【精品】(一)导数的概念及运算
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（第一讲）导数的概念及运算
一、导数的概念：
函数y ＝)(x f 的导数)(x f 'Δx
→
0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx x y
∆∆的,即
)(x f '＝＝．
二、导函数：函数y ＝)(x f 在区间（a,b)就说)(x f 在区间(a ，b ）内，其导数也是（a,b)叫做)(x f 的，记作)(x f '或x y '，
函数)(x f 的导函数(x f '0x x =时的函数值，就是)(x f 在0x 处的导数。
三、导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点
),(00y x M 处的。
四、求导数的方法：
）='
C (C 为常数）
；（2）='
)(a x （a ；
='
)(sin x ；(4）='
)(cos x ； ）=')(x e ；（6）='
)(x a ； =')(ln x ；（8）='
)(log x a
. []'±)()(x g x f = ）[]'
)()(x g x f •=
）
'
)()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x g x f =,0)(≠x g
）[]')(x kf =
)(x θ=在点x 处可导，)(u f y =在)(x θ=处可导，则复合函数)]在点x 处可导，且)(x f '=,
x u x u y '⋅'='。
、求函数y=
1
2+x 在x 0到
x 0+Δx 之间的平均变化率。
变式训练1.求y=x
在x=x 0处
的导数.
例2。
求下列各函数的导数：
（1）
;sin 2
5
x
x
x x y ++=
(2）
)
13ln(2-+=x e y x
(3);4cos 212sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y
变式训练2:求y=tanx 的导数
例3。
已知曲线
y=.
34313+x
(1)求曲线在x=2处的切线方
程;
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程。
变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2
+2x 相切,则k=。
例4。
设函数
b x ax x f ++
=1
)((a ，
b∈Z ），曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3。
(1)求)(x f 的解析式；
(2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
变式训练4：偶函数f
（x)=ax 4+bx 3+cx 2
+dx+e 的图象
过点P(0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x ）的解析式。
个物体的运动方程为
,12
t t y +-=其中y 的单位：m ，t 的单位：s,那么物体在3s 末的瞬时速度是_______s m 。
2。
已知f(x ）=sinx （cosx+1)，
则)(x f '等于_______。
3.设P 为曲线C ：y=x 2
+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为
_______.
4.若点P 在曲线y=x 3-3x 2+(3—
3
）x+43上移动,经过点P 的切
线的倾斜角为α，则角α的取值范围是_______。
5。
（2008南通调研)给出下列的命题:①若函数0
)0(,)('3==f x x f 则;②若函数12)(2
+=x x f 图像上P （1，3)及邻近点Q （1+),3,y x ∆+∆则
x x y ∆+=∆∆24；③加速度是动点位移函数)(t s 对时间t 的导数；④
x x x y x x y x
x
x x
12
222,lg 222'
2-⋅-⋅=+=则，其中正确的命题是_______.
6.（2009南通调研）曲线C ：
()sin e 2x f x x =++在x =0处的切线方程为_______. 7。
（2009徐州调研）.已知函
数f(x ）=()2f π
'sinx+cosx,则()4
f π
=。
8．（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为. 9．（2009福建卷理）若曲线
3()ln f x ax x
=+存在垂直于y
轴的切线,则实数a 取值范
围是_____________。
10．（2009陕西卷理）设曲线1*
()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,则1299
a a a +++的值为。
11．设f （x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0）=_________
作业： 设函数
()b
f x ax x
=-
，曲线()
y f x =
在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．
（Ⅰ）求()f x 的解析式;
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．。
