平面向量-高考文科数学复习资料

1.已知向量A3 = (l,l), AC =(2,3),则下列向量中与BC垂直的是A. a =(3,6)B. 〃 = (&-6)C. c =(6,8)D. d = (—6,3)【答案】D【解析】根据题意，向量AB = (1,1), AC =(2,3),则BC = AC—43 = (1,2),对于A中，a=(3,6),a・BC = lx3 + 2x6 = 15H0,即a与BC不垂直，A不符合题意；对于B>|«, b = (8,-6),"BC=1X8+2X(-6)=-4H O,即方与BC不垂直，B不符合题意；对于C中，C =(6,8),C・3C=1X6+2X8=22H0,即c与BC不垂直，B不符合题意；对于D屮，d = (-6,3),〃・3C = lx(-6) + 2x3 = 0,即d与BC垂直，D符合题意，故选D.2.平面直角坐标系xOy中,i,j分别是与兀轴、y轴正方向同向的单位向量，向量a = 2i,b = i + j ,以下说法正确的是A. a b = \B・a\ = bC. (a_b)丄方D. a//b【答案】C【解析】rtl题意可设心(l,O),/ = (O,l),则a = 2i =(2,0),Z> = i + / = (l,l),考查所给的选项：a•方= 2 + 0 = 2,选项A错谋；a| =74 + 0 = 2,|*| = VT+T = V2,故问工同，选项B 错误；°一方=(2,0)—(1,1) = (1,一1),故(°一方)•方=(1,一1) (1,1) = 0,即(a-b)丄方，选项C 正确；不存在实数2满足(2,0)= 2(1,1),则a//b不成立，选项D错误.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先利用向量的坐标表示方法写出的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是否正确即可.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，并注意方程思想的应用.1.向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A 3，yi）, B（兀2，）2），则AB=（也一兀1，旳一P）•2.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a二（X）, X）, b=（兀2，丁2），贝J a+b=（兀2+兀1，y2+y\），a~b=（x】一也，）q—旳），（加i，勿1），|a|二,匕 + 川=丁（兀|+兀2）2+（刃+旳）2 •3.平面向量共线的坐标表示设a二（X）, X）, b=（兀2，丁2），贝!] a〃〃o兀|刃一无2歹1=（）.注：（1）共线向量定理：向量a（妙0）与方共线，当且仅当有唯一的一个实数2,使得b = Aa.（2）若存在实数儿使AB = /L4C，则儿B, C三点共线.4.平面向量垂直的坐标表示设a二（xi，p）, b=（兀2，旳），则a丄b oa・b = Ou＞兀]花+比旳=03.如图，在厶ABC中，BE是边AC±的中线，0是BE边的中点，若AB = a,AC = b,则AO二A. —a + — b 2 21 1 .C. —a —b 4 2【答案】B 【解析】・・•在△ ABC 中，BE 是AC 边上的中线，・・・4£ =丄人（？，2TO 是BE 边的屮点，・・・AO =」（AB + AE ）,・・・AO =丄AB +丄AC,2、 丿 2 4 AB = AC = b, .\AO = -a-\ —b. 2 4故选B.【名师点睛】本题考查了平面向量的基本圧理的应用•在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、¥ 行四边形法则是解题的关键.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘 运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.1. 应用平面向量基本定理的关键点（1） 平面向量基本定理屮的基底必须是两个不共线的向量.（2） 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表 示出来.（3） 强调几何性质在向量运算屮的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、 相似等.2. 用平而向塑基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向 量的运算.（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向 量表达式.B. —a H —b 2 4 1 1 L D. —a + —b4 4A. 135° D. 45°【答案】A【解析】 非零向量a, b= 0 , :.a 2 = a b.由 a-b = a^na 2-2a b + b 2=a\ 解得\b\=y/2\a\,•••0 = 135 ,故选 A.【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题•平面向量数量积公式有两种形 式，一是夹角公式ad = SI|b|cos&；二是坐标公式a-b=x i x 2 + y l y 29主要应用有以下儿个方面:求夹角的大小：和，方为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos"備;ab求投影：向量。

第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ结论 符号表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b | cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤（x 21＋y 21）（x 22＋y 22）1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.2.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，4)，则(a －b )·a ＝( ) A.－14 B.－4C.4D.14答案 B解析 由题意得a －b ＝(－1，－3)， 则(a －b )·a ＝－1－3＝－4.3.已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A.－3B.－2C.2D.3答案 C解析 因为BC→＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2. 4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C解析 由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12. 设向量a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3.5.已知AB→＝(－1，2)，点C (2，0)，D (3，－1)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________；向量CD →在AB →方向上的投影为________.答案 －322 －355解析 因为CD →＝(1，－1)，向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD→|＝－322，同理CD→在AB →方向上的投影为AB →·CD →|AB→|＝－355.6.(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 由题意得c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1).又a ⊥c ，所以a·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.考点一 向量数量积的基本概念及运算1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A.2 B.－1C.－6D.－18答案 D解析 由题意知cos 〈a ，b 〉＝sin 17π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3＝－sin π3＝－32，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.2.若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172答案 D解析 由题意得(2k －1)×1－4×k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析 法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)， ∴P 为BC 的中点.以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，P (2，1)， ∴|PD→|＝（2－0）2＋（1－2）2＝ 5.易得PB→＝(0，－1)，PD →＝(－2，1)， ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD 中，由AP→＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD→|＝12＋22＝ 5.PB →·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD →＝－PB →2＋0＝－1. 感悟提升 解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解. (2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 考点二 向量数量积的性质及应用 角度1 夹角与垂直例1 (1)已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4 D.π2(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A.a ＋2b B.2a ＋b C.a －2bD.2a －b答案 (1)C (2)D解析 (1)设向量a 和b 的夹角为θ，因为a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，所以b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝（1，1）·（2，0）2×4＋0＝22.又0≤θ≤π，所以θ＝π4.(2)易知a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，则b ·(a ＋2b )＝52≠0，b ·(2a ＋b )＝2≠0， b ·(a －2b )＝a ·b －2b 2＝－32≠0，b ·(2a －b )＝0. 因此b ⊥(2a －b ). 角度2 平面向量的模例2 (1)(2022·南昌模拟)设x ，y ∈R ，a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，c ＝(－2，2)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|2a ＋3b －c |＝( ) A.234B.26C.12D.210(2)已知a ，b 是单位向量且a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________.答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1，1). 因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2， 则b ＝(2，－2)，所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝234.(2)法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝ 2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟提升 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解.没有坐标时可用公式cos θ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.训练1 (1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与b 垂直，则λ＝()A.－2B.2C.－1D.1(2)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案(1)C(2)1解析(1)∵a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.(2)法一由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.法二 如图，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，又e 1，e 2是单位向量，所以|AB →|＝|AD →|＝1，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，连接AC ，BD ，所以AC →＝e 1＋e 2，DB →＝e1－e 2，因为|e 1＋e 2|＝3，即|AC →|＝3，所以∠ABC ＝120°，则∠DAB ＝60°，所以|DB →|＝1，即|e 1－e 2|＝1.考点三 平面向量的综合应用 角度1 平面向量与平面几何例3 (1)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形D.等腰直角三角形(2)已知A ，B 是半径为2的⊙O 上的两个点，OA →·OB →＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足|OA→＋OB →－OC →|＝1，则向量OC →的模的取值范围是________. 答案 (1)A (2)[6－1，6＋1]解析 (1)因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，所以CB →·(AB →＋AC →)＝0，即CB →⊥(AB →＋AC→)，所以△ABC 的中线和底边垂直，所以△ABC 是等腰三角形. (2)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，A (2，0).由OA →·OB→＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，得∠AOB ＝π3，于是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62，设C (x ，y )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1.问题转化求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1上一点到原点距离的取值范围. 原点到圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫322，62的距离为6，又圆的半径为1，所以|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].角度2 平面向量与解三角形例4 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ， sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C . 又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12. 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB→－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟提升 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算. (2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面直角坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.训练2 (1)在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，P 是线段AD 上一动点，则AP →·CP →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C.[－1，0]D.[－1，1](2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC→，则AB AC的值是________.答案 (1)B (2) 3解析 (1)画出图形如图所示，分别以DC ，DA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，故A (0，3)，C (1，0). 设P (0，t )(t ∈[0，3])，则AP →·CP →＝(0，t －3)·(－1，t )＝t 2－3t . 根据二次函数的性质可知，当t ＝0或t ＝3时，AP →·CP →取得最大值0，当t ＝32时，AP →·CP →取得最小值，为⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＝－34，故AP →·CP →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.故选B.(2)法一 如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点.又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC→－AE →＝AC →－13AB →， 所以6AO →·EC→＝32(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB → ＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC ＝ 3.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E (1，0)，C (a ，b )， 则B (3，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎬⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝b a －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC→，∴(3，0)·(a ，b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )， 即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝3，∴AB AC ＝33＝ 3.极化恒等式一、极化恒等式1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC |2－|BD |2). 3.极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14BC →2.二、极化恒等式的应用 1.求数量积例1 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b 等于( ) A.1B.2C.3D.5答案 A解析 ∵a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1，∴a·b ＝1. 2.求最值例2 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB→的最大值是________.答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON .则OC →·OB→＝OM →2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号， 所以OC →·OB →的最大值为2. 3.求模长例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1B.2C. 2D.22答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， D 为线段AB 的中点，显然OD →＝a ＋b 2，|DC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12，上式表明，DC →是 有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此，|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2. 4.求数量积最值(或取值范围)例4 (2022·郑州调考)已知等边△ABC 内接于圆O ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆O 上一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最大值是( ) A. 2B.1C. 3D.2答案 D解析 设D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，易知|DM→|＝34， 则P A →·(PB →＋PC →)＝2 P A →·PD → ＝2×14[(P A →＋PD →)2－(P A →－PD →)2] ＝12[(2PM →)2－(2DM→)2] ＝2(PM→2－DM →2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →2－916， 当点P 在AD 的延长线与圆的交点处时，|PM →|max＝54，所以P A →·(PB →＋PC→)≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2516－916＝2.故选D.1.在等腰三角形ABC 中，点D 是底边AB 的中点，若AB →＝(1，2)，CD →＝(2，t )，则|CD→|＝( )A. 5B.5C.2 5D.20答案 A解析 由题意知AB →⊥CD →，∴1×2＋2t ＝0，∴t ＝－1，∴|CD→|＝22＋（－1）2＝ 5.2.设向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(2，1)，且(a －λb )⊥c ，则λ等于( ) A.3 B.2C.－2D.－3答案 A解析 由题意得a －λb ＝(1＋λ，1－3λ). 又∵(a －λb )⊥c ，c ＝(2，1)，∴(a －λb )·c ＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0， ∴λ＝3.3.(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE→＝( )A.11B.10C.－10D.－11答案 D解析 以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图.则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE →＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.4.a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.－45B.－35C.35D.45答案 B解析 设b ＝(x ，y )， 则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y ) ＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝0，4－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝2－85×25＝－35，故选B.5.已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|等于( ) A.1 B. 3C.1或 3D.2答案 C解析 设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ，因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝（λ＋cos θ）2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时，|e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，得cos θ＝±12，故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或 3.6.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(2b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A. 2 B.2C. 5D.52答案 C解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，且(a －c )·(2b －c )＝2a ·b －c ·(a ＋2b )＋c 2＝0，∴c 2＝c ·(a ＋2b )， ∴|c |2＝|c |·|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉， ∴|c |＝|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉＝5cos 〈c ，a ＋2b 〉.∵cos 〈c ，a ＋2b 〉∈[－1，1]， ∴|c |的最大值是 5.7.(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________. 答案 3 2解析 由|a －b |＝5得(a －b )2＝25， 即a 2－2a ·b ＋b 2＝25， 结合|a |＝3，a ·b ＝1， 得32－2×1＋|b |2＝25， 所以|b |2＝18，|b |＝3 2.8.(2021·广东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (3，1)在以原点O 为圆心的圆上.已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P ，延长AP 至点B ，使得∠AOB ＝90°，则BP →·OA→＝________，|BP →＋OA →|＝________.答案 2 2 3解析 由题意可得圆O 的半径r ＝（3）2＋12＝2，所以P (0，2)，则直线AP 的方程为y －2＝2－10－3(x －0)，即y ＝－33x ＋2.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2，则OA→＝(3，1)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2.由∠AOB ＝90°，可得OA →·OB →＝0，所以3x －33x ＋2＝233x ＋2＝0，解得x ＝－3， 所以B (－3，3)， 所以BP→＝(3，－1)， 所以BP →·OA→＝3×3＋(－1)×1＝2， |BP→＋OA →|＝|(3，－1)＋(3，1)|＝|(23，0)|＝2 3. 9.(2022·太原模拟)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________. 答案 3解析 以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1. ∴C (2，0)，D (1，a ).则MC→＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC→＋MD →＝(3，a －2b ). 因此|MC→＋MD →|＝9＋（a －2b ）2，∴当且仅当a ＝2b 时，|MC→＋MD →|取得最小值3.10.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0，于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C ＝2A ，cos A ＝34. (1)求cos C ，cos B 的值； (2)若BA →·BC→＝272，求边AC 的长. 解 (1)cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，所以sin C ＝378，sin A ＝74，所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝74×378－34×18＝916.(2)因为BA →·BC→＝272，所以ac cos B ＝272，即ac ＝24①.又a sin A ＝csin C ，C ＝2A ，所以c ＝2a cos A ＝32a ②. 由①②解得a ＝4，c ＝6， 所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝16＋36－2×4×6×916＝25，所以b ＝5，即边AC 的长为5.12.△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则BA →在BC→方向上的投影等于( ) A.－32B.32C.32D.3答案 C解析 △ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，所以点O 在BC 上且O 为BC 的中点，如图，所以BC 是△ABC 外接圆的直径.故∠BAC ＝90°.因为|CO→|＝|AO →|＝|AC →|， 所以△OAC 是等边三角形，所以∠ACB ＝60°，所以∠ABC ＝30°.在Rt △ABC 中，|AB →|＝|BC →|sin 60°＝ 3.所以BA→在BC →方向上的投影为 |BA →|·cos ∠ABC ＝|BA →|·cos 30°＝3×32＝32，故选C.13.(2022·安徽五校联盟质检)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足OA→＋OB →＋OC →＝0，又AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.32B.3C.1D.2答案 C解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，可得AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝12|AB →||AC →|＝23， 所以|AB→||AC →|＝43， 所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3.又OA→＋OB →＋OC →＝0， 所以O 为△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝1.14.已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________.答案 2829解析 因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34.因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝[（e 1＋e 2）·（3e 1＋e 2）]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2 ＝（4＋4e 1·e 2）2（2＋2e 1·e 2）（10＋6e 1·e 2）＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t， 又y ＝4＋4t5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增， 所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos2θ的最小值为2829.。

适用标准知识点概括一 . 向量的基本观点与基本运算 1、向量的观点：①向量：既有大小又有方向的量 向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是随意的， 0 与随意愿量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量） ：方向同样或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量 2、向量加法：设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC（ 1） 0a a 0 a ；（ 2）向量加法知足互换律与联合律；AB BC CDPQ QR AR ，但这时一定“首尾相连” ．3、向量的减法：① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ） a a ； （Ⅱ） 当0 时， λ a 的方向与 a 的方向同样； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0 ，方向是随意的5、两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a6、平面向量的基本定理：假如e 1 ,e 2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a ，有且只有一对实数 1 ,2 使： a1e12e 2 ，此中不共线的向量e 1, e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底二 . 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一直量 a 可表示成 axiyj ，记作 a =(x,y) 。

2 平面向量的坐标运算：(1) 若 ax 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1(3) 若 a =(x,y) ，则 a =( x,y)(4) 若 a x 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a // b x 1 y 2 x 2 y 1 0(5) 若 ax 1 , y 1 ,bx 2 , y 2 ，则 a bx 1 x 2y 1 y 2文档大全适用标准若 ab ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0三．平面向量的数目积 1 两个向量的数目积：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 02 向量的投影：︱ b ︱ cos=a b∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3 数目积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a aa 2 | a |25 乘法公式建立：a b a b a 2b 222a b ；222a ba 2 2ab b 2a 2ab b6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： a b b a②对实数的联合律建立：a b a b a b R③分派律建立：a b c a c b cc a b特别注意：（ 1）联合律不建立： a b ca bc ；（ 2）消去律不建立a b a c 不可以获得 b c（ 3） a b =0 不可以获得 a = 0 或 b = 07 两个向量的数目积的坐标运算：已知两个向量a ( x , y ),b ( x , y )，则 a· b = x 1x 2 y 1 y 211228 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB =b , 则∠ AOB= （ 00180 0 ）叫做向量 a与 b 的夹角cos = cos a,ba b = x 1 x 2 y 1 y 22ab222x 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时， θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时 θ =1800，同时 0 与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题文档大全适用标准9 垂直：假如 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b 10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ ba ·b ＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数目积的性质【练习题】1、给出以下命题：①两个拥有共同终点的向量，必定是共线向量；②若 A ， B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a 与 b 同向，且 |a |>|b |，则 a >b ；④ λ， μ为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线． 此中假命题的个数为 ( )A ．1B ． 2C ．3D ． 42．设 a 0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ |a |a 0 ；③若a 与 a 0 平行且 |a |＝ 1，则 a ＝ a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ． 1C ．2D ． 33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若 AB ＝ a ＋ b ， BC ＝ 2a ＋ 8b ， CD ＝ 3(a － b )．求证： A ， B ， D 三点共线； (2)试确立实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋k b 共线．4、已知两点 A(4,1)， B(7，－ 3)，则与 AB 同向的单位向量是 ()A.3，－4B. － 3， 4555 5 C. － 4，3D.4，－ 35 5555、在△ ABC 中， M 为边 BC 上随意一点， N 为 AM 中点， AN ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ＋ μ的值为 ()1B.1A. 231C.4D ． 16、已知两个单位向量e 1， e 2 π的夹角为，若向量 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝ 3e 1＋ 4e 2，则 b 1 ·b 2＝ ________.37、已知 |a |＝ 1， |b |＝2， a 与 b 的夹角为 120 °， a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a 与 c 的夹角为 ()A ．150 °B ． 90°文档大全适用标准C ．60°D ． 30°8、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量 a ＋b 与向量 k a － b 垂直，则 k ＝ ________.9、设向量 a ， b 知足 |a |＝ 1， |a － b |＝ 3， a ·(a － b )＝ 0，则 |2a ＋ b |＝ ()A ．2B ．2 3C ．4D ．43110、已知向量 a ＝ (sin x,1)， b ＝ cos x ，－ 2 . (1)当 a ⊥ b 时，求 |a ＋ b |的值；(2)求函数 f(x)＝ a ·(b －a )的最小正周期．11、已知 f( x)＝ a ·b ，此中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2 x)， b ＝ (cos x,1)( x ∈R )．(1)求 f(x)的周期和单一递减区间；(2)在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， f(A)＝－ 1， a ＝ 7， AB ·AC ＝3，求边长 b 和c 的值 (b>c)．12、如图，在ABC 中， OA a ， OB b,M 为 OB 的中点， NB为 AB 的中点， P 为 ON 、 AM 的交点，则 AP 等（）A21 B2 1MNaPab3b3 33C1 2 D1 a2ab3b333O A13．△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB ＝ a ， CA ＝ b ， a ·b ＝ 0， |a |＝ 1， |b |＝ 2，则 AD ＝( )1122A. 3a － 3bB.3a － 3b3 34 4 C.5a － 5bD.5a －5b14． (2012 郑·州质检 )若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y)互相垂直，则 9x ＋ 3y的最小值为 ()A ．12B ． 2 3C ．32D ． 615． (2012 ·西省四校联考山 )在△ OAB(O 为原点 )中， OA ＝ (2cos α，2sin α)， OB ＝(5cos β，5sin β)，若 OA OB＝－ 5，则△ OAB 的面积 S ＝ ( )·文档大全适用标准3 A. 3B. 2 C ．53D. 5 3216、若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0， (a － c ) ·(b － c )≤ 0，则 |a ＋ b － c |的最大值为 ()．A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ ABC 为等边三角形，→→ → → → →AB ＝ 2.设点 P ， Q 知足 AP ＝λAB ， AQ ＝ (1－ λ)AC ，λ∈R ，若 BQ ·CP ＝－ 3，则 λ＝ ( )．211± 2 1± 10 －3±2 2A. 2B. 2C. 2D. 218 如图，已知平行四边形 ABCD 的极点 A(0，0) ，B(4,1) ， C(6,8)．(1)求极点 D 的坐标；(2)若 DE ＝ 2 EC ，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标．．【课后练习题】1．以下等式：① 0－a ＝－ a ；②－ (－ a )＝ a ；③ a ＋ (－a ) ＝0；④ a ＋ 0＝ a ；⑤ a － b ＝ a ＋ (－ b )．正确的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5分析：选C2． (2012 ·州模拟福 )若 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a ， b ， c ()A ．都是非零向量时也可能没法组成一个三角形B ．必定不行能组成三角形C ．都是非零向量时能组成三角形D ．必定可组成三角形分析：选A3．(2012 威·海质检 )已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若 OA ＋ 2 OC ＝ 3 OB ，则|BC |的值为 ()|AB |11 A. 2B.3文档大全适用标准1 1 C.4 D.6分析：选A4．(2012 海·淀期末 )如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三平分点 (凑近 B)，那么 EF ＝ ()A. 21AB －31 AD B.41AB ＋21 ADC.31AB ＋21DAD.21AB －32AD分析：选D5． (2013 揭·阳模拟 )已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且 OA ＋ OB ＋ CO ＝ 0，则△ ABC 的内角 A等于 ()A ．30°B ． 60°C ．90°D ． 120 °分析：选A6．已知△ ABC 的三个极点 A 、B 、C 及平面内一点 P 知足 PA ＋ PB ＋ PC ＝ AB ，则点 P 与△ ABC的关系为 ()A ．P 在△ ABC 内部B ．P 在△ ABC 外面C ．P 在 AB 边所在直线上D ．P 是 AC 边的一个三平分点分析：选D7．(2012 ·州五校联考郑)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 2＝ 16，| AB ＋ AC |＝ |AB－ AC |，则 | AM |＝ ________.答案： 28． (2013 ·庆模拟大 )已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA ， OB ， OC ， OD 知足等式 OA ＋ OC ＝ OB ＋ OD ，则四边形 ABCD 的形状为 ________．答案： 平行四边形9．设向量 e 1， e 2 不共线， AB ＝ 3(e 1 ＋e 2 )， CB ＝e 2－e 1， CD ＝ 2e 1＋ e 2，给出以下结论：① A ，B ，C 共线；② A ，B ，D 共线；③ B ， C ， D 共线；④ A ， C ，D 共线，此中全部正确结论的序号为________．答案： ④10．设 i ，j 分别是平面直角坐标系 Ox ，Oy 正方向上的单位向量， 且 OA ＝－ 2i ＋ m j ，OB ＝ n i ＋ j ，OC＝ 5i －j ，若点 A ，B ， C 在同一条直线上，且m ＝ 2n ，务实数 m ， n 的值．文档大全m＝ 6，适用标准m＝ 3，或3n＝3，n＝2.x7．已知向量a＝8，2， b＝(x,1)，此中x>0，若(a－2b)∥(2a＋ b)，则x＝________.答案： 48． P＝{ a|a＝(－ 1,1)＋ m(1,2) ，m∈R} ，Q＝ { b|b＝ (1，－ 2)＋ n(2,3)，n∈R} 是两个向量会合，则P∩Q 等于 ________．答案： { －13，－23 }9．已知向量OA＝ (1，－ 3)，OB＝ (2，－ 1)，OC＝ (k＋ 1，k－ 2)，若 A，B，C 三点能组成三角形，则实数 k 应知足的条件是 ________．答案： k≠ 110．已知 A(1,1)， B(3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求a，b 的关系式；(2)若AC＝ 2 AB，求点 C 的坐标．(5，－ 3)．11．已知a＝ (1,0) ，b＝ (2,1)．求：(1)|a＋ 3b|；(2)当 k 为什么实数时， k a－b与a＋3b平行，平行时它们是同向仍是反向？方向相反．12．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝ t1OA＋ t2AB .(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；文档大全适用标准(2)求证：当t1＝ 1 时，无论t2为什么实数， A， B，M 三点都共线．8．已知向量a， b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.答案：329．已知向量a＝(2，－1)， b＝( x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥( b－ c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 MN 的模为________．答案：8210．已知a＝ (1,2)，b＝(－ 2， n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且 a 与 c－ a 垂直，求 c.1c＝2b＝(－1,3)．11．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8，a与b的夹角是120 °.(1)计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；(2)当 k 为什么值时， (a＋ 2b)⊥ (k a－b)?即 k＝－ 7 时，a＋ 2b与 k a－b垂直．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0≤°α<360°)， b＝－12，23.(1)求证：向量a＋ b 与 a－ b 垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．文档大全适用标准α＝ 30°或α＝ 210 °.文档大全。

1高三文科数学平面向量复习讲义一:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，且0b ≠，则1212//0a b x y y x ⇔-=。

1．（1）已知向量(2,3),(,6),a b x ==，且//a b ，则x=_______。

（2）已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+r r r r r ，2v a b =-rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值。

练习1：设31(,sin ),(cos ,)23a b αα==,且有//a b r r ,则锐角=α 。

练习2: 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，回答下列问题：（1）求c 23-+ （2）求满足a mb nc =+的实数m,n ； （3）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ；（4）若满足()()b acd +-//，且||d c -=练习3: (1) 向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？2(2) 已知(1,0),(2,1)a b == ,（1）求|3|a b +； （2）当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行， 平行时它们是同向还是反向？.二:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⊥⇔+2：在△ABC 中，∠C ＝90°，(,1),(2,3),AB k AC ==，则k 的值是（ ）A 5B -5C 32D 32-练习：已知向量(3,4),(2,1)a b ==-r r，如果向量a xb +r r 与b r 垂直，则x 的值为 （ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25-三：若(,)a x y =则222||a x y =+，或||a =3：(1)已知向量(2,2),(5,),a b k =-=，若||a b +不超过5，则k 的取值范围是__________。

平面向量高考文科数学复习资料----331e8286-6eb1-11ec-9afd-7cb59b590d7d平面向量-高考文科数学复习资料已知A=（1,2）和B=（c3,2）。

当k是什么值时，Ka+B与ac3b平行？当它们平行时，它们是在同一个方向上还是在相反的方向上？【思路分析】从a和B的坐标→ 求Ka+B和ac3b的坐标→ 从向量共线的条件方程出发→ 求K的值→ 从Ka+B=（kc3，2K+2），ac3b=（10，C4）判断方向[分析]。

∵ Ka+B与ac3b平行，1∵ （kc3）×（C4）C10（2k+2）=0，溶液为k=c3。

11.此时，Ka+B=C3a+B=C3（ac3b）。

1.当k=C3时，Ka+B与ac3b平行，反之亦然。

在解决矢量共线问题时，通常根据矢量平行性的坐标表示，将矢量之间的平行关系转化为坐标之间的定量关系。

数字和形状的组合是已知的，和的夹角是和，然后是和5。

已知向量=（2,0），向量=（COS）α，=（2,2），向量训练问题组1。

如果向量a和B满足| a |=8和|B |=12，则| a+B |的最小值为| ACB |的最大值为u2。

在里面△ ABC，=（2,3），=（1,K），以及△ ABC是一个直角，然后是K______3的值。

已知a=（C2，C1），B=（λ，1），如果a和Bα之间的角度是钝角，那么λ的值范围是__4。

给定向量a和B，求向量C，使a+B+C=0。

a和BC的有向线段能形成三角形吗？sinα），那么向量和向量的夹角范围之间的夹角为____________________;如图所示，A[0，]B.[C。

让X和Y满足约束条件，以处理相邻边，向量a=（yc2m），B=（1，1）和a‖B，那么m的最小值为则．因为所以因为所以所以即与的夹角为，所以，，（）a．6b．c6c．d．7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于a，b两点，为正三角形，，即与的夹角为．且|＋|＝|c|，其中o为原点，则实数a的值为（）a．2b．c2c．2或c2d．或c，所以平行四边形oacb为菱形，，，．8．已知a=（3，4），|acb|=1，则|b|的取值范围是___________．【方法技巧】（1）两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．（2）求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出夹角．转化与化归思想例已知圆c：（xc3）2＋（yc3）2＝4，及点a（1，1），m是⊙c上的任意一点，点n在线段ma的延长线上，且＝2，求点n的轨迹方程．【思路分析】要求点n的轨迹方程，需设出点n的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．【解析】设n（x，y），m（x0，y0），由＝2，得（1cx0，1cy0）＝2（xc1，yc1），9．若，则△abc为（）a．直角三角形b．钝角三角形c．锐角三角形d．等腰直角三角形10．已知p＝{a|a＝（1，0）＋m（0，1），m∈r}，＝{b|b＝（1，1）＋n（c1，1），n∈r}是两个向量集合，则p∩q等于（）a．{（1，1）}b．{（c1，1）}c．{（1，0）}d．{（0，1）}11．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（acc）（bcc）＝0，则|c|的最大值是（2a．1b．2c．d．2∴，即y0＝3－2y，x0＝3－2x，代入⊙c方程，得（3c2xc3）2＋（3c2yc3）2＝4，即x2＋y2＝1．12．平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a （31），b（c1，3），若点c满足＝m＋n，其中m，n点的轨迹方程为x2+y2=1。

第36讲平面向量的数量积及运算知识梳理知识点一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与 b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．③设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．知识点二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ；③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．知识点三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||a ．④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤．（2）当0a ≠ 时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=．当0a ≠ 时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c = ，当b 是与a 垂直的非零向量，c是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠ ．（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()() ，这是因为a b c ⋅() 是一个与c共线的向量，而b c a ⋅() 是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅() 不一定等于b c a ⋅() ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当0a b ⋅> 且(0)a b λλ≠> （或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠<【解题方法总结】（1）b 在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅= ，但0a b ⋅= 时不能得到0a=或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=．（3）根据平面向量数量积的性质：||a cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅= 等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=（0a ≠）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠ ），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ ，这是由于()a b c ⋅⋅ 表示一个与c共线的向量，()a b c ⋅⋅ 表示一个与a 共线的向量，而a 与c不一定共线，因此()a b c ⋅⋅ 与()a b c ⋅⋅不一定相等．必考题型全归纳题型一：平面向量的数量积运算例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a ，b满足|2|a b =，a 与b 的夹角为π6，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．6B ．8C ．10D ．14【答案】B 【解析】`由|2|a b == ，a 与b的夹角为π6，所以()()2222a b a b a a b b+⋅-=+⋅-r r r r r r r r 222co 6s πa a b b=+⋅-r r r r222228=⨯+⨯=.故选：B.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知6a = ，3b = ，向量a 在b方向上投影向量是4e ，则a b ⋅为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【答案】A【解析】a 在b方向上投影向量为cos 4a e e ⋅= θ，cos 4a ∴θ= ，∴cos 4312a b a b ⋅==⨯=θ.故选：A例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，12AB AD ⋅=- ，G 是菱形ABCD 内一点，若0GA GB GC ++= ，则AG AB ⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A【解析】在菱形ABCD ，菱形ABCD 的边长为1，12AB AD ⋅=- ，所以1cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD ⋅=⋅∠=∠=- ，所以120BAD ∠=︒，则ABC 为等边三角形，因为0GA GB GC ++=，所以()GA GB GC =-+ ，设点M 为BC 的中点，则2GA GD =- ，所以GA GD ∥ ，所以G ，A ，M 三点共线，所以AM 为BC 的中线，所以AM ==同理可得点AB ，AC 的中线过点G ，所以点G 为ABC 的重心，故23AG AM ==在等边ABC 中，M 为BC 的中点，则30BAM ︒∠=，所以1cos 12AG AB AG AB BAM ⋅=⋅∠=⨯.故选：A变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量,a b →→，且π,3a b →→〈〉=，若()a b c →→→+⊥，||2c →=，则a c →→⋅=（）A ．1B ．12C ．2-或2D ．1-或1【答案】D【解析】由题意单位向量,a b →→，且π,3a b →→〈〉=，可知a b →→+与a →的夹角为π6，因为()a b c +⊥ ，所以π3,a c = 或2π3，故当π3,a c = 时，1cos 1212a c a c a c ⋅=⋅⋅=⨯⨯=r r r r r r ；当23,πa c = 时，1cos 12(12a c a c a c ⋅=⋅⋅=⨯⨯-=-r r r r r r ，故选：D.变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量OP =绕坐标原点O 顺时针旋转75︒得到1OP，则1OP OP ⋅= （）ABC D ．2【答案】B【解析】因为OP =，所以2OP ==，因为向量OP 绕坐标原点O 顺时针旋转75︒得到1OP ，所以向量OP 与向量1OP的夹角为75︒，且12OP = ，所以11cos7522cos(3045)OP OP OP OP ⋅=⋅⋅=⨯⨯+12=-故选：B变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A B ．3C ．D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos25DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()R 12AP mAC AB m +∈= ，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为（）.A ．3-B ．1312-C ．1312D ．112-【答案】C【解析】∵()R 12AP mAC AB m +∈= ，2AD DB =，即23AD AB = 且2133CD CB CA =+ ，∴()R 34AP mAC AD m +∈=，又C 、P 、D 共线，有314m +=，即14m =，即1142AP AC AB =+ ，而CB CA AB =+ ，∴2122()3333CD CA AB CA CA AB AB AC=++=+=- ∴AP CD ⋅ =2211211116913()()24233343412AC AB AB AC AB AB AC AC +-=-⋅-=--= .故选：C变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a ，b满足同向共线，且2b = ，1a b -=r r ，则()a b a +=⋅ （）A ．3B ．15C ．3-或15D ．3或15【答案】D【解析】因为向量a ，b满足同向共线，所以设(0)a b λλ=> ，又因为1a b -=r r ，2b = ，所以22222(1)(1)4(1)1b b b b λλλλ-=-=-=-=r r r r ，所以12λ=或32λ=，即12a b =或32a b = .①当12a b=时，()23133224a b a b b b ⎛⎫⎛⎫+=⎭⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ；②当32a b =时，()2531515224a b a b b b ⎛⎫⎛⎫+⎭⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ；所以()a ab +⋅ 的值为3或15.故选：D.变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AO ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y ，则()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD AE BD ⊥∴⊥ 且//BE BD，21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，481(,,5212(,55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，在矩形ABCD 中，O 为BD 的中点，所以11,2O ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0,1)A ，所以11.2AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，4141+52525AE AO ⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⋅⎪⎝⎭⎭=⨯ ，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅ ．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±=()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角）ma nb ±= ma nb ma nb ma nb -≤±≤+ ，通常是求ma nb ±最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a ，b 满足2a b -= a ，b夹角的余弦值为____________．【答案】14-/0.25-【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，因为2a b -= 22446a a b b -⋅+= ．又1a b == ，所以44cos 16θ-+=，所以1cos 4θ=-．故答案为：14-例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角大小为________.【答案】120︒/23π【解析】12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则1212e e e e ⋅=⋅ 1cos 602︒=，()()221212112217232626222e e e e e e a e b e ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-，||a ====||b====1cos,2||||a ba ba b⋅∴〈〉==-⋅，0,180a b︒≤〈〉≤︒，,120a b∴〈〉=︒.故答案为：120︒例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a和b满足：1a=，2b=，220a b a b--⋅=，则a与b的夹角为__________．【答案】3π/60︒【解析】记向量a和b的夹角为θ，将22·a b a b-=平方得到：22222214||||4||||cos4||||cos2cos cos10cos2a b a b a bθθθθθ+-=⇒+-=⇒=或1-，又因为22·0cos1a b a bθ-=≥⇒≠-，即1πcos23θθ=⇒=．故答案为：π3.变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a与b不共线也不垂直，且a ac a ba b⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭，则向量夹角,a c〈〉=________.【答案】2π【解析】由题意可得：()2220a a a aa c a ab a a b a aa b a b⎛⋅⎫⋅⎛⎫⋅=⋅-=-⨯⋅=-=⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭，故：a c⊥，即向量a与c的夹角为π2.故答案为：π2变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a b c､､是同一个平面上的向量，若a c b==，且0,2,1a b c a c b⋅=⋅=⋅=，则,c a=__________.【答案】【解析】设a c b m===，则2cos,2c a m c a⋅==，2cos,1c b m c b⋅==，故cos,2cos,c a c b=，[]0,,0,πa b a b ⋅=∈，则π,2a b =，20c a ⋅=> ，10c b ⋅=>，故π,,2c a c b += ，设,c a θ= ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 2cos 2sin 2θθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，故,c a =.故答案为：变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1b = ，1a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角大小为___________.【答案】π4【解析】由于()1,1a =-，所以a =所以cos ,02a b a b a b⋅=>⋅，所以,a b 为锐角，所以π,4a b = .故答案为：π4变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量(a x =+ ，()1,0b = ，2a b ⋅=- ，则向量a b + 与b的夹角为______．【答案】2π3【解析】2123a b x x ⋅=-⇒+=-⇒=-，则(a b +=- ，则()12cos ,a b b a b b a b b+⋅+==-+ ，又0,,πa b b ⎡⎤+∈⎣⎦ ，则23π,a b b += 故答案为：2π3.变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量()1,2a=，()4,2b = ，若非零向量c 与a ，b 的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解析】设(),c x y = ，因为()1,2a=，()4,2b = ，所以cos ,a c a c a c ⋅=cos ,b c b c b c ⋅=因为c 与a ，b的夹角均相等，所以cos ,cos ,a c b c =，=化简得x y =，所以(,)c x x =，因为c为非零向量，可取1x =，此时(1,1)c = .故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解题方法总结】求夹角，用数量积，由||||cos a b a bq×=×得cos ||||a ba bq +×==×进而求得向量,a b的夹角．题型三：平面向量的模长例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足(2,1)a = ，(1,2)b = ，且a c ⊥ .若b c ⋅=，则||c = （）AB．C．D．【答案】A【解析】令(,)c x y =，则202a c x y b c x y ⋅=+=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以||c =故选：A例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a ，b是非零向量，1a = ，()2a b a +⊥ ，向量a 在向量b方向上的投影为4-，则a b -=r r ________.【答案】2【解析】∵()2a b a +⊥ ，∴()2220a b a a b a +⋅=+⋅= ，∴21122b a a ⋅=-=- ，∵向量a 在向量b方向上的投影为4，∴4a b b ⋅=-，∴b b =⋅=∴22221212242a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=-⨯-+= ⎪⎝⎭，∴2a b -=.故答案为：2例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a ，b满足()1,1a = ，4b = ，()2a a b -=-⋅ ，则3a b -=__________．【解析】因为()1,1a = ，4b = ，()2a a b -=-⋅，则a = 所以()22a a b a a b ⋅-=-⋅=- ，所以()22a a b a b ⋅-=-⋅=- ，解得：4a b ⋅=，3a b -==.变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知,a b为单位向量，且满足a =则2a b +=______.【解析】,a b为单位向量，且满足a =，所以2256a b b -⋅+=，即156b -⋅+=，解得0a b ⋅= ，所以2a b +==变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量,a b满足2a b == ,且()()214a b a b +⋅-= ，则a b +=_________________．【答案】【解析】由()()222220414a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-= ,得2a b ⋅=,所以a b +===故答案为：变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量,a b满足a b - ，2a b a b +=- ，则b =______．【解析】由a b -=r r 2223a a b b -⋅+= ，即2223a b a b ⋅=+- ①．又由2a b a b +=- ，得2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即2360a a b -⋅=，代入①，得()2223330a a b -+-= ，整理，得23b =，所以b =．变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA = ，()3,4OB =-，点P 在线段AB 上，且1AP =，则点P 的坐标为______．【答案】18(,)55【解析】由题知，()0,0O ，设()()1122,,,A x y B x y ，()1,1OA = ，()3,4OB =-，()()110,01,1x y ∴--=，()()220,03,4x y --=-，1111x y =⎧∴⎨=⎩，2234x y =-⎧⎨=⎩，()()1,1,3,4A B ∴-，34AB k =-，则直线AB 方程为3744y x =-+，设P 点坐标为0037,44x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，031x -<<，00331,44AP x x ⎛⎫∴=--+⎝⎭，1AP ∴== ，求解可得，015x =，085y ∴=，即P 点坐标为18(,)55.故答案为：18(,55变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知()2,1a =- ，()4,b t = ，若2a b ⋅=，则2a b -=______．【答案】【解析】因为()2,1a =- ，()4,b t = 且2a b ⋅=，所以2412a b t ⋅=-⨯+⨯=，解得10t =，所以()4,10b = ，所以()()()222,14,108,8a b -=--=--，所以2a b -==故答案为：【解题方法总结】求模长，用平方，||a=．题型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量()3,6a =，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【答案】3-【解析】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-<>====- .故答案为：3-.例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知(2,1),(4,),a b m =--=-若向量b在向量am =_______．【答案】3【解析】由条件可知，向量b 在向量a方向上的数量投影为a b b⋅= ，解得：3m =.故答案为：3例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量6a = ，e 为单位向量，当向量a 、e的夹角等于45 时，则向量a 在向量e上的投影向量是________．【答案】【解析】因为向量a 、e的夹角等于45 ，所以向量a 在向量e上的投影向量是cos 45a e 鬃= ，故答案为：.变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量(1,2)a =-，向量(1,1)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影为_________.【答案】2【解析】cos ,a ba ab b→→→→→→⋅⋅=.故答案为：2变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a ，b满足3a b += ，2a = ，()0,1b = ，则向量a 在向量b方向上的投影为______.【答案】2【解析】因为()0,1b = ，所以1b = ，又3a b +=，2a = ，所以()22222229a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+= ，所以2a b ⋅=，所以向量a 在向量b方向上的投影为2a b b⋅=.故答案为：2变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量,a b 满足(2)(2)a b a b +⊥-，且向量b在向量a 方向的投影向量是14a ，则向量a 与b的夹角是________.【答案】π3【解析】因为(2)(2)a b a b +⊥-，所以22(2)(2)40a b a b a b +⋅-=-= ，即2a b = ①.因为向量b 在向量a方向的投影向量是14a ，所以1cos ,4a b a b a a ⋅= .所以1cos ,4b a b a = ②，将①代入②得，1cos ,2a b = ，又[],0,π∈ a b ，所以π,3a b =.故答案为：π3变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅= ，则向量a在向量c上的投影向量为__________.【答案】11,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),c a b = ，因为()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅=所以10110111a b a a b b ⨯+⨯==⎧⎧⇒⎨⎨⨯+⨯==⎩⎩所以()1,1c =则向量a 在向量c上的投影向量为：1,111,22⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ a c c c c.故答案为：11,22⎛⎫⎪⎝⎭.【解题方法总结】设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．题型五：平面向量的垂直问题例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量()()1,2,2,3a b ==-，若()()ka b a b +⊥-，则k =___________.【答案】14-/0.25-【解析】由题意可得()()2,23,3,1ka b k k a b +=-+-=-，因为()()ka b a b +⊥- ，则()()()()32230ka b a b k k +⋅-=--+= ，解得9k =.故答案为：14-例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a ，b ，c ，其中a ，b 为单位向量，且a b ⊥ ，若c = ______，则()()2a c b c -⊥- .注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【解析】因为,a b是相互垂直的单位向量，不妨设()()()1,0,0,1,,a b c x y ===r r r ()()()()2,20a c b c a c b c -⊥-∴--= ，即2220a b a c b c c --+=，222220x y x y ∴+--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即向量c 的端点在圆心为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，半的圆周上，故可以取()1,0c =，即1c = ；故答案为：1.例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量a ，b的夹角为θ．若2b a = ，且()()23a b a b +⊥-，则θ=____________．【答案】60°/3π【解析】由题设22(2)(3)3520a b a b a a b b +⋅-=+⋅-= ，所以22222||3||5||1cos 25||||10||b a a a b a θ-=== ，又0180θ︒≤≤︒，所以60θ=︒.故答案为：60︒变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量21,e e 的夹角为π3，若12122,a e e b e me =+=+ ，且a b ⊥，则实数m =_________．【答案】45-/-0.8【解析】因为单位向量21,e e 的夹角为π3，所以12π111cos 32e e ⋅=⨯⨯= ；因为a b ⊥，所以()()12122a b e e e me ⋅=+⋅+ ()()()112212(2)2m m e e e e e e =++⋅⋅⋅+ 112(2)2m m =+++⨯5202m =+=，所以45m =-．故答案为：45-.变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a，且()3a b a λ+⊥ ，则实数λ的值为______．【答案】32-/ 1.5-【解析】因为向量b 在a 上的投影向量为2a，所以2a b a ⋅= ，又a 为单位向量，所以22a b a ⋅==，因为()3a b a λ+⊥ ，所以()30a b a λ+⋅=，所以230a a b λ+⋅=，所以320λ+=，故32λ=-，故答案为：32-.变式23．（2024·全国·模拟预测）向量()()1,,2,1m x n ==，且()n m n ⊥+ ，则实数x =_________．【答案】7-【解析】因为向量()()1,,2,1m x n == ，所以()3,1m n x +=+，又()n m n ⊥+ ，所以()0n m n ⋅+= ，得610x ++=，解得7x =-．故答案为：7-.变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量(cos(),sin )a αββ=- ，(1,sin )b α= ，若a b ⊥，则tan tan αβ=______.【答案】12-/-0.5【解析】因为a b ⊥，所以()()cos ,sin a b αββ⋅=-⋅(1,sin )cos()sin sin ααβαβ=-+cos cos 2sin sin 0αβαβ=+=，由题易知π2α≠，π2β≠，所以sin sin sin sin 1tan tan cos cos 2sin sin 2αβαβαβαβαβ===--.故答案为：12-变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量()()2,3,4,5a b =-=-，若()a b b λ-⊥ ，则λ=________．【答案】4123-【解析】因为()2,3a =- ，()4,5b =- ，所以()()()2,34,524,35a b λλλλ-=---=--+，又()a b b λ-⊥ ，所以()()()2453504a b b λλλ-⋅-=--+= ，解得4123λ=-.故答案为：4123-变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量a ，b不共线，()2,1a =r ，()a b a ⊥- ，写出一个符合条件的向量b的坐标：______.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】由题意得a = 20a b a ⋅-= ，则5a b ⋅= ，设(),b x y = ，得25x y +=，且2x y ≠，满足条件的向量b 的坐标可以为()1,3（答案不唯一或者1,42⎛⎫⎪⎝⎭）.故答案为：()1,3（答案不唯一）变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量(,1)a m =-，(1,3)b = ，若()a b b -⊥ ，则m =______.【答案】13【解析】∵(,1)a m =- ，(1,3)b = ，(1,4)a b m -=--，又∵()a b b -⊥，∴()1120a b b m -⋅=--=，解得13m =.故答案为：13【解题方法总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例16．（2024·全国·高三专题练习）已知1||||||1,2a b c a b ===⋅=- ，(,R)c xa yb x y =+∈ ，则x y -的最小值为（）A ．2-B．3-C．D ．1-【答案】B【解析】设,a b 的夹角为θ，1a b == ，12a b ⋅=- ，1cos 2θ∴=-，[]0,πθ∈ ，π3=2θ∴，又1c = ，不妨设1=(1,0),=22a b ⎛ ⎝⎭-，，[)(cos ,sin ),0,2πc ααα=∈，=,22y c xa yb x y ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin y x yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，ππcos sin cos()cos()3636x y αααα∴-=+=+，由[)0,2πα∈ππ13π+666α⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，，∴当π3π+=62α时，即4π=3α时，x y -有最小值故选：B例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A ．4B ．4C ．4-D ．4+【答案】C【解析】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，由π6PBC ∠=，得)P ，所以)BP = ，)2,1CP =，所以)2114BP CP ⋅=+⨯=-故选：C.例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为1O 、2O 、3O 、4O 、5O ，则()414542O O O O O O ⋅+的值为（）A ．507-B ．386-C ．338-D ．242-【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做4O A x ⊥轴于A 点，所以411O A =，由已知可得()126,0O -，()413,11O --，()513,11O -，所以()4113,11O O =- ，()4526,0O O = ，()4213,11O O = ，所以()()()41454213,1139,11507121386O O O O O O ⋅+=-⋅=-+=-.故选：B.变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD中，120,1,2BAD AB AD AC ∠=︒===.若E 为CD 的中点，则EA EB ⋅的值为（）A ．-3B ．13-C ．32D ．3【答案】C【解析】连接BD ，由余弦定理知22211121132BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BD =由正弦定理得2sin120BDAC ==︒，所以AC 为圆的直径，所以CD AD ⊥，所以CD =CD BD =，又18012060BCD ∠=︒-︒=︒，所以BCD △为等边三角形，以D 为原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.则()31,0,,2A E B ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,,02EA EB ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以EA EB ⋅=331,,022⎛⎛⎫⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：C.变式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知ABC是面积为的等边三角形，四边形MNPQ 是面积为2的正方形，其各顶点均位于ABC 的内部及三边上，且恰好可在ABC 内任意旋转，则当0BQ CP ⋅= 时，2||BQ CP +=（）A ．2+B ．4+C ．3+D ．2+【答案】A【解析】因为ABC 是面积为记ABC 边长为a ，所以212a =解得a =，记ABC 内切圆的半径为r ，根据12S Cr =，可得：132r =⨯⨯，解得1r =，因为正方形MNPQ 的面积为2，所以正方形边长为记正方形MNPQ 外接圆半径为R ，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即1R =，根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形MNPQ 可在ABC 内任意旋转，可知正方形MNPQ 各个顶点均在该ABC 的内切圆上，以ABC 的底边BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示：故可知())(),,0,3B CA ，圆的方程为22(1)1y x +-=，故设()()ππcos ,1sin ,cos ,1sin ,0,2π22P Q ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()cos ,1sin ,sin ,1cos P Q αααα+-+，)()(()sin ,1cos cos sin 1cos sin 20BQ CP αααααα⋅=+⋅+=+-=，cos sin 1αα∴+==，22222||(cos sin )(2cos sin )(cos sin )1)BQ CP αααααα+=-+++=-+222(cos sin )1)2αα=-++=+故选:A.变式30．（2024·河南安阳·统考三模）已知正方形ABCD 的边长为1,O 为正方形的中心，E是AB 的中点，则DE DO ⋅=（）A ．14-B ．12C ．34D ．1【答案】C【解析】如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,1)D ，1(,0)2E ，11(,)22O ，所以1(,1)2DE =- ，11(,)22DO =- ，所以113424DE DO ⋅=+= 故选：C.【解题方法总结】边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OA l l =+-．设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．题型七：平面向量的实际应用例19．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F 成120°角，且1F ，2F 的大小都为6牛顿，则3F 的大小为______牛顿.【答案】6【解析】设三个力1F ，2F ，3F 分别对于的向量为：,,a b c则由题知++=0a b c 所以(+)c a b =-所以(+)c a b =- 又1=6,=6,cos12066()182a b a b a b ==⨯⨯-=-所以6c =所以3F 的大小为：6故答案为：6例20．（2024·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力1F ，沿着斜面向上的摩擦力2F .已知：1160N F G == ，则2F的大小为___________.【答案】80N【解析】由题设，21||||cos60160802F G =︒=⨯= N ，故答案为：80N.例21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F与水平夹角均为45︒，12F F == ，则物体的重力大小为___________N .【答案】8【解析】设1F ，2F 的合力为F，则12F F F =+ ，∵1F ，2F 的夹角为90︒，∴()22221212122323264F F F F F F F =+=++⋅=+=，∴8F =，∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为||G=8.故答案为：8.变式31．（2024·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F 与2F 大小之比为___________．【答案】62【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0所以12cos 45cos30F F ︒=︒ ，所以123cos3062cos 45222F F ︒===︒故答案为：62变式32．（2024·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸4km ，以2/km h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km ，则河水的流速是________/km h ．【答案】23【解析】如图，用t v表示河水的流速，2v 表示船的速度，则12v v v =+为船的实际航行速度．由图知，4OA = ，8OB = ，则60AOB ∠= ．又22v =，所以12tan 602v v ===即河水的流速是/km h ．故答案为：【解题方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤。

高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a+b =0向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。

）零向量：长度为0的向量。

a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a bb c ==，则a c =。

（6）若/,/a bbc ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．baCBAa b C C -=A -AB =B3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）；5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。

数学讲义之平面向量【主干内容】1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ．2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．3．平面向量的坐标运算： 若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R，则：＋＝ －＝ λ＝4. 向量的数量积的几何意义： |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)． ·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．5．向量数量积的运算律：a ·b ＝ ； (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )；(a ＋b )·c ＝总结： 在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。

其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。

大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。

【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算〖例1=，则b a =； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件； ③若==,，则c a =； ④b a ==且a ∥b ； ⑤若∥，∥，则∥。

其中，正确命题的序号是____________〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0B ． BE →C ．.AD → D ．CF →〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？【小结】：1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算〖例1〗设＝(ksin θ, 1)，b ＝(2－cos θ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量,均为单位向量，它们的夹角为︒45，实数x 、y 满足1||=+y x ，则y 的取值范围是 ．〖例3〗已知向量＝(cos2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求cos(α－β)的值．〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.〖例5〗在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．【小结】：1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 题型三：平面向量的数量积〖例1〗已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a⊥b，求θ；(2) 求|a ＋b |的最大值．〖例2〗（2011全国） 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.〖例3〗（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________． 【小结】：1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意·b 与ab 的区别．·b ＝0≠＞＝，或b ＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。

在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。

下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。

一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。

在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。

向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。

向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。

其中，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。

三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。

计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。

其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。

向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。

四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。

共线的向量也叫线性相关向量。

线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。

线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。

五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。

在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。

例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。

六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。

第一课时 向量的基本概念及基本运算C【知识要点】1．向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模 （2）特定大小或关系的向量①零向量：模为0的向量，记作→0，其方向是任意的②单位向量：模为1个单位长度的向量 ③共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。

规定：零向量与任何向量共线 ④相等向量：模长相等且方向相同的向量⑤相反向量：模长相等但方向相反的向量。

规定：零向量的相反向量是它本身 2．向量的表示法①字母表示法：如小写字母a , b , c 等，或AB ，CD 等 ②几何表示法：用一条有向线段表示 ③代数表示法：即向量的坐标表示法1．向量的加法、减法（1）法则：平行四边形法则、三角形法则 （2）运算律：交换律、结合律 （3）几何意义：2．向量的数乘（实数与向量的积） （1）定义与法则：（2）运算律：交换律、结合律、分配律 1．共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ=2．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数221121,,e e a λλλλ+=使3．三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数βα,，使得βα+=，其中1=+βα ，O 为平面上任意一点4．①平面内有任意三点O 、A 、B ，若M 是线段AB 的中点，则()+=21②ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则=++，=++ ③向量加法的多边形法则 【自主练习】1． 以下命题中，正确命题的序号是 （1=，则b a = （2）b a b a =则都是单位向量若,, （3）===则若,,（4）==则,//（5）若四边形ABCD 是平行四边形，则==,2．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于AB两点，且-=+。

其中O 为坐标原点，则实数a 的值为3．已知向量,53=-=+=，则= 4．已知()-=+-=+=3,82,5 ，则（ ） A. 点A 、B 、D 共线 B. 点A 、B 、C 共线 C. 点B 、C 、D 共线 D. 点A 、C 、D 共线 【典例解析】例1．对于非零向量b a ,，“=+”是“//”的（ ）A. 充分非必要B. 必要不充分C. 充要条件D.既不充分也不必要知识突破：如图，四边形ABCD ，其中A. 与B. 与C. DB AC 与D. OB DO 与例2．如图所示，D 、E 是△ABC 中AB ，AC 边的中点， M 、N 分别是DE ，BC 的中点。