下载文档原格式
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。
练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。
对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。
对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。
接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。
同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。
根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。
将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。
练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。
对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。
简单复合函数的导数（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4 小题）1f (x)( ) 1．（2012 秋•朝阳区期末）若f (x) ，则函数可以是x2x 1 1 1A．B．C．D．x lnx3x x 3e2x2．（2010 春•朝阳区期末）函数f (x ) 的导函数是 ( )xA．B．f (x ) 2e2xf (x) 2e2x x(2x 1)e2xC．f (x) D．x2 f (x)(x 1)e2xx23．（2009 春•房山区期中）函数y 3sin(2x ) 的导数为 ( )63cos(2 ) A．y 6cos(2x ) B．y x6 63cos(2 ) C．y 6cos(2x ) D．y x6 64．（2008 秋•崇文区期末）设f (x ) sin 2x ，则f (x) 等于 ( )A． cos 2x B． 2cos 2xC．sin 2x D． 2(sin2 x cos2 x)二．填空题（共2 小题）5．（2017 春•西城区校级期中）已知函数( ) 2 1 ，则（2）．f x x f6．（2009 春•西城区校级期中）已知函数，则的导数．f (x) e2xg cos x f (x) f (x)第1页（共4页）简单复合函数的导数（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）1f (x)( ) 1．（2012 秋•朝阳区期末）若f (x) ，则函数可以是x2x 1 1 1A．B．C．x D．lnx3x x 3【分析】把给出的四个选项逐一求导，对比原式给出的条件即可得到答案．x 1 (x 1) x (x 1)x 1【解答】解：( ) ；x x x2 21 1( )x x2；1( x )x3 43；(lnx )1x．1 f (x) f (x) x1 所以满足f (x) 的为．x x2故选：A ．【点评】本题考查了简单的复合函数求导，解答的关键是熟记基本初等函数的求导公式和导数的运算法则，此题是基础题．e2x2．（2010 春•朝阳区期末）函数f (x ) 的导函数是 ( )xA．( ) 2 x B．f x e2f (x) 2e2x x(2x 1)e2xC．f (x) D．x2 f (x)(x1)e2xx2e (2x 1)e【分析】根据复合函数的求导方法，对函数f (x ) 导可得：f (x ) ，比较选项可得答案．x x2x 2x2e2x【解答】解：对于函数f (x) ，x2x 2x 2x 2x2x (e ) g x e g x 2x g e e(2x 1)e对其求导可得：f (x) ；x x x2 2 2故选：C ．【点评】本题考查复合函数的求导运算，熟练运用复合函数的求导法则进行运算是解题的关键．3．（2009 春•房山区期中）函数y 3sin(2x ) 的导数为 ( )63cos(2 )A．y 6cos(2x ) B．y x6 63cos(2 )C．y 6cos(2x ) D．y x6 6第2页（共4页）【分析】由题意利用复合函数的求导法则可得，运算求得结果．y (3sin t)g(2x ) 3cos(2x )g26 6【解答】解：令y 3sin t ，t 2x ，则y (3sin t)g(2x ) 3cos(2x )g2 6cos(2x ) ，6 6 6 6故选：A ．【点评】本题主要考查复合三角函数求导数的方法，属于基础题．4．（2008 秋•崇文区期末）设，则等于f (x) sin 2x f (x) ( )A． cos 2x B． 2cos 2xC．D．sin 2x 2(sin2 x cos2 x)【分析】直接利用简单的复合函数的求导运算进行计算．【解答】解：因为设，所以．f (x) sin 2x f (x) (2x)cos 2x 2cos 2x故选：B ．【点评】本题考查了简单的复合函数的导数，解答此题的关键是不要忘记对内层函数进行求导，是基础题．二．填空题（共2 小题）5．（2017 春•西城区校级期中）已知函数( ) 2 1 ，则（2）．f x x f 33【分析】根据题意，求出函数的导数，将x 2 代入计算可得答案．1 11 1( )【解答】解：根据题意，函数( ) 2 1 (2 1)2 ，则，f x x x f (x) (2x 1) (2x 1) 22 2x 1f 3（2）；33故答案为：．3【点评】本题考查复合函数的导数计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题．6．（2009 春•西城区校级期中）已知函数，则的导数．f (x) e2xg cos x f (x) f (x) e2x (2cos x sin x)【分析】由积的求导可得，，利用基本函数的求导公式可求f (x) (e2xg cos x)e2x g2x g cos x e2x (cos x)【解答】解：由积的求导可得，f(x) (e2x g cosx)e2x g2g cos x e2x (cos x)2 22e x cos x e x sin xe2x (2cos x sin x)故答案为：e2x (2cos x sin x)【点评】本题主要考查基本初等函数的求导公式及函数积的求导公式的应用，属于基础性试题第3页（共4页）第4页（共4页）。
人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(原卷版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f (x )＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为()A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b2．(5分)函数f (x )＝x x x 的导数是()A ．18x B ．－788x C ．788xD ．－188x3．(5分)函数y ＝x －(2x －1)2的导数y ′＝()A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8xD ．5－8x4.(5分)若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A ．y ＝x cos xB ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝6．(5分)函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)28．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 210．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －211．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－215．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π416.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f(x)＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A．ab B．－a(a－b)C．0D．a－bD解析：∵f(x)＝x2－(a＋b)x＋ab，∴f′(x)＝2x－(a＋b)．∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b.2．(5分)函数f(x)＝x x x的导数是()A．18 x B．－788xC．788xD．－188xC解析：∵f(x)＝x x x＝x78，∴f′(x)＝78x－18＝788x.3．(5分)函数y＝x－(2x－1)2的导数y′＝() A．3－4x B．3＋4x C．5＋8x D．5－8x D解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，∴y′＝－8x＋5.4.(5分)若函数y＝tan x，则y′＝________.1cos2x解析：∵y＝tan x＝sin xcos x，∴y′＝1cos2x.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A．y＝x cos x B．y＝1ln xC．y＝(2x＋3)4D．y＝A解析：A是两函数积的形式，不是复合函数，B，C，D均为复合函数．6．(5分)函数y＝sin2x－cos2x的导数y′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos xA解析：y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2C解析：∵y ＝1(3x －1)2＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3.故选C ．8．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5B解析：y ′＝x ′·ln(2x ＋5)＋x ·[ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 2B解析：∵f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，∴f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)＝0.∴x 0＋1＝0.∴x 0＝－1.10．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2A解析：∵f ′(x )＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝f ′(－1)＝2(－1＋2)2＝2.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.11．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数D解析：f ′(x )＝x 2sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数.12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.2解析：∵f ′(x )＝12ax 2－1·(ax 2－1)′＝axax 2－1，∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝C解析：f ′(x )＝＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－2D解析：∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.由题意知直线ax ＋y ＋1＝0的斜率k ′＝－a ＝2，∴a ＝－2.15．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π4B解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1.∵α∈[0，π)，∴α∈0∪3π4，16.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．2cos2x cos3x －3sin2x sin3x解析：y ′＝(sin2x )′·cos3x ＋sin2x ·(cos3x )′＝2cos2x ·cos3x －3sin2x ·sin3x .17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.2解析：因为y ′＝α·x α－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .②③解析：①f ′(x )＝－1x 2<0，②f ′(x )＝1x，③f ′(x )＝cos x ，④f ′(x )＝－e x <0.由此可知，y ＝12x ＋b 可作为函数②③的切线.19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .解：(1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′cos x ＋1x (cos x )′＝(x －12)′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x.20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12y ′x ＝23－1＝1，－12，ln 1，所以倾斜角为π4.。
复合函数的导数练习题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1技能演练 基 础 强 化1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝cos x n B ．y ＝t ，t ＝cos n x C ．y ＝t n ，t ＝cos x D ．y ＝cos t ，t ＝x n 答案 C2．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x 2－1)e x2－1B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x2－1解析y ′＝e x 2－1 (x 2－1)′＝e x2－1·2x .答案 B3．下列函数在x ＝0处没有切线的是( ) A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x解析 因为y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没定义，所以y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没有切线． 答案 C4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点为(x 0，x 20)，则斜率k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 答案 D5．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )解析 y ′＝12x 2－1?ln a (2x 2－1)′＝4x 2x 2－1?ln a .答案 A6．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝ 2D ．a >0解析 f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′ ＝12ax 2－1·2ax＝axax 2－1. 由f ′(1)＝2， 得aa －1＝2，∴a ＝2. 答案 B7．曲线y ＝sin2x 在点M (π，0)处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x )′＝cos2x ·(2x )′＝2cos2x ， ∴k ＝y ′|x ＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)8．f (x )＝e 2x －2x ，则f ′xe x －1＝________.解析 f ′(x )＝(e 2x )′－(2x )′＝2e 2x －2＝2(e 2x －1)． ∴f ′xe x －1＝2?e 2x －1?e x －1＝2(e x ＋1)． 答案 2(e x ＋1)能 力 提 升9．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．解 ∵函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，b ×22＋c ＝0，得a ＝－8,4b ＋c ＝0， ∴f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8. 又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )、g (x )的图像都相切，且l 与函数f (x )图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．解 ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1， 即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l 的方程为y ＝x －1.又l 与g (x )的图像也相切，等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2＋a 只有一解，即方程12x 2－x ＋1＋a＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12(1＋a )＝0，∴a ＝－12.品 味 高 考11．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )B ．－12 D ．1解析 ∵y ′＝(－2x )′e－2x＝－2e－2x，∴k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)， 即y ＝－2x ＋2.如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S ＝12×1×23＝13. 答案 A12．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′(0)＝a＝1.又0－b＋1＝0，∴b＝1.答案A。
复合函数的求导练习题复合函数是高等数学中的一个重要概念，在微积分中经常会遇到。
求解复合函数的导数是一项基本的技巧，本文将通过一些练习题来帮助读者掌握这一技巧。
1. 设有函数 y = f(u) 和 u = g(x)，其中 f 和 g 分别为可导函数。
求复合函数 y = f(g(x)) 的导数 dy/dx。
解法：根据链式法则，复合函数的导数可以通过两个单独函数的导数来计算。
首先计算出 f(u) 和 g(x) 的导数：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)然后将两个导数相乘，得到复合函数的导数：dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = f'(u) * g'(x)2. 设有函数 y = f(u) 和 u = g(v) 和 v = h(x)，其中 f、g 和 h 都是可导函数。
求复合函数 y = f(g(h(x))) 的导数 dy/dx。
解法：同样根据链式法则，复合函数的导数可以通过三个单独函数的导数来计算。
首先计算出 f(u)、g(v) 和 h(x) 的导数：dy/du = f'(u)du/dv = g'(v)dv/dx = h'(x)然后将三个导数相乘，得到复合函数的导数：dy/dx = (dy/du) * (du/dv) * (dv/dx) = f'(u) * g'(v) * h'(x)3. 设有函数 y = f(u) 和 u = g(v) 和 v = h(w) 和 w = k(x)，其中 f、g、h 和 k 都是可导函数。
求复合函数 y = f(g(h(k(x)))) 的导数 dy/dx。
解法：同样根据链式法则，复合函数的导数可以通过四个单独函数的导数来计算。
首先计算出 f(u)、g(v)、h(w) 和 k(x) 的导数：dy/du = f'(u)du/dv = g'(v)dv/dw = h'(w)dw/dx = k'(x)然后将四个导数相乘，得到复合函数的导数：dy/dx = (dy/du) * (du/dv) * (dv/dw) * (dw/dx) = f'(u) * g'(v) * h'(w) * k'(x)通过上述三个例题的分析，可以看出求解复合函数的导数是通过链式法则将各个函数的导数相乘得到的。
5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e x2x B.e x ln2x-exxC.e x ln2x+exxD.2e x·1x3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2xe x的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x 2(2x+1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln√2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1x ,x<0时,f'(x)=-1xB.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C.n(n-1)2D.n(n+1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y=x1−√1−x,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+be x-1x.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.), 10.()已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'(π4求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析 基础过关练1.C y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x )'·ln 2x+e x ·(ln 2x)' =e xln 2x+e xx.故选C.3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax -1,由f'(2)=2,可得a2a -1=2,解得a=23.故选B.4.答案2√4x -34x -3解析 ∵f(x)=√4x -3=(4x-3)12, ∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=2√4x -34x -3. 5.答案 -2sin2x+cos2xe x解析 由f(x)=cos2x e x, 得f'(x)=-2sin2x+cos2xe x. 6.解析 (1)∵y=x 2(2x+1)3,∴y'=2x ·(2x+1)3-x 2·3(2x+1)2·2(2x+1)6=2x -2x 2(2x+1)4.(2)y'=-e -x sin 2x+2e -x cos 2x =e -x (2cos 2x-sin 2x).(3)∵y=ln √2x +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3 =-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示 分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 8.D 由f(t)=√10t , 得f'(t)=2√10t·(10t)'=√102√t, 所以f'(40)=√102√40=14. 9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10, ∴limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)Δx =-2limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-20.故选C. 10.B 设切点为P(x 0,y 0), 则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a), ∵y' x=x 0=1x 0+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B. 11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=x+1x得y=e t +1e t=1+1et =1+e -t ,∴y'=-1e t ,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案 2解析 令y=f(x),则曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax ,所以f'(x)=(e ax )'=(e ax )·(ax)'=ae ax ,所以f'(0)=ae 0=a,故a=2. 13.答案 y=2x-1解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6, 解得a=12.能力提升练1.C 根据题意得f(x)={lnx(x >0),ln(−x)(x <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x ⇒f'(x)=(ln x)'=1x ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.2.B 由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,.故选D.则f'(0)=1+2+3+4+…+n=n(n+1)24.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.,由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x+2当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-1=ln√4-ln√e>0,故-1<b<0.2由φ(x)=cos x(x ∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x, 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则√2sin (x +π4)=0,又x ∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,T 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2πT=1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin (x +π3),∴f'(x)=2cos (x +π3),∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin (x +π3)+2cos (x +π3)=2√2sin (x +π3+π4) =2√2sin (x +7π12), 令x+7π12=π2+kπ,k ∈Z,解得x=-π12+kπ,k ∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k ∈Z,A 正确;当x+7π12=π2+2kπ,k ∈Z 时,函数g(x)取得最大值2√2,B 错误;g'(x)=2√2cos (x +7π12),∵g'(x)≤2√2<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即2√2sin(x+7π12)=2,∴sin(x+7π12)=√22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案-2√1−x解析y=1−√1−x=√1−x)(1-√1−x)·(1+√1−x)=x(1+√1−x)1−(1−x)=1+√1−x.设y=1+√u,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+√u)'·(1-x)'=2√u ·(-1)=-2√1−x.8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x ,g'(x)=1x+1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=y1-y2x1-x2=2,故x1=1k =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+be x-1x,得f'(x)=(ae x ln x)'+(be x-1x)'=ae x ln x+ae xx +bex-1x-be x-1x2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'(π4)=3-2sinπ2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x 03=3x 02(1-x 0),∴2x 03-3x 02+1=0,∴2x 03-2x 02-x 02+1=0,∴(x 0-1)2(2x 0+1)=0,解得x 0=-12(x 0=1舍去), ∴切点坐标为(-12,-18), 又切线的斜率为3×(-12)2=34,∴切线方程为y+18=34(x +12), 即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。
导数--复合函数的导数练习题(精品)函数求导函数求导有三种方法：一差、二比、三取极限。
第一种方法是求函数的增量，即Δy=f(x+Δx)-f(x)，然后用Δy/Δx来求导数。
第二种方法是求平均变化率，即[f(x+Δx)-f(x)]/Δx，然后用极限来求导数。
第三种方法是直接取极限求导数，即f(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
导数与导函数的关系：函数在某一点的导数就是导函数在该点的函数值。
常用的导数公式及求导法则：常数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为a^xlna，对数函数的导数为1/xlna，三角函数的导数为cosx的导数为-sinx，sinx的导数为cosx，tanx的导数为sec^2x，cotx的导数为-csc^2x。
复合函数的导数：若函数ϕ(x)在点x处可导，函数f(u)在点u=ϕ(x)处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x处也可导，并且(f[ϕ(x)])' = f'(ϕ(x))ϕ'(x)。
要正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例2 求函数 $y=\frac{5}{1-x}$ 的导数。
解：将 $y=\frac{5}{1-x}$ 写成 $y=5(1-x)^{-1}$，然后运用幂函数的求导法则和常数倍的求导法则，得到 $y'=-5(1-x)^{-2}(-1)=\frac{5}{(1-x)^2}$。
例3 求函数 $y=3-2x$ 的导数。
解：将 $y=3-2x$ 写成 $y=u$，其中 $u=3-2x$，然后运用复合函数的求导法则，得到 $y'=(3-2x)'(-2)=(-2)(-2)=4$。
也可以不写出中间变量 $u$，直接运用复合函数的求导法则，得到$y'=(3-2x)'(-2)=-2(3-2x)'=-2(-2)=4$。
高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：复合函数的导数、对数与指数函数的导数二. 本周教学重、难点： 1. 复合函数的求导法那么设)(x u ϕ=在点x 处有导数)(x u x ϕ'='，)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数)(u f y u '='，那么))((x f ϕ在点x 处也有导数，且x u x u y y '⋅'='或者)()())((x u f x f x ϕϕ''='2. 对数函数的导数 〔1〕x x 1)(ln =' 〔2〕e xx a a log 1)(log =' 3. 指数函数的导数〔1〕xxe e =')( 〔2〕a a a xxln )(='【典型例题】[例1] 求以下函数的导数〔1〕32)2(x x y +=〔2〕245x e y +=〔3〕32c bx ax y ++=〔4〕312)(sin x y =〔5〕)1ln(2x x y ++= 〔6〕x x y 33log =〔7〕xxy 2sin 5cos =解：〔1〕22222)2)(1(6)22()2(33x x x x x x u u y ++=++='⋅='〔2〕x e u e y x u 8245⋅='⋅='+〔3〕)2()(313132232b axc bx ax u u y +++='='--〔4〕3222232232)(sin 3cos 22cos )(sin 31)2(cos 31x x x x x x x v u v u y y x v u =⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='-- 〔5〕])1(1211[11)1(1122222'+++++='++++='x x x x x x x x y22211)11(11xxx xx +=++++=〔6〕)(log log 1log 33323332ex x e xx x x y =⋅+=' 〔7〕2)2(sin )2(sin 5cos 2sin )5(cos )2sin 5cos (x x x x x x x y '-'='=' 2)2(sin 2cos 5cos 22sin 5sin 5x xx x x ⋅-⋅-=[例2] 假设)5ln()(-+=x x x f ，)1ln()(-=x x g 解不等式)()(x g x f '>'解：511)(-+='x x f 11)(-='x x g ∵ )()(x g x f '>' ∴ 11511->-+x x ∴ 0)1)(5()3(2>---x x x ∴ 5>x 或者1<x ∵ 两函数定义域为⎩⎨⎧>->-0105x x ∴ 5>x∴ 解集为〔5，∞+〕[例3] 设曲线)0(≥=-x e y x 在点M 〔te t -,〕处的切线l 与y x ,轴围成的三角形面积为)(t s ，求切线l 的方程。
5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－cos 23x 2′＝13sin 23x . 方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x3 ＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′ ＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′ ＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值． 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln xe x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 ． 答案 1解析 由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ． 答案 2 14解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)， 又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2. 因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， 所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.由题意可知，切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0得y ＝1；令y ＝0得x ＝－12.∴S ＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D. t ＝x 2－1, y ＝t n答案 AD2．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2 D ．24(2 020－8x )2 答案 C解析 y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝ . 答案 32解析 ∵f ′(x )＝33x －1，∴f ′(1)＝33－1＝32.5．曲线 y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为 ． 答案 x ＋y －1＝0解析 ∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1， 又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.1．知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数， 其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成． 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)， ∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( ) A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x B ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x C ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin x D ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x 答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x . 4．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1， ∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是 ． 答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝ . 答案 33解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32 f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是 ，此时点P 的坐标为 ． 答案728⎝⎛⎭⎫－12，14 解析 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫－12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪－12－14－1(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数： (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . ∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 ∵y ＝e sin x ， ∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 又直线l 与x －y ＋1＝0平行， 故直线l 可设为x －y ＋m ＝0.由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.13 B.12 C.23D ．1 答案 A解析 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2. 所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13. 12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4B.π2C.3π4D. 7π8答案 CD解析 因为y ＝4e x ＋1， 所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)， 所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ .答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33， 又0<φ<π，∴φ＝π6. 14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．答案 y ＝－2x －1解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2， 所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB ．－11＋x C.1(1＋x )2D ．－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1， 得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭ 2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2， ∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0. 解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之138复合函数的导数一、选择题（共29小题；共145分）1. 若y=f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y=fʹ(x)( )A. 既是周期函数，又是奇函数B. 既是周期函数，又是偶函数C. 不是周期函数，是奇函数D. 不是周期函数，是偶函数2. 函数y=sin(2x2+x)的导数是( )A. yʹ=cos(2x2+x)B. yʹ=2xsin(2x2+x)C. yʹ=(4x+1)cos(2x2+x)D. yʹ=4cos(2x2+x)3. 下列函数求导正确的个数是( )（1）y=ln3，则yʹ=13（2）y=√2x−1，则yʹ=√2x−1（3）y=e2x+1，则yʹ=2e2x+1（4）y=xsinx ，则yʹ=sinx−cosx(sinx)2A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数y=x n e−x，则其导数yʹ=( )A. nx n−1e−xB. x n e−xC. 2x n e−xD. (n−x)x n−1e−x5. 函数f(x)=(2πx)2的导数是( )A. fʹ(x)=4πxB. fʹ(x)=4π2xC. fʹ(x)=8π2xD. fʹ(x)=16πx6. 已知函数f(x)=asin3x+bx3+1(a∈R,b∈R)，fʹ(x)为f(x)的导函数，则f(1)+f(−1)+ fʹ(2)−fʹ(−2)=( )A. 2B. 1C. −1D. 07. 下列函数求导数，正确的个数是( )①(e2x)ʹ=e2x；②[(x2+3)8]ʹ=8(x2+3)⋅2x；③(ln2x)ʹ=2x；④(a2x)ʹ=2a2x−1A. 0B. 1C. 2D. 38. 函数y=cos(lnx)的导数yʹ=( )A. ln(sinx)B. sin(lnx)C. −1x sin(lnx) D. 1xsin(lnx)9. 设y=ln(2x+e−x)，则yʹ等于( )A. 12x+e−x B. 2x ln2−e−x2x+e−xC. x2ln2sin2−e−x2x+e−xD. x2x−1−e−x2x+e−x10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 1211. 设函数f(x)=cos(√3x+φ)(−π<φ<0)，若f(x)+fʹ(x)是偶函数，则φ=( )A. π3B. −π3C. π6D. −π612. 函数y=√x2+12x−1的导数为( )A.√1+x2(2x−1)2B.√x2+1(2x−1)2C. 4x2−x+2(2x−1)2D. 2(2x−1)2√x2+113. 函数y=sin23x+5cosx2的导数为( )A. 2sin3x−5sinx2B. sin6x−10xsinx2C. 3sin6x+10xsinx2D. 3sin6x−10xsinx214. 设y=√1+a+√1−x，则yʹ等于( )A.2√1+a2√1−x B.2√1−xC.2√1+a2√1−x D.2√1−x15. 已知函数f(x)=12x2sinx+xcosx，则其导函数fʹ(x)的图象大致是( )A. B.C. D.16. 函数y=1−lnx1+lnx的导数为( )A. yʹ=−2(1+lnx)2B. yʹ=2x(1+lnx)2C. yʹ=−1x(1+lnx)2D. yʹ=−2x(1+lnx)217. 函数y=sinx(cosx+sinx)的导数是( )A. cos2x−sin2xB. sin2x−cos2xC. sin2x+cos2xD. 12(sin2x+cos2x) 18. 下列求导数运算正确的是( )A. (1x−3)ʹ=−3x4B. (log2x)ʹ=ln2xC. (log2x)ʹ=log2exD. (2x)ʹ=2x log2e19. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，且其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M(t)=M02−t30，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137的含量的变化率是−10ln2（太贝克/年），则M(60)=( )A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln2太贝克D. 150太贝克20. 已知函数f(x)=sin(2x+π12)，fʹ(x)是f(x)的导函数，则函数y=2f(x)+fʹ(x)的一个单调递减区间是( )A. [π12,7π12] B. [−5π12,π12] C. [−π3,2π3] D. [−π6,5π6]21. 若函数f(x)=12sin2x+acosx在(0,π)上单调递增，则a的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. [−1,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)22. 若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n的展开式中的各项系数和为243，则a1+2a2+⋯+na n=( )A. 405B. 810C. 243D. 6423. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其导数fʹ(x)的图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 2√2B. √2C. −√22D. −√2424. 设函数f(x)=sin(ωx+π6)−1(ω>0)的导数fʹ(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( )A. x=π9B. x=π6C. x=π3D. x=π225. 设f(x)=sinx2，则fʹ(x)等于( )A. sin2xB. cosx2C. 2xsinx2D. 2xcosx226. 函数y=1x−sinx的图象大致是( )A. B.C. D.27. 函数y=sin4x4+cos4x4的导数是( )A. −14sinx B. −14cosx C. −12sinx D. −12cosx28. 函数y=(2+x3)2的导数为( )A. 6x5+12x2B. 4+2x3C. 2(2+x3)2D. 2(2+x3)⋅3x29. 已知函数f(x)=e2x，g(x)=lnx+12的图象分别与直线y=b交于A，B两点，则∣AB∣的最小值为( )A. 1B. e 12 C.2+ln22D. e−ln32二、填空题（共20小题；共100分）30. 设函数f(x)=ln(2−3x)5，则fʹ(13)=．31. 函数f(x)=cos(3−4x)−ln(x−2)的导函数是．32. 函数y=ln(x+√1+x2)的导数为．33. 设函数f(x)=2sin(3x+π4)，则fʹ(π4)=．34. 函数y=√x−1的导函数是．35. 若fʹ(x)是函数f(x)=xcos2x+3x−π4的导函数，则fʹ(π4)=．36. 已知f(x)=1−√x1+√x，则fʹ(x)=．37. 函数y=xsinx+cosx的导数是．38. 已知函数f(x)=ax3+3x2+5，若fʹ(−1)=9，则a的值是．39. 已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xfʹ(2)，则f(−1)与f(1)的大小关系为．40. 函数f(x)在R上的导数为fʹ(x)，又函数F(x)=f(x2−4)+f(4−x2)，则Fʹ(2)=．41. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)cos2x(x∈(0,π4))，则fʹ(x)=．42. 函数y=ln(√x+1+x)的导数为．43. 已知R上的可导奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x)．若fʹ(1)=−1，则fʹ(5) = ．44. 若函数y=f(x)的导数yʹ=fʹ(x)仍是x的函数，就把yʹ=fʹ(x)的导数yʺ=fʺ(x)叫做函数y=f(x)二阶导数，记做y(2)=f(2)(x)．同样函数y=f(x)的n−1阶导数的导数叫做y= f(x)的n阶导数，表示y(n)=f(n)(x) .在求y=ln(x+1)的n阶导数时，已求得yʹ=1x+1，y(2)=−1(x+1)2，y(3)=1⋅2(x+1)3，y(4)=−1⋅2⋅3(x+1)4，⋯，根据以上推理，函数y=ln(x+1)的第n阶导数为．45. 函数f(x)=log2(2−x)的导数为．46. 已知函数f(x)=cos(√3x+φ)，若y=f(x)+fʹ(x)是偶函数，则φ=．47. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x)=x+e x，则fʹ(1)= .48. 若曲线f(x)=ax3+ln(−2x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．49. 已知 x =1，x =3 是函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 相邻的两个极值点，且 f (x ) 在 x =32 处的导数 fʹ(32)<0，则 f (13)= ．三、解答题（共26小题；共338分） 50. 求 y =sin 4(2x +π6)+cos 4(2x +π6) 的导数． 51. 求函数 y =√1−2x 2的导数．52. 求下列函数的导数：（1）y =(a +bx n )m ； （2）y =sin 3(x +1x )．53. 求下列函数的导数：（1）y =ln√x 2+1； （2）y =log 2(2x 2+3x +1)．54. 求下列函数的导数：（1）y =x (2x −1)2； （2）y =sin2x ； （3）y =e 2x−1．55. 求函数 y =sinxcosx 的导数．56. 求下列函数的导数：（1）y =e −2x ⋅sin3x ，x ∈(0,π3)；（2）y =x ⋅√1−x1+x (0<x <1)． 57. 求 y =ln √e x +23的导数．58. 已知函数 f (x ) 是可导函数，求下列函数的导数：（1）y =f (−1x )；（2）y =f (x 2+1)．59. 求下列函数的导数：（1）y =(x 2−2x +3)3； （2）y =sin 2(2x +π3)．60. 求函数 f (x )=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6) 的导数．61. 设函数 f (x )=cos(√3x +φ)(0<φ<π)，若 f (x )+fʹ(x ) 是奇函数，则 φ 的值是 ．62. 设函数 f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )（其中 a ，b ，c 是两两不等的常数），求a fʹ(a )+b fʹ(b )+cfʹ(c )的值．63. 求下列函数的导数．（1）y =x ⋅tanx ；（2）y =(x +1)(x +2)(x +3)；（3）y=3sin4x．64. 证明：若函数f(x)为偶函数，则fʹ(x)为奇函数．65. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x−2)，又fʹ(1)=5，试求fʹ(15)的值．66. 求下列函数的导数：（1）y=x3+2x2−4x+5；（2）y=(x2+2)(2x−1)；（3）y=(3x−1)3．67. 求下列各函数的导数：（1）y=4x+1x；（2）y=e x sinx；（3）y=lnxx；（4）y=cos(2x+5)．68. 已知函数f(x)=ln∣x∣(x≠0)，函数g(x)=1fʹ(x)+afʹ(x)(x≠0)．（1）求函数y=g(x)的表达式；（2）若a>0，函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2，求a的值；（3）在（2）的条件下，求直线y=23x+76与函数y=g(x)的图象所围成图形的面积．69. 设函数f(x)=ax3−b2x2+c，其图象过点(0,1)．（1）当方程fʹ(x)−x+1=0的两个根分别为12，1时，求f(x)的解析式；（2）当a=23，b≠0时，求函数f(x)的极大值与极小值．70. 求下列函数的导数：（1）y=e sinx2；（2）y=cos[ln(3x2+x−2)]；（3）y=xln(x+1)+e 1 x．71. 已知函数f0(x)=cx+dax+b(a≠0,ac−bd≠0)，设f n(x)为f n−1(x)的导数，n∈N∗．（1）求f1(x)，f2(x)．（2）猜想f n(x)的表达式，并证明你的结论．72. 已知函数f(x)=ax3+bx2+(b−a)x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为fʹ(x)．（1）当a=13时，若不等式fʹ(x)>−13对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；（2）若函数f(x)为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y−3=0，关于x的方程f(x)=−14t在[−1,t](t>−1)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．73. 设函数f(x)=acos2x+(a−1)(cosx+1)，其中a>0，∣f(x)∣的最大值为A．（1）求fʹ(x)；（2）求A；（3）证明∣fʹ(x)∣≤2A．74. 已知曲线f(x)=lnx+k在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)=xe x fʹ(x)．e x（1）求k的值和F(x)的单调区间；（2）已知函数g(x)=−x2+2ax（a为正实数），若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0,∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．75. 设函数f(x)=αcos2x+(α−1)(cosx+1)，其中α>0，记∣f(x)∣的最大值为A．（1）求fʹ(x)；（2）求A；（3）证明∣fʹ(x)∣≤2A．答案第一部分 1. B【解析】因为 y =f (x ) 是周期函数，所以 f (x +T )=f (x )，两边同时求导，得 fʹ(x +T )(x +T )ʹ=fʹ(x )，即 fʹ(x +T )=fʹ(x )，所以导函数为周期函数．因为 y =f (x ) 是奇函数，所以 f (−x )=−f (x )，两边求导得 fʹ(−x )(−x )ʹ=−fʹ(x )，即 −fʹ(−x )=−fʹ(x )，所以 fʹ(−x )=fʹ(x )，即导函数为偶函数． 2. C3. B4. D5. C【解析】fʹ(x )=2(2πx )(2πx )ʹ=8π2x ． 6. A 7. A 8. C 9. B 10. C 11. B 12. B 13. D 14. D 15. C【解析】因为 f (x )=12x 2sinx +xcosx ，所以 fʹ(x )=12x 2cosx +cosx ，所以 fʹ(−x )=12(−x )2cos (−x )+cos (−x )=12x 2cosx +cosx =fʹ(x )，所以其导函数 fʹ(x ) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，当 x →+∞ 时，fʹ(x )→+∞． 16. D 17. C 18. C 19. D 【解析】因为 Mʹ(t )=−130ln2×M 0×2−t 30，所以 Mʹ(30)=−130ln2×M 0×2−3030=−10ln2，解得 M 0=600， 所以 M (t )=600×2−t30， 那么 M (60)=600×2−6030=600×14=150．20. A【解析】函数 f (x )=sin (2x +π12)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数， 则函数y =2f (x )+fʹ(x )=2sin (2x +π12)+2cos (2x +π12)=2√2sin (2x +π12+π4)=2√2sin (2x +π3), 由 2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，可得 kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 所以函数的一个单调减区间为 [π12,7π12]．21. A 22. B 【解析】令 x =1 得 3n =243，即 n =5． 因为 [(2x +1)n ]ʹ=2n (2x +1)n−1=a 1+2a 2x +⋯+na n x n−1， 所以令 x =1，得 a 1+2a 2+⋯+na n =2n ⋅3n−1=2×5×34=810． 23. D 【解析】依题意得 fʹ(x )=Aωcos (ωx +φ)， 结合函数 y =fʹ(x ) 的图象可知，T =2πω=4(3π8−π8)=π，ω=2．又 Aω=1，因此A=12．因为0<φ<π，3π4<3π4+φ<7π4，且fʹ(3π8)=cos(3π4+φ)=−1，所以3π4+φ=π，φ=π4，f(x)=12sin(2x+π4)，f(π2)=12sin(π+π4)=−12×√22=−√24.24. A 25. D26. A 【解析】f(−x)=1−x+sinx=−f(x)，故函数是奇函数，图象应关于原点对称，排除 BC因为(x−sinx)ʹ=1−cosx≥0，所以当x>0时，函数x−sinx单调递增，故1x−sinx单调递减．27. A 28. A 29. C第二部分30. −1531. 4sin(3−4x)−1x−232.√1+x233. −634. √x−12(x−1)35. −π2+ln336. 2(1−x)237. xcosx38. 539. f(−1)>f(1)【解析】f(x)=x2+2xfʹ(2)两边求导得fʹ(x)=2x+2fʹ(2)，令x=2，得fʹ(2)=−4．40. 041. 1cos22x42. √x+1+12(x+1)+2x√x+143. −1【解析】因为f(x+3)=f(x)，所以fʹ(x+3)=fʹ(x)．又因为f(−x)=−f(x)，所以−fʹ(−x)=−fʹ(x)，所以fʹ(−x)=fʹ(x)．fʹ(5)=fʹ(2)=fʹ(−1)=fʹ(1)=−1．44. y(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n45. −1(2−x)ln246. −π3+kπ，k∈Z47. 2【解析】令e x=t，则x=lnt，所以f(x)=lnx+x .由导数的定义知fʹ(x)=1+1x，从而fʹ(1)=1+1=2 .48. (0,+∞)49. 12【解析】由fʹ(x)=ωcos(ωx+φ)（ω>0），fʹ(1)=ωcos(ω+φ)=0，fʹ(3)=ωcos(3ω+φ)= 0 .所以fʹ(x)=ωcos(ωx+φ)最小正周期为4，2πω=4，ω=π2.结合fʹ(1)=ωcos(π2+φ)=0，fʹ(3)=ωcos(3π2+φ)=0，所以φ=kπ，k∈Z .又fʹ(32)=ωcos(3π4+kπ)<0，所以k为偶数，所以f(13)=sin(π6+kπ)=12.第三部分50. 因为y=[sin2(2x+π6)+cos2(2x+π6)]2−2sin2(2x+π6)cos2(2x+π6)=1−sin 2(4x+π3)2=1−1−cos(8x+23π)4=34+cos(8x+23π)4,所以yʹ=[34+cos(8x+23π)4]ʹ=−14sin(8x+23π)⋅(8x+23π)ʹ=−2sin(8x+23π).51. yʹ=(1−2x2)√1−2x2．52. （1）yʹ=b⋅n⋅x n−1m(a+bx n)m−1．（2）yʹ=3(1−1x2)sin2(x+1x)cos(x+1x)．53. （1）yʹ=xx2+1．（2）yʹ=(4x+3)log2e2x2+3x+1．54. （1）由y=x(2x−1)2=x(4x2−4x+1)=4x3−4x2+x，求导得yʹ=12x2−8x+1．（2）由y=sin2x=2sinxcosx，求导得yʹ=(2sinxcosx)ʹ=2(sinxcosx)ʹ=2(cosxcosx−sinxsinx)=2cos2x．（3）yʹ=(e2x−1)ʹ=e2x−1(2x−1)ʹ=2e2x−1．55. 因为y=sinxcosx=12sin2x，所以yʹ=(12sin2x)ʹ=12cos2x×(2x)ʹ=cos2x．56. （1）法一：yʹ=(e−2x)ʹ⋅sin3x+e−2x⋅(sin3x)ʹ=−2⋅e−2x⋅sin3x+3e−2x⋅cos3x=e−2x(3cos3x−2sin3x).法二：注意到y>0，两边取对数得lny=ln(e−2x⋅sin3x)，x∈(0,π3)，即lny=−2x+ln(sin3x)，x∈(0,π3)．由复合函数的求导法则可得yʹy =−2+3cos3xsin3x=−2sin3x+3cos3xsin3x，所以yʹ=3cos3x−2sin3xsin3x⋅e−2x sin3x=e−2x(3cos3x−2sin3x)．（2）易知y>0，两边取对数得lny=ln(x⋅√1−x1+x )=lnx+12[ln(1−x)−ln(1+x)]．由复合函数的求导法则可得yʹy =1x+12(−11−x−11+x)=1x−11−x2．所以yʹ=y(1x −11−x2)=x⋅√1−x1+x ⋅(1x−11−x2)=√1−x1+x ⋅1−x−x21−x2.57. 因为y=ln(e x+2)13=13ln(e x+2)，所以yʹ=[13ln(e x+2)]ʹ=13⋅1e x+2⋅(e x+2)ʹ=e x3(e x+2)．58. （1）设y=f(u)，u=−1x，则yʹx=yʹu⋅uʹx=fʹ(u)⋅(−1x )ʹ=fʹ(−1x)⋅1x2=1x2⋅fʹ(−1x)．（2）设y=f(u)，u=x2+1，则yʹx=yʹu⋅uʹx=fʹ(u)⋅2x=2xfʹ(x2+1)．59. （1）法一：设u=x2−2x+3，则y=u3，yʹx=yʹu⋅uʹx=3u2⋅(2x−2)=3⋅(x2−2x+3)2⋅(2x−2)=6(x−1)(x2−2x+3)2.法二：yʹ=[(x2−2x+3)3]ʹ=3(x2−2x+3)2⋅(x2−2x+3)ʹ=3(x2−2x+3)2⋅(2x−2)=6(x−1)(x2−2x+3)2.（2）yʹ=2sin(2x+π3)⋅[sin(2x+π3)]ʹ=2sin(2x+π3)⋅cos(2x+π3)⋅(2x+π3)ʹ=4sin(2x+π3)cos(2x+π3)=2sin(4x+2π3).60. 对函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)两边取对数得lgf(x)=lg(x−1)+lg(x−2)+lg(x−3)−lg(x−4)−lg(x−5)−lg(x−6)．两边对x求导得fʹ(x)f(x)=1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6．所以fʹ(x)=f(x)(1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6)=(x−1)(x−2)(x−3) (x−4)(x−5)(x−6)(1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6).61. π662. 因为fʹ(x)=(x−a)ʹ(x−b)(x−c)+(x−a)[(x−b)(x−c)]ʹ=3x2−2(a+b+c)x+ab+bc+ca,所以fʹ(a)=3a2−2a(a+b+c)+ab+bc+ca=(a−b)(a−c)．同理fʹ(b)=(b−a)(b−c)，fʹ(c)=(c−a)(c−b)．于是a fʹ(a)+bfʹ(b)+cfʹ(c)=a(a−b)(a−c)+b(b−a)(b−c)+c(c−a)(c−b)=−a(b−c)−b(c−a)−c(a−b)(a−b)(b−c)(c−a)=−ab+ac−bc+ab−ca+bc(a−b)(b−c)(c−a)=0.63. （1）yʹ=(x⋅tanx)ʹ=xʹtanx+x(tanx)ʹ=tanx+x⋅(sinxcosx)ʹ=tanx+x⋅cos2x+sin2xcos2x=tanx+xcos2x.（2）yʹ=(x+1)ʹ(x+2)(x+3)+(x+1)⋅[(x+2)(x+3)]ʹ=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x2+12x+11.（3）yʹ=(3sin4x)ʹ=3cos4x⋅(4x)ʹ=12cos4x．64. 因为f(x)偶函数，所以f(−x)=f(x)．两边对x求导，得fʹ(−x)(−x)ʹ=fʹ(x)，所以−fʹ(−x)=fʹ(x)，即fʹ(−x)=−fʹ(x)．所以fʹ(x)为奇函数65. 因为f(x+2)=f(x−2)对任意x∈R都成立，所以f(x)=f(x+2−2)=f(x+2+2)=f(x+4)对任意x∈R都成立．所以f(x)是周期为4的周期函数．对f(x)=f(x+4)两边求导得fʹ(x)=(f(x+4))ʹ=fʹ(x+4)⋅(x+4)ʹ=fʹ(x+4)．即fʹ(x)也是周期为4的周期函数，所以fʹ(15)=fʹ(16−1)=fʹ(−1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)．两边求导得(f(−x))ʹ=fʹ(−x)⋅(−x)ʹ=−fʹ(−x)=fʹ(x)．即fʹ(−x)=−fʹ(x)，所以fʹ(x)是奇函数，所以fʹ(15)=fʹ(−1)=−fʹ(1)=−5．66. （1）yʹ=(x3)′+(2x2)′−(4x)′+(5)′=3x2+4x−4．（2）因为y=2x3−x2+4x−2，所以yʹ=6x2−2x+4．或yʹ=(x2+2)′(2x−1)+(x2+2)(2x−1)′=2x(2x−1)+2(x2+2)=6x2−2x+4．（3） yʹ=[(3x −1)3]′=3(3x −1)2(3x −1)′=3(9x 2−6x +1)×3=81x 2−54x +9．67. （1）yʹ=(4x +1x)ʹ=(4x )ʹ+(1x )ʹ=4−1x 2.（2） yʹ=(e x sinx )ʹ=(e x )ʹsinx +e x (sinx )ʹ=e x sinx +e x cosx.（3）yʹ=(lnxx)ʹ=(lnx )ʹx−xʹlnx x 2=1−lnx x 2.（4） yʹ=[cos (2x +5)]ʹ=−sin (2x +5)(2x +5)ʹ=−2sin (2x +5).68. （1） 因为 f (x )=ln ∣x ∣， 所以当 x >0 时，f (x )=lnx ； 当 x <0 时，f (x )=ln (−x )．所以当 x >0 时，fʹ(x )=1x ；当 x <0 时，fʹ(x )=1−x⋅(−1)=1x．因此函数 y =g (x )=x +a x ．（2） 由（1）知当 x >0 时，g (x )=x +ax ，gʹ(x )=1−a x 2=x 2−a x 2，令 gʹ(x )=0，因为 a >0， 所以 x =√a ，当 x ∈(0,√a) 时，gʹ(x )<0，当 x ∈(√a +∞) 时，gʹ(x )>0， 所以 g (x ) 在 (0,+∞) 上的最小值是 g(√a)=√a √a=2√2=2，得 a =1．（3） {y =23x +76,y =x +1x . 解得 {x 1=32,y 1=136, 或 {x 2=2,y 2=52. 所以所求图形的面积为 S =∫322[(23x +76)−(x +1x )]dx =724+ln3−2ln2．69. （1） 由题意可知，f (0)=1，所以 c =1． 由 f (x )=ax 3−b2x 2+1，得 fʹ(x )=3ax 2−bx ．因为 fʹ(x )−x +1=0，即 3ax 2−bx −x +1=0 的两个根分别为 12，1 所以 {3a ×14−b2−12+1=0,3a −b −1+1=0, 解得 {a =23,b =2, 故 f (x )=23x 3−x 2+1．（2） f (x )=23x 3−b2x 2+c ，所以 fʹ(x )=2x 2−bx =2x (x −b2)． ①若 b >0，则当 x ∈(−∞,0) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增； 当 x ∈(0,b2) 时，fʹ(x )<0，函数 f (x ) 单调递减； 当 x ∈(b 2,+∞) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增．因此，f (x ) 的极大值为 f (0)=c =1，f (x ) 的极小值为 f (b2)=1−b 324．②若 b <0，则当 x ∈(−∞,b2) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增； 当 x ∈(b2,0) 时，fʹ(x )<0，函数 f (x ) 单调递减； 当 x ∈(0,+∞) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增．因此，f (x ) 的极大值为 f (b2)=1−b 324，f (x ) 的极小值为 f (0)=1． 综上所述，当 b >0 时，f (x ) 的极大值为 1，极小值为 1−b 324； 当 b <0 时，f (x ) 的极大值为 1−b 324，极小值为 1．70. （1） yʹ=e sinx 2⋅cosx 2⋅2x ． （2） yʹ=−sin [ln (3x 2+x −2)]⋅6x+13x 2+x−2．（3） yʹ=ln (x +1)+xx+1+e 1x⋅(−1)x −2．71. （1） f 1(x )=f 0ʹ(x )=bc−ad(ax+b )2，f 2(x )=f 1ʹ(x )=[bc−ad(ax+b )2]ʹ=−2a (bc−ad )(ax+b )3； （2） 猜想 f n (x )=(−1)n−1⋅a n−1⋅(bc−ad )⋅n!(ax+b )n+1，n ∈N ∗，证明：①当 n =1 时，由（1）知结论正确； ②假设当 n =k ，k ∈N ∗时，结论正确，即有 f k (x )=(−1)k−1⋅a k−1(bc−ad )⋅k!(ax+b )k+1，f k+1(x )=f k ʹ(x )=(−1)k−1a k−1(bc −ad )⋅k![(ax +b )−(k+1)]ʹ=(−1)k ⋅a k ⋅(bc−ad )⋅(k+1)!(ax+b )k+2. 所以当 n =k +1 时结论成立，由 ①②得，对一切 n ∈N ∗ 结论正确． 72. （1） 当 a =13 时，fʹ(x )=x 2+2bx +b −13，依题意 fʹ(x )=x 2+2bx +b −13>−13，即 x 2+2bx +b >0 恒成立． 所以 Δ=4b 2−4b <0，解得 0<b <1，所以 b 的取值范围是 (0,1)．（2） 因为 f (x )=ax 3+bx 2+(b −a )x 为奇函数，所以 b =0，所以 f (x )=ax 3−ax ，fʹ(x )=3ax 2−a ．又 f (x ) 在 x =1 处的切线垂直于直线 x +2y −3=0，所以 a =1，即 f (x )=x 3−x ． 所以 f (x ) 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上是单调递增函数，在 [−√33,√33] 上是单调递减函数，由 f (x )=0，解得 x =±1，x =0， 如图所示，作 y =f (x ) 与 y =−t4的图象，若只有一个交点，则①当 −1<t ≤−√33时，f (t )≥−14t ≥0，即 t 3−t ≥−t 4，解得 −√32≤t ≤−√33；②当 −√33<t <0 时，f (t )>−14t ≥0， 解得 −√33<t <0；③当 t =0 时，不成立；④当 0<t ≤√33时，f (t )≤−14t <0，即 t 3−t ≤−t4，解得 0<t ≤√33；⑤当 1≥t >√33 时，f (t )<−14t <0解得 √33<t <√32；⑥当 t >1 时，−t 4=f (√33)⇒t =8√39，综上 t 的取值范围是 −√32≤t <0 或 0<t <√32或 t =8√39． 73. （1） fʹ(x )=−2asin2x −(a −1)sinx ．（2） f (x )=a (2cos 2x −1)+(a −1)cosx +a −1， 令 cosx =t ，t ∈[1,−1]，f (t )=a (2t 2−1)+(a −1)t +a −1=2at 2+(a −1)t −1， 关于 t 的一元二次函数对称轴为 t =14a −14． ①当 t =14a−14≥1，即 0<a ≤15时，∣f (−1)∣=a ，∣f (1)∣=∣2−3a ∣=2−3a ，则 A =∣f (1)∣=∣2−3a ∣=2−3a ． ②当 0<t =14a −14<1，即 15<a <1 时，A =∣f (−1)∣ 或 A =∣f (14a −14)∣， ∣f (−1)∣=a,∣f (14a −14)∣=a 2+6a+19a，令 ∣f (14a −14)∣>∣f (−1)∣，解得：−17<a <1， 故 A =∣f (14a −14)∣=a 2+6a+18a．③当 −1<t =14a −14≤0，即 a ≥1 时，A =∣f (1)∣ 或 A =∣f (14a −14)∣， 令 ∣f (14a −14)∣>∣f (1)∣，即a 2+6a+18a>3a −2，解得：(a−1)(23a+1)<0，该不等式在a≥1时恒不成立，故∣f(14a −14)∣<∣f(1)∣，故A=∣f(1)∣=∣2−3a∣=3a−2．综上A={2−3a, 0<a≤15, a2+6a+18a, 15<a<1, 3a−2, a≥1,（3）由（1）得∣fʹ(x)∣=∣−2asin2x−(a−1)sinx∣≤2a+∣a−1∣．当0<a≤15时，∣fʹ(x)∣≤1+a≤2−4a<2(2−3a)=2A．当15<a<1时，A=a8+18a+34≥1，所以∣fʹ(x)∣≤1+a<2A．当a≥1时，∣fʹ(x)∣≤3a−1≤6a−4=2A，所以∣fʹ(x)∣≤2A．74. （1）fʹ(x)=1x−lnx−ke x，由题知fʹ(1)=1−ke=0，所以，k=1，fʹ(x)=1x−lnx−1e x，所以F(x)=xe x fʹ(x)=1−xlnx−x，所以Fʹ(x)=−lnx−2．由Fʹ(x)=−lnx−2>0，得0<x<1e2，由Fʹ(x)=−lnx−2≤0，得x≥1e2，所以F(x)的单调递增区间为(0,1e2)，单调递减区间为(1e2,+∞)．（2）因为，对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0,+∞)，使得g(x2)<F(x1)，所以，g(x)max<F(x)max．由（1）知，当x=1e2时，F(x)取得最大值F(1e2)=1+1e2．对于g(x)=−x2+2ax，其对称轴为x=a．①当0<a≤1时，g(x)max=g(a)=a2，所以a2<1+1e2，从而0<a≤1；②当a>1时，g(x)max=g(1)=2a−1，所以2a−1<1+1e2，从而1<a<1+12e2．综上可知，0<a<1+12e2．75. （1）fʹ(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）当α≥1时，∣f(x)∣=∣αcos2x+(α−1)(cosx+1)∣≤α+2(α−1)=3α−2=f(0).因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是∣g(t)∣在[−1,1]上的最大值，g (−1)=α，g (1)=3α−2，且当 t =1−α4α 时，g (t ) 取得极小值， 极小值为 g (1−α4α)=−(α−1)28α−1=−α2+6α+18α．令 −1<1−α4α<1，解得 α<−13（舍去），α>15．①当 0<α≤15 时，g (t ) 在 (−1,1) 内无极值点， ∣g (−1)∣=α，∣g (1)∣=2−3α，∣g (−1)∣<∣g (1)∣， 所以 A =2−3α．②当 15<α<1 时，由 g (−1)−g (1)=2(1−α)>0，知 g (−1)>g (1)>g (1−α4α)．又 ∣∣g (1−α4α)∣∣−∣g (−1)∣=(1−α)(1+7α)8α>0， 所以 A =∣∣g (1−α4α)∣∣=α2+6α+18α．综上，A ={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α−2,α≥1.（3） 由（1）得 ∣fʹ(x )∣=∣−2αsin2x −(α−1)sinx ∣≤2α+∣α−1∣． 由（2）得当 0<α≤15 时，∣fʹ(x )∣≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A ． 当 15<α<1 时，A =α8+18α+34>1，所以 ∣fʹ(x )∣≤1+α<2A ．当 α≥1 时，∣fʹ(x )∣≤3α−1≤6α−4=2A ． 所以 ∣fʹ(x )∣≤2A ．。
