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窄带随机过程

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4.3 窄带随机过程的基本特点

4.3 窄带随机过程的基本特点
S AC (ω ) = S AS (ω ) = FT [ R X (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin(ω0τ )]
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )

窄带随机过程

窄带随机过程

窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。

图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。

图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形&nbsp;二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。

因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。

窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。

可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。

反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。

可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。

1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。

由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。

第6章 窄带随机过程

第6章 窄带随机过程

Z (t ) B(t ) cos[ (t )], 其中 B( t ) 0, ( t ) t ( t ) 。 0
上 海 大 学 通 信 学 院
表达式1： Z ( t ) B( t ) cos[ 0 t ( t )],
B( t ) 0, ( t ) 0 t ( t ) 表达式2： Z ( t ) X ( t ) cos 0 t Y ( t ) sin 0 t
上 海 大 学 通 信 学 院
二、解析信号与希尔伯特变换*
1． 解析信号的引入
S ( f ) s(t )e j 2 f t dt R( f ) jI ( f ) 时域实信号S(t)

S ( f )满足共轭对称性，即，
R( f ) R( f ), 偶函数 S ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( f )， 奇函数

上 海 大 学 通 信 学 院
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z( t ) s( t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： X

T
T
R X ( t , t )dt
性质5. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ ( ) ˆ RX X ( ) R ( ), R ( ) R ˆ ˆ X X XX
上 海 大 学 通 信 学 院

随机信号分析_第五章_窄带随机过程

随机信号分析_第五章_窄带随机过程

定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。

09第八章窄带随机过程

09第八章窄带随机过程

4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。

窄带随机过程的两种表达式

窄带随机过程的两种表达式
随机过程是有关概率的一个抽象概念，它指的是一系列随机变化的事件序列，可以通过某种数学形式来描述。

窄带随机过程是指在一定的时间和频率内的随机过程，它是不断变换的快速信号序列，可以被压缩表示为一维或二维的图像。

窄带随机过程的表达式可以主要分为两类：
一、谱密度函数表示法
谱密度函数可以定义为：S(f),是指窄带随机过程中，每一种频率f处的功率谱密度，即根据频率f得到每一次过程的变化情况，它可以用来预测窄带随机过程所属的分布，如正态分布、均方差和偏差等。

举例来说，以正态分布为例，谱密度函数S(f)的表达式可以表示为：S(f) = σ^2 / (2πf^2)
其中，σ代表窄带随机过程的均方差，f为频率。

二、功率谱密度函数表示法
功率谱密度函数可以定义为：P(f),是指窄带随机过程中，随机变量的模方差的函数，它可以用来描述窄带随机过程的功率谱特性，估计窄带
随机信号的能量。

举例来说，功率谱密度函数P(f)的表达式可以表示为：
P(f) = 2πf^2σ^2
其中，σ代表函数的模方差，f为频率。

总的来说，窄带随机过程的两种表达式主要是谱密度函数表达法和功率谱密度函数表达法，它们各有特点，可以根据不同的窄带随机信号类型选择不同的表达方式，以达到最佳的谱性能效果。

窄带随机过程


正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。

窄带随机过程

0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近

Matlab仿真窄带随机过程

随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程。

一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。

图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。

若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。

图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。

写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。

包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。

2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。

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3、窄带随机信号的相关函数
相关函数分析
RY ( ) Ra ( )cos 0 Rb ( )sin 0
当具有对称的功率谱时
1 Rb () GY ( 0 ) sin d 0 0
RY ( ) Ra ( )cos 0
4、同相分量和正交分量的统计特性 Ac(t)与As(t)的表示
2 X ( ) 0 X ( ) 0 0
解析信号的频谱在负频率部分为0，而正频率部分是 实信号的两倍。
一、确知信号的复信号表示
A( )
j0t x ( t ) A ( t ) e 对于窄带信号，由
可得，

0
(- ), () A X 0 () X ( ) A 0
GX ( ) 2[GX ( ) sgn( )GX ( )]
GX ( )

~ ( ) GX
4
0
4GX ( ) 0 GX ( ) 0 0
0

随机信号的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零， 而在正频率为随机信号功率谱的四倍。
5.3 窄带随机过程的统计特性
G

0
G

0

Y
1

Y
( 0 ) cos d cos 0
Ra ()
1

Y
( 0 ) sin d sin 0
Rb ()
得到
RY ( ) Ra ( )cos 0 Rb ( )sin 0
慢变化过程
相关函数也具 有振荡形式
自相关函数：
Rc (t, t ) E Ac (t ) Ac (t )
ˆ (t ) sin t ][Y (t ) cos (t ) Y ˆ (t ) sin (t )]} E{[Y (t ) cos0t Y 0 0 0
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
二、随机信号的复信号表示——解析过程 2、性质
自相关函数为
* RX ( ) E X ( t ) X (t )
ˆ (t ) X (t ) jX ˆ (t ) E X ( t ) jX RX ( ) RX ˆ ( ) j[ RXX ˆ ( ) RXX ˆ ( )]
（5）如果 y(t ) v (t ) x(t ) ，则
ˆ (t ) v ˆ (t ) x (t ) v (t ) x ˆ (t ) y
二、希尔伯特变换的性质
（6）
RX ˆ ( ) RX ( )
（7）
ˆ ˆ RXX ˆ ( ) RX ( )，RXX ˆ ( ) RX ( )
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程
5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性
5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
x( ) ˆ (t ) H [ x(t )] x d t 1
一、窄带随机过程的定义H(w)
X(t) 白噪声 宽带噪声 X(t) （c） Y(t) （ d） （a） Y(t) 窄带系统
窄带系统
（ b）
0
窄带噪声
t
t
幅度随机变化
幅度随机变化
相位随机变化
相位随机变化
白噪声或宽带噪声通过窄带系统
5.3 窄带随机过程的统计特性
一. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
相频特性为：
正 交 滤 波 器
二、希尔伯特变换的性质
ˆ (t )] x(t ) （1） H[ x
（2） H[cos(0 t )] sin(0 t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t )cos 0t ] a(t )sin 0t
A(t )e
j 0t + (t )
(t )e j0t A
(t ) 其中 A
A(t )e j (t ) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
( ) X ( ) jX ( ) X
X () j j sgn() X () X () 1 sgn() 2 X ( ) ( )
0
X ( )

ˆ ( ) jX

0
() X
解析信号的频谱向左频移ω0,
就可以得到复包络的频谱。

0
窄带信号及其解析信号频谱关系
二、随机信号的复信号表示——解析过程 1、定义
设X(t)为实随机过程，其复随机过程定义为：
(t ) X (t ) jX ˆ (t ) X
X ( ) 1 ˆ (t ) H [ X (t )] X d 实随机信号 t
则
sgn 为 奇 函 数 1 1 jsgn jsgn t πt
90 90
若系统函数为
j H ( j ) jsgn j 则冲激响应 h t F 1 H j 1 πt
得到


RX ( ) RXˆ ( )
ˆ ( ) RXXˆ ( ) RXˆX ( ) R X
1 RX ( )= Re RX ( ) 2
ˆ RX ( ) 2[ R ( ) jR X X ( )]
二、随机信号的复信号表示——解析过程 2、性质

其反变换为：
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t
1
1

即：
1 ˆ ( t ) x( t ) x t
一、希尔伯特变换的定义
2 已知符号函数的傅里叶变换 F sgn t j 1 2 sgn 根据对称性得到 2 π jt
) RXX （8） RXX ˆ ( ˆ ( )，RXX ˆ ( ) RXX ˆ ( )
RXX ˆ (0) RXX ˆ (0) 0
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
5.2 信号的复信号表示
一、确知信号的复信号表示
复信号定义为：
(t ) x(t ) jx ˆ (t ) x
AC (t ) A(t )cos (t )
AS (t ) A(t )sin (t )
同相分量 正交分量
A(t )
AC 2 (t ) AS 2 (t )
1
(t ) tg
AS (t ) AC (t )
3、窄带随机信号的相关函数 相关函数分析
令 0
1 RY ( ) 2
0 0
一、希尔伯特变换的定义
系统框图:
f t F
h t
j sgn

ˆ t f ˆ F
系统的零状态响应 利用卷积定理
1 ˆ f t f t ht f t πt
jF 0 ˆ t F ˆ F jsgn F f 0 jF 具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
一、希尔伯特变换的定义
同理可得到: 若系统冲激响应为
1 ht πt
其网络的系统函数为
j H ( ) F h t jsgn j
该系统框图为 ˆ f t
ˆ F
h t
90 -90
0 0
Y (t ) Ac (t ) cos0t As (t ) sin 0t
ˆ (t ) A (t )sin t A (t )cos t Y c 0 s 0
ˆ (t ) sin t Ac (t ) Y (t ) cos0t Y 0
ˆ (t ) cos t As (t ) Y (t ) sin 0t Y 0
H[a(t )sin 0t ] a(t )cos 0t
二、希尔伯特变换的性质
（4） 如果A(t)与ψ(t)都是低频信号
H A(t ) cos 0 t + (t ) A(t ) sin 0 t + (t )
H A(t )sin 0 t + (t ) A(t ) cos 0 t + (t )
Y (t ) AC (t ) cos 0t AS (t )sin 0t
0 为窄带滤波器的中心频率，AC (t ), AS (t ) 是另外两个随机过程。
ˆ (t )sin t AC (t ) Y (t )cos 0t Y 0 ˆ (t )cos t AS (t ) Y (t )sin 0t Y 0
GX ( ) 0 C 0 C GX ( ) 其它 0
而且带宽
2C 满足 0
，则称此随机过程为
窄带平稳随机过程。
5.3 窄带随机过程的统计特性
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t )
二. 窄带随机过程的表示方法
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示