长郡中学高一下学期期末考试数学试题

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。

长郡中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题(在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1与1的等比中项是〔 〕A. 1B. －1C. ±1D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或者1考点：等比中项0b a <<，那么以下不等式错误的选项是〔 〕A. 22a b >B. 0a b ->C. 0a b +<D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者比拟法对各选项里面不等式的正误进展判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，那么()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，应选：A.【点睛】此题考察判断不等式的正误，常利用不等式的性质或者比拟法来进展判断，考察推理才能，属于根底题.9个大小一样的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，如今从中任意取一个，那么取出的球恰好是红色或者者黑色小球的概率为〔 〕 A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或者黑色小球的根本领件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者者黑色小球的概率为59，应选：D. 【点睛】此题考察古典概型概率的计算，解题时要确定出全部根本领件数和所求事件所包含的根本领件数，并利用古典概型的概率公式进展计算，考察计算才能，属于根底题.4,21A y、2,3B 的直线的倾斜角为34π，那么y 等于〔 〕 A. 1-B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，那么该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，应选：D.【点睛】此题考察利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考察计算才能，属于根底题.5.用斜二测画法画一个程度放置的平面图形的直观图是如下图的一个正方形，那么原来的图形是〔 〕．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规那么知与x'轴平行或者重合的线段与x ’轴平行或者重合，其长度不变，与y 轴平行或者重合的线段与x ’轴平行或者重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。

长郡中学2020—2021学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：100分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样D ．其他抽样方法3．已知直线l ，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βC ．若//l α，//l β/，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是55．若在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，a =4b =，则B =（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上都不对6．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．22B ．12+C ．2．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．()8πB ．C ．8πD ．8．若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为4，标准差为1，则135x +，235x +，…，35n x +的平均数和标准差分别为（ ）A ．4，1B ．17，8C ．17，9D ．17，39．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．45B ．710C ．35D ．1210．已知正三角形ABC 的边长为3，2AP PB =，2BQ QC =，2CR RA =，则PQ PR ⋅=（ ）A ．32B ．34C11．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为侧面ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π12．ABC △中，2AB =，BC =4AC =，点O 为ABC △的外心，若AO mAB nAC =+，则实数m nm n+-的值为（ ） A ．7B ．15C ．15-D ．17二、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．13．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球．这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ）A ．“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”B ．“恰有1个黑球”和“至少1个白球”C ．“至少1个黑球”和“至多1个白球”D ．“至少1个黑球”和“全是白球”14．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若|120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z = 15．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -（如图2）．下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ，顶点S 在面AEF 上的射影为AEF △的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 16．已知复数i z a b =+，a ，b ∈R （i 为虚数单位），且12i 1iz=+-，则z =______。

长郡中学2018-2019学年度高一第二学期期末考试数学时量:120分钟满分:100分一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.21+与21-两数的等比中项是A. 1B. 1-C. 1±D. 122.如果b <a <0，那么下列不等式错误的是A. a 2>b 2B. a 一b >0C. a +b <0D. b a >3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为A.79 B. 49 C. 23 D. 594.若经过两点A （4，2y +1），B(2，—3)的直线的倾斜角为 34π，则y 等于A.一1B.2C. 0D.一35.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是6.在等差数列{}n a 中，a 3+a 9=24一a 5一a 7，则a 6=A. 3B.6C. 9D. 12 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是 33R 33R 36R 36R 8.不等式230x x -<的解集为A. {}03x x <<B. {}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {}33x x -<<9.在各项均为正数的数列{}n a 中.对任意m ，n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅。

若664a =，则a 9等于A. 256B. 510C. 512D. 1024 10.同时投掷两枚股子，所得点数之和为5的概率是 A.14 B. 19 C. 16 D. 11211.在正四面体ABCD 中。

E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A.16B. 3C. 13D. 612.已知直线l 1： 2213(1)20,:(1)03x a y l x a y a +--=+--=，若l 1//l 2， 则a 的值为A. a =1或a =2B. a =1C. a =2D. 2a =- 13.在数列{}n a 中，若121212111,,()2n n n a a n N a a a *++===+∈，设数列{}n b 满足21log ()nb nn N a *=∈，则n b 的前n 项和S n 为 A. 2n一1 B. 2n一2 C. 2n+1一1 D. 2n+1一214.若满足条件60C ︒=a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是A.B.C. 2)D.(1.2)15.曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A. 2[0,][,)33πππ B. [,]33ππ- C. 2[,)3ππ D. [0,)3π二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)★16.设x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_______。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣23．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：15．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．556．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．167．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．4012．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．915．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=（10）．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样【解答】解：∵牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，是等距的∴①为系统抽样；某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法．故选：A．2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．解得a1=﹣2，d=3．故选：A．3．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b【解答】解：A．取a＜0，不成立；B．取a＜0，不成立；C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，因此不成立；D．∵a＜1，b＞1，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，∴ab＜a+b﹣1＜a+b，因此成立．故选：D．4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1【解答】解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=，故三内角分别为A=、B=、C=．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：=2：：1，故选：D．5．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55【解答】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故选：C．6．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．16【解答】解：根据题意，点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则有x+y=4，即x=y﹣4，则x2+y2=（y﹣4）2+y2=2y2﹣8y+16=2（y﹣2）2+8，分析可得：当y=2时，x2+y2取得最小值8，故选：A．7．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．【解答】解：根据题意，设天平的两臂长度分别为m、n，若两次称量结果分别为a，b，则有ma=nG且nb=mG，且a≠b，两式联立可得：G2=ab，即G=，而＞，则＞G；故选：C．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选：A．10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．40【解答】解：设数列的公比为q（q≠1），则∵﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，∴﹣3a1+a3=﹣2a2，∵a1=1，∴﹣3+q2+2q=0，∵q≠1，∴q=﹣3∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20故选：A．12．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π【解答】解：由三视图可得：SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以该三棱锥S﹣ABC的外接球是对应三棱柱的外接球，则球心到平面ABC的距离是SC的一半，即d=2，因为△ABC的外接圆的半径为，所以由勾股定理可得R2=d2+（）2=，则该三棱锥外接球的半径R=，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=，故选：B．14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9【解答】解：因为数列{a n}的通项公式为且其前n项和为：++…+=1﹣==，∴n=9，∴直线方程为10x+y+9=0．令x=0，得y=﹣9，∴在y轴上的截距为﹣9．故选：B．15．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=205（10）．【解答】解：11001101=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+1×22+0×2+1×20（2）=128+64+8+4+1=205．故答案为：205．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为392．【解答】解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，所以到第49个括号时共有数6×16+1=97个数，且第50个括号里的数的个数为2，则第50个括号里的第一个数是2×98﹣1=195，所以第50个括号里的数之和为195+197=392，故答案为：392．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（1）因为，所以，．又由得bccosA=3，所以bc=5因此．（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得，所以23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．【解答】（I）证明：设AC∩BD=H，连结EH．在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．又EH⊂平面BDE，PA不包含于平面BDE，所以PA∥平面BDE．（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．由（I）得，DB⊥AC．又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，得DH=CH=，BH=，，在Rt△BHC中，，所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得，解得．故a n=3+（n﹣1）•（﹣1）=4﹣n．（2）由（1）得，．，两边同乘以2得，两式相减得：﹣S n=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【解答】解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=0。

2024届湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（ ）ABCD ．132．已知直线l 的方程是y ＝2x ＋3，则l 关于y ＝－x 对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y ＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x －y ＝03．设{(,)|cos(arccos )},{(,)|arccos(cos )}A x y y x B x y y x ====,则A B =( )A ．{(,)|,11}x y y x x =-≤≤B ．11(,)|,22x y y x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{(,)|,01}x y y x x =≤≤D ．{(,)|,0}x y y x x π=≤≤4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．63B ．62C ．61D ．605．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为（ ） A ．52πB ．1163πC ．1103π D．(283π+6．设110b a<<，则下列不等式恒成立的是 A ．a b >B ．aa b b<-C ．33332b a a b+>D ．11||||b a < 7．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则函数()f x 在[6,10]上的最大值为（ ）A ．22B ．32C ．12D ．18．在递增的等比数列中，，是方程的两个根，则数列的公比A ．2B ．C ．D ．或29．已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量(2,)a λ=，若//a AB ，则实数λ的值为（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．3210．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( ) A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z ＝i •（2+i ），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与BD 所成角为（ ） A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°3．在△ABC 中，BD →=DC →，则AD →=（ ） A ．12AB →−12AC →B ．12AB →+12AC →C ．2AB →+2AC →D ．2AB →−AC →4．a 、b 为空间中两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．若a 、b 为异面直线，则过空间任一点M ，存在直线c 与a 、b 都垂直C ．若a ⊂α，α∩β＝b ，则a 与b 相交D ．若a 不垂直于α，且b ⊂α，则a 不垂直于b5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为9√3π，则该圆锥的母线长为（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√36．向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos 〈a →−c →，b →−c →〉＝（ ） A ．−15B ．−25C ．25D ．457．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A ＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B ＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C ＝“两次掷出的点数相同”，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．B 与C 相互独立 C ．P(A)=16D ．A 与C 互斥8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是（）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变10．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（）A．若z1是纯虚数，则z12＞0B．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为311．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点（含边界），点P在棱CC′上，且|PC′|＝1，则下列结论正确的有（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为4√5B ．保持PM 与BD ′垂直时，点M 的运动轨迹长度为3√2C ．若保持|PM|=2√5，则点M 的运动轨迹长度为4π3D ．平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得截面为等腰梯形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为 ．14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A 、B 至少有一所被选择的概率为 ．15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 ．16．如图，已知P ，Q 分别为∠AOB 两边上的点，∠AOB =π6，PQ ＝3，过点P ，Q 作圆弧，R 为PQ̂的中点，且∠PQR =π6，则线段OR 长度的最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量a →=（﹣1，3λ），b →=（5，λ﹣1）．（1）若a →∥b →，求λ的值；（2）若（2a →+b →）⊥（a →−b →），求λ的值．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，F 为AE 的中点． （1）求证：CE ∥平面BDF ； （2）求三棱锥E ﹣BDF 的体积．19．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．（1）写出表中M 、p 及图中a 的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10，15）上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2cosA=2．（1）求bc ； （2）若acosB−bcosA acosB+bcosA−b c=1，求△ABC 面积．21．（12分）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．AC ＝AB ＝4，BC ＝2．（1）证明：BC ⊥AD ；（2）E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥ABCD 的体积为1，求二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值．22．（12分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z ＝i •（2+i ），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵复数z ＝i •（2+i ）＝﹣1+2i ，∴z =−1﹣2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点是（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C ．2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与BD 所成角为（ ） A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°解：如图，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，连接B 1D 1，AB 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，有BB 1∥DD 1，BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为矩形， 所以BD ∥B 1D 1，所以∠B 1D 1A （或其补角）为异面直线AD 1与BD 所成角， 又AB 1＝B 1D 1＝AD 1=√2，所以△AB 1D 1是等边三角形， 所以∠B 1D 1A ＝60°，故异面直线AD 1与BD 所成角为60°． 故答案为：A ．3．在△ABC 中，BD →=DC →，则AD →=（ ） A ．12AB →−12AC →B ．12AB →+12AC →C ．2AB →+2AC →D ．2AB →−AC →解：如图，在△ABC 中，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，由向量加法的平行四边形法则可得，AD →=12AB →+12AC →．故选：B ．4．a 、b 为空间中两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．若a 、b 为异面直线，则过空间任一点M ，存在直线c 与a 、b 都垂直C ．若a ⊂α，α∩β＝b ，则a 与b 相交D ．若a 不垂直于α，且b ⊂α，则a 不垂直于b解：对于选项A ，若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α，A 错； 对于选项C ，若a ⊂α，α∩β＝b ，a ∥b 或a 与b 相交，C 错； 对于选项D ，若a 不垂直于α，且b ⊂α，a 可能与b 垂直，D 错； 对于选项B ，过空间一点作两条异面直线的平行线可以确定一个平面， 过空间一点作平面的垂线有且只有一条，B 正确． 故选：B ．5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为9√3π，则该圆锥的母线长为（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√3解：设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl ，底面圆面积为πr 2，因为πrl ＝2πr 2，所以l ＝2r ， 所以圆锥的高为h =√l 2−r 2=√3r ，所以圆锥的体积为13πr 2h =13πr 2•√3r =9√3π，解得r ＝3，所以该圆锥的母线长为l ＝2r ＝6． 故选：C ．6．向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，则cos 〈a →−c →，b →−c →〉＝（ ）A ．−15B ．−25C ．25D ．45解：因为向量|a →|＝|b →|＝1，|c →|=√2，且a →+b →+c →=0→，所以−c →=a →+b →， 所以c →2=a →2+b →2+2a →•b →，即2＝1+1+2×1×1×cos ＜a →，b →＞， 解得cos ＜a →，b →＞=0， 所以a →⊥b →，又a →−c →=2a →+b →，b →−c →=a →+2b →，所以（a →−c →）•（b →−c →）＝（2a →+b →）•（a →+2b →）＝2a →2+2b →2+5a →•b →=2+2+0＝4， |a →−c →|＝|b →−c →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+0+1=√5，所以cos 〈a →−c →，b →−c →〉=(a →−c →)⋅(b →−c →)|a →−c →||b →−c →|=4√5×√5=45． 故选：D ．7．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A ＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B ＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C ＝“两次掷出的点数相同”，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．B 与C 相互独立 C ．P(A)=16D ．A 与C 互斥解：对于A ，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A 可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B 有同时发生的可能，故A 错误； 对于B ，P(B)=36=12，P(C)=66×6=16，P(BC)=36×6=112=P(B)⋅P(C)， 所以B 与C 相互独立，故B 正确；对于C ，先后两次掷一枚质地均匀的骰子，共有36个基本事件，其中事件A 包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个， 所以P （A ）=536，故C 错误；对于D ，因为P(A)=536，P(C)=16，P(AC)=136，P （AC ）≠P （A ）•P （C ），所以A 与C 不相互独立，故D 错误． 故选：B ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0， 所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab，所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某企业对目前销售的A ，B ，C ，D 四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是（ ）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变解：设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a．对于产品A，产品升级前的营收为0.1a，升级后的营收为2a×0.2＝0.4a，故升级后的产品A的营收是升级前的4倍，A正确．同理可得B正确，C错误．产品升级后，产品B，D营收的总和占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．10．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（）A．若z1是纯虚数，则z12＞0B．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为3解：A．z1＝i时，i2＝﹣1＜0，故A错误；B．z1＝i，z2＝1时，z12+z22=−1+1=0，得不出z1＝z2＝0，故B错误；C．设z1＝a+bi，z2＝c+di，则|z1|＝|z2|时，a2+b2＝c2+d2，又z1⋅z1=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，z2⋅z2=c2+d2，∴z1⋅z1=z2⋅z2，故C正确；D．设z1＝a+bi，则a2+b2＝1，∴﹣1≤b≤1，∴|z1+2i|＝|a+（b+2）i|=√a2+(b+2)2=√1+4+4b≤√5+4=3，故D正确．故选：CD．11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理CDsin∠CBD =BCsin∠BCD，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB=ABBC，即可求AB；对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB=ABAC，可求得AB；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB=ABBC，可用AB表示BC，由sin∠ACB=ABAC，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB．故选：ACD．12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点（含边界），点P 在棱CC ′上，且|PC ′|＝1，则下列结论正确的有（ ）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为4√5B ．保持PM 与BD ′垂直时，点M 的运动轨迹长度为3√2C ．若保持|PM|=2√5，则点M 的运动轨迹长度为4π3D ．平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得截面为等腰梯形 解：对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则|AP|=√16+49=√65＜4√5，故A 错误； 对于B ，如图：∵DD ′平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD ′⊥AC ，又AC ⊥BD ， DD ′∩BD ＝D ，DD ′，BD ⊂平面 DD ′B ， ∴AC ⊥平面 DD ′B ，BD ′⊂平面 DD ′B ．∴AC ⊥BD ′'，同理可得BD ′⊥AB ′，AC ∩AC ′＝A ，AC ，AB ′⊂平面 ACB ′．∴BD ′⊥平面 ACB ′．∴过点P 作PG ∥C ′D 交CD 交于G ，过G 作GF ∥AC 交AD 交于F ， 由AB ′∥C ′D ，可得PG ∥AB ′，PG ⊄平面ACB ′，AB ′⊂平面ACB ′， ∴PG ∥平面ACB ′，同理可得GF ∥平面ACB ′． 则平面PGF ∥平面ACB ′．设平面PEF 交平面ADD ′A ′于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ， 由点P 在棱CC ′上，且|PC ′|＝1，可得|DG |＝|DF |＝|AE |＝1， ∴|EF|=34|A′D|=3√2，故B 正确； 对于C ，如图：若|PM|=2√5，则M 在以P 为球心，2√5为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD ′A ′，则|D ′Q |＝1，此时|QM|=√|PM|2−|PQ|2=2． ∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π3×2=4π3，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D ′P 交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD ′P 被正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′截得的截面为AIPD ′．△PCH ∼△D ′DH ，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．△ICH ∼△ADH ，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，∴|PH||D′H|=|IH||AH|=|PI||AD′|=34，∴PI ∥AD ′，且|PI |≠|AD ′|，∴截面AIPD ′为梯形，|AI|=|PD ′|=√16+1=√17，∴截面AIPD ′为等腰梯形，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为83π ．解：由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和， 故该麦门冬的体积V =13×π×12×4×2=83π， 故答案为：83π．14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A 、B 至少有一所被选择的概率为89．解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A 、B 、C 这3所院校中选择一所填报志愿． 假设每位同学选择各个院校是等可能的， 则基本事件总数n ＝3×3＝9，院校A 、B 至少有一所被选择的对立事件是院校A 、B 都没有被选择， ∴院校A 、B 至少有一所被选择的概率：p ＝1−19=89． 故答案为：89．15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 2+2√3 ． 解：如图，4个小球球心构成的正方形为O 1O 2O 3O 4，中心为N ，由题意O 1O 2＝4，NO 1=2√2， 半球形容器的球心为O ，显然当半球形容器与4个小球都相切时球O 的半径最小，半球形容器与球O 1的切点为A ， 连接ON ，则ON ＝小球的半径＝2，球O 的半径=OA =O 1A +OO 1=2+√ON 2+O 1N 2=2+2√3． 故答案为：2+2√3．16．如图，已知P ，Q 分别为∠AOB 两边上的点，∠AOB =π6，PQ ＝3，过点P ，Q 作圆弧，R 为PQ̂的中点，且∠PQR =π6，则线段OR 长度的最大值为 3+2√3 ．解：设∠PQO ＝θ，则0＜θ＜5π6，在△OPQ 中，由正弦定理知OPsinθ=PQsin∠POQ =3sinπ6=6，所以OP ＝6sin θ，因为R 为PQ ̂的中点，所以∠QPR =∠PQR =π6， 则PR ＝QR ，在△RPQ 中由余弦定理PQ 2＝PR 2+QR 2﹣2PR •QR cos ∠PRQ ， 解得PR =QR =√3，在△ORP 中，∠OPR =∠OPQ +∠QPR =5π6−θ+π6=π−θ，由余弦定理可得OR 2=OP 2+PR 2−2OP ⋅PRcos∠OPR =36sin 2θ+3−2√3×6sinθ×cos(π−θ) =18(1−cos2θ)+3+6√3sin2θ=12√3sin(2θ−π3)+21 所以当θ=5π12时，OR 2取得最大值21+12√3， 即OR 的得最大值3+2√3． 故答案为：3+2√3．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a →=（﹣1，3λ），b →=（5，λ﹣1）． （1）若a →∥b →，求λ的值；（2）若（2a →+b →）⊥（a →−b →），求λ的值． 解：（1）由向量a →=(−1，3λ)，b →=(5，λ−1)， 因为a →∥b →，所以﹣（λ﹣1）＝15λ，解得λ=116． （2）由题意得，向量2a →+b →=(3，7λ−1)，a →−b →=(−6，2λ+1)，由(2a →+b →)⊥(a →−b →)，可得(2a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则3×（﹣6）+（7λ﹣1）（2λ+1）＝0， 即14λ2+5λ﹣19＝0，解得λ＝1或−1914．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，F 为AE 的中点． （1）求证：CE ∥平面BDF ； （2）求三棱锥E ﹣BDF 的体积．解：（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，再连接OF ， 在△ACE 中，O 为AC 中点，F 为AE 的中， 所以OF ∥CE ，又CE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ， 所以CE ∥平面BDF ． （2）因为该几何体为正方体，所以点D 到平面ABB 1A 1的距离等于AD ， 所以点D 到平面BEF 的距离等于AD ，根据等体积法可知V E−BDF =V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×EF ×AB ×AD =13．19．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．（1）写出表中M 、p 及图中a 的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10，15）上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25， 得10M=0.25，解得M ＝40，∴10+24+m +2＝40， 解得m ＝4，p =mM =0.10，∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a =2440×5=0.12． （2）∵该校高三学生有240人，在[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：240×0.25＝60． （3）估计这次学生参加社区服务人数的众数是15+202=17.5，∵n =2440=0.6，∴样本中位数是15+0.5−0.25a≈17.10， 估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.10．20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2cosA=2．（1）求bc ； （2）若acosB−bcosA acosB+bcosA−b c=1，求△ABC 面积．解：（1）因为b 2+c 2−a 2cosA=2bccosA cosA=2bc ＝2，所以bc ＝1； （2）acosB−bcosAacosB+bcosA −bc =sinAcosB−sinBcosAsinAcosB+sinBcosA−sinB sinC=1，所以sin(A−B)sin(A+B)−sinB sinC=sin(A−B)−sinB sinC=1，所以sin （A ﹣B ）﹣sin B ＝sin C ＝sin （A +B ），所以sin A cos B ﹣sin B cos A ﹣sin B ＝sin A cos B +sin B cos A ，即cos A =−12， 由A 为三角形内角得A =2π3， △ABC 面积S =12bc sin A =12×1×√32=√34．21．（12分）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．AC ＝AB ＝4，BC ＝2．（1）证明：BC ⊥AD ；（2）E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥ABCD 的体积为1，求二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：连接AO ，延长交BC 于M ，则M 是BC 的中点．∵D 在面ABC 上的投影为O ∴DO ⊥面ABC ，∴DO ⊥BC ， ∵AC ＝AB ，∴BC ⊥AM ，∵AM ∩DO ＝0，∴BC ⊥平面ADM ， ∵AD ⊂平面ADM ， ∴BC ⊥AD ．（2）由（1）知AM ⊥BC ，OD ⊥面ABC ，AC ＝AB ＝4，BC ＝2，则AM =√AB 2−BM 2=√15，S △ABC =12AM ⋅BC =√15， 设AO ＝r ，则BO ＝r ，又OM 2+BM 2＝OB 2， 所以(√15−r)2+12=r 2，解得r =8√1515，故OM =AM −AO =7√1515， 因为三棱锥ABCD 的体积为1，所以13S △ABC ⋅OD =13×√15⋅OD =1，则OD =√155， 过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ， 故建系如图，则根据题意可得：则C(0，1，0)，B(0，−1，0)，O(7√1515，0，0)，A(√15，0，0)，D(7√1515，0，√155)， 故OA →=(8√1515，0，0)，AD →=(−8√1515，0，√155)，OC →=(−7√1515，1，0)，因为E 为AD 上靠近A 的四等分点，所以OE →=OA →+14AD →=(2√155，0，√1520)，设n →=(x ，y ，z)为平面ECO 的一个法向量，则{n →⋅OE →=2√155x +√1520z =0n →⋅OC →=−7√1515x +y =0，取n →=(√1556，18，√157)， 易知m →=(0，0，1)是平面COB 的一个法向量，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√1571×√15562+164+1549=√154，又由图可知二面角E ﹣CO ﹣B 的平面角为钝角， 所以二面角E ﹣CO ﹣B 的余弦值为−√154．22．（12分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第21页（共21页） 第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．乙获连负两场，所以1、4均负，所以乙获连负两场的概率为P =34×12=38．（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为：P ＝（34）3+2×（34）3×14=81128． （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，所以甲与乙在决赛相遇的概率为：P =34×34×12×12+14×34×34×12=27128， 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种： 乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：p =14×12×12×（34×14+14×12）+14×12×12×（34×14+14×12）=5128，丁与丙相同， 所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：27128+5128+5128=37128．。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共15小题）.1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0 2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b23．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．14．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．56．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．47．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.610．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m 11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．412．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0【分析】直接利用两点式方程，求出直线方程即可．解：由直线方程的两点式可得经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程为，即3x﹣4y﹣12＝0．故选：A．2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b2【分析】根据a＞b＞0，根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解：∵a＞b＞0，∴|a|＞|b|，，﹣a＜﹣b，a2＞b2．故选：B．3．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【分析】根据两直线垂直列出方程求得a的值．解：由直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，所以3a+3×（﹣1）＝0，解得a＝1．故选：D．4．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理即可求解．解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．5【分析】函数化为y＝，利用基本不等式即可得出结论．解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴y＝≥+3＝5，当且仅当，即x＝4时，函数的最小值为5．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：∵a2+a8＝0，S11＝33，∴2a1+8d＝0，11a1+d＝33，解得d＝3．故选：C．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由已知可得圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积公式求解．解：∵圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，∴圆锥的母线长l＝2．∴该圆锥的侧面积为S＝π×1×2＝2π．故选：B．8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.6【分析】计算、，代入y关于x的线性回归方程中求出实数a的值．解：由表中数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（69+75+83+92+99）＝83.6，代入y关于x的线性回归方程y＝7.7x+a中，得a＝﹣7.7×＝83.6﹣7.7×3＝60.5，所以实数a的值为60.5．故选：B．10．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α∥β，l⊂α，m⊂β，得l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α，又m∥α，则l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l与m的位置关系是平行、相交或异面，相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．故选：B．11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．4【分析】先根据余弦定理求出∠C度数，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝7，AC＝8，DC＝5，由余弦定理得cos C＝＝＝，因为是三角形内角，∴∠C＝60°，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠C＝60°，由正弦定理＝得：AB＝＝4．故选：D．12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：由题意可知，每天织布的数量是以2为公比的等比数列，设首项a1，则＝5，解可得，a1＝，a3＝＝．故选：D．13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】连接AD1，证得AD1∥BC1，可得∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线AM与BC1所成角的余弦值．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10＝90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝；故选：D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r＝，设圆心为M，则|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7＝0的距离，|MP|最小值＝＝2，则|PA|最小值＝＝，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（﹣2，2）．【分析】设y＝x2﹣kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y＝x2﹣kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．解：依题意，设y＝x2﹣kx+1，因为不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，所以△＝k2﹣4＜0，解得k∈（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝8．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），可得a2＝S1+1＝2，a3＝S2+1＝a1+a2+1＝4，a4＝S3+1＝a1+a2+a3+1＝8，故答案为：8．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．【分析】利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．解：设AB＝hm，则BC＝h，BD＝h，则h﹣h＝20，∴h＝m，故答案为．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．【分析】由于BD过球心，所以可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AO⊥面BCD，推出BC＝CD时体积最大求解即可．解：当BD过球心，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，所以AO⊥面BCD，V A﹣BCD＝•BC•CD•OA，当BC＝CD时体积最大，因为BD＝2，OA＝，所以BC＝CD＝2，所以最大体积为：•2•2•＝；故答案为：．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是﹣2或6．【分析】由数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．解：∵数据x1，x2，…，x10的方差为1，∴（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x10﹣）2＝10，∴（x12+x22+…+x102）+10﹣2（x1+x2+…+x10）＝10，∴（x12+x22+…+x102）﹣10＝10，①∵（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣4（x1+x2+…+x10）+40＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣40+40＝170，②将②﹣①得，∴﹣4﹣12＝0，解得＝﹣2，或＝6，故答案为：﹣2或6．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得：a2+b2﹣c2＝ab，进而可求cos C的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab＝12，结合已知由余弦定理即可求解c的值．解：（1）∵，∴a＝c•+b，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵C＝，△ABC的面积等于＝ab sin C＝ab，∴ab＝12，∵a+b＝7，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝49﹣3×12＝13，可得c＝．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．【分析】（1）化曲线C为圆的一般方程，再由5﹣m＞0求得m的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得m值．解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即m＜5；（2）圆C的半径为，圆心（2，1）到直线2x+y﹣4＝0的距离d＝，又|MN|＝，∴，解得m＝4．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．【分析】（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a，b，由中位数公式，即可得出答案．（2）设在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案．解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026，中位数为≈112.31．（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．【分析】（1）取PC中点G，连接DG、FG．由三角形中位线定理可得GF∥BC，GF ＝BC．再由已知得到DE∥BC，DE＝BC，可得GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG 为平行四边形，得到EF∥DG．由直线与平面平行的判定可得EF∥平面PCD；（2）由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD．得到CD⊥PA．进一步得到PA⊥平面PCD．从而可得平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，∵F，G分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，GF＝BC．∵底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG．又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，EF∥平面PCD；（2）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．又∵PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PCD．∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）运用等差数列的定义和数列的递推式，化简整理，即可得证；（2）求得a n＝n•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到S n；（3）原不等式可化为λ≥对n∈N*恒成立，可令c n＝，判断{c n}的单调性，求得其最大值，可得实数λ的取值范围．解：（1）b n+1＝2n a n+1＝2n（）＝2n﹣1a n+1＝b n+1，即b n+1﹣b n＝1，所以数列{b n}为首项为b1＝20a1＝1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得b n＝n，即2n﹣1a n＝n，可得a n＝n•（）n﹣1，S n＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1，S n＝1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，两式相减，得S n＝1+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n，化简得S n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1；（3）不等式S n≥4﹣2λ﹣，即4﹣（n+2）•（）n﹣1＞4﹣2λ﹣，化为λ≥对n∈N*恒成立，令c n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以n≤3时，c n+1﹣c n＞0，即c n+1＞c n；n＝4时，c n+1﹣c n＝0，即c n+1＝c n；n≥5时，c n+1﹣c n＜0，即c n+1＜c n；所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…，所以{c n}的最大值为c4＝c5＝，所以λ≥．。

长沙市长郡中学2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（ ） A ．16B ．112C ．124D ．1362．在ABC ∆中，角A B 、均为锐角，且cos sin A B >，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知::2:3:4a b c =，则ABC ∆最大角的余弦值是( ) A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上递增，那么一定有（ ） A ．23()(1)4f f a a ->-+B ．23()(1)4f f a a --+C ．23()(1)4f f a a -<-+D ．23()(1)4f f a a --+5．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．1,2⎡-⎢⎣⎦D．1,2⎡--⎢⎣⎦6．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件：99199100100111001a a a a a -⋅-<-＞，＞，；给出下列论:①01q ＜＜；②9910110a a ⋅-＞；③100T 值是T 中最大值；④使1n T ＞成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．16tan3π的值为（ ） A ．33-B ．33C ．3D ．3-8．已知数列{}n a 的通项公式是23n a n =-，则该数列的第五项是（ ） A ．13-B ．13C ．11-D ．16-9．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=，21a =，则数列{}n a 的前10项和10S 为（ ） A ．()104213- B ．()104213+ C ．()104213-- D ．()104123-- 10．平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂ ，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是（ ） A ．平行B ．异面C ．垂直D ．不相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其图像的对称轴为：A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 02. 下列各数中，属于无理数的是：A. √4B. √9C. √16D. √253. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 100，a1 = 1，则公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/55. 下列函数中，在定义域内单调递减的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2xC. f(x) = -xD. f(x) = x^36. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a4 = 16，则q的值为：A. 2B. 4C. 8D. 167. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是：A. |z| = 3B. |z| = 2C. |z| = 1D. |z| = 08. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 若a、b、c是△ABC的三边，且满足a + b + c = 12，a^2 + b^2 + c^2 = 36，则△ABC的面积S为：A. 6B. 9C. 12D. 1810. 下列命题中，正确的是：A. 两个等差数列的和也是等差数列B. 两个等比数列的积也是等比数列C. 两个等差数列的积也是等差数列D. 两个等比数列的和也是等比数列二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(3) = 5，则x的值为______。

12. 若复数z满足|z + 1| = 3，则z的取值范围是______。

13. 在△ABC中，若a = 5，b = 7，c = 8，则sinB的值为______。

长郡中学2021-2022学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．当213m <<时，复数()()3i 2i m +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+a b u u u r ，28BC =-+a b u u u r ，()3CD =-a b u u u r，则（ ） A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生中近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，104．如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为54π，则球的体积为（ ）A ．27πB ．36πC ．54πD ．108π5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ．23B ．35C ．25D ．156．四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1=3，底面是边长为4且∠DAB =60°的菱形，AC BD O =I ，11111AC B D O =I ，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．37．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据以下四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3，中位数为2 B ．中位数为3，众数为2 C ．中位数为3，方差为2.8 D ．平均数为2，方差为2.4 8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．α∥β，l ∥αB ．αβ⊥，l β⊥C ．α与β相交，且交线平行于lD ．α与β相交，且交线垂直于l二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2015年7月，北京成功获得2022年冬奥会举办权．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论错误的是（ ）A ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降C ．2016年与2021年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6% 10．已知向量a =（1，1x -），b =（x ，2），则（ ） A ．≠a bB ．若⊥a b ，则23x =C ．若a ∥b ，则x=2D ．-≥a b 11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =4，BC =2，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．平面ADM ⊥平面CDD 1C 1B ．A ，M ，N ，B 四点共面C ．B 1M 与BN 所成角为60°D ．BN//平面ADM12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，则下列结论正确的是（ ） A ．角C 可以为锐角 B ．22220a bc +-=C ．tan B 的最小值为3D ．3tan tan 0A C +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为________． 14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmi l e 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmi l e 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmi l e 的速度，沿北偏东（45α︒+）方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角α的余弦值为________．15．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D △ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC AP ⋅u u u r u u u r的最大值为________．第15题图第16题图16．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D 为棱A 1C 1上的点，且BC 1∥平面AB 1D ，则11A DDC ________；已知AB =BC =AA 1=1，AC，以D，为半径的球面与侧面AA 1B 1B 的交线长度为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ，2a 和2个白球1b ，2b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18．（本小题满分12分）设z是虚数，1zzω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z的值及z的实部的取值范围；（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．20．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）21．（本小题满分12分） 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 2sin sin C A B =，点D 在边AB 上，且CD ⊥AB ． （1）证明：12CD c =；（2）若22a b +=，求∠ACB ． 22．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，∠ADC =∠BAD =2π，F 为PA 的中点，PD AB =AD =12CD =1，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ． （1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．。