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电场强度例题2-高斯定律讲解

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第4章-2-高斯定理

第4章-2-高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
§4.2
静电场的高斯定理 基本内容： 基本内容：
一、电场线 二、电场强度通量 三、高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3 一. 规定 电场线
第四章 第七章
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 通过垂直于电场方向单位面积 垂直于电场方向单位面积电场线的条 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条 数为该点电场强度的大小. 数为该点电场强度的大小.
第四章 第七章
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
电场线的特点
始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远) 不会在没有电荷处中断. 向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 电场线不相交. 2） 电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3） 静电场电场线不闭合. 电场线不仅能够表示电场强度的方向， 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。
dS＇dS
+
任取两个球面， 任取两个球面，一 个包围曲面， 个包围曲面，另一 个在曲面内： 个在曲面内：则两 个球面的电通量都 q/ε 为q/ε0
通过任意形状的包围点电 的闭合面的电通量等于q/ q/ε 荷q的闭合面的电通量等于q/ε0

电场的高斯定理

电场的高斯定理

= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)

电场强度计算中的高斯定律应用

电场强度计算中的高斯定律应用

电场强度计算中的高斯定律应用电场强度是物理学中一个重要的概念，它描述了电荷对周围空间产生的力的大小和方向。

在电场强度计算中，高斯定律是一种非常有用的工具，它可以帮助我们简化复杂的计算过程，提供更加便捷的解决方案。

高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。

它表明，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内部的电荷量成正比。

换句话说，电场通过一个闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

为了更好地理解高斯定律在电场强度计算中的应用，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个均匀带电球体，球体上的电荷量为Q，半径为R。

我们想要计算球体表面上的电场强度。

首先，我们需要选择一个适当的闭合曲面。

由于球体具有旋转对称性，我们可以选择一个球面作为闭合曲面。

球面的半径可以任意选择，但为了简化计算，我们可以选择与球体半径相同的球面。

根据高斯定律，电场通过闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

在这个例子中，闭合曲面内部的电荷量就是球体上的电荷量Q。

真空介电常数可以用符号ε₀表示，它的数值约为8.85×10⁻¹² C²/N·m²。

由于球体是均匀带电的，所以球体上的电荷在球面上是均匀分布的。

这意味着球面上的电场强度在各个方向上是相等的。

因此，我们可以将球面上的电场强度记为E。

根据高斯定律，电场通过闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

在这个例子中，闭合曲面内部的电荷量就是球体上的电荷量Q。

真空介电常数可以用符号ε₀表示，它的数值约为8.85×10⁻¹² C²/N·m²。

由于球体是均匀带电的，所以球体上的电荷在球面上是均匀分布的。

这意味着球面上的电场强度在各个方向上是相等的。

因此，我们可以将球面上的电场强度记为E。

大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理

大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理

2
R
r
x
p dE// x
E
qx
4 0 r 3
iˆ
dE dE
cos x / r
1
讨论：1. x 0 : Eo 0
E
qx
40 (R2
x2 )3/2
iˆ
o
y
r
圆环中心电场为零
2.
x R :
Ep
q
40 x2
iˆ
R
o
z
E
x px
p
R
x
●无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为
点电荷。 2
例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为。
求中心轴线上一点 p处的电场强度。
解：将圆盘分割成许多带 电细圆环，其电量
dq ds 2 rdr
细圆环电场
dr
l
r
Ep
o xpx
dE
dqx
40 (r2
x2 )3/2
2 rxdr rxdr 40 (r2 x2 )3/2 20 (r2 x2 )3/2
3
dE
rxdr 20 (r2 x2
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫做 通过该曲面的电通量。记为“e”.
电通量的计算
s
de E dS
e
E dS
S
通过闭合曲面的电通量
e S E dS
规定：曲面正法线由曲面指向外
E de dSn
ds E
ds
E
q
s
11
例：点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的
电通量。
解：球面上的电场强度
各点产生的电场。
解：由对称性可知，该球壳产生的

高斯定理的应用

高斯定理的应用

简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.三、高斯定理在电场中的应用［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理，图-3⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1)0=侧e φ (2) ES e 2=两个底面φ (3)圆柱内的电荷量为∑=S q σ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得02εσ=E =1281085.82103.9--⨯⨯⨯V/m=5.25×103 V/m ［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).图-4根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l ，半径为r 的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1)rlE E S e πφ2==侧侧 (2) 0=两个底面e φ (3)圆柱内的电荷量为∑=l q λ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得r E 02πελ==11085.814.32100.5129⨯⨯⨯⨯⨯--V/m=89.96 V/m［例题3］设有一半径为R 的均匀带正电球面，电荷为q ，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P 的的场强具有对称性,方向由球心O 到P 的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为r 且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.图-5若R r <，高斯面2S 在球壳内，对球面2S 用高斯定理得 ⎰∑=⋅=⋅=se q r E ds E 024επφ球内因为球壳内无电荷，∑=0q ，所以0=球内E若R r >，高斯面1S 在球壳外，对球面1S 用高斯定理得∑=q q ，故有24επqE R =204rq E πε=由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤: (1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积⊥S ； (4) 分析高斯面内的电荷量q ； (5) 应用高斯定理求解(⎰∑=⋅=ss e qds E 0)(εφ内).我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.第四讲：高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。

大学物理高斯定理

大学物理高斯定理

球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面大，学物圆理高柱斯壳定理等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
大学物理高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相 等。
大学物理高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
大学物理高斯定理
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
E 4r2
q
0
q
E 40 r 2
+ +
+ +
+
R
+
r
+q + +
+
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
+
+
+++ +

7.3高斯定理讲解


S
E
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等电场线 ++++++++++++
静电场电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.
7.3 高斯定理(Gauss theorem )
高斯，德国数学家和物理学家。
1、电通量 (electric flux) （1）电场线(electric field line) （电场的图示法）
规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小. E E dN / dS
a)
q (R a)
2 0 R
q
R a
2、静电场中的高斯定理 (Gauss theorem in electrostatic field)
点电荷位于球面中心
E
4π
q
0r 2
Φe
E dS
S
S
4π
q
0r2
dS
E dS q
S
0
r
+
dS
S
E
点电荷在任意封闭曲面内
S '与球面 S 包围同一
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的 Φe有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三

大学物理-电场强度通量,高斯定理



2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q

第二讲-高斯定理


rR rR
无限长均匀带电圆柱体
r
E
2 0
R
2
20r
rR rR
无限长均匀分布带电直线
E
2 0r
上页 下页 返回 退出
家庭作业：8-6、8-8、8-11、8-12、8-13
上页 下页 返回 退出
s1
s2
s3
ER2 0 R2 E
=0
n
n
S1
ds
S2
S3
n
R ds E
上页 下页 返回 退出
1. 求均匀电场中二分之一球面旳电通量。
S
Y
2.
在均匀电场
E
3i
2
面积为S旳电通量。
n
E
n
j
中n，过YEOZ平面n 内
S1
R
O
X
Z
E •S
O n
S2
S1 S2 0
( 3i 2 j )• Si 3S
2ES0
高斯面内有： qi内 S0
0
0
E
n
2 0
无限大带电平面旳电场是均匀电场
上页 下页 返回 退出
E
n
2 0
推论：
( 0)
无限大带电平面旳电场是均匀电场。
两个无限大带等量异号均匀电荷旳平行平面旳电场。
0 0
· E E A
·E
C E
·
E
E
B
A、B点旳场强：
EA EB
E
电场中经过某一曲面（平面） 旳电场线条数称 经过该曲面（平面）旳电通量。
非均匀电场经过曲面 S 旳电场强度通量: en
E E • ds
θ dS

第2次高斯定理-2


17
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷 远)。在无电荷处电力线不会中断。 这对应静电场的有源性，正点荷是源头，负电荷是尾闾。
2） 电场线不相交。 这对应电场强度的唯一性。方向、大小都是唯一的。
3） 静电场电场线不闭合。 这对应静电场的保守性。
2019/11/2
18
二 电场强度通量
1
2
2019/11/2
q
l dl
9
由于
l btg( ） bctg dl b csc2 d
2
r2 b2 l2 b2 csc2
dE
y
dE y
可得
dEx

4 0b
cos d
dEy

4 0b
sin d
积分得


dEx O
上次课内容回顾
库仑定律：
F12

1
4 0
q1q2 r122
e12

F
1 Q
点电荷的电场： E q0 4 π0 r2 er
电场叠加原理：
E
dE

1
4π 0
er r2
dq
均匀带点圆环（盘）轴线上：
E

4π
0
qx (x2
R2 )3
2
E x ( 1 20 x2
E

E

E

4
q πε0


(
x
2
2 xr0 r02
4)2
i
. q O q r0 2 r0 2 +
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例5、计算无限大均匀带电平面的场强分布。
（电荷密度为）
解：
E
dS
S
S
o
E
E S
dS
2底
侧
E
侧 0 底 2ES
2ES S o
教材：P30 复习思考题9.12
E o
例6、计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。
解：
EA
EB
2 o
平面之间：
E内
EA
EB
o
+
-
EA
EB
A
B
平面之外： E外 EA EB 0
x
2
x R场强
E
dE
0
x 2 rdr 0 4o (x2 R2 )3 2
2 o
讨论：对带电圆板，当 x<< R 时 ：
E 2 o
x 0
x2 R2
结论： 当考察电很接近圆板时，可以把带电圆 板近似看作无限大带电平面来处理。
计算其电场强度分布的一般步骤：
1. 闭合曲面2、穿出穿入
例3、求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径 为R，带电量为q，电荷密度为）
解： （1）球外某点的场强
E dS
q
q 4 R3
S
o
3
r
E dS E 4 r2 q
S
o
R
E
q
4or 2
R3
3r 2
(r≥R)
（2）求球体内一点的场强
E
dS
qi
S
o
r
R
E
E
①根据带电体的形状选取合适的电荷元dq，写出在场点 处产生的电场强度dE的矢量式。
②选取适当的坐标系，写出dE的各个分量式。 ③统一积分变量，确定积分上、下限，积分求出电场强度 的各个分量。 ④写出总电场强度的矢量式。
1. 在实际问题中，要注意对称性的应用，根据对称性 可知合成矢量的有的分量等于零，使计算简化。
dS
S
1
o
4
q R3
4
33
r3
Rr
E
4
r2
qr 3
oR3
E
qr
4 o R3
r3 3 o
（r
<
R）
例4、求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷
密度为）
解：
E
dS
qi
S
o
E r
E dS S
1
EdS
S2
3
h
1 3 0
E dS E 2 rh
S2
E 2 rh h o
E 2 o r
应用高斯定理解题思路和方法：
1．考虑对称性：球、轴、面 2．选取高斯面：结合对称，一部分 平行，一部分垂直 • 3．计算自由电荷代数和
2. 要熟悉一些典型的带电体电场强度的分布，有些问 题可以利用这些结论与叠加原理进行计算。
例2、有一三棱柱放在电场强度为E =200 N·C-1的均
匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。
解：
y
n
1 ES1 cos ES1
E
S1
2 3 4 0
S3o
x
z
5 ES5 cos ES1
1 2 3 4 5 0 这个例题给我们什么启示？
例1、均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。 求轴线上任一点P的电场强度。
解： 利用带电圆环场强公式
dr
E
4 o
qx x2 R2
3/ 2
r
R
dE
Px
dq 2 rdr
dE
x 2 4o x2
rdr R2
3
2
E
dE
x 2 4o x2
rdr R2
3
2
E
R
dE
0
2 o
1
(