最新华师大版数学八年级下华东师大版20.2矩形的判定 同步达纲练习

课时作业(三十一)[19.1 2. 第1课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )图K－31－1A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )A．AD⊥CD B．AD＝CDC．AC⊥BD D．AC＝BDK－31－2K－31－34．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．A．①②B．①④C．①③④ D．②③④二、填空题5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．图K－31－4图K－31－56．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结图K－31－67．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.三、解答题8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图K－31－79.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结图K－31－810．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．图K－31－911．2020·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结图K－31－1012．·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．图K－31－11动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？图K－31－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 27．[答案] 68．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC.∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.同理FH ＝12BD.又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°， ∴∠CEF ＝90°.∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ， ∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°. ∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.又∵BO＝CO，∴四边形BECD是平行四边形．(2)10012．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∵∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝AF.(2)四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，∴四边形ACDF为矩形．[素养提升][解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.解：根据题意，当AP＝DQ时，由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。

（新课标）华东师大版八年级下册19.1.2矩形的判定与性质一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．62．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.58．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是_________ ．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为_________ ．12．（如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是_________ ．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_________ ．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是_________ ．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？19.1.2矩形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D． 6考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．解答：解：如图，连接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵AB•AC=BC•AP，即AP===4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．2．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．解答：解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．点评：本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少考点：矩形的判定与性质；垂线段最短．菁优网版权所有分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．解答：解：如图，连接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．解答：解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）．故选C．点评：本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分．解答：解：A、矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C、对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故选C．点评：此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．8．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+2考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有分析：延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．解答：解：延长BC、AD交于O，∵∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B=∠CDO=90°，∠O=30°，∵AB=4cm，CD=2cm，∴OA=2AB=8cm，CO=2CD=4cm，由勾股定理得：OB==4（cm），OD==2（cm），∴BC=（4﹣4）cm，AD=（8﹣2）cm，∴AB+AD+DC+BC=4cm+（8﹣2）cm+2cm+（4﹣4）cm=（10+2）cm，故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，垂直定义，勾股定理的应用，关键是求出BC、AD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．解答：解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：×4=×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．点评：本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 2.4 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．解答：解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，即×4×3=×5•CP，解得CP=2.4．故答案为：2.4．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 4.8 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP==4.8，故答案为：4.8．点评：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是18 ．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有分析：求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CDB=∠DAE，∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴∠C=∠ADE=90°，∴DE∥BC，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADE和△DCB中∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE=BC=4，在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，由勾股定理得：DC=3，∴AD=DC=3，∵ED=BC，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD=BE=3，∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18，故答案为：18．点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，关键是求出各个边的长度，本题综合性比较强，有一定的难度．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．解答：解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AC•BC=AB•PC，∴PC=．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是2．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由AF=BF得到F为AB的中点，又DF垂直平分AC，得到D为AC 的中点，可得出DF为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC于宽CD 的乘积即可求出矩形BCED的面积．解答：解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC 的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2，∴DF=BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=，∴CD=AD=，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2．故答案为：2点评：此题考查了矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，是一道多知识的综合性题，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．解答：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点评：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．考点：矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．解答：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：求出平行四边形APCE、DEBP，推出HP∥EF，HE∥FP，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：∵在矩形ABCD中，∴AB=DC，AD∥BC，∵ED=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵在矩形ABCD中，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，∴CE=，同理BE=2，∴BE2+CE2=BC2∴∠BEC=90°，∴四边形EFPH是矩形．点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出四边形HPFE是平行四边形和求出∠BEC=90°．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．考点：矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有分析：（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．解答：解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．点评：本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF ≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定求解．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：动点型．分析：当四边形ABQP为矩形时，则AP=BQ，列式可求得t的值．解答：解：∵在矩形ABCD中，AD=12cm，∴AD=BC=12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ．①当0＜t＜3时，t=12﹣4t，解得，t=；②当3≤t＜6时，t=4t﹣12，解得t=4；③当6≤t＜9时，t=36﹣4t，解得t=；④当9≤t≤12时，t=4t﹣36，解得，t=12．综上所述，当t 为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．点评：本题考查了矩形的性质和平行线的性质．解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。

《矩形》同步练习1．下列命题中不正确的是()A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )A.B. C. D. 5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D ．测量其中三个角是否都为直角6. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A. B. C.4 D.7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______ cm，BC＝______cm。

8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______。

答案和解析一．基础训练1.【答案】C；【解析】矩形的对角线相等。

2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半。

3.【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm。

4.【答案】D；【解析】∠2＞∠1。

二．拓展提升5.【答案】D；6.【答案】A；【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF为△ABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO。

《矩形的判定》基础训练一、选择题（本大题共5小题，共50.0分）1．（10分）下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形2．（10分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DAC C．AC⊥BD D．AB＝BC 3．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝BC，AB∥CD D．∠BAD＝∠ADC4．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.55．（10分）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形二、填空题（本大题共5小题，共50.0分）6．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．7．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D 作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．8．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．9．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，且AD⊥DC，∠A＝135°，BC＝6，AD ＝，则四边形ABCD的面积为．10．（10分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可）《矩形的判定》基础训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共50.0分）1．（10分）下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）2．（10分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DAC C．AC⊥BD D．AB＝BC【分析】因为矩形是特殊的平行四边形，所以根据矩形的判断方法来添加条件即可．【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB，（对角线相等的平行四边形是矩形）故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．3．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝BC，AB∥CD D．∠BAD＝∠ADC【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形．据此分析判断．【解答】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B、根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C、不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D、由平行四边形ABCD中AB∥CD，可得∠BAD+∠ADC＝180°，又∠BAD＝∠ADC，得出∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．4．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.5【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．5．（10分）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选：B．【点评】此题主要考查了对矩形定义和判定的理解．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．二、填空题（本大题共5小题，共50.0分）6．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．7．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D 作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．【分析】连接CD，由题意可证四边形DECF是矩形，可得CD＝EF，根据垂线段最短，可得当CD⊥AB时，EF长度最短，即根据三角形的面积公式可求CD的长度，即可得线段EF长度的最小值．【解答】解：如图连接CD∵∠C＝90°，DF⊥AC，DE⊥BC∴四边形DECF是矩形∴EF＝CD∵垂线段最短∴当CD⊥AB时，CD的长度最短，即EF的长度最短．∵BC＝4，AC＝3，∠C＝90°∴AB＝5∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD∴CD＝∴EF长度的最小值为故答案为【点评】本题考查了矩形的性质和判定，利用垂线段最短求CD的长度最小值是本题的关键．8．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB＝DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB＝DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC，又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB＝DC．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．9．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，且AD⊥DC，∠A＝135°，BC＝6，AD ＝，则四边形ABCD的面积为12．【分析】根据题意推知△BCE和△AED是等腰直角三角形，则S四边形ABCD＝S△BCE﹣S△AED．【解答】解：如图，延长BA、CD交于点E．∵∠DAB＝135°，∴∠EAD＝45°．∵AD⊥DC，∴∠E＝∠EAD＝45°．∴AD＝ED＝2，又∵AB⊥BC，∴∠C＝∠E＝45°，∴BC＝BE＝6，∴S四边形ABCD＝S△BCE﹣S△AED＝BC•BE﹣AD•ED＝×6×6﹣×2×2＝12．故答案是：12．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质．此题利用“分割法”求得四边形ABCD 的面积．10．（10分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足AC＝BD或∠ABC＝90°条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可）【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．。

2.矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．D ACF OEB第4题图 第6题图5．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？DACFPEB9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12.（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再过点D 折叠，使AD 落在折痕BD 上，得另一折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG 的长度．。

20.2矩形的判定同步达纲练习一、填空：1．矩形ABCD的周长为52cm，对角线AC和BD相交于O，且△OCD和△OAD的周长差是10cm，则矩形的长边长________，短边长_________。

2．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且CE：EA=1：3，若AB=5cm，则AC=_________3．在矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，且CE=AB，连结DE，则∠ADE=_________ 4．矩形两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多1cm，若矩形周长是26cm，则矩形各边长为__________。

5．_________的四边形是矩形6．_________的平行四边形是矩形二、判断：1．矩形是轴对称图形且有两条对称轴（）2．矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（）3．两条对角线互相平分的四边形是矩形（）4．有两个角是直角的四边形为矩形（）三、解答：1．如图，已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：ME=MF2．如图，已知，△ABC中，CE⊥AD于E，BD⊥AD于D，BM=CM求证：ME=MD参考答案一、1．18cm 8cm2．10cm3．15°4．7.5cm 5.5cm 7.5cm 5.5cm5．有三个角是直角（或对角线互相平分且相等）6．对角线相等二、1．√2．√3．×4．×三、1．∵∠A=90°，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ∴四边形AEPF 为矩形，∴AF=EP∵AB=AC ，∠BAC=90° ∴∠B=45°∵PE ⊥AB 于E ，∠EPB=45°，∴∠B=∠EPB∴BE=EP ∴BE=AF∵直角△ABC 中，∠BAC=90°M 为BC 边中点 ∴BC AM 21= 即AM=BM ∵AB=AC ，M 为BC 中点，∴AM 平分∠BAC ∴∠MAF=45° ∴∠MAF=∠B在△AMF 与△BME 中，∵AF=BE ，∠MAF=∠B ，AM=BM ∴△AMF ≌△BME ∴ME=MF2．延长DM 与CE 交于N∵CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D∴CE ∥BD ∠NCM=∠DBM在△CMN 与△BMD 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BMD CMN BMCM DBM NCM ∴△CMN ≌△BMD∴NM=DM即M 为ND 中点∵CE ⊥AD 于E∴△NED 为Rt △ ∴ND ME 21=∴ME=MD。

【精挑】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.1.2.矩形的判定课时练习一、单选题1．下列命题中，不正确的是（ ）A．对角线相等且垂直的四边形是正方形B．有一个角是直角的菱形是正方形C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）.①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组3．下列说法正确的是（ ）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4．下列命题是假命题的是（ ）A．四个角都相等的四边形是矩形B．四条边都相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线相等D．菱形的对角线互相垂直平分5．下列四个命题中，正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形6．下列四个命题中的假命题是( )A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：D．对角线相等的四边形是平行四边形7．下列四个命题中真命题是（ ）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形8．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）.A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 （填一个即可）．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件： ，可使它成为矩形．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可)14．在平行四边形ABCD中，若再增加一个条件 ，使平行四边形ABCD能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．三、解答题15．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°。

第19章矩形、菱形与正方形一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O ，则下列说法不正确的是（）.A. AO⊥BOB. ∠ABD＝∠CBDC. AO＝BOD. AD＝CD3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：14.下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分5.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 16C. 2D. 46.（如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE 的长等于（）A. 3cmB. 4cmC. 2.5cmD. 2cm7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若OB=4，则BD的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 108.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. AC⊥BD，AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC，AD=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD=BC，AC⊥BD9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题11.已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是________ cm．12.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的面积为________13.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________14.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________ （添加一个条件即可）．15.如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，已知AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A5B5C5D5的周长为________．16.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点0，E，F分别为OB，OD上的点，且OE=OF，则由OA=________可以得到四边形AECF是平行四边形，理由是________．17.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是这两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________．三、解答题19.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，∠FDC=30°，求∠BEF的度数．20.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．21.已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．22.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．23.已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）24.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=5，AB=3，点为上一点，沿着AE剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．（1）当点E与点B的距离是多少时，四边形是菱形？并说明理由；（2）在（1）的条件下，求菱形的两条对角线的长．25.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题1. C2. C3. C4. D5. D6. A7. C8. C9.A 10.C二、填空题11.20 12.16 13.8 14.AF=AE 15.516.OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形17.3 18.ab三、解答题19.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，∵CE=CF，∠FDC=30°，∴△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=30°，∴∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠FEC=45°，∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．20.证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN是矩形21.解：过P作PM⊥OA于M．（1）当OP=OD时，OP=5，CO=4，∴易得CP=3，∴P（3，4）；（2）当OD=PD时，PD=DO=5，PM=4，∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，∴P（2，4）或（8，4）；综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），22.（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵□ABCD，∴AD∥B，∴∠AFB=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，∴∠BAO=∠BEO，∴AB=BE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴□ABEF是菱形（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE，∴BE=2CE，∵AB=4，∴BE=4，∴CE=2，过点A作AG⊥BC于点G，∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形，∴BG=GE=2，∴AF=CG=4，∴四边形AGCF是平行四边形，∴□AGCF是矩形，∴AG=CF，在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=2 。

华东师大版2022八年级数学下册《矩形的判定》同步练习含答案（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的学习资料，如英语资料、语文资料、数学资料、物理资料、化学资料、生物资料、地理资料、历史资料、政治资料、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides various types of learning materials for everyone, such as English materials, language materials, mathematics materials, physical materials, chemical materials, biological materials, geographic materials, historical materials, political materials, other materials, etc. Please pay attention to the data format and writingmethod!华东师大版2022八年级数学下册《矩形的判定》同步练习含答案1．如图，要使ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF ∥AB交AC于点F，连结DE，FD，当△ABC满足条件时，四边形AEDF是矩形．3．如图，在ABCD中，点M为CD边的中点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩形．4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角5．平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为( )A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．以上都不对6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，BE⊥AE，垂足为E.(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合：；．11．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．12．如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上，且AE＝CG，AH＝CF.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求证：四边形EFGH是矩形．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE 的最小值为____.14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．华东师大版2022八年级数学下册《矩形的判定》同步练习含答案 1. B2. ∠BAC＝90°3. 易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形4. D5. C6. (1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝12∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE ＝12(∠BAC＋∠BAF)＝12×180°＝90°，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE (2)AB＝DE.理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB ＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝90°，故四边形AEBD是矩形．∴AB＝DE7. B8. 连结BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四边形BCDE是平行四边形，易证△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝BD，∴四边形BCDE是矩形9. B10. ①②⑥③④⑥11. AB＝12BC12. (1)在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE ＝CG，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四边形ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB－AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即BE ＝DG，DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形(2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.设∠A＝α，则∠D＝180°－α，∵AE＝AH，∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α2＝90°－α2，∵AD＝AB＝CD，AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即DH＝DG，∴∠DHG＝∠DGH＝180°－（180°－α）2＝α2，∴∠EHG＝180°－∠DHG－∠AHE＝90°，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形13. 4.814. (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE，∴OE＝OF(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝132(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形。