函数的零点教案详细(孔祥武)

函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。

教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。

教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。

即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。

教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。

第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。

然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。

第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。

教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。

第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。

然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。

第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。

例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。

学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。

第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。

最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。

教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。

通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。

然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。

因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。

函数的零点教案教案标题：函数的零点教案教案目标：1. 理解函数的零点的概念和意义；2. 能够通过图像、方程和计算等方式确定函数的零点；3. 掌握求解函数零点的方法和技巧；4. 运用函数的零点解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：计算器、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：笔、纸。

教学过程：步骤一：引入1. 教师通过提问和展示实际问题的图像，引发学生对函数零点的思考，例如：什么是函数的零点？为什么函数的零点在图像上表现为与x轴交点？2. 教师解释函数的零点是使得函数值等于零的x值，即f(x) = 0。

步骤二：图像法确定函数的零点1. 教师通过投影仪展示一些函数图像，并指导学生观察图像上与x轴交点的位置，解释这些点是函数的零点。

2. 学生在纸上绘制给定函数的图像，并标出零点。

步骤三：方程法确定函数的零点1. 教师解释通过方程来确定函数的零点的方法，即将函数f(x) = 0转化为一个方程，然后解方程得到零点。

2. 教师通过例题演示如何通过方程法求解函数的零点，并引导学生进行练习。

步骤四：计算法确定函数的零点1. 教师解释通过计算法确定函数的零点的方法，即将函数的表达式代入到计算器或手算中，求解函数值为零的x值。

2. 教师通过例题演示如何通过计算法求解函数的零点，并引导学生进行练习。

步骤五：应用实际问题1. 教师提供一些与函数的零点相关的实际问题，并引导学生运用所学的方法解决这些问题。

2. 学生个别或小组合作解决实际问题，并将解决过程和结果进行展示和讨论。

步骤六：总结1. 教师对本节课所学的内容进行总结回顾，强调函数的零点的概念和求解方法。

2. 学生进行课堂小结，回答教师提出的问题或总结要点。

作业布置：1. 预习下一节课的内容；2. 完成课堂练习题。

教学延伸：1. 学生可以进一步研究函数的零点在图像上的性质和变化规律；2. 学生可以探究更复杂的函数零点的求解方法，如二次函数、三次函数等。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生课堂练习的完成情况；3. 学生通过解决实际问题展示对函数零点的理解和应用能力。

函数的零点教案教案主题：函数的零点教学目标：1. 理解函数的零点的概念和意义。

2. 掌握求解函数的零点的方法。

3. 能够应用函数的零点解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、投影仪、计算器。

2. 学生准备：笔、纸、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如“如果一个物体从100米的高度自由落下，求它落地时的时间”，激发学生对函数零点的兴趣。

2. 引导学生思考，探讨如何解决这个问题。

二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释函数的零点是函数图像与x轴相交的点。

2. 引导学生理解零点的意义：函数的零点表示函数取值为0的x值，即函数的输入使得函数的输出为0。

3. 教师给出函数零点的定义和符号表示。

三、求解零点的方法（15分钟）1. 教师介绍常见的求解函数零点的方法，如图像法、代数法和数值法。

2. 通过示例演示每种方法的步骤和应用场景。

3. 引导学生讨论每种方法的优缺点。

四、练习与应用（20分钟）1. 学生个别或小组完成一些简单的函数零点求解练习题，巩固所学的方法。

2. 学生在小组中，结合实际问题，设计一个需要求解函数零点的应用场景，并通过演示解决问题。

五、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调函数零点的重要性和应用。

2. 教师提供一些拓展的问题，引导学生进一步思考和探索。

六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课堂练习剩余的题目，并思考如何应用函数零点解决其他实际问题。

2. 提醒学生预习下节课的内容。

教学反思：本节课通过引入实际问题，激发了学生的兴趣和思考，使学生能够理解函数的零点的概念和意义。

通过讲解和示例演示，学生掌握了求解函数零点的方法，并能够应用于实际问题中。

通过练习和应用，学生巩固了所学的知识。

整节课的教学过程紧凑有序，学生参与度高，达到了预期的教学目标。

题目：《函数的零点》教学设计一、教学内容分析1、学习任务分析本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，用电子白板进行画图，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。

《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

函数与方程高中数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解.更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

2、学生情况分析本节课的学习障碍为零点概念的认识。

零点的概念是在分析了二次函数图像的基础上，由图像与x轴的位置关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。

新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某些知识的难度要求，改变了原有教材中原理性知识过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点。

函数的零点教案设计
一、教学目标
1.能够掌握函数的零点以及计算函数的零点的方法。

2.能够熟练使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。

3.能够运用函数的零点解决实际问题。

二、教学准备
1.准备一些实际的例子来让学生理解函数的零点。

2.准备一些计算机软件来帮助学生进行实际操作演示。

三、教学过程
1. 介绍函数的概念：函数（function）是一种特殊的关系，其中每一个输入都有对应一输出，可以用函数表或图标表示，如函数
y=f(x)=2x+1、y=f(x)=x2+1等。

2.介绍函数零点：当函数y=f(x)在其中一点x=a时，取得值
y=f(a)=0，这个点a就是函数f(x)的零点。

3.给出一个典型例子来让学生明白函数的零点的概念：例如有函数
y=f(x)=x2-2x+1，我们求出这个函数的零点，当x=1时，y=f(1)=0，所以x=1就是这个函数的零点。

4.演示如何计算函数的零点：让学生学会运用函数的定义求函数的零点，如让学生学会把函数y=f(x)转化成一元二次方程组，然后使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。

5.运用函数的零点解决实际问题：让学生学会如何运用函数的零点解决实际问题，比如有一个小学生跳远比赛，他的分数满分为90分，比赛结束后他的得分为75分。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校§2.4函数与方程2.4.1 函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．当Δ＝b2－4ac>0时，二次函数有_2_个零点；Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点；Δ＝b2－4ac<0时，二次函数有_0_个零点．3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (a<b)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.问题1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？答：略问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？答：方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．问题3 在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？答：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点的是(α，0)点.问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答：函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示．例1已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac<0，则函数f(x)的零点个数有( )A．0 B．1 C．2 D．不确定解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论．跟踪训练1 函数y＝x2－2x－8的零点是 ( )A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4解析：函数y＝x2－2x－8对应的方程为x2－2x－8＝0，而方程x2－2x－8＝0有两个实数根，x1＝－2，x2＝4，由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确．探究点二函数零点的性质问题1 二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x 轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？答：由x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即函数的零点为－1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数零点把x轴分成(－∞，－1)，(－1,3)，(3，＋∞)．当x∈(－1,3)时，y<0；当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y>0.问题 2 观察f(x)＝x2－2x－3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？答: 当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．问题3二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间(－2,1)上有零点x＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0，在区间(2,4)上有零点x＝3而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．问题4 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么f(a)·f(b)<0是否一定成立？答: 不一定成立，由下图可知．问题5 如果函数y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答: 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．小结: 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.例2 求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，(2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表(略)，在直角坐标系内描点连线，即得函数图象．如图所示：小结: 由函数的图象不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解: 令f(x)＝|x2－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x－3)2－1|，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a ＝0时，原方程实数解的个数为2.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ( )A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2 C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；2 解析: 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( )A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断解析: 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f(4)<0.3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是 ( )A ．(－2,6)B ．[－2,6]C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D ．{－2,6}解析: 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0， 即m 2－4m －12>0，∴m>6或m<－2.4.若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝______，b ＝________.解析: ∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，f(－4)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－8.课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f(x)－g(x)的零点．2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。

2.4.1 函数的零点 教案教学目标：1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.重点、难点：教学过程：一．自主达标1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点．３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点；Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点；Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点．４．二次函数零点的性质：（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．（２）在相邻的两个零点之间所有 ．二。

典例解析例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值．例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知⎩⎨⎧=-⨯-=-+b a )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ＝－８．评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键．例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上．评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）∙ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００张桌子．已知制作一张桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７张桌子或１０把椅子，所以 制作１００张桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝x7100，制作２００把椅子所需时间为函数ｑ（ｘ）＝)30(10200x -，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． x 7100＝)30(10200x -，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数x N +∈，考察ｐ（１２）与ｑ（１３），ｐ（１２）＝84100≈１．１９，ｑ（１３）＝≈1720１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．三、达标练习：１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（ ）Ａ．至少有一个零点 Ｂ．至多有一个零点 Ｃ．没有零点 Ｄ．必有唯一零点２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（ ）Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂ Ｃ．Α＜ａ＜ｂ＜βＤ．ａ＜ａ＜β＜ｂ３．函数ｆ（ｘ）＝222(1)2(1)x x x x x -≥⎧⎨-<⎩，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点．４．如果函数f （x ）=2x +ｍx ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值范围 ．５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在0x ∈Ｒ，使ｆ（0x ）＝0x 成立，则称0x 为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f （x ）=a 2x +（b ＋１）x ＋（ｂ－１）（ａ≠０）．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值范围．参考答案：１．Ｄ ２．Ｃ ３．254,89- ４．2-6≤≤m ５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝x 2－ｘ－３，由题意可知ｘ＝x 2－ｘ－３解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．（２） f （x ）=a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．∴ｘ＝a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１），即ａx 2＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝)(0)1(42R b b a b ∈>--恒成立，即)(0442R b a ab b ∈>+-恒成立，于是∆1＝016162<-a a ，解得０＜ａ＜１．故当R b ∈，ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点时，ａ取值范围为０＜ａ＜１．。

函数的零点【教学目标】1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述；2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题；4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想，运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。

【教学重难点】1、重点：理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论【教学过程】一、概念引入请同学们一起来看投影上的问题画出下列函数图象并指出x取何值时，y=021(1)y x 2 (2)y=x2x 3 (3)y=1x（图象保留）处理：学生上黑板板书（上黑板画出图像并求出x值）师：（1）所求x就是对应方程的实数根（2）从图象上来看，我们所求的x就是什么？师：这里所求的x就是我们今天要来研究的函数的零点那么，什么是函数的零点呢？二、概念认识一般地，对于函数y=f （x ），若f （x ）=0则实数x 称为该函数的零点师：了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？（1）等价描述：①函数y= f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的实数根②函数y= f （x ）的零点就是它的图象与x 轴交点的横坐标（2）函数的零点是实数，不是点（板书）师：认识了函数零点的定义后，请同学们来求下面几个函数的零点练习1：求下列函数的零点x-32x 1(1)y (2)y=log x - 1 (3)y=2x 1（投影展示）归纳：求函数零点的步骤：（板书）（1）令f （x ）=0 （2）解方程f （x ）=0 （3）写出零点师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法下面请同学们继续看例1的问题三、应用例题例1：求证：二次函数2yx 3x 2有两个不同的零点 练习2：（1）函数2yx 3x k 没有零点，求k 的取值范围 （2）函数2yx kx 2有零点，求k 的取值范围 （3）函数2y kx 3x 2有一个零点，求实数k 的值（投影展示）（看情况或学生回答）师：由例1和练习2的研究，请大家总结一下归纳：如何来判断二次函数2y ax bx c(a0)零点？师：由上面的认识，我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数那么二次函数零点具体的分布情况，我们如何来研究呢？请同学们继续来看例2例2：判断二次函数2f(x)x3x2在区间（0，1）上是否存在零点？学生回答：法一）解方程师：还有其它的想法吗？（引导）由刚才我们对函数零点的认识，函数零点除了可以转化为的方程来研究，还可以从什么角度来研究啊？---图象在多媒体上展示图象？那么利用图象我们如何来研究例2呢？学生回答（教师补充、完善）师：一般地，我们如何来判断函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点？图象展示（多媒体）函数零点存在性判断的结论：一般地,若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点师：判断函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上有零点的条件有几个？哪两个？师：下面我们具体来认识一下这个结论（1）函数图象是一条不间断的曲线 （问题1（3））（2）为什么要在闭区间[a ，b]上是一条不间断的曲线①为什么要连续曲线（开始练习（3）图象解释）②为什么要在闭区间[a ，b]上是一条不间断的曲线师：认识了函数零点存在性判断的结论后，请同学们来解决下面的问题练习（3）（1）求证：()220函数在区间，1上存在零点x f x x （2）判断函数32()3在区间1，2上是否存在零点f x x x师：应用零点存在性的判断结论我们很容易解决练习（3）的问题师：对于例2，我们从零点等价描述的两个角度进行了研究。

函数的零点
一、教学目标
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，
了解函数的零点与方程的关系。

2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。

3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。

二、教学重点、难点
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。

三、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法为宜。

四、教学过程。

数学必修一函数的零点教案第一篇：数学必修一函数的零点教案4.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．学习重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学习过程(一)课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 ②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3（二）研讨新知函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：①（代数法）求方程f(x)=0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．根据函数零点的意义，其求法有：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．（１）△＞０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：① 在区间[-2,1]上有零点______；． f(-2)=_______，f(1)=_______,f(-2)·f(1)_____0（＜或＞＝）② 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象① 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）．② 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）．③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．（三）、巩固深化，发展思维 1．例题例1．求函数f(x)=-x2-2x+3的零点个数。

必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。

2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。

知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。

过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。

情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。

2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。

3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。

三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。

一次二次学方法，指对幂中活运用。

数形结合诚美妙，重要性质作沟通。

因果变化多联系，物换星移运不穷。

前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。

（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。

设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。

（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。

必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。

2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。

知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。

过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。

情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。

2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。

3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。

三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。

一次二次学方法，指对幂中活运用。

数形结合诚美妙，重要性质作沟通。

因果变化多联系，物换星移运不穷。

前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。

（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。

设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。

（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。

《函数的零点的教学设计》一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

二、教学目标解析1．了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义．（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思想．）2．初步掌握函数零点的判定方法．（能结合函数图像判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性．）3．通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法三、教学问题诊断分析1．由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2．由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程．3．由于函数的零点与方程的根，以及函数图像与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点．4．对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解．因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性．四、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题问题1请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系．先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？（设计意图：通过对学生已有知识经验的分析，将初中阶段的感性经验进一步理性化，为本节课的研究找到固着点．）师生活动1：一起回忆所学知识．的自变量的值．从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．”“每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从‘数’的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从‘形’的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．”等等．师生活动2：分析上述知识中蕴含的数学思想方法．预期的活动结果：1．化归的数学思想方法．体现在：解一元一次方程（组）的问题可以转化为函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题（或自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少的问题）．事实上“函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题”就是一个方程求解的问题，因此又可以利用方程解决函数问题．因此这种化归是双向的．2．数形结合的数学思想方法．体现在：解一元一次方程的问题可以转化为确定函数的图像与x轴的交点的横坐标的值的问题（或确定两条直线交点的坐标的问题）．3．函数思想．上述结论反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系．一次函数y=ax+b是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：ax+b=0（a≠0），或者ax+b=3（a≠0），等等．但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变．因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题．4．三维角度认识问题．上述3点体现了要从3个角度立体的认识一个现象：方程ax+b=0（a≠0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为0时的自变量x的值x，也就是函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标x0．三者有着内在的0统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同等环境中扮演者不同的身份一样．教师揭示课题：x0扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色命名“使得函数y=ax+b（a≠0）的值为0时的自变量x的值x0”中的x0为“一次函数y=ax+b （a≠0）的零点”．本节课就是在此基础上进一步研究“方程的根与函数的零点”的关系问题．特别强调：“方程的根”与“函数的零点”不能混为一谈，而且“函数的零点”是实数，而不是点，之所以称之为点，是因为实数与数轴上的点一一对应的缘故．（二）类比研究，形成定义问题2 类比一元一次方程与一次函数的关系，完成下表，并回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系？其中蕴含了什么数学思想？用自己的语言描述什么是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点？如果你觉得解决前面的问题困难，可以给式中的a、b、c赋值，之后在解决相同的问题．（设计意图：类比研究，丰富学生的感性经验，增进对一次函数与一元一次方程关系中得到的结论的理解，提供抽象概括的素材．）1．一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的关系：应的自变量的值．从图像上看，这相当于已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，确定它与x轴的交点的横坐标的值．（获得这种结果是受到一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系的表述方法的影响．）（2）当方程有根时：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x0，就是函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像与x轴交点的横坐标x0，就是使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0（即函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的零点为x0）．当方程没有根时，相应的函数的图像与x轴没有交点，不存在使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0的自变量x的值．（获得这种结论是受问题1中得到的预期活动结果的第4条的影响．）（3）当＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1， x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1， x2；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点（x1，0），函数有一个零点x1；当＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点，函数没有零点．教师评价：每种表述方法都是正确的，从不同角度解决了问题，概括层次也不同，为了进一步推广我们采用第（２）种说法．3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点：“使得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0”中的x0就是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点”．（此处有可能出现将零点与点混淆的现象，教师要再次予以澄清辨明．）问题3对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？关于一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x)及其相应的方程f(x)=0是否成立？并类比上述结论，从三维角度进行描述．师生活动：（此处由学生先形成定义，可能是不规范不严谨的，教师可予以帮助，使之数学化即可．）活动结果1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．活动结果2：方程f(x)=0的根x0，就是使得函数y=f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0．追问：上述结论逆推成立吗？活动结果：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0的关系：x0是方程f(x)=0的实数根（x0，0）是函数y=f(x)的图像与x轴的交点x0是函数y=f(x)的零点．追问：上述结论中蕴含的数学思想是什么？活动结果：（可类比解决，不再赘述．）教师讲解：上述研究了函数与其相应的方程的关系，由于在解决问题中遇到的更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合地解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间内是否存在零点的问题．（三）探究发现，获得判定方法问题4 对于给定的每个函数，根据函数图像写出多个区间，使得函数在每个区间内存在一个零点，之后，观察你写的区间，这些区间端点的函数值具有什么特征时，能保证函数在该区间内存在零点？再根据函数的定义，随意画几个函数的图像，验证你得到的结论是否成立?（1）y=3x-2（2）y=2x2+x-1(3)y=x2+2x+11．学生可能发现的符合条件的区间具有的特征：结论1：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)<0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；结论2：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)>0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；（学生可能得到上述两种结论，此时教师不要急于给出定论，给学生时间，让他们举例子验证上述结论，看哪个结论经得住检验．）2．学生检验，讨论：3．概括得到零点存在性的判定方法：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．追问1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，那么是否一定有f(a) f(b)<0呢？追问2：函数在符合上述条件的区间内是否只有一个零点？为什么？（通过追问加深对判定方法的理解判定方法中的条件“f(a) f(b)<0”时充分不必要的条件，事实上，这两个问题都在前面的问题中涉及到了．）（四）初步应用，巩固、理解例1：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．(2)函数f(x)有几个零点?为什么?（可以借助计算机或计算器解决．）解：（略．）例2：判断方程㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?分析：根据判定方法，转化为例1求解．（五）小结深华请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？(六)作业（略）。