下载文档原格式
第八章 压杆稳定在某些特殊情况下（特别是杆件受压时），尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。
§8.1压杆稳定的概念物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。
工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。
杆件受到压力后，保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。
平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态），受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。
压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。
图8.1工程中实际的压杆，其轴线不可避免的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。
杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图8.1(b)所示，称为小偏心压杆。
初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。
实质上是偏心受压杆件。
如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零），则压杆简化学习指导本章分4节内容，本章的学习目标是：（１）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。
（２）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。
本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯==相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯==相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯==相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯==相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EJP l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：962001092.62301033827452.51.22p p s s Ea b λππσσλ⨯===⨯--===()ejMPa σej z σσ=338 1.22ej σλ=-22ej E πσλ=274274225 216 137 87 λ52.5≤52.592.610012015015-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。
若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。
试校核此挺杆的稳定性。
解：(1)()()()344442222222101084.332886411641210 3.90544413839884.833.905p p p EJ D d D d J i D d mm AD d liλππσπππμλλ⨯====--===+=+=-⨯===>=该压杆属大柔度杆()()2229222223210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l N ππππλμ⨯⨯===⨯+=⨯ （2） 7.463.22.33cr w P n n ===>工作P该杆的稳定性足够。
15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d ＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。
稳定安全系数规定为3=W n 。
试校核其稳定性。
解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。
柔度应为：2500771001524p li μλλ⨯===<=⨯应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b MPa =。
则：32304 1.1277218218100.05246244623.083150ej ej ej ej w a b MPaP A KN P n n Pσλπσ=-=-⨯===⨯⨯⨯====>=工作所以满足稳定性要求。
15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35Dt =，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=W n ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。
试确定用杆的截面尺寸。
解：先按大柔度杆解()()4292222722101064351168.345810cr D D D EJ P l Nπππμ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯=⨯7438.3458105.5 5.522210cr w P D n ⨯⨯>==⨯P 44222553473508.345810D mm mm ⨯==⨯ 1035D t mm == 330d mm ∴=校核应用的公式是否对：22221350330120.2644116000133120.26pD d i mmul i λλ-==-=⨯===> 所以上面的计算有效。
15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷max Q ；(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数W n ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆1,10480018008010di mm l mm ul i μλ====⨯===3A 钢100p λ=p λλ∴< 属于等杆2304 1.1280214.4214.440269.44cr cr cr ABa b MPa P A KN N σλπσ=-=-⨯===⨯⨯==22900sin 600800600600800118.8900cr cr Q P P Q KN θ⨯=⨯-⨯==极限极限 （2）118.81.702.070w Q n Q η===<=极限工作工作所以托架不安全。
15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T20=时安装，此时管子不受力。
已知钢的线膨胀系数C/1105.126-⨯=α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？ 解:2222117060 2.3440.5600130.51002.3p J i D d cm A l i μλλ==-=-=⨯===>= 属大柔度杆设温度t C ∆;则管子变形tl δα=∆ 伸长管子受压力cr P P = 变形cr P lEA∆=缩短 变形协调条件0δ+∆=或者δ=∆()222222646.4130.512.510cr P l E ltl AEA EAt παλππλα-∆==∴∆===⨯⨯即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。
π10=dL。
若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。
试确定作用于节点A 处的载荷P 的临界值。
解：AB 杆为铰支1μ=AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。
由于对称()()cr cr AC AD P P =()()222220:2cos3036.12cos300.7cos30crcrcr ABAC y P P P EJEJEJ l l l ππ==+=+⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∑15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。
试确定载荷P 为最大时的θ角。
⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。
解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。
两杆的临界力为：()()2222cos sin ABACcr AB cr AC EJP P l EJP P l πθπθ====设BC 间距为L ，则cos ,sin AB AC l L l L ββ==代入上式222222cos sin sin sin A EJ P L EJP L πθβπθβ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭ 消去P 得 222222cos cos sin sin EJ EJL L ππβθβθ= 即：2tg ctg θβ= ()2arctg ctg θβ∴=15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。
已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。
试求柱塞的工作安全系数。
解：工作压力()()2632100.12361.734P pA KN π==⨯⨯⨯=工作2.0μ= 1.6l m =()10.120.03442 1.6106.70.03i d m l i μλ====⨯∴=== 45钢86p pλλλ===∴>属细长杆2222922621010 5.7106.73210cr cr cr EE P P πσλσσππησλ∴=⨯⨯=====⨯⨯工作工作15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A 3钢，连杆所受最大输向压力为465kN 。
连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。
解：（1）xy 平面内：()()()337421,3100119614096148512121.77551014096859614647052.391310059.252.39z l mmEi A J mm A mm i mml i μμλ===⎡⎤=⨯--⨯⎣⎦=⨯=⨯-⨯-=∴=⨯∴=== 3A 钢：100,106p s λλ==xy ∴面内属短杆p λλ<()6623510647010152015203.27465cr s cr xy P A KN P mm P ση-∴==⨯⨯⨯=∴===工作（2）xz 面内：()33640.5,31001185142140859612124.0741025.102310024725.10y pl mm E i A J mm i mm l iμμλλ===⎡⎤=⨯⨯+⨯-⨯⎣⎦=⨯∴=⨯∴===> 所以属细长杆。
()229622200106470102472092091465cr cr xy E P A KN P P ππλη-⨯⨯∴==⨯⨯=∴==<工作所以不安全。
15-13钢结构压杆由两个85656⨯⨯等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。
（2）抛物线公式。
试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：1, 1.5,150l m P KN μ===工作查表：56568⨯⨯角钢：244min 28.367223.63247.24223.631.6828.3671 1.589.30.0168z y z A cm J cm J cm J i cm A l i μλ=⨯=⨯=⨯⨯∴===⨯⨯∴===3A 钢：123e λλ=>所以采用抛物线公式计算：226432400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010cr cr a MPa b MPaa b MPa P P σλη-===-=-⨯=⨯⨯⨯⨯∴===⨯工作工作15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，P σ＝200MPa ，试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm 时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。
