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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算2学案含解析新人教A版选

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第二课时 复合函数求导及应用已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋6.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2是如何复合的． 提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，y ＝f (u )＝u 2， 则y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2.问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系． 提示：y ′＝′＝f ′(u )·g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 12－·(－4x )＝12(1－2x 2) 12－ (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u，u ＝sin x ， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10 2x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(2x －1)′＝4u 3·2 ＝8(2x －1)3.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′ ＝2ln 10·102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x2＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x .(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.(1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝ 1＋x 2＋x 21＋x2＝ 1＋2x 2 1＋x21＋x 2. (2)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数：3(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝x ln(1＋2x )．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2sin x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′＝2sin x 3·cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13sin 2x3.(2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3. (3)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x ′ ＝ln(1＋2x )＋2x1＋2x.设f (x )＝y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ， 得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为y ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715时的导数，并解释它的实际意义．解：函数y ＝5－25－9t 2可以看作函数f (x )＝5－x 和x ＝φ(t )＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝－12x －12，φ′(t )＝－18t .再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －12·(－18t )＝9t 25－9t2，将t ＝715代入s ′(t )，得s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫715＝0.875(m/s)． 它表示当t ＝715时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.3.复合函数求导不完全致误函数y ＝x ·e 1－2x的导数为________． y ′＝e 1－2x＋x (e1－2x)′＝e 1－2x＋x e 1－2x·(1－2x )′ ＝e1－2x ＋x e1－2x×(－2) ＝(1－2x )e1－2x.y ′＝(1－2x )e 1－2x1．本题易发生对e1－2x的求导不按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全，得出y ′＝e 1－2x ＋x (e 1－2x )′＝e 1－2x ＋x e1－2x ＝(1＋x )e 1－2x 的错误结论．2．复合函数的求导法则通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任何一环．函数y ＝ln ex1＋e x 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x 1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x)，则y ′＝1－ex 1＋ex .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：121．函数y ＝(2 017－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 017－8x )2B ．－24xC ．－24(2 017－8x )2D ．24(2 017－8x )2解析：选C y ′＝3(2 017－8x )2×(2 017－8x )′＝3(2 017－8x )2×(－8)＝－24(2 017－8x )2.2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－sin 2x )(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.答案：324．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：25．求下列函数的导数：(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1.解：(1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看作函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u ·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y ＝(2x －1)3可以看作函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x －1)′＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2. (3)y ′＝e－2x ＋1·(－2x ＋1)′＝－2e－2x ＋1.一、选择题1．函数y ＝(x 2－1)n的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n，t ＝x 2－1 答案：A2．函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xC ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2D ．y ′＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x解析：选C 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 2.3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5解析：选 B y ′＝′＝x ′ln(2x ＋5)＋x ′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5. 4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，∴a ＝3. 5．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)， ∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5， 即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5. 二、填空题6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x7．已知f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12，∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12(ax 2－1)′＝axax 2－1.又∵f ′(1)＝2， ∴aa －1＝2，∴a ＝2.答案：28．函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析：∵y ＝sin 2x ，∴y ′＝2sin x (sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x ， ∴k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝sin π3＝32.答案：32三、解答题9．求下列各函数的导数： (1)y ＝(1＋x 2)5； (2)y ＝(2＋3x 2)1＋5x 2； (3)y ＝ln 1＋x1－x.解：(1)y ′＝5(1＋x 2)4(1＋x 2)′＝10x (1＋x 2)4. (2)y ′＝6x 1＋5x 2＋(2＋3x 2)· 1＋5x 2′21＋5x2＝6x 1＋5x 2＋(2＋3x 2)·5x 1＋5x 2＝6x 1＋5x 2＋10x ＋15x31＋5x2＝16x ＋45x 31＋5x2.(3)y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )，y ′＝11＋x (1＋x )′－11－x(1－x )′ ＝11＋x ·12x ＋11－x ·12x＝1x 1－x.10．求曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积．解：依题意得y ′＝e －2x×(－2)＝－2e－2x，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2，故曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中画出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x (图略)，注意到直线y ＝－2x ＋2与y＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)． 结合图形可知，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.。

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_高中数学第一章导数及其应用2

_高中数学第一章导数及其应用2


[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2

高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A

1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。

2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第6课时)教案 新人教A版选修2-2-新人教A版

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算(第6课时)教案 新人教A版选修2-2-新人教A版

导数的计算（第六课时）一、教学目标：1．掌握函数x x a log ln 、的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数；3．提高分析、解决问题能力以及运算能力．二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数求导公式的灵活运用．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习（1）问题 叙述复合函数的求导法则．（2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．21x x --；Ⅱ．.2cos 2x 2．新授1．直接给出对数函数的导数公式（1）x x 1)(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e xx a a log 1)(log ='． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e xx a a x x a a =⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式．公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ．公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即aln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来．试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？3．公式的应用让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量1322++=x x u ．让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21x u u y -==，仅有一次复合，所以其解法业得简单，不易出错． 补充例：求下列函数的导数： （1）)1(log 22x x y ++=；（2）2211ln x x y -+=； （3）xx y 2sin ln =；（4）).(sin ln 2x e y -= 边分析，边讲解．解：（1）)1(1log 222'++++='x x x x ey.1log 111log )1(12111log 222222222x e x x x x e x x x x e+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⋅++++= 解：由对数运算性质，有)].1ln()1[ln(2122x x y --+= 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--+'+='22221)1(1)1(21x x x x y42212121221x x x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=解：（3）'⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x x x y 2sin 2sin x x x x x x x x 12cot 212sin 22cos 2sin 2-=⋅-⋅⋅⋅=解：（4）)(sin ])([sin 22x e x e y -'-=' )cot(2)(sin )()cos()sin(2)(sin ])[sin()sin(222x e x e x e x e x e x e x e x e --=-'-⋅-⋅-=-'-⋅-=请学生用先变形再求导的方法，再解第（4）小题．4．反馈训练Ⅰ．求下列函数的导数：（1）)ln(cos x y =；（2）x y 2ln 1+=；（3）x x y lg =；（4）).sin 1(log 2x y +=答案：（1）x tan -；（2）x x x 2ln 1ln +；（3）e x lg lg +；（4）e xx 2log sin 1cos +． Ⅱ．教科书练习．5．课堂小结知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．五、布置作业教科书习题3.5第1题．补充 求下列函数的导数：（1）)73(ln 2+=x y ；（2）)32(cos ln 3-=x y ；（3）)1ln(2-+=x x y ；（4）.ln 3x x y = 答案：（1）73)73ln(6++x x ；（2）)32tan(6--x ； （3）112-x ；（4）.ln 322x x x +。