数学竞赛经典辅导——局部不等式

高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式第一篇：高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。

柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1∴右-左=当且仅当思路2 注意到证明2当当定值时，等式成立。

时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立；时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数由于。

恒非负，故其判别式即有等式当且仅当若常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证注意到此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真欲证①,即需证②①(11)再证欲证③,只需证, ③而④即要证④⑤(注意由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当式链时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等其中等式成产条件都是§２．排序不等式定理２设有两组实数，．满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。

证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

局部不等式倒推法局部不等式往往用于轮换求和的和式证明中，当整体的性质不好估计时，可以考虑探求局部的性质，利用局部推动整体，从而促进整个问题的解决，从中也体现了数学哲学观。

而有些辅助式的构造是可以借助待定系数法3333333333332222,,,,a b c d R a b c d b c a d c a b d a b c da b c d b c a d c a b d+∈+++++++++++≥+++++++++++例1 设求证：分析 直接证明无疑是在开玩笑，一般人像我一样肯定会害怕的，那么我们设想把四元过渡到三元，利用局部不等式证明，分析333a b c a b c ++++这种结构，发现是二次型的分式，所以我们若能证明3332223a b c a b c a b c ++++≥++，那么其它三个不等式也具备这种形式了，再累加的话就能证明原不等式了。

那或许有疑问，我们为什么要选取2223a b c ++呢，而不是其它的式子，其实这也是靠猜靠感觉，但也不是空穴来风，因为注意到333a b c a b c ++++是二次型的分式，所以我们一定要选二次型的辅助式，而且333a b c a b c ++++又是关于,,a b c 的式子，又由整个和式的轮换对称性，我们就考虑构造2223a b c ++了，下面给出证明：由柯西不等式，得33322222222()()()()()3x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++++≥++⋅所以就证明了3332223x y z x y z x y z ++++≥++ 最后把4条不等式相加就得到了原不等式。

证毕！例2 ,,2x y z ++>设分析 此题又是三元轮换求和，只是这道题的难度比上一道有所增加，因为求证的是严格大于，而没有取等的情况。

同样，我们考虑局部不等式。

证明：我们结合待定系数法，先设想证明是不是有2xx y zαααα≥++①其中α是待定参数。

两道经典代数不等式的多种解法长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。

笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。

高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。

题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明：11(1)nii ix n x=≥-+∑方法一： 反证法解1： 不妨假设11(1)ni i ix n x =<-+∑，进一步211(1)11ni i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得：1(1)1,2,3..,)11ni i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑；取他们乘积：11(1)1nnk k n n n x =->--+∏进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设=(1)ii ix y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -==- 从而1(1)11ni i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n nii i i ix y n x ==<⇔<-+∑∑， 此时：1111(1)nn iii i i x y n x ==<⇔<-+∑∑，从而121n i i y y =<-∑； 把1y 用23,,...,n y y y替换，可得：(1)1,2,3..,)ni ii ky yn k n ≠>≥-=∑；对n个式子做乘积：1(1)nnik yn =>-∏从而：1(1)11nii in y y =-<-∏，矛盾！进而原不等式成立！以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。

6-1
局部调整法
张小明编
一、任意两个自变量之间的调整
在中学数学竞赛中，局部调整法（又称磨光法）是证明不等式常用的手段与技巧，它主要指以下定理. 定理 设 D 是 x1 x2 xn m 上的对称凸域， 在 D 上的连续对称函数 f x1 , x2 ,, xn 满足:对任 意的 x1 , x2 ,, xn 都有
x x x x f x1 , x2 , x3 , , xn f 1 2 , 1 2 , x3 , , xn ， 2 2 m m m 则必有 f x1 , x2 , , xn f , , , . n n n
ab ab 2 2 2 2 2 a b a b ab 2 2 比如著名的公式： a, b R ， ，可以理解成 . 2 2 2 2 x x2 xn n 例 1 已知 n 2, n N , xi i 1, 2,, n 0 ，求证： 1 x1 x2 xn . n x1 x2 x1 x2 x3 xn x1 x2 xn n x x x x 2 2 证明 x1 x2 xn n 1 2 1 2 x3 xn n n 2 2
4t 7 t 3 6t 2 1 2t 7 t 7 t 7 t 3 3t 2 3t 2 1 7 7 2t 7 t 7 t 7 t 3 3t 2 3t 2 1 7 7 18t 4 5t 4 . 知结论成立. 注 2：采取后者证明时，还可以不妨设 t 1 .此时
27 27 (a b c) (a 2 bc )(a 2 2bc) (a 2 bc ) 2 2 2 2 27 a(b c)2 a 2 b c (b c)(b 2 c 2 ) 4bc bc b c 2 2 27 b c (b c bc ) 2 bc a ( b c ) 2 a 2 2