叶仲豪平面几何讲义

高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极, 调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1. 四边形ABCD中, AB=BC, DE⊥AB, CD⊥BC, EF⊥BC, 且。

求证:2EF=DE+DC。

（10081902.gsp）2. 已知相交两圆O和O'交于A.B两点, 且O'恰在圆O上, P为圆O的AO'B弧段上任意一点。

∠APB的平分线交圆O'于Q点。

求证: PQ2=PA×PB。

（10092401-1.gsp）3. 设三角形ABC的Fermat点为R, 连结AR, BR, CR, 三角形ABR, BCR, ACR的九点圆心分别为D, E, F, 则三角形DEF为正三角形。

（10082602.gsp）4. 在△ABC中, 已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D.E, 点A关于D.E的对称点分别为F、G, △ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。

求证: AP//BC。

（10092102.gsp）5. 圆O1和圆O2相交于A.B两点, P是直线AB上一点, 过P作两圆作切线, 分别切圆O1和圆O2于点C.D, 又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E, F。

求证: AB.CE、DF共点。

（10092201.gsp）6. 四边形ABCD中, M是AB边中点, 且MC=MD, 过C.D分别作BC.AD的垂线, 两条垂线交于P点, 再作PQ⊥AB于Q。

求证: ∠PQC=∠PQD。

（10081601-26.gsp）7. 已知RT△ABD∽RT△ADC, M是BC中点, AD与BC交于E, 自C作AM垂线交AD于F。

求证: DE=EF。

（10083001.gsp）8. 在△ABC中, AB=AC, D为BC边的中点, E是△ABC外一点, 满足CE⊥AB,BE=BD。

1、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。

求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。

2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。

（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。

取△DEF的内心I。

易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。

得∠PA1I ＝90°。

同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。

故A1、B1、C1、P、I五点共圆。

证毕评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。

设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。

”取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。

3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。

这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。

（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。

垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly 等人广泛研究。

平面几何入门（13）叶中豪（老封）知识要点中线——联结三角形的顶点和对边中点的线段，称为这个三角形的“中线”。

重心——三角形的三条中线一定交于一点，称为这个三角形的“重心”。

三角形的重心把每条中线分成2∶1的两份。

倍长中线法——将三角形的中线延长到原来的2倍，是常用的添辅助线方法。

轨迹——适合指定条件的点的全体。

基本轨迹（1）和已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。

（2）和已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

（引申：和两条相交直线距离相等的点的轨迹，是这两条直线交角的两条平分线。

）（3）到已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线并且和这条直线的距离等于定长的两条直线。

（4）和两条平行线距离相等的点的轨迹，是和两条平行线距离相等的一条平行线。

（5）和一个已知点距离等于定长的点的轨迹，是以已知点为圆心、定长为半径的圆。

交轨法——利用轨迹来确定求作图形中的点的位置的作图法称为“交轨法”。

数学鉴赏A1． 已知△ABC 的AB 、AC 边以及中线ABC 。

2． 已知AM 是△ABC 的中线。

求证：AB ＋AC ＞2AM 。

B3．已知：在△ABC的AB、AC两边外作正方形ABPE、ACQF。

AD是BC边上的中线。

求证：AD＝12 EF。

4．已知三角形的底边c，一个底角α，以及底角所对边上的中线与底边之间的夹角θ，求作这三角形。

5．已知三角形的三中线长为m a，m b，m c，求作这三角形。

6．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点A固定，顶点B在一条定直线l上移动。

求第三顶点C的轨迹。

7．正△ABC的一顶点固定，第二顶点在一条定直线l上移动，求第三顶点的轨迹。

8．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点A固定，顶点B在一个定圆O上移动。

求第三顶点C的轨迹。

9．已知三角形的一边a，这边上的高h a和另一边上的中线m b，求作这三角形。

10．已知直角三角形的斜c边和一直角边上的中线m a，求作这直角三角形。

几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。

1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。

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平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。

在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。

G是△ABC的重心。

求证：△GEF∽△OPQ。

PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。

结果发觉其难度并不大。

当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。

求证：DI垂直于EF。

”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。

结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。

而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。

II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。

I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。

平面几何入门（1）(上海叶中豪)知识要点一、相关概念基本概念：点，直线（线段、射线、直线）点：两点间的距离直线：垂线（垂足），对顶角，平行线（同位角，内错角，同旁内角）线段：中点，垂直平分线（中垂线），垂线段，斜线段，射影角：顶点，边，邻角，余角，补角，邻补角，锐角，直角，钝角，平角，周角，角平分线三角形：边，角，面积，周长，中线，高，角平分线四边形：正方形，长方形（矩形），平行四边形，菱形，梯形等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形推理：定义，命题（真命题，假命题），公理，定理，逆命题（逆定理），证明，直接证法，间接证法（反证法，同一法）其它：辅助线，尺规作图，轨迹二、基本性质1 公理过两点有且只有一条直线2 公理两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 对顶角相等6 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直7 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行10 两直线平行，同位角相等11 两直线平行，内错角相等12 两直线平行，同旁内角互补13平行线间的距离处处相等14 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补15 一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角相等或互补16 同位角相等，两直线平行17 内错角相等，两直线平行18 同旁内角互补，两直线平行19 定理三角形两边的和大于第三边20 推论三角形两边的差小于第三边21 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°22 推论1 直角三角形的两个锐角互余23 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和24 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角25 等腰三角形的底角相等；底角相等的一定是等腰三角形26 等边三角形的的三个内角都等于60°三、全等三角形两个全等三角形的对应边、对应角相等；对应边上的中线、高线相等；对应角的角平分线相等。

高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。

目录第一章平面几何证题方法通论1.1 概念和命题……………………………………………………………………….1.2 逻辑推理概要……………………………………………………………………1.3 几何命题的证明与三段论……………………………………………………….1.4 间接证法………………………………………………………………………….1.5 综合法和分析法…………………………………………………………………. 第二章几何证题方法分论…………………………………………………………..2.1 证线段或角相等………………………………………………………………….2.1 证线段或角的和差倍分………………………………………………………….2.3 证线段或角的不等……………………………………………………………….2.4 证直线的垂直或平行…………………………………………………………….2.5 证几何定值问题………………………………………………………………….2.6 证线段成比例或等积式………………………………………………………….2.7 几何证题的其它方法……………………………………………………………..第一章 平面几何证题方法通论平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法.1.1 概念和命题数学总是运用一些抽象的概念，从已知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系.概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础.1.1.1 数学概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式，一般有两种方式：（1）直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来.如自然数的概念，源于对事物的数数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是下定义的，只能通过具体事例来描述它.（2）在已有概念的基础上，经过多次层次的抽象、概括而形成新的概念，在数学上称为概念的定义.数学中大量的概念都是要定义的. 定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明确概念的逻辑方法. 例如，平行四边形的定义：“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行四边形.”这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念.1.1.2 数学命题对于某种事物（现象）及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断.例如：（1）两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形；（2）经过两点可以作且只能作一条直线；（3）对顶角相等；（4）三角形的内角和等于0180；（5）a b b a +=+等等都是判断.判断的表述要依附语句.在数学中，表判断的语句称为命题.从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则（公式）等几种类型.定义——说明名词或术语意义的命题.公理——在数学中不经过证明直接运用的命题. 它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题.在平面几何中，常用的公理有：（1）经过两点有且只有一条直线.（2）连接两点的所有直线中，线段最短.（3）过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行.（4）矩形的面积等于它的长和宽的乘积.（5）等量公理（如等量加等量其和相等）.定理——由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论.例如，“两直线相交只有一个交点.”可以从公理（1）经过逻辑推理而证明；“三角形的内角和等于0180”，它由“平角等于0180”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明.由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论；仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，叫作引理.1.1.3 命题的结构数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如（1）2是无理数；（2）直线a 平行于直线b ；（3）A B ??.复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题.例1.1.1 （1）如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；（2）若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补.在例1.1.1中，（1）由三个判断组成，（2）由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题.一个命题包含两部分：条件和结论（或者假设和终结；题设和题断；已知和求证）.条件以“如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、“则”、“求证”等词开头.图1.1.2图1.1.1E D A C B D A C B 命题的一般形式表述为“若A ,则B .”其中A 为条件，B 为结论. 有些命题的条件和结论表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了.例1.1.2 改写下列命题的条件和结论：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.解：如图1.1.1，已知D 为ABC D 边BC 上的一点，090,,ABD DC ?= 则12AD BC =.（2）如图1.1.2已知ABC D 中，,,AD DE AE EC ==则//DE BC ,且12DE BC =. 1.1.4 命题的四种形式一般地，命题有四种形式：（1）原命题：若A ,则B .（2）逆命题：若B ，则A .（3）否命题：若A ,则B （A 表示非A ）.(4) 逆否命题：若B ，则A .这四个命题的相互关系可用下图表示：互逆 互 互 为 互否 逆 否否图1.1.3 原命题若A,则B 逆命题 若B,则A 否命题若A,则B 逆否命题 若B,则A例1.1.3 写出下列命题的四种形式，并判断真假.（1）原命题：若两角对顶，则两角相等.（真）（2）原命题：三角形中，若两边相等，则对角相等.（真）解：（1）逆命题：若两角相等，则两角是对顶角.（假）否命题：若两角不是对顶角，则两角不相等.（假）逆否命题：若两角不相等，则两角不是对顶角（真）（2）逆命题：三角形中，若对角相等，则对边相等.（真）否命题：三角形中，若两边不相等，则对角不相等.（真）逆否命题：三角形中，若对角不相等，则对边不等.（真）可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假.同真同假的两个命题称为等效命题 原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题.若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理. 所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理.1.1.5 逆命题的构造方法原命题“若A ,则B ”逆命题“若B ，则A ”.当条件A 和结论B 都只包含一个事项时，以B 为条件，A 为结论，则为逆命题.当条件A 和结论B 所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题.例1.1.4 原命题：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.条件：ABC D 中，AD DB AE EC 禳=镲镲Þ睚镲=镲铪结论：1//,2DE BC DE BC =. 构造逆命题时，将结论“//DE BC ”交换条件“AE EC =”.条件：ABC D 中，,//AD DB DE BC =,结论：则AE EC =，且12DE BC =. 逆命题：过三角形一边AB 的中点D 而平行于BC 的直线必过AC 的中点E ，且12DE BC =. 1.1.6 充分条件和必要条件如果命题“若A ,则B ”是真命题，是指从条件A 出发，经过逻辑推理，可以得到结论B ，即如果A 成立，B 一定成立（A 蕴含B ）.记为A B Þ.则称A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件.如，“若2x >，则2x >4”是一个真命题，那么2x >是2x >4的充分条件，2x >4是2x >的必要条件.如果原命题“若A ,则B ”真，逆命题“若B ，则A ”也真， 即既有A B Þ，又有B A Þ,记作A B Û. 则称A 是B 的充分必要条件，简称充要条件.表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件. 例如，平行四边形的定义：“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等.”例1.1.5 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：（1）p ：()()230,:30x x q x --=-=；（2）2:4,:16;p x q x ==（3）p ：同位角相等，q ：两直线平行；（4）p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形.解：（1）p 是q 的必要条件而不是充分条件.因为()()30230x x x -=?-=，而()30x -=?30x -=.（2）p 是q 的充分条件而不是必要条件. 因为2416x x=?，而216x =?4x =.（3）p 是q 的充要条件.因为同位角相等Û两直线平行.（4）p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 因为四边形的两条对角线相等Þ四边形是平行四边形，四边形是平行四边形Þ四边形的两条对角线相等.习题1.11.什么叫做命题？一个命题的内容包括哪两部分？2.改造下列定理的字句，配以图形和字母说明.（1）三角形的内角和等于0180；（2）一个三角形中，较大的边所对的角也大；（3）等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线；（4）在圆中，垂直于弦的半径必平分线所对的弧.3.命题有哪几种形式？怎样由原命题得出它的其他形式？它们相互关系怎样？4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假：（1）垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）等腰三角形两底角相等；（4）直角三角形的两个锐角互余；（5）在一圆中，两条平行弦所夹的弧相等；（6）若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直.5.就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假.（1）若两个三角形由两边对应相等，则夹角大的，它所对的边也大.（2）从圆外一点引圆的两条切线长相等. （3）()()()()1324AB AC AD BC ABC AD A AD BC =^D ?Ð禳镲?镲?睚?镲?镲?铪中平分平分. 6. 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：(1) :,:;P A B q ac bc == （2）:5P a +是无理数，:q a 是无理数.（3）:p 两个三角形全等，:q 两个三角形相似. （4）22:,:p a b q a b >>.（5）:12,:11p x x q x x ==-=-或. （6）:,p a b 是整数，:q 20x ax b ++=有且仅有整数解.1.2 逻辑推理概要推理是又一种重要的思维形式，它是通过判断与判断词之间的有机联系，从已知前提推断新的结论的思维形式.逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，就是进行推理时要合乎推理的逻辑形式，要遵守逻辑思维的规律.合乎逻辑的推理，称为逻辑推理.1.2.1逻辑思维的基本规律1.同一律同一律的内容是：在同一时间内，从同一方面思考或议论同一事物的过程中，必须保持同一的认识.即同一事物过程中，所用的概念、判断必须确定，必须保持前后一致.具体地说，一是思维对象保持同一，不能中途变更；二是概念保持同一，要用同一概念表示同一思维对象，既不能用不同概念表示同一事物，也不能把不同事物混起来用同一概念表示，否则，推理所得的结论不真.例如：如下推理：物质是不灭的，（大前提）桌子是物质，（小前提）所以，桌子是不灭的.（结论）其结论是错误的.因为大前提中的“物质”是抽象的、哲学意义上的概念，“不灭”是指转化为其它物质；而小前提中的“物质”是具体的器物，与大前提中“物质”不是同一概念.结论中“桌子是不灭的”，桌子打碎了或烧掉了，转化为其它物质，就不是桌子了.2.矛盾律矛盾律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象不能既肯定它是什么，又不能否定它是什么.即在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假.矛盾律是同一律的引伸，它是用否定的形式表达同一律的内容.3.排中律排中律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象，必须作出明确的肯定或否定，不能模棱两可.排中律要求人们的思维有明确性，它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指出正确的思维不仅要求明确、不互相矛盾，要鲜明地表明肯定或否定.排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律.它们的区别在于：矛盾律指出两个矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指出了两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真.4.理由充足律理由充足律的内容是：在思维过程中使用的判断必须是已经证实其真确性的判断，思维推断要“有理有据”，指明“因为有A,使用有B”.1.2.2推理的种类常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等1.类比推理类比推理又称类比法，是一种从特殊到特殊的推理.它是根据两个或两类有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理.例如。

高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。

平面几何入门（6）叶中豪（老封）证题术如何证明线段的和差关系——欲证两条线段的和（或差）等于另一线段，可先作一线段等于这两段的和（或差），然后证明它与另一线段相等（补短法）；也可在另一线段上截取一段等于两线段之一，然后证明剩下线段等于另外一段（截长法）。

例题和习题1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝40°，延长BC至D，使AB＝CD，求∠D的度数。

2．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠B的平分线。

求证：BC＝AB＋AD。

3．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋AD。

°。

求证：∠A＝904．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋CD。

求：∠A。

5．如图，已知AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBC＝∠EBA。

求证：AB＝AD＋BC。

6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，分别过B、C作AD的垂线，垂足为E、F。

求证：EF＝CF－BE。

E7．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A的平分线交CD于E，且E是CD中点。

求证：AB＝AD＋BC。

8．已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠A的平分线。

求证：AB＋BD＝AC。

9．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分线。

求证：BC＝AD＋BD。

10．在△ABC中，∠A＝60°，∠B的平分线交AC于E，∠C的平分线交AB于F。

求证：BC＝BF＋CE。

思考题1．已知：在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，∠ABD＝60°，∠ADB＝90°－1∠BDC。

求证：AB＝BD＋DC。

22．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AP、BQ、CR是三条内角平分线。

求证：AB＋AQ＋CP＝AC＋AR＋BP。

平面几何入门（15）叶中豪（老封）知识要点梯．形的中位线．．．．．——联结梯形两腰中点的线段。

梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。

平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条 直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线 段也相等。

推论 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰。

例题和习题1．求证：联结梯形两对角线中点的线段平行且等于两底差的一半。

2．在四边形ABCD 中，CD ＞AB ，E 、F 为AC 、BD 的中点。

求证：EF ≥12（CD －AB ）。

3．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥DC 交BC 于F ，FG ∥ED 交CD 于G 。

求证：G 为CD 的中点。

B4．正方形ABCD中，F是AD的中点，作BE⊥CF于E，联结AE。

求证：AE＝AB。

5．在△ABC中，AB＝3AC，AM是角平分线，BD⊥AM于D。

求证：AM＝DM。

6．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝CD，E是AB的中点。

求证：EC平分∠BCD，ED平分∠ADC。

7．已知EF是平行四边形ABCD外的一条直线，自A、B、C、D作EF的垂线AA′、BB′、CC′、DD′。

求证：AA′＋CC′＝BB′＋DD′。

8．已知：△ABC中，AB＞AC，D是BC边的中点，E在AB上，且AE＝12（AB+AC），I是△ABC的内心。

求证：∠BED＝∠BIC。

B9．在△ABC中（AB＞AC），M是BC中点，AD是∠A平分线，作BE⊥AD于E，作CF⊥AD于F，联ME、MF。

求证：ME＝MF。

B10．AL是经过△ABC顶点A的任意直线，作BE⊥AL于E，作CF⊥AL于F，D是BC中点。

求证：DE＝DF。

T思考题1．已知BE、CD是△ABC的角平分线，P是DE的中点，PQ⊥BC，PM⊥AB，PN⊥AC，Q、M、N为它们的垂足。

求证：PQ＝PM＋PN。

2．已知D、E分别是等腰直角三角形ABC两腰AB、AC上的点，且AD＝AE，联结BD，自A、E作BD的垂线，分别交BC于F、G。

平面几何入门（5）叶中豪（老封）知识要点三角形全等的判定边角边公理（SAS）——有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角边角公理（ASA）——有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

推论角角边定理（AAS）——有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

边边边公理（SSS）——有三边对应相等的两个三角形全等。

三角形全等的论证模式在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'，（……）∠A=∠A'，（……）AC=A'C'，（……）∴△ABC≌△A'B'C'.（SAS）得BC=B'C'，∠B=∠B'，……例题和习题1．在△ABC两边AB、AC外作正三角形ABE、ACF，联结BF、CE交于D点。

问：∠BDC的大小是多少？2．如图，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2。

求证：AD＝AE。

B3．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选出3个作为题设，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明：① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。

4．已知：C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝DE。

求证：AC＝CD。

B5．如图，AB ＝BD ，AC ＝DC ，P 为BC 上一点。

求证：PA ＝PD 。

B6．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点， 且BD ＝CE ，CD ＝BF 。

求证：△DEF 为等腰三角形。

B7．已知：AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，∠A＝∠D。

求证：∠ABC＝∠DEF。

A证明一：证明二：8．已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，且BP＝AC；点Q在CE的延长线上，且CQ＝AB。

求证：AP＝AQ且AP⊥AQ。

高中平面几何(上海叶中豪)焦点话题1.三角形中的巧合点2.Simson线及垂足三角形3.圆幂与根轴例题和习题1．已知ABCD是圆内接四边形，I A、I B、I C、I D分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC 的内心。

求证：I A I B I C I D是矩形。

（Fuhrmann定理）2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC 于D，AH延长交外接圆于G点。

求证：DF⊥FG。

3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。

求证：ID∥AC。

4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。

求证：AB＋CD＝BC。

5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC，O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。

求证：OI⊥BC。

6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。

求证：SI＝IT。

7. 已知：△ABC ≌△ADE，延长底边BC，ED交于P点，O是△PCD的外心。

求证：AO⊥BE。

B8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。

求证：A、O、O1、O2四点共圆。

（Salmon定理）B9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。

求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。

10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。

求证：△O1O2O3∽△ABC。

11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。

求证：AO平分O1O2。

平面几何入门（16）叶中豪（老封）例题和习题1.在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD中点，直线MN交AB于P、交AC于Q。

求证：AP＝AQ。

B2.已知△ABC中，AB＝AC，在AB上取BD，在AC的延长线上取CE，使BD＝CE。

求证：BC平分线段DE。

3. 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过点M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F。

求证：BE＝CF＝12（AB+AC）。

B4. 已知：△ABC中，AB＝AC，E、F分别在BA和AC延长线上，且BE＝CF，联结EF。

求证：BC延长线平分线段EF。

B5. 在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E。

求证：BE＝12 BD。

6. 如图，D、E为△ABC的边AB、AC的中点，AB＞AC，在DB上截取DF＝AE，自F作∠A平分线的垂线，垂足为H，FH交BC于M。

求证：BM＝MC。

7. 在△ABC两侧，分别作正方形ABSP和ACTQ，设E、F分别这两个正方形的中心，D是BC边中点。

求证：△DEF是等腰直角三角形。

8. 如图，五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，F是CD的中点。

求证：FB＝FE。

9. 设P为△ABC内一点，∠PAC＝∠PBC。

由P作BC、AC的垂线，垂足分别是L、M，设D为AB中点。

求证：DM＝DL。

B10. 已知：△ABC中，M是BC中点，E、F分别是BA、CA延长线上的点，满足ME ＝MF，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，设这两条垂线相交于D点。

求证：∠DBE＝∠DCF。

E11. 在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点。

求证：∠DEF＝∠HFE。

B12. △ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点。

求证：AB＝2 DM。

高中平面几何(叶中豪)知识要点：（一）四点共圆及其应用（二）垂足三角形与等角共轭例题和习题：1．已知：自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。

求证：CE＝EF。

2．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与圆O相切于C、D，DE⊥AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。

求证：DF＝FG。

3．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。

过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。

求证：D为BF中点。

B4．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC的外接圆交于D。

过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。

求证：EF∥PI。

5．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。

求证：∠MPQ＝2∠NMQ。

（98年伊朗竞赛）6．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。

求证：DE ＝EF。

7．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于点D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。

求证：AP∥BC。

8．△ABC中，E、F是AC、AB边上任意两点，圆ABE和圆ACF交于D点，M、N分别是BC、EF中点，MN延长交AB于L。

求证：∠BLM＝∠CAD。

9．已知P、Q是等腰△ABC（AB＝AC）内两点，满足∠ABP＝∠QCB，∠ACP＝∠QBC。

求证：A、P、Q三点共线。

10．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高，BB'⊥EF于B'，CC'⊥EF于C'。

求证：B'C'＝DE＋DF。

11．一点P在△ABC三边BC、CA、AB上射影分别为S1、S2、S3，在三条高AD、BE、CF上射影分别为T1、T2、T3。