项A ，B 和选项C ；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D ．【详解】由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误．故选：ABC三、填空题9．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面各项中的哪几种：___________（填序号）.①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台.【答案】①②③⑤【分析】根据多面体和旋转体的特征去分析截面形状即可.【详解】对于棱柱、棱锥和棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三个点的截面即为三角形，①②③正确；作圆锥的轴截面即可得三角形截面，⑤正确；对于圆柱和圆台，无法作出三角形截面，④⑥错误.故答案为：①②③⑤.10．如图所示．1111ABCD A B C D 是正方体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、1A 不共面：③A 、M 、C 、O 共面；④B 、1B 、O 、M 共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④【详解】连接11AC ，因为O 是11B D 的中点，所以11O AC ，平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ，则平面11AB D ∩平面11AA C C AO ，对于①，11,M CA CA 平面11AAC C ，则M 平面11AAC C ，因为M 平面11AB D ，则M AO ，即A ，M ，O 三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A ，M ，O 三点共线，所以A ，M ，O ，1A 共面，A ，M ，C ，O 共面，所以②错误，③正确；对于④，连接BD ，则1,,B B O 都在平面11BB D D 上，若M 平面11BB D D ，则直线OM 平面11BB D D ，所以A 平面11BB D D ，显然A 平面11BB D D ，所以④错误，故答案为：①③11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D 中，,E F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点,,A E F 的平面把正方体1111ABCD A B C D 截成两部分，则截面与11BCC B 的交线段长为________.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．【答案】②③【分析】根据1B D 平面11A BC ，1B D 平面1ACD ，分点E 与1A 或1D 重合和点E 与 11A D 不重合，两种情况讨论求解判断.【详解】如图所示：1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．M 的面积为 11222S t 232212t t，当12t 时，1S 取得最大值334M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．已知三角形ABC 的三个顶点都在平面 上，求证：该三角形的内心I 也在平面 上．【答案】证明见解析【分析】根据平面的基本性质分析证明.【详解】记A 的平分线与BC 交于点D ，则I AD ．∵B ，C ，∴BC ．又D BC ，∴D ．∵A ，∴AD ，∵I AD ，∴I ．14．如图，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是梯形，且//BC AD ，//BE FA 且12BC AD ，12BE FA ，,G H 分别为,FA FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形．(2),,,C D F E 四点是否共面？为什么？题组B 能力提升练一、单选题1．若点Q 在直线b 上，b 在平面 内，则Q ，b ， 之间的关系可记作（）A ．Q bB ．Q bC ．Q bD ．Q b【答案】B【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.【详解】因为点Q (元素)在直线b (集合)上,所以Q b .又因为直线b (集合)在平面 (集合)内,所以b .所以Q b .故选：B2．两个平面能把空间分成几个部分（）A ．2或3B ．3或4C ．3D ．2或4【答案】B【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案.【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.故选:B【点睛】关键点点睛：本题的关键是要考虑到两个平面的位置关系.3．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点G 为正方形ABCD 的中心，点E 为11A D 的中点，点F 为AE 的中点，则（）A ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 平行B ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 相交C ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 平行D ．C 、E 、F 、G 四点不共面【答案】C【分析】连接AC 、CE 、FG ，分析可知G 为AC 的中点，判断出CG 与EF 相交，结合中位线的性质可得出结论.【详解】连接AC ，因为G 为正方形ABCD 的中心，则G 为AC 的中点，因为AC AE A ，F 为AE 的中点，故C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 相交，连接CE 、FG ，因为F 、G 分别为AE 、AC 的中点，则//CE FG ，故选：C.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D 【分析】分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F HE ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N 平面HPMF ，P 平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//AC AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP 平面HPMF ，H 平面HPMF ，所以NH 平面HPMF ，得N 平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH 平面HPMF ，P 平面HPMF ，所以PE 平面HPMF ，得E 平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面，故选：D.5．已知正方体ABCD A B C D体所得的多边形的周长为（）D．A．B．C．所以六边形MNPGFE即为面MNP截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱AA 、AB、BC的中点，易知：所以截面为正六边形，故周长为62.故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D 中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N .如图，若以A ，M ，N 所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【答案】B 【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.【详解】如图，延长11,AM A B 相交于点P ，连接PN 并延长，与11B C 相交于点E ，与11A D 的延长线相交于点Q ，连接AQ ，与1DD 相交于点F ，连接,NF ME ，则五边形AMENF 即为截面.故选：B.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.二、多选题7．下列是基本事实的是（）A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面B ．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面C ．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面D ．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内【答案】ABCD【分析】利用平面的基本性质判断.【详解】A.经过两条相交直线，有且只有一个平面，是性质的推论，故正确；B.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面是性质本身，故正确；C.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面是性质的推论，故正确；D.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内是性质本身，故正确.故选：ABCD8．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是棱BC 的中点， 101CN CC ，过点B 作平面 与平面AMN 平行，则（）A ．当12时， 截正三棱柱111ABC A B C -B ．当1 时， 截正三棱柱111ABC A B C -的截面面积为152C ． 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为三角形，则 的取值范围为10,2D ．若1,12 ，则 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为四边形所以115,22,BD DC BC B ：1 时，过B 作与面AMN 所以1122,3,BA EA BE C ：由B 知：1 时，平面 与D ：若G 为1CC 中点，当N 在GC 利用平面的基本性质画出平面结合上述分析：1G C 过程中，截面为四边形，正确；故选：ABD三、填空题9．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；【答案】6【分析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，结合正方体，即可得出答案.【详解】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.故答案为：6.10．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分．【答案】248【分析】由平面的性质可借助图形说明．【详解】因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分；两个平面平行时，可把空间分成3部分，两个平面相交时，可把空间分成4部分，；综上可知，两个平面最多可把空间分成4部分.三个平面互相平行时，可把空间分成4部分；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；综上可知，三个平面最多可把空间分成8部分.故答案为：①2；②4；③8.11．已知四棱锥P ABCD 的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点作平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是______（写出所有正确结论的序号）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.PA PC ∵，则PO AC ，同理可得故22OA PA PO PB 因为平面四边形ABCD 的四条边相等，故四边形点E 、F 、G 为BP 、AB 对于②：如图所示：分别取PB 、PC 、AB 的中点所以：构成的平面EFG 交CD 因为四边形ABCD 为菱形，则又因为E 、H 分别为AB 、故四边形BCHE 为平行四边形，则所以，//FG EH 且FG EH 对于③，如上图，分别取PA 由已知条件可知KF FG 因为AB AD ，则KF MK 对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故故答案为：①②③.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．当12t 时，1S M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)A ，B ；(2)l ，m A ∩，A l ；(3)P l ，P ，Q l ，Q ．【答案】(1)详情见解析(2)详情见解析(3)详情见解析【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.（1）解：点A 在平面 上，点B 不在平面 上，如下图所示：（2）解：直线l 在平面 上，直线m 与平面 相交于点A ，且点A 不在直线l 上，如下图所示：．（3）解：直线l 经过平面 外一点P 和平面 上一点Q ，如下图所示：题组C 培优拔尖练1．如图，已知ABC 的三个顶点都不在平面 内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面 于点,,P Q R ,求证：,,P Q R 三点在同一条直线上．【答案】证明见解析【分析】根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，结合平面的性质，即可求解.【详解】证明：由已知AB 的延长线交平面 于点P ，根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，因为P 直线AB ，所以P 平面ABC ，又因为AB P ，所以P 平面 ，所以P 是平面ABC 与平面 的公共点．因为平面ABC l ，所以P l ．同理可得：Q l 且R l ．所以,,P Q R 三点在同一条直线上．2．已知空间四边形ABCD 中，,E H 分别是,AB AD 的中点，,F G 分别是,BC CD 上的点，且23CF CG CB CD .求证：（1）,,,E F G H 四点共面；（2）三条直线,,EF GH AC 交于一点.3．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ，11AA ，AB ，2AC ，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点，G 为线段1AA 的中点（1）试在图中画出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.取AB 中点M ，连接MF 、MG 则////GE AC ME ，即M F G 、、、则梯形EFMG 为所求截面的多边形则12,12EG AC MF AC ，2223122MG AM AG222234BC AB AC 22221722EF CE CF 所以该多边形EFMG 的周长为1（2）连接AF ，GF ，4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112B P PA ，112C Q QA ．求证：直线1AA ，BP ，CQ 相交于一点．5．如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为4cm ，M N ，分别是11A B 和1CC 的中点．(1)画出过点D M N 、、的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的两条交线；(2)设过D M N 、、的平面与11B C 交于点P ，求PM +PN 的值．如图示：平面DRMPN 与平面11BB C C 的交线为PN ，平面（2）由N 为1CC 的中点，易得1 △DCN N EC △，所以DC 因为11C MB P P E △∽△，所以11112142MB B P EC C P ，得1C P 所以12C N ，128433C P，114433 B P ，所以6410493 PN ，16213493PM ．所以102133PM PN．。

第２章平面解析几何初步值为１，求这两条直线的方程．思路探究:考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.[解](1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=－１,x=0，它们在x轴上截距之差的绝对值为１,满足题意；（2)当直线的斜率存在时,设其斜率为ｋ,则两条直线的方程分别为y＝k（ｘ＋1），y＝kｘ+2.令y=0,分别得ｘ＝-1，x=-＼f(2,k).由题意得错误!＝1,即k＝１.则直线的方程为y=x+1，y=x＋2,即x－y＋1=0，x-y＋２=0。

ﻬ综上可知,所求的直线方程为x＝-１,x＝０,或ｘ-ｙ+1＝0，x-ｙ＋2＝0。

1．直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣,在使用时要根据题目条件灵活选择,尤其在选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系,其判定如下:1．求经过两直线2x－3ｙ－3=0和ｘ+y＋2=0的交点且与直线３x-y－1=0平行的直线l的方程.[解]法一:由方程组错误!得错误!未定义书签。

∵直线l和直线３x－y-１=0平行，∴直线l的斜率k=３，∴根据点斜式有y-错误!=３错误!未定义书签。

.即所求直线方程为15ｘ-5y+2=0。

法二：∵直线l过两直线2ｘ－3y-3＝０和x+y＋2＝0的交点,∴可设直线l的方程为:2x－３y－3＋λ（x＋ｙ+2)=0，即（λ＋2）x＋（λ－3)y＋２λ－３=0．∵直线l与直线3x－y-1=０平行，∴错误!未定义书签。

=错误!≠错误!未定义书签。

,解得λ=错误!.从而所求直线方程为15ｘ－５y＋2＝0.ﻬ1２２+(y-5）2=4。

(1)若直线l过点Ａ（4,0）,且被圆Ｃ1截得的弦长为2错误!未定义书签。

，求直线l的方程;(2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C１和圆C2相交,且直线l1被圆C１截得的弦长与直线ｌ２被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标．思路探究：(１)设出方程,求出弦心距,由点到直线的距离公式求k。

几何杂题及其常用解法(下)
过伯祥
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1991(000)005
【摘要】(本讲适合高中) 五、用枚举法解图形结构问题几何杂题中用的枚举法,以点集凸包状况之不同分类讨论为最多. 例5.设A,B为平面上的两个无公共元素的有限点集,且AUB中任意三个相异的
【总页数】2页(P37-38)
【作者】过伯祥
【作者单位】浙江舟山师专
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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奥博平面几何的独特视角与解题技巧的辅导
过伯祥;谢建伟
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】平面几何是训练逻辑思维的极好素材．一些科学家在回忆青少年时期的学习生涯时，总是记挂着平面几何训练为他们以后的个人发展所奠定的良好基础．【总页数】6页(P23-28)
【作者】过伯祥;谢建伟
【作者单位】浙江海洋学院,316000;浙江舟山中学,316000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
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