2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±． 故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

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长郡中学2017—2018学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,3=A ，集合{}1,2,4,5=B ,则集合=A B ( )A ．{}1,3,1,2,4,5B ．{}1C ．{}1,2,3,4,5D ．{}2,3,4,52．已知tan =α，2<<παπ,则sin α的值为（ ）A ．12B ．12- D ．3．已知4=a ，3=b ，且a 与b 不共线,若向量+a kb 与-a kb 互相垂直，则k 的值为( )A ．43±B ．34±C ．3±D ．2±4．如果奇函数()f x 在区间[]2,8上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[]8,2--上是（） A ．增函数且最小值为—6 B ．增函数且最大值为-6C ．减函数且最小值为—6D ．减函数且最大值为-65．方程2370+-=x x 的解所在的区间为( ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若222-+=a c b ab ，则=C （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120°7．∆ABC 中，内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若cos cos =A b B a ，则∆ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知集合26112--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x A x ，(){}4log 1=+<B x x a ，若=∅A B ，则实数a 的取值范围为（ )A ．12<<aB ．12≤≤aC ．∅D ．12<≤a9．设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5=x α,则tan =α（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 10．化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭πππαπαααππαπαπαα的结果为（ ） A ．tan -α B ．tan α C ．1tan -α D ．1tan α11．先把函数()sin 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）,再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()=y g x 的图象．当3,44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ时，函数()g x 的值域为( ） A．,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．22⎡-⎢⎣⎦D ．[)1,0-12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[]2,3∈x 时，()=f x x ，则[]2,0∈-x 时,()f x 的解析式为（ ）A ．4+xB ．2-xC ．31-+xD ．21-+x13．若函数()sin 3cos =-f x x x ωω,0,>∈R x ω，又()12=f x ，()20=f x ，且12-x x 的最小值为32π，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43D ．2 14．如图，正三角形ABC 的中心位于点()0,1G ，()0,2A ，动点P 从点A 出发沿∆ABC 的边界按逆时针方向运动，设()02∠=≤≤AGP x x π，向量OP 在()1,0=a 方向上的射影为y （O 为坐标原点)，则y 关于x 的函数()=y f x 的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．15．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0>x 时,()()121,0212,22-⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x f x x ．则关于x 的方程()()2610--=⎡⎤⎣⎦f x f x 的实数根个数为( ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二、填空题(每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上)16．0lg 2lg5++=π ．17．已知tan 3=α,则2sin cos cos 3sin -=+αααα． 18．已知向量,a b 满足2=b ，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是 ．19．若函数()223=--f x x kx 在区间[]2,4-上具有单调性,则实数k 的取值范围是 ．20．在∆ABC 中,9⋅=AB AC ，sin cos sin =⋅B A C ,6∆=ABC S ,P 为线段AB 上一点,且=⋅+⋅CACB CP x y CA CB,则11+x y 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21． 已知集合()(){}320=+-≤A x x x ，{}14=≤≤B x x ．（1)求A B ；（2）求()R A B ．22． 设∆ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且sin cos =b A a B（1）求角B 的大小；(2）若=b sin 2sin =C A ，求,a c 的值．23． 已知函数()23cos cos 2=-+f x x x x ． （1）求()f x 的单调递增区间；(2）若角,αβ的终边不共线,且()()=f f αβ，求()tan +αβ的值．24． 已知向量()cos ,sin =a αα，()cos ,sin =b ββ,255+=a b ． (1)求()cos -αβ；（2）若02<<πα，02-<<πβ，且5sin 13=-β，求sin α． 25． 已知二次函数()2=+f x x x ，若不等式()()2-+≤f x f x x 的解集为C ．（1）求集合C ；（2）若函数()()111+=--x x g x f a a (0>a 且1≠a ）在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．。

长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合A ={1，3}，集合B ={1，2，4，5}，则集合A ∪B =（ ）A. {1,3，1，2，4，5}B. {1}C. {1,2，3，4，5}D. {2,3，4，5} 2. 已知tan α=−√3，π2＜α＜π，则sinα的值为（ ）A. 12B. √32C. −12D. −√323. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线，若向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，则k 的值为（ ）A. ±43B. ±34C. ±2√33D. ±√324. 如果奇函数f （x ）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f （x ）在区间[-8，-2]上是（ ）A. 增函数且最小值为−6B. 增函数且最大值为−6C. 减函数且最小值为−6D. 减函数且最大值为−6 5. 函数f （x ）=2x +3x -7的零点所在的区间是（ ）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6. △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2-c 2+b 2=ab ，则C =（ ）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 60∘或120∘ 7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cosAcosB =ba ，则△ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合A ={x|(12)x2−x−6＜1}，B ={x|log 4(x +a)＜1}，若A ∩B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1<a <2B. 1≤a ≤2C. ⌀D. 1<a ≤29. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cosα=15x ，则tanα=（ ）A. 43B. 34C. −34D. −4310. 化简sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2−α)cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(9π2+α)的结果是（ ）A. 1B. sinαC. −tanαD. tanα11. 先把函数f （x ）=sin （x -π6）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y =g （x ）的图象．当x ∈[π4，3π4]时，函数g （x ）的值域为（ ）A. [−√32,1]B. [−12,1]C. [−√32,√32]D. [−1,0012. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知x ∈[2，3]时，f （x ）=x ，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A. x +4 B. 2−x C. 3−|x +1| D. 2−|x +1|13. 若函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1-x 2|的最小值为3π2，则ω的值为（ ）A. 13B. 23C. 43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在a ⃗ =（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（ ）A.B.C.D.15. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2则关于x 的方程6[f （x ）]2-f （x ）-1=0的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. lg2+lg5+π0=______．17. 已知tanα=3，则2sinα−cosαcosα+3sinα=______．18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则b⃗ 在a ⃗ 上的投影是______． 19. 若函数f （x ）=2x 2-kx -3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．20. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，则1x +1y 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB=√3．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量a⃗=（cosα，sinα），b⃗ =（cosβ，sinβ），|a⃗-b⃗ |=2√55．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k2=0，解得k=±．故选：A．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y 取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712+√33【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵bsinAacosB=√3．又∵由正弦定理asinA =bsinB，可得：sin B=bsinAa，∴可得：sinBcosB=tan B=√3，∵B∈（0，π），∴B=π3．（2）由sin C=2sin A及正弦定理asinA =bsinB，得c=2a，①．又b=2√3，B=π3，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．=√3 2sin2x−1+cos2x2+32，=sin(2x−π6)+1，令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），解得：−π6+kπ≤x≤kπ+π3（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[−π6+kπ，kπ+π3]（k∈Z）．（2）由于f（x）=sin(2x−π6)+1，所以f（α）=sin(2α−π6)+1，f（β）=sin(2β−π6)+1，角α，β的终边不共线，所以2α+2β−π3=π，整理得α+β=2π3，所以tan（α+β）=-√3．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）|a ⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，同理|b ⃗ |=1．∵|a ⃗ -b ⃗ |=2√55，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2√55，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=45，∴cos （α-β）=35．（2）∵0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513， ∴0＜α-β＜π，cosβ=√1−sin 2β=1213． ∴sin （α-β）=√1−cos 2(α−β)=45． ∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin （α-β）cosβ+cos （α-β）sinβ =45×1213+35×(−513)=3365． 【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出； （2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin （α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）f （x ）+f （-x ）=2x 2当x ≥0时，2x 2≤2x ⇒0≤x ≤1， 当x ＜0时，2x 2≤-2x ⇒-1≤x ＜0， ∴集合C =[-1，1]．（2）f （a x ）-a x +1-11=0⇒（a x ）2-（a -1）a x -11=0，令 a x =u则方程为 h （u ）=u 2-（a -1）u -11=0 h （0）=-11，u =a x ，x ∈[−1,1]，对称轴x =a−12当a ＞2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴1a <a−12<a函数在区间[1a ,a]内先单调递减，再单调递增 此时ℎ(a−12)<ℎ(1a )<ℎ(0)<0则ℎ(a)=a −11≥0即可 解得：a ≥11当1<a ≤2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴a−12<1a<a函数在区间[1a ,a]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≤0ℎ(a)=a 2−(a −1)a −11≥0⇒a ≥11，又1<a ≤2此时无解当 0＜a ＜1时，u ∈[a ，1a ]，h （u ）=0 在[a ，1a ]上有解，对称轴a−12<0<a <1a函数在区间[a,1a ]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≥0ℎ(a)=a −11≤0⇒0＜a ≤13，∴当 0＜a ≤13或 a ≥11时，方程在C 上有解，且有唯一解． 【解析】（1）直接把函数f （x ）=x 2+x 代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f （x ）=x 2+x 代入方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1），方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1）在C 上有解，转化为a x 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴==∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<Q ，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。

2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题一、单选题1．满足2，的集合A的个数是A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中解中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，当时，m＝9.【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.3．的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：.【考点】诱导公式．4．已知直线：，：，：，若且，则的值为A．B．10 C．D．2【答案】C【解析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5．已知2a＝5b 1a＋1b＝()A.12B．1 D．2【答案】D【解析】∵2a＝5b a＝log b＝log 1a＋1b＝＋＝10＝2.6．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是．故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D 【解析】试题分析：2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝45，故选D ． 【考点】同角三角函数间的基本关系． 8．设m ， n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥， m α⊂， n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂， n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂， n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥， //m n ， //n β，则αβ⊥ 【答案】D【解析】试题分析：m α⊥， ,n βαβ∴⊥,故选D.【考点】点线面的位置关系.9．已知函数，则（）A ．1B ．C ．2D ．0【答案】C【解析】根据题意可得，令对数的运算，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，函数，．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．10．若存在正数x 使成立，则a 的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得求得半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，即球心到截面圆圆心的距离为，由勾股定理可得，解得，因此，球的体积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．12．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】 根据题意，是定义在R 上的单调函数，满足，则为常数，设，则， 又由，即，则有，解可得，则，若，即，则，若，必有，则有，又由，则，解可得，即，所以，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题．二、填空题13．函数()1y x =-的定义域为___________。

2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．（5分）满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），若f（m）＝3，则实数m的值为（）A．B．C．±9D．93．（5分）的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ny+5＝0，l3：mx+3y+1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为（）A．﹣10B．10C．﹣2D．25．（5分）已知，则＝（）A．B．1C．D．26．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β9．（5分）已知函数，则＝（）A．1B．lg2C．2D．010．（5分）若存在正数x使成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）11．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，且f（a）＜f（b）＜e，若，则a与b的关系是（）A．a＝b3B．b＝a3C．b＝a4D．a＝b4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13．（5分）函数y＝ln（1﹣x）的定义域为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4有且仅有三个点到直线l：2x﹣5y+c ＝0的距离为1，则实数c的取值集合是．16．（5分）已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知点A（﹣4，0），B（2，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）若点P为曲线C，求此曲线的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与（1）中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．18．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．19．（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x（x≥40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝3，D是CB延长线上一点，且BD＝BC．（1）求二面角B1﹣AD﹣B的正切值；（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．21．（12分）已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx．（1）若k＝2，求方程f（x）＝0的解；（2）若关于x的方程f（x）＝0在区间（0，4）上有两个不相等的实根x1、x2：①求实数k的取值范围；②证明：．2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．【解答】解：满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A为：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．故选：C．2．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），∴4a＝2，解得a＝，∴f（x）＝，∵f（m）＝＝3，∴m＝9．故选：D．3．【解答】解：原式＝sin（π+）•cos（π﹣）•tan（﹣π﹣）＝﹣sin•（﹣cos）•（﹣tan）＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．4．【解答】解：∵l1∥l2且l1⊥l3，∴n﹣4＝0，m+6＝0，解得n＝4，m＝﹣6．则m+n＝4﹣6＝﹣2．故选：C．5．【解答】解：∵∴alg2＝blg5＝∴，∴＝2lg2+2lg5＝2lg10＝2故选：D．6．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1D，A1D⊥DC，A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，∴异面直线AD1与A1C所成的角的大小是90°．故选：C．7．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ＝＝＝＝．故选：D．8．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．9．【解答】解：∵函数，∴＝ln（﹣lg2）+ln（）+2＝ln（﹣lg2）+ln（+lg2）+2＝ln1+2＝2．故选：C．10．【解答】解：根据题意，⇒x﹣（）x＜a，设f（x）＝x﹣（）x，其导数为f′（x）＝1﹣（）x ln（）＝1+（）x ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，且f（0）＝0﹣（）0＝﹣1，则在（0，+∞）上，f（x）＞f（0）＝﹣1恒成立；若存在正数x使成立，即x﹣（）x＜a有正实数解，必有a＞﹣1；即a的取值范围为（﹣1，+∞）；故选：D．11．【解答】解：设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为r＝2cm，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，球心到截面圆圆心的距离为（R﹣1）cm，由勾股定理可得R2＝（R﹣1）2+22，解得，因此，球的体积为．故选：A．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，则f（x）﹣e x为常数，设f（x）﹣e x＝t，则f（x）＝e x+t，又由f[f（x）﹣e x]＝1，即f（t）＝1，则有e t+t＝1，解可得t＝0，则f（x）＝e x，若f（a）＜f（b）＜e，即e a＜e b＜e1＝e，则a＜b＜1，若，必有0＜a＜b，则有+＝，又由0＜a＜b＜1，则＜1，解可得＝，即lga＝3lgb，变形可得：a＝b3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13．【解答】解：要使原函数有意义，则解得：0≤x＜1所以原函数的定义域[0，1）．故答案为[0，1）．14．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下面为长方体，上面为圆锥，且长方体的长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，则该几何体的体积V＝．故答案为：6+π．15．【解答】解：如图，由圆的方程x2+y2＝4，可得圆心坐标为（0，0），圆半径r＝2，由题意可知，原点到直线2x﹣5y+c＝0的距离为1．由点到直线的距离公式可得：，∴c＝±．故答案为：{±}．16．【解答】解：函数函数，图象如图所示：若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），令a＜b＜c，则a•b＝1，8＜c＜10，故8＜abc＜10，故答案为：（8，10）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点A（﹣4，0），B（2，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．∴＝2，整理得：x2+y2﹣8x＝0．∴曲线C方程为x2+y2﹣8x＝0．（2）设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距为a，当a＝0时，直线l过（0，0），设直线方程为y＝kx．把y＝kx代入曲线C的方程x2+y2﹣8x＝0，得：（k2+1）x2﹣8x＝0，∵△＝64﹣4（k2+1）×0＝64，∴直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当a≠0时，直线方程为x+y＝a，把x+y＝a代入曲线C的方程x2+y2﹣8x＝0，得：2x2﹣（2a+8）x+a2＝0，∵直线l与曲线C只有一个公共点，∴△＝[﹣（2a+8）]2﹣8a2＝0，解得a＝4，∴直线l的方程为x+y﹣4+4＝0或x+y﹣4﹣4＝0．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥P A，又AB∩P A＝A，∴AC⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．19．【解答】解：（1）W＝xR（x）﹣（160x+400）＝x（﹣）﹣（160x+400）＝74000﹣﹣160x﹣400＝73600﹣﹣160x，（2）由（1）可得W＝73600﹣﹣160x≤73600﹣2＝73600﹣16000＝57600，当且仅当当且仅当＝160，即x＝50时取等号，所以当x＝50时，y取得最大值57600万元．20．【解答】解：（1）取BC中点O，B1C1中点E，连结OE，OA，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝3，D是CB延长线上一点，且BD ＝BC．∴以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，B1（，3，0），A（0，0，），D（，0，0），B（，0，0），＝（，0，﹣），＝（，3，﹣），平面ABD的法向量＝（0，1，0），设平面ADB1的法向量＝（x，y，z），则，取z＝，得＝（1，1，），设二面角B1﹣AD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，∴二面角B1﹣AD﹣B的正切值为2．（2）三棱锥C1﹣ABB1的体积：＝＝＝＝．21．【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣6，6）关于直线x﹣y+6＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由且，解得：m＝0，n＝0．故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r＝．故圆的方程为：x2+y2＝8；（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．由，得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）2﹣8＝0，∵P的横坐标x＝2一定是该方程的解，∴，同理，x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），∴直线AB和OP一定平行．22．【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝|x2﹣4|+x2+2x，当|x|≥2时，f（x）＝2x2+2x﹣4，由f（x）＝2x2+2x﹣4＝0，得x2+x﹣2＝0，得x＝1舍或x＝﹣2；当|x|＜2时，f（x）＝2x+4，由2x+4＝0得x＝﹣2（舍）；故当k＝2时，方程f（x）＝0的解是x＝﹣2．（2）不妨设0＜x1＜x2＜4，∵f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx＝，若x1、x2∈[2，4），与x1x2＝﹣2矛盾，若x1、x2∈（0，2），与y＝kx+4是单调函数矛盾则0＜x1＜2≤x2＜4；则kx1+4＝0 ①，2x22+kx2﹣4＝0 ②，由①，得：k＝﹣＜﹣2，由②，得：k＝＝﹣2x2+（﹣7，﹣2]；∴k的取值范围是（﹣7，﹣2）；联立①、②消去k得：2x22﹣•x2﹣4＝0，即2x1x22﹣4x2﹣4x1＝0，即x1x22＝2x2+2x1，则+＝，∵2≤x2＜4．∴＜2，即+＜2．。

2017-2018 学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）1. 设集合 A ={1，3}，集合 B ={1，2，4，5}，则集合 A ∪B =（）A. C. 3，1，2，4， 2，3，4，B. D. 3，4，2.， ＜ ＜ ，则 sin α 的值为（ ）已知 tanA.B. C.D.3.已知| |=4，| |=3，且 与 不共线，若向量与互相垂直，则 k 的值为（）4.A.B. C. D.如果奇函数 f （x ）在区间[2，8]上是减函数且最小值为 6，则 f （x ）在区间[-8，-2]上是（ ）A. C. 增函数且最小值为 减函数且最小值为B. D. 增函数且最大值为 减函数且最大值为5. 函数 f （x ）=2 +3x -7 的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.6. △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，若 a -c +b =ab ，则 C=（ ）A. B. C. D. 或 7.在△ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若 ， △则ABC 的形状是（ ）A. C.等腰三角形 直角三角形B. D.钝角三角形等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜ ，＜ ，若 A ∩B =∅，则实数 a 的取值范围是（）A.B. C.D.9.设 α 是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且 cos α=x ，则 tan α=（）A.10. 化简B.C.的结果是（）D.A.1B.C. D.11. 先把函数 f （x ）=sin （x -）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移 个单位，得到 y =g （x ）的图象．当 x ∈[，]时，函数 g （x ）的值域为（）A.B. C. D.0012. 设 f （x ）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，已知 x ∈[2，3]时，f （x ）=x ，则 x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为 f （x ）=（ ）x 2 2 2A. B. C. D.13. 若函数，ω＞0，x∈R，又f（x）=2，f（x）=0，且|x-x|的最小值为，则ω1212的值为（）A. B. C. D.214. 如图，△正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发△沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=（x）-1=0的实数根个数为（），＜，＞则关于x的方程6[f（x）]-fA.6B.7C.8D.9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16. lg2+lg5+π=______．17. 已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．2220. 在△ABC 中，已知， ，△，P 为线段 AB 上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 21. 已知集合 A ={x |（x +3）（x -2）≤0}，B ={x |1≤x ≤4}． （1）求 A ∩B ；（2）求（∁ A ）∪B ．22. 设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且． （1）求角 B 的大小；（2）若 b=2 ，sin C =2sin A ，求 a ，c 的值．23. 已知函数 f （x ）= sin xcox-cos x + ．（1）求 f （x ）的单调递增区间；（2）若角 α，β 的终边不共线，且 f （α）=f （β），求 tan （α+β）的值．24. 已知向量 =（cos α，sin α）， =（cos β，sin β），| - |=（1）求 cos （α-β）的值；．（2）若 0＜α＜ ，-＜β＜0，且 sinβ=-，求 sinα．R225. 已知二次函数 f （x ）=x +x ，若不等式 f （-x ）+f （x ）≤2|x |的解集为 C ． （1）求集合 C ；（2）若函数 g （x ）=f （a ）-a -11（a ＞0 且 a ≠1）在集合 C 上存在零点，求实数 a 的取值范围． 2 x x +11.【答案】C答案和解析【解析】解：∵集合 A={1，3}，集合 B={1，2，4，5}， ∴集合 A ∪B={1，2，3，4，5}．故选 C ．集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起，构成集合 A ∪B ，由此利用集合 A={1，3}， 集合 B={1，2，4，5}，能求出集合 A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan∴∵，，解得，∴sinα= ．或 ．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且 与不共线，向量∴（与）（互相垂直， ）==16-9k=0，解得 k=± ．故选：A ．由向量与互相垂直，得（ ）（ ）==16-9k =0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是基础题．2 24.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2+3x-7，因为y=2是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a-c+b=ab，可得cosC=∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．，x xxx222直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x -x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log（x+a）＜1=log4，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=再由可得x=-3，∴tanα=，故cosα==-，=．故选：D．244根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x- ）x∈[]时，）．所以：sin（2x-]=sin（2x-，）的图象．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x ）=0，且|x -x |的最小值为212，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除 D ，C 是适合的；故选：C ．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点 B 时 x 的值及 y 的值， 再研究点 P 从点 B 向点 C 运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是 条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设 t=f （x ），则关于 x 的方程 6[f （x ）] -f （x ）-1=0，等价 6t -t-1=0，解得 t= 或 t=，当 x=0 时，f （0）=0，此时不满足方程．若 2＜x≤4，则 0＜x-2≤2，即 f （x ）=（2-1），若 4＜x≤6，则 2＜x-2≤4，即 f （x ）=（2-1），作出当 x ＞0 时，f （x ）=如图：当 t= 时，f （x ）= 对应 3 个交点． ∵函数 f （x ）是奇函数，==的图象∴当 x ＜0 时，由 f （x ）=，可得当 x ＞0 时，f （x ）= ，此时函数图象对应 4 个交点，综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根．故选：B ．先设 t=f （x ），求出方程 6[f （x ）] -f（x ）-1=0 的解，利用函数的奇偶性作出函数在 x ＞0 时的图象，2 2|x-3| |x-5| 2利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴= ．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】上的投影等于| |cos＜，＞=2× =1解：根据向量的投影定义，在故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x -kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x -kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴c osC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设由，则||=||=1，，=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）22=故所求的最小值为= ．（7+）≥故答案为：．设 AB=c ，BC=a ，AC=b ，由 sinB=cosA•sinC 结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S =6，可求得 c =5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由 P 为线段 AB 上的一点，则存在实数 λ 使得，，=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量 推出 x=3λ，y=4-4λ 则 4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立 x ，y 与 λ 的关系，解决本题的第二个关键点在于由 x=3λ，y=4-4λ 发现 4x+3y=12 为定值，从而考虑利用基本不等式求解 最小值．21. 【答案】解：（1）∵集合 A ={x |（x +3）（x -2）≤0}={x |-3≤x ≤2}，B ={x |1≤x ≤4}．∴A ∩B ={x |1≤x ≤2}．（2）C A ={x |x ＜-3 或 x ＞2}，U∴（∁ A ）∪B ={x |x ＜-3 或 x ≥1}．【解析】（1）求出集合 A ，B ，由此能求出 A ∩B ．（2）求出 C A={x|x ＜-3 或 x ＞2}，由此能求出（∁ A ）∪B ．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22. 【答案】解：（1）∵． 又∵由正弦定理，可得：sinB =， ∴可得：=tan B = ， ∵B ∈（0，π），△ABC R U R∴B =．（2）由 sin C =2sin A 及正弦定理，得 c =2a ，①．又 b =2，B = ，由余弦定理 b =a +c -2ac cos B ，得 12=a +c -ac ，② 由①②得 a =2，c =4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 tanB 的值，结合范围 B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即 可求得 B 的值．（2）由已知及正弦定理可得 c=2a ，利用余弦定理可求 9=a +c -ac ，联立即可解得 a ，c 的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了 转化思想，属于基础题．23. ==【答案】解：（1）函数 f （x ）= sin xcox -cos x+ ．，，令 （k ∈Z ），解得： （k ∈Z ），故函数的单调递增区间为：（2）由于 f （x ）=所以 f （α）=角 α，β 的终边不共线，所以，整理得 ，． 所以 tan （α+β）=-， ， ，f （β）= （k ∈Z ）．，【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函2 2 2 2 2 2 2 2数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立 α 和 β 的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24. 【答案】解：（1） =1，同理 =1． ∵| - |=， ∴=，化为 2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）= ， ∴cos （α-β）= ．（2）∵0＜α＜ ，-∴0＜α-β＜π，＜β＜0，且 sinβ=- = ．， ∴sin （α-β）== ． ∴sin α=sin[（α-β）+β]=sin （α-β）cosβ+cos （α-β）sinβ== 【解析】（1）．==1．利用数量积运算性质| - |= =1，同理，展开即可得出；，可得（2）由 0＜α＜ ，-＜β＜0，且 sinβ=-，可得 0＜α-β＜π， ，sin （α-β）=．再利用 sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查 了推理能力和技能数列，属于中档题．25. 【答案】解：（1）f （x ）+f （-x ）=2x 当 x ≥0 时，2x ≤2x ⇒0≤x ≤1， 当 x ＜0 时，2x ≤-2x ⇒-1≤x ＜0， ∴集合 C =[-1，1]．（2）f （a ）-a -11=0⇒（a ） -（a -1）a -11=0，令 a =u则方程为 h （u ）=u -（a -1）u -11=0 h （0）=-11，u =a ， ∈，对称轴 x =22 2 x x +1 x 2 x x x 2当 a ＞2 时，u ∈[ ，a ]，h （u ）=0 在[，a ]上有解，对称轴函数在区间此时则解得：内先单调递减，再单调递增即可 当时，u ∈[ ，a ]，h （u ）=0 在[，a ]上有解，对称轴 函数在区间内单调递增 则⇒a ≥11，又此时无解当 0＜a ＜1 时，u ∈[a ， ]，h （u ）=0 在[a ， ]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则∴当 0＜a ≤ ⇒0＜a ≤ ，或 a ≥11 时，方程在 C 上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数 f （x ）=x +x 代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数 f （x ）=x +x 代入方程 f （a ）-a =11（a ＞0 且 a ≠1），方程 f （a ）-a =11（a ＞0 且 a≠1）在 C 上有解，转化为 a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关 键． 2 2 x x+1 x x+1x。

2018–2019学年度湖南省名校高一第一学期期末联考数学试卷（五）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷（选择题 60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={|46}x x <≤，那么（∁U M ）∩N 等于（ ） A ． ∅B ．{5} C ． {1，3}D ． {4，5}2．已知两条直线1l ：x+2ay ﹣1=0，2l ：2x ﹣5y=0，且l 1⊥l 2，则满足条件a 的值为（ ）A ．15B ．15-C ．5-D ． 5 3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ ）4. 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（ ）A ．x+1） B ．y ﹣2=x ﹣1）C ．x-1）D ．y+2=x+1）5. 直线5x-12y+8=0与圆2220x y x +-=的位置关系是（ ） A ． 相离 B ．相交 C ．相切 D ． 无法判断6.已知0.315121log 5,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<7.函数f(x)满足2log (3)0()(2)0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则(3)f 的值为( )A.1-B. 2-C.1D. 28.已知0x 是函数3()2xf x x=-+的一个零点．若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞）， 则（ ）A ． 1()f x ＜0，2()f x ＜0B ．1()f x ＜0，2()f x ＞0C ．1()f x ＞0，2()f x ＞0D ．1()f x ＞0，2()f x ＜09．如图长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB=6，AD= D ′D=5，二面角D ′﹣AB ﹣D 的大小是（ ）.A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90° 10．函数15log (13)x y =-的值域为（ ）.A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积．．．为 a 是（ ）．A.C.2D. 12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(0，+∞)都有121212()()0()f x f x x x x x -<≠-，若实数a 满足1313(log )2(log )3(1)f a f a f -+≥，则a 的取值范围是（ ）A ．1[,3]3B ．[1,3]C ．1(0,)3D ．(0,3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中横线上 13.两平行直线4x+3y ﹣5=0与4x+3y=0的距离是 . 14.2log 35lg2lg 222-+-=. 15.已知正方形ABCDO 的球面上，且锥O ﹣ABCD 的体积为.16.已知函数2(x)92,(x)x 1,xf g =-=+构造函数(),()()(x),(),()()g x f x g x F f x g x f x >⎧=⎨≥⎩那么函数(x)y F =的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．(本小题满分12分)已知集合A={x|﹣4≤x ≤9}，B={x|m+1＜x ＜2m ﹣1}，若A ∪B=A ，求m 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数3()()g x f x x =-,且()g x 为奇函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若0x >时，()2x f x =，求当0x <时，函数()g x 的解析式。