2020年上海新高一新教材数学讲义-专题11 幂函数(教师版)

专题11 幂函数（幂函数的定义与图像，幂函数的性质）知识梳理一、幂函数 1、幂的有关概念：正整数指数幂：*)n n a a a an N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1(0,)p p a a p N a-=≠∈ 分数指数幂：m *n(0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11(0,,,1)m nm nmnaa m n N n a a-==>∈>2、幂函数的定义：形如ky x =的函数叫幂函数。

注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。

3、幂函数的图象.根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质.4、幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）•k>0时：（图A ）（1）图象都通过（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。

•k<0时；（图B ）（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。

•设幂函数k y x =的指数qk p=，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到热身练习1、下列命题中正确的是（）A 当m=0时，函数m y x =的图像是一条直线B 幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点C 幂函数m y x =图像不可能在第四象限内D 若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数2、幂函数①,②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个区域：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，那么幂函数的图象在第一象限中经过的区域是（ ）A ．Ⅳ，Ⅶ ；B ． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D ． Ⅲ，Ⅶ3、设，则使函数的定义域为R 且为奇函数的所有的值为4、求函数的定义域、值域，并判断其单调性例题解析考点一、幂函数的概念1y x -=y x =1y =1x =32y x -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1ααx y =α)(12N m x y m m ∈=++ⅤⅡⅢⅧⅥ ⅦO ⅣⅠxy1y =1x =y x=1y x -=【例1】下列函数中，是幂函数的是（）A ．31-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y B ．22-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y C ．32-=x y D ．()32--=x y【例2】函数y x=-32的定义域是_____.【例3】函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值【例4】函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是【巩固训练】1．如果幂函数)(x f y =的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）.A. 16B. 2C.116 D. 122．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x=3．求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.4．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）． A ．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B ．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数 C ．图像不经过点)1,1(-的幂函数，一定不是偶函数D ．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同考点二、幂函数的奇偶性【例5】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【例6】已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．【例7】xx xx x x x f ++++=22322)(的最大值为M ,最小值为m ，则m M +=【巩固训练】1．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.2．已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象考点三、幂函数的图像和单调性【例8】比较下列各组数的大小： （1）131.5，131.7，1；（2）(37，()37，()37；（3）232-⎛- ⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--【例9】幂函数y=221m m x--在第二象限内为x 的减函数，求m 的最大负整数值【例10】已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线【例11】若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．【例12】已知函数1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围()()2223mm f x m m x--=+m ()f x【例13】⎩⎨⎧<≥=0,00,)(3x x x x f ，不等式)2()1(2x f x f >-的解集【例14】已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2()2f x x x =+ (x ≥0)，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________．【例15】（1）)(x f 的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到12)(-=x x x g 的图像，则)(x f = （2）)0(,)(>>++=b a bx ax x f 的单调区间 ，对称中心 ，若)(x f 是由某个幂函数平移得到，则b a ,满足的条件【例16】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1y x -=--；（2）222221x x y x x ++=++．【例17】（1）)0(,2>=-x a xx有两个不同的解，则a 的取值范围 （2）)0(,)(>>++=b a bx a x x f 的单调区间（3）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是【巩固训练】1．下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）A. 3x y =B. 2x y =C. x1y = D. 23x y =2．比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与4．若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．5、函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称6、函数43y x=的图象是（）7、设3)(x x x f +=，若0,0,0>+>+>+c a c b b a ，则)c (f )()(++b f a f 与0的大小关系8、⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(,1)1(,11)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则=++232221x x x考点四、幂函数综合运用(性质运用、与方程、不等式的联系）【例18】已知函数)()(22N k x x f k k∈=++-满足)3()2(f f <，（1）求k 的值并求出相应的)(x f 的解析式；（2）对于（1）中得到的函数)(x f ，试判断是否存在正实数q ，使函数x q x qf x g )12()(1)(-+-=在区间[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-817,4？若存在，求出q ；若不存在，说明理由。

高一同步 数学幂函数讲义编号：幂函数一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中 是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 (0,0) ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 增 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 减 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．例1：（★☆☆☆☆）写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+（5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+- 解：（1）定义域是R,为奇函数（2）定义域是[0，+∞）,为非奇非偶函数（3）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （4）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （5）定义域是（0，+∞）,为非奇非偶函数 （6）定义域是{0}，既是奇函数又是偶函数分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；1.幂函数的性质： （1）都过点 原点 ；（2）任何幂函数都不过 第四象限； （3）当0α>时，幂函数的图象过（1,1）． 2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到 上 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 原点 对称． 例2（★☆☆☆☆）：已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1例3：（★★☆☆☆）下图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：法一：由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (c 1)>n (c 2)>n (c 3)>n (c 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.法二：作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22,212，2－12，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.答案：2，12，－12，－2例4：（★★☆☆☆）已知12(21)2(),()a a f x xg x x--==，且11()()22f g >，则实数a 的取值范围是解：根据性质可知12122a a -<-，解得23a <-，答案是：2(,)3-∞-1.幂函数与图像平移函数()a y x m =+的图象可由幂函数ay x =的图象平移得到。

专题04幂函数、指数函数与对数函数（17个考点）【知识梳理+解题方法】一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．二．幂函数的图象【知识点归纳】三．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】1、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．2、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y底数指数幂值＝a x指数底数幂值幂函数：y＝x a3、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y ＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝x﹣1y ＝定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）4、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．六．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y ＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．七．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．八．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a ＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．九．指数函数的实际应用【知识点归纳】指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．十．指数式与对数式的互化【知识点归纳】a b＝N⇔log aN＝b；a log aN＝N；log a a N＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b⇔f（x）＝log a b；log a f（x）＝b⇔f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）⇔f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）⇔log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）十一．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．十二．对数函数的定义【知识点归纳】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即a b＝N，log a N＝b．底数则要大于0且不为1．十三．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十四．对数函数的值域与最值【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十五．对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十六．对数函数的图象与性质【知识点归纳】十七．对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝log a x在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十八．指数函数与对数函数的关系【知识点归纳】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十九．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．【专题过关】一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共2小题）1．（2021秋•长宁区期末）幂函数y＝x﹣2的图像在第一和二象限．【分析】根据y＝x﹣2＝＞0，即可求解结论．【解答】解：∵幂函数y＝x﹣2＝＞0，故幂函数y＝x﹣2的图像在第一和第二象限，故答案为：一和二．【点评】本题考查了幂函数的性质，属于基础题．2．（2021秋•闵行区期末）若幂函数y＝x a的图像经过点，则此幂函数的表达式为y＝x．【分析】将点的坐标代入，解得参数，从而求得其解析式．【解答】解：∵幂函数的图象经过点（3，），∴＝3α，∴α＝∴y＝x，故答案为：y＝x．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式问题，其实质是点在曲线上，则点的坐标适合曲线的方程，应用的是方程思想．二．幂函数的图象（共2小题）3．（2022秋•黄浦区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取、3、﹣3、这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（）A．3，，﹣，﹣3B．﹣3，﹣，，3C．﹣，3，﹣3，D．3，，﹣3，﹣【分析】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，当x＞1时，图象越靠近x轴的指数越小，因此相应于曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为3，，﹣，﹣3．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．4．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝1．【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】解：BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以MN，分别代入y＝xα，y＝xβ故答案为：1【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．三．幂函数的性质（共4小题）5．（2022秋•浦东新区校级期中）下列函数中，既是幂函数又是（0，+∞）上的严格增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2C．y＝2x D．【分析】利用幂函数的定义判断即可．【解答】解：幂函数的一般结构是：y＝xα．对于A：是一次函数与幂函数的复合函数，A错误；对于B：是幂函数，在（0，+∞）上的严格增函数，B正确；对于C：是指数函数，不是幂函数，C错误；对于D：是反比例函数（幂函数与一次函数的复合函数），D错误．故答案为：B．【点评】本题考查幂函数的定义，属于基础题．6．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1（m∈Z）为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）令，求y＝g（x）在的值域．【分析】（1）由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m值以及函数的解析式．（2）由题意，利用单调性求出函数的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1（m∈Z）为幂函数，且为奇函数，∴m2﹣5m+1＝1，且m+1为奇数，求得m＝0，函数f（x）＝x．（2）令，则y＝g（x）＝x+在上单调递增，当x＝﹣时，y＝﹣；当x＝1时，y＝1+，故函数g（x）＝x+在[﹣，1]上的值域为[﹣，1+]．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用单调性求函数的值域，属于基础题．7．（2021秋•虹口区期末）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝﹣1．【分析】由已知幂函数的性质可知，α为奇数，且α＜0，结合已知集合即可求解．【解答】解：因为α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，由幂函数f（x）＝xα为奇函数，在（0，+∞）上单调递减，所以α为奇数，且α＜0，所以α＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．8．（2021春•徐汇区期末）已知幂函数y＝x﹣1，及直线y＝x、y＝1、x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A．Ⅵ、ⅦB．Ⅳ、ⅧC．Ⅲ、ⅧD．Ⅲ、Ⅶ【分析】若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，从而判断即可．【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0，若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，∴幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，故选：B．【点评】本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共2小题）9．（2020秋•天心区校级期末）下列大小关系，正确的是（）A．0.993.3＜0.994.5B．log20.8＜log3πC．0.535.2＜0.355.2D．1.70.3＜0.93.1【分析】结合函数y＝0.99x，y＝x5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【解答】解：对于A：考察指数函数y＝0.99x，由于0.99＜1，故它在R上是减函数，∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5故A错；对于B：考察对数函数log2x，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数，∴log20.8＜log21＝0，而log3π＞log31＝0，∴log20.8＜log3π故B正确；对于C：考察幂函数y＝x5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数，∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C错；对于D：考考察指数函数y＝1.7x，由于1.7＞1，故它在R上是增函数，∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y＝0.9x，由于0.9＜1，故它在R上是减函数，0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D错；故选：B．【点评】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．10．（2020秋•金山区校级月考）若（m+1）＜（3﹣2m），则实数m的取值范围﹣1．【分析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，∵（m+1）＜（3﹣2m），∴0≤m+1＜3﹣2m，解得：﹣1≤m＜，则实数m的取值范围﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，构造出幂幂函数y＝是关键．五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共3小题）11．（2022秋•宝山区校级期中）下列函数不是指数函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝3﹣x C．y＝4x D．y＝23x【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A不是指数函数．【解答】解：指数函数是形如y＝a x（a＞0且a≠1）的函数，对于A：y＝2x+1＝2×2x，系数不是1，所以不是指数函数；对于B：y＝3﹣x＝（）x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C：y＝4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D：y＝23x＝8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；故选：A．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．12．（2021秋•宝山区校级期中）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为f（x）＝．【分析】利用待定系数法求解．【解答】解：设指数函数的解析式为f（x）＝a x（a＞0且a≠1），∴，解得a＝，∴f（x）＝，故答案为：f（x）＝．【点评】本题主要考查了指数函数的概念，是基础题．13．（2021秋•黄浦区校级期中）函数y＝（2a﹣1）x指数函数，则实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞）．【分析】由题意利用指数函数的定义和性质，求得a的范围．【解答】解：∵函数y＝（2a﹣1）x指数函数，∴2a﹣1＞0，且2a﹣1≠1，求得a＞，且a≠1，则实数a的取值范围（，1）∪（1，+∞），故答案为：（，1）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查指数函数的定义和性质，属于基础题．六．指数函数的图象与性质（共4小题）14．（2022秋•浦东新区校级期中）设实数a＞0，且a≠1，b∈R．函数f（x）＝a x+b（x＞0），若f（x）的图像与x轴没有交点，则（）A．或B．或C．或D．或【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况，分别画出f（x）和y＝a x（x＞0）的图象，根据图象和图象沿y轴平移的变换方法即可得出b的范围．【解答】解：a＞1时，可画出y＝a x（x＞0）和f（x）＝a x+b（x＞0）图象如下所示：∴b≥﹣1；0＜a＜1时，画出y＝a x（x＞0）和f（x）＝a x+b（x＞0）的图象如下所示：∴b≥0或b≤﹣1，∴综上得，或．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象，沿y轴方向的平移变换的方法，考查了数形结合解题的方法，属于基础题．15．（2022秋•徐汇区校级期中）函数f（x）＝a x﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【分析】根据函数图象的变化趋势及特殊点确定答案即可．【解答】解：由图象从左到右下降可知，0＜a＜1；由图象与y轴的交点可知，0＜a﹣b＜1，故b＜0；故0＜a＜1，b＜0；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．16．（2022秋•闵行区校级期中）指数函数y＝a x（a＞0，a≠1）在区间[0，4]上的最大值与最小值之和为17，则a＝2．【分析】根据已知条件，分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，即可求解．【解答】解：当a＞1时，由题意可得，a4+a0＝17，解得a＝2，当0＜a＜1时，由题意可得，a0+a4＝17，解得a＝2，不符合题意，综上所述，a＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．17．（2021秋•徐汇区校级期末）如图所示，设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x+1的图像相交于点A、B，若在函数y＝2x的图像上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标为．【分析】设直线l的方程为y＝a（a＞0），求出A，B两点的坐标，得到|AB|＝1，取AB的中点D，连接CD，根据等边三角形的性质求出点C的坐标，再根据点C在函数y＝2x的图像上，得到关于a的方程，求出a，进而可得点C的坐标．【解答】解：设直线l的方程为y＝a（a＞0），由2x＝a，得x＝log2a，∴A（log2a，a），由2x+1＝a，得x＝log2a﹣1，∴B（log2a﹣1，a），∴|AB|＝1，取AB的中点D，连接CD，如图所示，∵△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，且|CD|＝，∴C（，a﹣），∵点C在函数y＝2x的图像上，∴a﹣＝＝，解得a＝＝＝，∴点C的纵坐标为a﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数函数的图像和性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．七．指数型复合函数的性质及应用（共2小题）18．（2020秋•黄浦区校级期末）函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【分析】直接利用函数的值确定f（a）f（b）＜0，进一步确定函数的零点所在的区间．【解答】解：根据函数f（x）＝x﹣3+e x的解析式，所以f（0）＝0﹣3+1＝﹣2＜0，f（1）＝1﹣3+e＞0，f（3）＝3﹣3+e3＞0，f（4）＝4﹣3+e4＞0，所以f（0）•f（1）＜0，故函数的零点所在的区间为（0，1）．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：函数的零点的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（2021秋•普陀区校级月考）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（）A．若k＝1，则|a﹣1|＜|a﹣2|B．若k＝1，则|a﹣1|＞|a﹣2|C．若k＝2，则|a﹣1|＜|a﹣2|D．若k＝2，则|a﹣1|＞|a﹣2|【分析】分析选项知只需讨论k＝1和k＝2两种情况，①当k＝1时，f（x）在R上单调递减，②当k＝2时，f（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再根据题中条件，确定|a﹣1|与|a﹣2|的大小关系．【解答】解：分析各选项，只需讨论k＝1和k＝2两种情况，①当k＝1时，f（x）＝2a﹣x，在R上单调递减，所以，必有f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），这两个式子对任意的实数a都成立，因此，A选项和B选项都不能成立；②当k＝2时，f（x）＝，f（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，又因为f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），结合函数图象可知，对称轴x＝a＞，因此，|a﹣1|＞|a﹣2|．故选：D．【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质，涉及函数的单调性和图象的对称性，以及函数值大小的比较，属于中档题．八．指数函数的单调性与特殊点（共4小题）20．（2021秋•浦东新区期末）“”是“指数函数y＝a x在R上是严格减函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论．【解答】解：由a＝，可得指数函数y＝a x＝在R上是严格减函数，故充分性成立；由指数函数y＝a x在R上是严格减函数，可得0＜a＜1，不能推出a＝，故必要性不成立，故”是“指数函数y＝a x在R上是严格减函数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．21．（2021秋•金山区期末）若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是（3，4）．【分析】根据指数函数的单调性，利用底数m﹣3满足的条件求解．【解答】解：因为指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，所以0＜m﹣3＜1，解得3＜m＜4．所以实数m的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．22．（2021秋•普陀区校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣3+2的图像恒过定点A，则A的坐标为（3，3）．【分析】令x﹣3＝0，结合a0＝1即可求出结果．【解答】解：函数f（x）＝a x﹣3+2，令x﹣3＝0得x＝3，此时y＝a0+2＝1+2＝3，∴函数f（x）＝a x﹣3+2的图像恒过定点A（3，3），故答案为：（3，3）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点坐标，是基础题．23．（2020秋•浦东新区校级期中）已知常数a＞0且a≠1，若无论a取何值，函数y＝a x﹣b+m（b，m为实数）的图象过定点（1，3），则b+m的值为3．【分析】令x﹣b＝0求出x的值和此时y的值，从而得到函数的图象过定点坐标，再结合条件即可求出b，m的值．【解答】解：令x﹣b＝0得：x＝b，此时y＝a0+m＝1+m，所以函数的图象过定点（b，1+m），所以b＝1，1+m＝3，解得b＝1，m＝2，所以b+m＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了对数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，属于基础题．九．指数函数的实际应用（共1小题）24．（2021秋•黄浦区校级期中）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，解得t*≈66，故选：C．【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题一十．对数函数的定义（共1小题）25．（2022秋•黄浦区校级期中）对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是（1，2）∪（2，5）．【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；故需：⇒⇒x的取值范围是：（1，2）∪（2，5）．故答案为：（1，2）∪（2，5）．【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．一十一．对数函数的定义域（共3小题）26．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A．和y＝lgx B．和C．和y＝lgx D．和【分析】分别求出四个选项中两函数的定义域得答案．【解答】解：A中，的定义域为[0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同；B中，的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同；C中，的定义域为（0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域相同；D中，的定义域为[0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．27．（2020秋•普陀区校级期末）函数f（x）＝+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）＝+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．28．（2021秋•闵行区期末）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．一十二．对数函数的值域与最值（共2小题）29．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝log a x（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为．【分析】由0＜a＜1可得f（x）为减函数，求得最值代入条件可得解．【解答】解：∵0＜a＜1时，∴函数f（x）为减函数，则log a2﹣log a4＝1，即log a＝2，解得，所以实数a的值为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题．30．（2020秋•杨浦区校级期末）函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【分析】直接利用对数的性质和函数的恒成立问题的应用及不等式的性质的应用求出参数的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，所以y＝2x+2﹣x+a﹣1的值域包含（0，+∞）；由于2x+2﹣x≥，当且仅当2x＝2﹣x时，即x＝0时，等号成立；所以2x+2﹣x﹣1≥1；所以a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的知识要点：对数的性质，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．一十三．对数值大小的比较（共2小题）31．（2022秋•杨浦区校级期中）若log a2＜1，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）∪（2，+∞）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，）【分析】对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：当a＞1时，∵log a2＜1＝log a a，∴a＞2，满足条件；当1＞a＞0时，∵log a2＜1＝log a a，∴0＜a＜2，∴0＜a＜1．综上可得：实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了分类讨论、对数函数的单调性，属于基础题．32．（2021秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（）（1）若0＜a＜b＜1，则a a＜b b；（2）若0＜a＜b＜1，则log a b＜log b a；（3）若a＞b＞1，则a b＜b a．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据待比较式的特征构造函数，利用函数的单调性及不等式的性质进行比较．【解答】解：（1）设函数f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增．因为0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b），即alna＝blnb，此时a a＝b b，故（1）错误．（2）因为0＜a＜b＜1，所以log a a＞log a b，log b a＞log b b，所以log a b＜1＜log b a，故（2）正确，（3）举例说明：当a＝3，b＝2时，a b＝32＝9，b a＝23＝8，a b＞b a，故（3）错误，故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，对数函数，指数函数的单调性，属于中档题．一十四．对数函数的图象与性质（共3小题）33．（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）的图像关系可能是（）。

沪教版高一数学上册知识点：幂函数的性质与图像幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

下文是沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。