【全国百强名校】长郡中学高一期末考试试卷-数学(附答案)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。

高一数学必修1复习试卷（教师版）一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1.设A = {a,b}f 且B = {x|兀匸令，则A 与B 的关系正确的是（D ）3•若/（x ） > g （兀）分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f （x ）-g （x ） = e x，则有（D ）4. 设d 为常数，函数/（兀）=/_4兀+ 3,若/（x + d ）为偶函数,则^= （ ） CA. -2B. -1C. 2D. 15. 下列函数既是奇函数，又在区间［-1,1］上单调递减的是（C ）7. 若非空数集A= {x I 2a+1乂3。

一5 }, B = {x \ 3<x<22 },则能使A Q B 成立的所有a 的 集合是( )B A. {a I \<a<9}B. {a I 6<«<9}C. {a I a<9}D. 08. 已知函数f(x) = 2v+3的图象与函数y = g(x)的图象关于直线= x 对称，若 mn = 16(加 > 0,n > 0),则 g(m) + g(/?)的值为(A)A. - 2B. 1C. 4D. 109.若集合A = {x\cix 2-ax +i<Q} = 0f 则实数a 的值的集合是（ ）D（A ） {a\0<a<4} （B ） {a\0<a<4} （C ） {a\0<a<4}（D ） {a\0<a<4}2•函数f(x) = x 2-3x +2的零点是A. (1,0)B. (2,0)C^ B E AA E B(D )C. (1,0), (2,0)D. 1 , 2A •/⑵ v/(3) vg(0) C. f ⑵ vg(0)v/⑶B ・ g(0)v/(3)v.f(2)D. g(0)</(2)</(3) A •f(x)二 ■ 1fM = (2 — xC=ln2 + x336.己知X4-X _l= 3 ,贝1］兀2 +兀2值为（A. 3羽B. -4^5B /(兀)=-卜+ 1| D f(x) = -^(a x+a~A))DC. 4A /5D. 2A /510.若函数几丫）在区间［—2,2］上的图象是连续不断的曲线，且函数沧）在（一2,2）内有一个零点,则几一2）久2）的值（D ）11.已知函数/(x) = -X-X3 > X], x2» x3 G R»且兀]+大2>0，x2 + x3 > 0 , x3 + X] >0 > 贝【J/(^) + /(^2) + /(%3)的值(B )(A) 一定大于零(B)-定小于零(C)等于零(D)正负都有可能12.己知函数/(x)满足：①定义域为R；②VxwR,有/(x + 2) = 2/(x)；③当xe [-1,1]时，/(x) = -|x|+l .则方程/(x) = log41x|区间[-10,10]内的解个数是(C )A. 20B. 12C. 11D. 1013.设函数f(x) = [X~[x]，X~°,其中[尢]表示不超过兀的最大整数，如[/(—1)"0[-1.2] = -2,[1.2] = 1,[1] = 1,若f(x) = kx + k伙>0)有三个不同的根，则实数k的取值范围是(D )~1 r _1 1_ 'r「1 1)A. —9 —_4 3_B. C. _oo,—< 3」D.3 2 M 314.定义域为R的函数/(兀)满足条件:①[/(%!)- f(x2)](x, -x2) > 0,(兀],兀2 G疋,召工x2)；②/(x) + /(-x) = 0 (XG 7?)；③/(—3) = 0 .则不等式%•/(%)< 0 的解集是(D )A. {/|-3 vx vO或x>3}B. {划xv -3或0 5 xv 3}C・[x\x<-3^x>3] D. [x\-3<x< 0^0 < x < 3}15.已知Q>0且GH1,若函数/(%) = 10g“(X+df+k )在(—oo,+oo )上既是奇函数，又是增函数，则函数g(x) = log“卜-时的图像是()A16.若25" =4" =10°,且d比工0,则- + -= ____________ 2a b17.已知集合A={x|?+x-6 = 0}, 3={兀|〃点+1=0},若则加的值为________________________答案：+或一*或0A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定二、填空题：(本大题共5小题，每小题3分，共15分)18. 函数y=log] X+4兀-12)的单调递增区间是 _______________________ . (-00-6) x + 319. 设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x) = f(;帀)的所有x 之和为20. 已知/(兀)是奇函数，满足/(x + 2)= /(x),当“[0,1)时，f(x) = 2x -\ ,则 ( 1、/(2)= ______ ，f log.— 的值是 _____________I 24丿三、解答题：(本大题共5小题，每小题8分，共40分)7S ?7 --21计算:⑴(尹，+(捫+(0.]尸_3沪;(屮严严1(2) 522. B 知/(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，/(无)=/-1, 其中a > 0且a H 1.⑴求/(2) + /(-2)的值；(2)求f(x)的解析式；⑶解关于兀的不等式-1 v /(x-l)<4,结果用集合或区间表示. 解:(1)因/(兀)是奇函数,所以有/(-2) = -/(2),所以/⑵+ /(-2)=0.(2)当兀vO 时，一兀>0・°・ f (~x ) = a ~x _1由.f(x)是奇函数有，/(一X )= -f(%),・•・f(x) = -a~x+1 (x < 0)4 ⑴ 100-~ f Q -1 x>0 /(兀)=\ * [[-厂+1x< 0 %-1>01即：-1 < a -1 < 4；所求的解析式为(3)不等式等价于X_1<° 或-1 <一严 +1<4k-\ k-\ 得百卞o(—l)(亠-一J—)x, -1 x2 -1x-l<0 x-l>0或<一3 v 宀v2~ \0<a x~l <5当d〉］时，有］兀：1 或］［x > 1 - log“ 2 ［x v 1 + log“ 5可得此时步等式的解集为（1 - log“ 2,1 + log“ 5）.同理可得，当0 VdV 1时，不等式的解集为R.（或由此时函数的值域为（-1,1）得）综上所述，当a>l时，不等式的解集为（1 - log, 2,1 + log, 5）；当0 VQV 1时，不等式的解集为R.kx— 123.已知函数/（兀）=lg、「,伙G R^k > 0）.x-\（1）求函数/（x）的定义域；⑵若函数/（X）在［10, +oo）上单调递增，求k的取值范围.1尬 _］X~T解：（I ）由 ----- >0及k>0 ,可得——>0. ……1分x-1 兀一1（1）当0W1时，有lv丄，可解得兀<1,或兀〉丄；k k（2）当Bl时，不等式化为匚1>0,・・・XH1且兀W &x-i（3）当Q1时，有丄V1,可解得兀<丄，或兀>1, ……3分k k综上，当0VRV1时，函数的定义域为（_oo,l）U（-,+oo）；k当kni时，函数的定义域为（_ool）u（i+oo）. ......4分k（ID由/⑴在［10,+oo）上是增函数…••空二1 >0得鸟>丄......5分10-1 10又/（力=仗牛1 =仗伙+斗），x-l x-l对任意的兀［、x2,当10<Xj <x2时,有/（%））< f（x2）,arl - zf k — l - , k~\即时h如E注意此时log. 2 >0,log. 5 >0,24. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车 流速度V （单位：千米/小时）是车流密度兀（单位：辆/千米）的幣数.当桥上的车流密度 达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流 速度为60千米/小时.研究表明：当20 < x < 200时，车流速度V 是车流密度兀的一次函数.⑴当0 5x5 200时，求函数卩（兀）的表达式；⑵当车流密度兀为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小 吋）/（兀）=兀2（兀）可以达到最大，并求出最大值•（精确到1辆/小时）解析：（I ）由题意:当0 < x < 20 时,v （x ） = 60 ；当 20 < x < 200 时，设 v （x ） = ax + b ,当05兀52 0时，/（兀）为增函数，故当x = 2 （）时，其最大值为60x20 = 1200； 当 20 < % < 20o 时，/(%) = !%(2oo-%)<-[-¥+(200--¥)1 =22型，3 3L 2 」3即当车流密度为100辆/千米吋，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小吋.25. 设函数 f(x) = ax 2+bx+c,且 f(l)=_号,3a>2c>2b, (1) 求证：a>0且一3<半<—扌；(2) 求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3) 设X 】、X2是函数f(x)的两个零点，求|X1-x 2|的取值范围。

长郡中学2022年下学期高一期末考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.43π14.()3,115.726m −<<16.9513,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭四、解答题17.【解析】(1)由题设，{}25A x x =−≤≤，{}44B x x =−<<，所以{}24AB x x =−≤<.(2)由题意A B ⊆，则242,345,m m −<−⎧⎨+>⎩可得113m <<. 18.【解析】(1)因为()22sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++.由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，即120322f a π⎛⎫=−+=⎪⎝⎭，解得a =(2)由(1)可得()cos 2222cos 223f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 函数cos y x =的递减区间为[]2,2k k πππ+，k ∈Z . 令2223k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，得63k x k ππππ−<<+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,63k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19.【解析】(1)当4a <时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为∅， 当4a >时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为()4,a . (2)因为()4,x ∈+∞，由()16f x ≥−可得：164x a x −−≥−， 即164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥=−−， 当且仅当1644x x −=−，即8x =时等号成立， 所以12a ≤.20.【解析】(1)因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +−=，则()()()()224f a f a g a g a +−=++−+=， 因为()4f a =， 所以()0f a −=；(2)不妨设1222x x −<<<，则120x x −<， 又因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤−−>⎣⎦， 所以()()120f x f x −<，则()f x 在()2,2−上单调递增，所以()()2g x f x =−在()2,2−上单调递增； 因为()()214f x f x −+>， 所以()()21220f x f x −−+−>， 所以()()210g x g x −+>， 又因为()g x 为奇函数， 所以()()21g x g x −>−，又因为()g x 在()2,2−上单调递增，所以13,2212,221322,22,322113x x x x x x x x ⎧⎧−<<⎪⎪−<−<⎪⎪−<−<⇒−<<⇒<<⎨⎨⎪⎪−>−⎪⎪>⎩⎩，则不等式()()214f x f x −+>的解集为13,32⎛⎫⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)由图以及B ，D 两点的纵坐标可知，20128a =−=，124T=， 可得48T =，则24824ππω==， 由()3242242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ， 解得()22k k πϕπ=+∈Z ，所以0k =，2πϕ=，所以ABC 段的函数表达式为()8sin 208cos 2024224f x x x πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，[]0,24x ∈. (2)由题意结合对称性可知，DEF 段的函数解析式为：()8cos 682024y x π⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦，[]44,68 x ∈.(3)由()8cos 68202424x π⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦，解得60x =，所以买入604416−=天后，股票至少是买入价的两倍. 22.【解析】(1)当01a <<时，1142a −=，解得12a =； 当1a >时，()1124a a a −−−=，无解， 故a 的值为12. 故()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()1121142x xy h x h x ⎛⎫⎛⎫=−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]2,2x ∈−，所以令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2213124y t t t ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭.当12t =时，min 34y =，当4t =时，max 13y =. 故函数()()21y h x h x =−+在区间[]2,2−上的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)由题意，函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，函数()2x h x −=在R 上单调递增.由题可知函数12xy m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy m =+在区间[]1,2023上同增或者同减.①若两函数在区间[]1,2023上均单调递增，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故1110,220,m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩解得122m −≤≤−； ②若两函数在区间[]1,2023上均单调递减，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故2023202310,220,m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩该不等式组无解. 综上，实数m 的取值范围是12,2⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦.。

长郡中学2020—2021学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：100分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样D ．其他抽样方法3．已知直线l ，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βC ．若//l α，//l β/，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是55．若在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，a =4b =，则B =（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上都不对6．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．22B ．12+C ．2．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．()8πB ．C ．8πD ．8．若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为4，标准差为1，则135x +，235x +，…，35n x +的平均数和标准差分别为（ ）A ．4，1B ．17，8C ．17，9D ．17，39．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．45B ．710C ．35D ．1210．已知正三角形ABC 的边长为3，2AP PB =，2BQ QC =，2CR RA =，则PQ PR ⋅=（ ）A ．32B ．34C11．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为侧面ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π12．ABC △中，2AB =，BC =4AC =，点O 为ABC △的外心，若AO mAB nAC =+，则实数m nm n+-的值为（ ） A ．7B ．15C ．15-D ．17二、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．13．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球．这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ）A ．“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”B ．“恰有1个黑球”和“至少1个白球”C ．“至少1个黑球”和“至多1个白球”D ．“至少1个黑球”和“全是白球”14．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若|120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z = 15．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -（如图2）．下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ，顶点S 在面AEF 上的射影为AEF △的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 16．已知复数i z a b =+，a ，b ∈R （i 为虚数单位），且12i 1iz=+-，则z =______。

2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={0,1,2}，B ={x|x 2+x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.下列语句不是全称量词命题的是( )A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小3.若tanα=3，则4sin 2α−sinαcosα+cos 2α的值为( )A. −175B. 175C. 3D. −34.已知条件p:不等式的解集为R ；条件q:指数函数为增函数，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.与函数y =x 是同一函数的函数是( )A. y =√x 2B. y =√x 33C. y =(√x)2D. y =x2x6.函数g(x)=lnx −1x 的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.若角的终边上有一点，则的值是( )A.B.C.D.8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A. 12B. 32C. 2D. 49.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x +π4)的图象，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位D. 向右平移π24长度单位10. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.11. 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致是( )A.B.C.D. 图象大致形状是( )12. 若x +4x−1≥m 2−2am −3对所有的x ∈[2,4]和a ∈[−1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. [−2,2]D. [−4,4]二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增14. 已知实数a ，b ，c 满足a >b >c 且abc <0，则下列不等关系一定正确的是( )A. ac >bcB. c a >cbC. b a +ab >2D. aln|c|>bln|c|15. 下列关于函数y =tan(−2x +π3)的说法正确的是( )A. 在区间(−π3,−π12)上单调递增 B. 最小正周期是π2C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x =−π12成轴对称三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 计算2log 214−(827)23+lg 1100+(√2−1)lg1的值为______． 17. 周长为6的等腰△ABC 中，当顶角A =π3时，S △ABC 的最大值为√3，周长为4的扇形OAB 中，则当圆心角α，|α|=∠AOB = ______ (弧度)时，S 扇形△AOB 的最大值是1． 18. 设4a =5b =m ，且1a +2b =1，则m =______．19. 广州市出租车收费标准如下：在3km 以内路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按2元/km收费，另每次收燃油附加费1元，则收费额Q 关于路程s 的函数关系是______ ．20. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两实数根，则x 12+x 22= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)1.513×(−76)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(23)23； (2)12lg3249−43lg8+lg √245．22. 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．23. (本小题满分12分) 向量(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期； (2)若g(x)在[o,)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值，24. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ⏜、CD ⏜所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ=π3，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=log2x.(1)求当x<0时函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>2．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A={0,1,2}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．解：A，B，D中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而C中命题可以改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，所以C不是全称量词命题，故选：C．3.答案：B解析：先利用同角三角函数的基本关系把1换成sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，最后把tanα的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．解：∵tanα=3，则4sin2α−sinαcosα+cos2α=4sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=4tan2α−tanα+1 tan2α+1=4×9−3+19+1=175故选B．4.答案：C。

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11-的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点4,21A y 、2,3B 的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。

长郡中学2021-2022学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．当213m <<时，复数()()3i 2i m +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+a b u u u r ，28BC =-+a b u u u r ，()3CD =-a b u u u r，则（ ） A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生中近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，104．如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为54π，则球的体积为（ ）A ．27πB ．36πC ．54πD ．108π5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ．23B ．35C ．25D ．156．四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1=3，底面是边长为4且∠DAB =60°的菱形，AC BD O =I ，11111AC B D O =I ，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．37．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据以下四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3，中位数为2 B ．中位数为3，众数为2 C ．中位数为3，方差为2.8 D ．平均数为2，方差为2.4 8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．α∥β，l ∥αB ．αβ⊥，l β⊥C ．α与β相交，且交线平行于lD ．α与β相交，且交线垂直于l二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2015年7月，北京成功获得2022年冬奥会举办权．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论错误的是（ ）A ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降C ．2016年与2021年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6% 10．已知向量a =（1，1x -），b =（x ，2），则（ ） A ．≠a bB ．若⊥a b ，则23x =C ．若a ∥b ，则x=2D ．-≥a b 11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =4，BC =2，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．平面ADM ⊥平面CDD 1C 1B ．A ，M ，N ，B 四点共面C ．B 1M 与BN 所成角为60°D ．BN//平面ADM12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，则下列结论正确的是（ ） A ．角C 可以为锐角 B ．22220a bc +-=C ．tan B 的最小值为3D ．3tan tan 0A C +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为________． 14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmi l e 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmi l e 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmi l e 的速度，沿北偏东（45α︒+）方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角α的余弦值为________．15．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D △ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC AP ⋅u u u r u u u r的最大值为________．第15题图第16题图16．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D 为棱A 1C 1上的点，且BC 1∥平面AB 1D ，则11A DDC ________；已知AB =BC =AA 1=1，AC，以D，为半径的球面与侧面AA 1B 1B 的交线长度为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ，2a 和2个白球1b ，2b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18．（本小题满分12分）设z是虚数，1zzω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z的值及z的实部的取值范围；（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．20．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）21．（本小题满分12分） 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 2sin sin C A B =，点D 在边AB 上，且CD ⊥AB ． （1）证明：12CD c =；（2）若22a b +=，求∠ACB ． 22．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，∠ADC =∠BAD =2π，F 为PA 的中点，PD AB =AD =12CD =1，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ． （1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．。

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.“，”是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A．B．C．D．4.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（）A．B．C．D．5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．6.已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（）A．B．C．9D．278.若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（）A．B．C．D．9.已知关于的不等式的解集为，或，则（）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是，或10.设正实数满足，则（）A．B．C．D．11.已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上单调递减12.定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．2为的一个周期C．D．13.已知幂函数的图象过点，则__________.14.已知向量满足，则__________.15.若，则的值为__________.16.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.17.（1）；（2）.18.解下列不等式：(1)；(2).19.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.(1)求的值；(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？20.已知函数的最小正周期为，(1)求函数的单调递增区间；(2)设，求不等式的解集.21.已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.(1)判断的奇偶性和单调性；(2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.22.已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；(3)设，当为何值时，关于的方程有实根？。