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新课标全国Ⅰ卷文科数学2011-2015年高考分析及2016年高考预测.

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新课标全国Ⅰ卷文科数学2011-2015年高考分析及2016年高考预测2016年，越来越多的省份加入全国卷的行列……研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近5年全国高考文科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近5年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看． 一、集合与简易逻辑小题：1．集合小题：5年5考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与二次不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大． 年份 题目 答案 2015年 (1)已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为 （A ）5 （B ）4（C ）3（D ）2D2014年(1)已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则MN =A. (2,1)- B ． (1,1)- C ． (1,3) D ． (2,3)-B 2013年 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B ＝A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}A 2012年 (1)已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B φ=B 2011年(1)已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个B2．简易逻辑小题：5年 1考，只有2013年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．已经两年没考，该回归了吧？ 年份 题目 答案 2013年 （5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝qB二、复数小题：5年5考，每年1题，四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．主要考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．三、平面向量小题：5年5考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量题目AC=-BC=(4,3)-(1,4)的三边,BC的中点，则+=EB FCA.AD B．AD C BC D BC(13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＋(1－t)bb·c＝0，则t______．10=，则|b =_________(13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，a b +与向量ka b -垂直，则四、线性规划小题：5年5考，每年1题，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，如2014年新课标11题．还有近五、三角函数小题：5年10考，每年至少1题，有时2题或3题，当考2小题或3小题时，就不再考三角大题了．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013年16题对化简要求较高，难度较大． 年份 题目 答案 2015年 （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈D2014年（2）若0tan >α，则A. 0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >αC2014年（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．150 2013年9．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．C六、立体几何小题:5年9考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．线面角，二面角这个知识点文科近年没有考，一般不会考了吧，但是异面直线所成的角是否可以考？年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．年份题目答案2015年（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛B 2015年（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2(C) 4 (D) 8B2014年8．如图，网格纸的各小格都是正 方形，粗实线画出的事一个几何 体的三视图，则这个几何体是A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱B2013年11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16πA2013年15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．9π22012年7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9C．12 D．15B2012年8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A．6πB．43πC．46πD．63πB2011年8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为D2011年16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．31七、推理证明小题：全国Ⅰ文数中，5年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得所期待的．年份题目答案2014年（13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．A八、概率小题：5年4考，2012年没考小题，但是在大题中考了，就是那道“玫瑰花”的题目，这足见古典概型的重要．几何概型5年都没有考（2007年后新增）！其它省份高考及各地模拟较多出现几何概型与线性规划交汇式命题．是不是全国卷也该考一下几何概型了？正在考虑怎么考吧！九、统计小题：5年1考，只在2012年考了一个相关系数概念，这个考法在我看是没有什么价值的．以后相信也不会再出现了吧！但是统计在文科解答题里可是每年必考的，属于热点题！其实统计考小题比较好的，各地高考及模拟高考小题居多．这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验等．十、数列小题：全国Ⅰ文数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了2015年和2012年各考了两个数列小题，其它三年没有考小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年年份 题目答案 2015年（7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则S 8=4S 4，则a 10=（A ）172（B ）192（C ）10 （D ）12B2015年（13）在数列{}n a 中，12a =，12n n a a += ，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则_____n =．62012年12．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830D2012年 14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________． -2 十一、框图小题：5年5考！考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多．题目 年份 答案 2015年 （9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8C2014年9．执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A ．203 B ．165 C ．72 D ．158D2013年7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]A2012年6．若执行右边和程序框图，输入正整数N（2N≥）和实数1a，2a，…，Na，输出A，B，则（）A．A B+为1a，2a，…，Na的和B．2A B+为1a，2a，…，Na的算术平均数C．A和B分别是1a，2a，…，Na中最大的数和最小的数D．A和B分别是1a，2a，…，Na中最小的数和最大的数C2011年5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是A．120 B． 720C． 1440 D． 5040B十二、圆锥曲线小题：5年10考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一．年份题目答案2015年（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：28y x=的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12B2015年（16）已知F是双曲线C：2218yx-=的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,66）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为_________．126十三、函数小题：5年15考，平均每年3个，可见其重要性！主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分（理科）、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？2011年12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个A十四、三角函数大题和数列大题：在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求2015年 （17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（Ⅰ）若a b =，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且2a =，求△ABC 的面积．2014年（17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 解： （I ）方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12，从而132a =， 所以{}n a 的通项公式为：112n a n =+ …………6 分12n n +++51512n n +++++1122n n n +++⎫+-⎪⎭ 12分)已知等差数列的通项公式；123n +-12分）c 分别为△3log a +2n a - ． …………3log a +)n +2)1+-=n 的通项公式为2(+-=n n n十五、立体几何大题：5年5考，每年1题．第1问多为证明垂直问题，第2问多为体积计算问题（2014年是求高）；第2问都涉及计算问题．特点：证明中一般要用到初中平面几何的重要定理．2015年 （18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积．2014年（19）(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11． （I ）证明：;1AB C B ⊥（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高．解：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO⊥1B C ⊥平面ABO ，由于AB ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AB ………6分 （II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H,由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC ．又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC ．因为1,601==∠BC CBB,所以△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=34，由于1AB AC ⊥，所以11122OA B C ==，由 OH ·AD=OD ·OA,且2274AD OD OA =+=，得OH=2114又O 为B 1C 的中点,所以点B 1 到平面ABC 的距离为217,故三棱柱ABC-A 1B 1C 1 的高为217………………………．12 分2013年19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ； (2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ， 所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝3．AC C =BC ⊥ BC C =平面BDC ．1⊂平面BDC 1⊥平面BDC AC=BC=21AA 的中点， 2a ，AC =BC ⊥平面ACC2011年18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD ． 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD ，得DE=23， 即棱锥D —PBC 的高为.23十六、概率统计大题：5年5考，每年1题．第1问多为统计问题，第2问多为概率计算问题；特点：实际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．2015课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2010年课标卷考过，还会再来吗？ （19）（本小题满分12分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量1y （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ω821()ii x x =-∑821()ii ωω=-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()ii i y y ωω=--∑46．6 563 6．8289．8 1．6 1469108．8表中i i x ω=，8118i i ωω==∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与,x y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：2014年(18)（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 质量指标值分组频数 6 26 38 22 8（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：（I ）…………4分（II ）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．质量指标值的样本方差为()()()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=…10 分(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0．38+0．22+0．08=0．68． 由于该估计值小于0．8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定． ……………．12 分药观测数据的平均数为y．＋1．8＋2．2＋2．3＋2．3＋2．4＋2．5＋2．6＋2．7从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．…………12分]（19）（本小题12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A 分配方和B 分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．（19）解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0．3．…………3分 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0．42．…………6分（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0．96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96．用B 配方生产的产品平均一件的利润为68.2)442254)2(4(1001=⨯+⨯+-⨯⨯（元）…………12分十七、解析几何大题：5年5考，每年1题．特点：全国Ⅰ卷中，载体连续5年都是圆！全国Ⅰ卷在小题中已经考查了椭圆、双曲线、抛物线，大题中一般不再考查；全国Ⅰ卷用圆作为载体，更利于考查数2015年 （20）（本小题满分12分）已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于M,N 两点． （Ⅰ）求K 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON =，其中O 为坐标原点，求||MN ．2014年20.（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （I ）求M 的轨迹方程；（II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．解：（I ）圆C 的方程可化为()22416x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4．设M(x,y),则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，,由题设知0CM MP =,故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-= ………… 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆．由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13-,直线l 的方程为：1833y x =-+ 又22OM OP ==，O 到l 的距离为4105，4105PM =， 所以POM ∆的面积为165． ……………12分 2013年 21．(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3．设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ．(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2．所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4． 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23．若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M 相切得2|3|1k k +＝1，解得k ＝24±． 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝函数与导数大题5年5考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查（如2015年全国、2012年全国）．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！（2015年全国Ⅰ卷）．全国Ⅰ卷第2问：2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性、极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式．但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．2015年 （21）（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+．2014年21(本题满分12分)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （I ）求b;（II ）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围． 解：（I ）()(1)af x a x b x'=+--，由题设知 (1)0f '=,解得b =1． ……………4 分 (Ⅱ) f (x )的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知, 21()ln 2a f x a x x x -=+-，()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -⎛⎫'=+--=-- ⎪-⎝⎭(i)若12a ≤，则11a a≤-，故当x ∈(1,+∞)时, f '(x ) > 0 , f (x )在(1,+∞)上单调递增． 所以,存在0x ≥1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a aa--<-十九、不等式大题：5年5考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现．年份 题目 2015年 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．2014年（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且ab b a =+11（I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由．解：(Ⅰ) 由112ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=，且当2a b ==时等号成立，二十、坐标系与参数方程大题：5年5考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小． 年份 题目 2015年 （23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :2x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标为θ=4π（ρ∈R ）,设C 2与C 3的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积．2014年 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．（3）解：(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-，则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=．当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255；当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255． …………10分2=，点POP OMC的方程；2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线交点为A，与C的异于极点的交点为二十一、几何证明选讲大题：5年5考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考查直线与圆的位置关系，切线考的较多．题目以证明为主，简单的计算也会出现． 年份 题目 2015年 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若CA=3CE ，求∠ACB 的大小．解：（Ⅰ）连接AF ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，在Rt △AEC 中，DE DC =，故DEC DCE ∠=∠．连接OE ，则OBE OEB ∠=∠，又90ACB ABC ∠+∠=，所以90DEC OEB ∠+∠=，故90OED ∠=，即OE DE ⊥，又OE 为⊙O 的半径，所以DE 是⊙O 的切线． ………5分2014年（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =． （I ）证明：D E ∠=∠； （II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形．解：．(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ， 由已知得，∠CBE=∠E ,所以∠D=∠E……………5分（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知M N ⊥BC所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD ， 所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分N2013年（22）．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ． 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE ． 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC ．(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线， 所以BG ＝32． 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°． 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 外接圆的半径等于32． 2012年 22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于F ，G 两点． 若CF ∥AB ，证明：（1)BC CD =； （2）BCD ∆∽GBD ∆．解：（1）因为D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ．又已知CF ∥AB ，所以四边形BCFD 是平行四边形， 所以CF=BD=AD ．而CF ∥AD ，连结AF ，所以ADCF 是平行四边形，故CD=AF ． 因为CF ∥AB ，所以BC=AF ，故CD=BC ．（2）因为FG ∥BC ，故GB=CF ．由（1）可知BD=CF ，所以GB=BD ． 所以DGB GDB ∠=∠．因为FG ∥BC ， 所以GDB DBC ∠=∠，从而DBC DGB ∠=∠， ①由（1）BC CD =， 所以DBC BDC ∠=∠， 从而BDC GDB ∠=∠，② 由①，②得BCD ∆∽GBD ∆．FGED B CA2011年 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． （22）解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，即ABAEAC AD =．又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆． （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0 的两根为x 1=2，x 2=12．故 AD=2，AB=12．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC ． HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52。

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2013-2015新课标全国高考分析及2016高考预测讲述

2013-2015新课标全国高考分析及2016高考预测讲述


1.坚持五种能力的考查
运算求解能力
会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理， 能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径； 能根据要求对数据进行估计和近似计算.
环球铜陵校区数学教研组
1.坚持五种能力的考查
数据处理能力
会收集、整理、分析数据， 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判 断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法 对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.
集合 同角三角 复数运算，模 双曲线、离心率 奇偶函数 向量（几何） 三角函数 三视图 算法框图
2013
10
抛物线
11
线性规划
导数应用， 12零点Fra bibliotek13概率
14
逻辑推理，
15
分段解不等式
16
测量，解三角
17
等差数列定义，等比和（错位）
18
统计（填表）
19
立几（斜棱柱，垂直）
20
直线，圆
函数导数应用 21
2015年全国新课标数学学科《考试大纲》和 《考试说明》理科和2014年对比，在内容、能力要 求、时间、分值（含选修比例）、方面都没有发生 变化.后阶段的复习中，回归基础，查漏补缺，突出 主干知识的复习与整合。加强训练，提高答题的技 巧与效率。注重对数学思想与方法的考查，体现数 学的基础、应用和工具性的学科特色，多视角、多 维度、多层次地考查数学思维品质和思维能力，考 查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和 学习潜能。
4
双曲线、离心率渐近线
双曲线、渐近线
独立重复试验；互斥事件和概率公式
5
算法框图
概率
向量数量积；双曲线的标准方程
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2015年高考新课标全国卷Ⅰ文科数学试题(附答案)

2015年高考新课标全国卷Ⅰ文科数学试题(附答案)

2015年全国高考试题独家解析(新课标全国卷Ⅰ)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = A ．(7,4)-- B ．(7,4) C ．(1,4)- D ．(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A ．310 B ．15 C ．110 D ．1205．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-=⎨-+>⎩≤ ，且()3f a =-，则(6)f a -=A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =A ．1-B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2015年全国高考新课标卷Ⅰ(文科)答案及考点分析

2015年全国高考新课标卷Ⅰ(文科)答案及考点分析

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、 选择题 （1）【答案】D【解析】由条件知，当n =2时，3n +2=8，当n =4时，3n +2=14，故A ∩B ={8,14},故选D. （2）【答案】A【解析】)1,3(=-=OA OB AB ,)4,7(--=-=∴AB AC BC . (3)【答案】C【解析】i 1i )1(+=-z ，i 2ii21-=+=∴z ，故选C. (4)【答案】C【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为101，故选C. (5)【答案】B【解析】 抛物线x y C 8:2=的焦点为)0,2(，准线方程为2-=x ，∴椭圆E 的右焦点为)0,2(， ∴椭圆E 的的焦点在x 轴上，设方程为)0(12222>>=+b a by a x ，2=c ，21==∴a c e .12,4222=-==∴c a b a ，∴椭圆方程为1121622=+y x .将2-=x 代入椭圆方程，得)3,2(),3,2(---B A ,6||=∴AB ,选B.(6)【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则8241=⨯r π，所以31616≈=πr .所以米堆的体积93205)316(31412=⨯⨯=πV .所以堆放的米约有2262.19320≈÷斛.选B. (7)【答案】B【解析】∵公差1=d ，484S S =，)34214(47821811⨯⨯+=⨯⨯+∴a a ，解得211=a ， 2199219110=+=+=∴d a a ，故选B. (8)【答案】D【解析】由“五点作图”法，可知24πϕω=+，2345πϕω=+，解得4,2πϕω==.所以)4cos()(ππ+=x x f .由πππππ+<+<k x k 242，解得432412+<<-k x k ，Z ∈k故单调减区间为Z ∈+-k k k ),432,412(，故选D. (9)【答案】C【解析】执行第1次，01.0=t ，S =1，n =0，21=m =0.5，S =S -m =0.5，2m m ==0.25，n =1，S =0.5＞01.0=t ，是，循环； 执行第2次，m S S -==0.25，2mm ==0.125，n =2，S =0.25＞01.0=t ，是，循环； 执行第3次，m S S -==0.125，2mm ==0.0625，n =3，S =0.125＞01.0=t ，是，循环； 执行第4次，m S S -==0.0625，2mm ==0.03125，n =4，S =0.0625＞01.0=t ，是，循环； 执行第5次，m S S -==0.03125，2mm ==0.015625，n =5，S =0.03125＞01.0=t ，是，循环； 执行第6次，m S S -==0.015625，2mm ==0.0078125，n =6，S=0.015625＞01.0=t ，是，循环；执行第7次，m S S -==0.0078125，2mm ==0.00390625，n =7，S=0.0078125＞01.0=t ，否，输出n =7，故选C. (10)【答案】A【解析】3)(-=a f ，∴当1≤a 时，322)(1-=-=-a a f ，即121-=-a ，此等式显然不成立，当1>a 时，3)1(log 2-=+-a ，解得7=a .2722)1()6(11-=-=-=-∴--f a f ，故选A.(11)【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体的组合体.其表面积为22222)54(242r r r r r ππππ+=+++.由ππ2016)54(2+=+r ，得2=r .故选B.(12)【答案】C【解析】设),(y x 是函数)(x f y =的图像上任意一点，它关于直线x y -=对称为（,y x --），由已知知),(x y --在函数a x y +=2的图像上，a y x +-=-∴2，解得a x y +--=)(log 2，即a x x f +--=)(log )(2，14log 2log )4()2(22=+-+-=-+∴a a f f ，解得2=a ，故选C.二、填空题 (13)【答案】6【解析】n n a a a 2,211==+ ，∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 12621)21(2=--=∴n n S ，642=∴n ，6=∴n .(14)【答案】1【解析】13)(2+='ax x f ，13)1(+='∴a f ，即切线斜率13+=a k . 又2)1(+=a f ，∴切点为)2,1(+a ， 切线过（2,7），132172+=--+∴a a ，解得1=a . (15)【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线03:0=+y x l ，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧=+-=-+,012,02y x y x 解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.(16)【答案】612【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义，知||2||1PF a PF +=.APF ∆∴的周长为||||2||||||||1AF PF a PA AF PF PA +++=++a AF PF PA 2||||||1+++.由于||2AF a +是定值，要使APF ∆周长最小，只需||||1PF PA +最小，即1,,F A P 共线. )0,3(),66,0(1-F A ,∴直线1AF 的方程为1663=+-y x ，即362-=y x ，代入1822=-y x ，并整理得096662=-+y y .解得62=y 或68-=y （舍去），所以P 点的纵坐标为62.612626216662111=⨯⨯-⨯⨯=-=∴∆∆∆PFF AFF APF S S S . 三、解答题（17）【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得ac b 22=. 又b a =，所以412cos 222=-+=ac b c a B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知2b =2ac .因为 90=B ，由勾股定理得222b c a =+. 故ac c a 222=+，2==a c .所以△ABC 的面积为1.（18）【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . （Ⅱ）设AB =x .在菱形ABCD 中，因为120=∠ABC ，ABCDEG所以AG =GC =x 23，GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在AEC ∆Rt 中，可得x EG 23=. 因为BE ⊥平面ABCD ，所以△EBG 为直角三角形，可得BE =x 22. 由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3624621313==⋅⋅⨯⨯=-x BE GD AC V ACD E . 解得x =2.从而可得AE =EC =ED =6.所以EAC ∆的面积为3，EAD ∆的面积与ECD ∆的面积均为5. 所以，三棱锥E -ACD 的侧面积为523+.（19）【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，x d c y +=适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（Ⅱ）令x =ω，先建立y 关于w 的线性回归方程式. 由于686.18.108)())((81281==---=∑∑==i ii i iy y d ωωωω，6.1008.668563=⨯-=-=ωd y c. 所以y 关于w 的线性回归方程为ω686.100+=y,因此y 关于x 的回归方程为x y 686.100+=.（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值6.57649686.100=+=y， 年利润z 的预报值32.66492.06.576=-⨯=z.（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值12.206.13)686.100(6.2.0++-=-+⨯=x x x x z. 所以当8.626.13==x ，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. （20）【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1+=kx y ，即01=+-y kx . 因为l 与C 交于两点，所以11|132|2<++-k k .解得374374+<<-k . 所以k 的取值范围为)374,374(+-. （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N .将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x ，整理得07)1(4)1(22=++-+x k x k .所以2211)1(4k k x x ++=+，22117k x x +=. 所以2121y y x x ON OM +=⋅1)()1(21212++++=x x k x x k 81)1(42+++=k k k .由题设可得1281)1(42=+++k k k ，解得k =1，所以l 的方程是1+=x y .故圆心C 在l 上，所以2||=MN .（21）【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，)0(e 2)(2>-='x xa x f x . 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f '没有零点； 当0>a 时，因为x 2e 单调递增，xa-单调递增，所以)(x f '在),0(+∞单调递增. 又01e 2)(2>-='a a f所以，当0>a 时)(x f '存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设)(x f '在),0(+∞的唯一零点为0x . 当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增， 所以0x x =时，)(x f 取得最小值，最小值为)(x f . 由于0e 2020=-x a x 所以，当0>a 时，aa a x f 2ln 2)(+≥.（22）【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，BC AE ⊥，AB AC ⊥. 在AEC ∆Rt 中，由已知得，DE =DC ，故DCE DEC ∠=∠. 连接OE ，则∠OBE =∠OEB . 又∠ACB +∠ABC =90°，所以∠DEC +∠OEB =90°. 故 90=∠OED ，DE 是⊙O 得切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ，由已知得32=AB ，212x BE -=. 由射影定理可得，BE CE AE ⋅=2，所以2212x x -=，即42120x x +-=，解得3=x .所以 60=∠ACB . （23）【解析】（Ⅰ）因为θρcos =x ，θρsin =y ，所以1C 的极坐标方程为2cos -=θρ， 2C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ.（Ⅱ）将4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ，得04232=+-ρρ， 解得221=ρ，22=ρ.故221=-ρρ，即2||=MN . 由于2C 的半径为1，所以MN C 2∆的面积为21. AOBD C E（24）【解析】（Ⅰ）当1a =时，1)(>x f 化为01|1|2|1|>---+x x . 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得132<<x ； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<. 所以1)(>x f 的解集为}232|{<<x x . （Ⅱ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数)(x f 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)0,312(-a A ，)0,12(+a B ，)1,(+a a C ，ABC ∆的面积为2)1(32+a .由题设得6)1(322>+a ，故2a >. 所以a 的取值范围为),2(+∞.2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考点分析。