【高考试卷】近年江苏高考数学考题评析之立体几何(教师版)

C B AG H MDE F1B 1A 1D1CN2007-2011江苏高考数学 立体几何 考题评析2007年 立体几何 注：当年全卷共21道题 10道选择题 6道填空题 5道解答题分数5+5+12=22分4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①、③； B ．②、④； C ．①、④； D ．②、③ 【解析】②中，m n ，有可能是异面直线；③中，n 有可能在α上，都不对，故选（C ）14．正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面ABC 所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是.【解析】如图，∠PBO ＝45°，PO ＝OB ＝2，OD ＝1，BDPB ＝PDAD ＝3，1122AD PO PD AE ⋅=⋅， 得AE . 18．如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分）（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上， GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分） （3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ．（4分）【解析】本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力． 解法一：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ， 则1AE DN ==，12CF ND ==．∵AE DN ∥，1ND CF ∥，∴四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形． 从而EN AD ∥，1FD CN ∥．又∵AD BC ∥，∴EN BC ∥， ∴四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．∴1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，∴BGM CFB =∠∠，tan tan BM BG BGM BG CFB =⋅=⋅∠∠23132BC BG CF =⋅=⨯=． ∵AE BM ∥，∴ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又∵AB ⊥平面11BCC B ，∴EM ⊥平面11BCC B ．1D1A A B C D 1C 1B ME F HG（3）如图，连结EH ．∵MH BF ⊥，EM BF ⊥，∴BF ⊥平面EMH ，得EH BF ⊥． ∴EHM ∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠． ∵MBH CFB =∠∠，∴sin sin MH BM MBH BM CFB =⋅=⋅∠∠1BM ===，∴tan EMMHθ== 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE =，，，(032)BF =，，，1(333)BD =，，，∴1BD BE BF =+， ∴1BD ，BE ，BF 共面． 又∵它们有公共点B ，∴1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，设(00)M z ，，，则2(0)3GM z =-，，， 而(032)BF =，，，由题设得23203GM BF z ⋅=-⨯+⨯=，解得1z =．∵(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =，，，又1(003)BB =，，，(030)BC =，，， ∴10ME BB =，0ME BC =，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥． ∴ME ⊥平面11BCC B ．（3）设向量(3)BP x y =，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF ⊥．而(301)BE =，，，(032)BF =，，，得330BP BE x =+=，360BP BF y =+=， 解得1x =-，2y =-，∴ (12 3)BP =--，，． 又(300)BA =，，⊥平面11BCC B ，∴BP 和BA 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）．于是cos 14BP BA BP BAθ==． ∴tan θ=2008年 立体几何 注：从这一年开始 正卷共20道题 14道填空题 6道解答题附加题卷4选2，加2道解答题，共4道题 每题10分 共40分分数14+10＝24分A B C DE F16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：（1）直线//EF 面ACD ；（2）平面EFC ⊥面BCD ． 【解析】（1）∵E ，F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥AD ，∵EF ∥⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD ，∵CB =CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD ；又∵EF ∩CF =F ，∴BD ⊥平面EFC ，∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面B C D ．22．【必做题】如图，设动点P 在棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD上， 记11D PD Bλ=；当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围． 【解析】由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ； 由1(1,1,1)D B =-，得11(,,)D P D B λλλλ==-，∴11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---； 显然APC ∠不是平角，∴APC ∠为钝角等价于：cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC∠=<>=<，则等价于0PA PC <；即：2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<； ∴λ的取值范围是1(,1)3．2009年 立体几何分数5+5++14=24分8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间 内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 【解析】考查类比的方法．体积比为1：8．12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

例析江苏高考立体几何问题作者：雷晓梅来源：《中学生数理化·教与学》2015年第11期江苏高考立体几何填空题和解答题一般比较容易，属于中档题，大部分题目来源于教材或历年高考题的变式，要求考生具有一定的空间想象能力和逻辑推理能力.本文通过对近年高考数学立体几何考查分布表及考查知识点的分析，以考题为例明确了常考题型的解题方法，对线面、面面关系提供一些复习策略.一、江苏省近年高考数学（前160分）课标中立体几何考查分布表及考查知识点2010年文科试卷，填空题第12题（5分）和解答题第16题（14分），主要考查了线线垂直与点到面的距离；2011年文科试卷，解答题第16题（14分），主要考查了面面垂直与线面平行的证明；2012年文科试卷，填空题第7题（5分）和，解答题第16题（14分）），主要考查了锥体体积，线面平行与面面垂直的证明；2013年文科试卷，填空题第8题（5分）和，解答题第16题（14分），主要考查了柱体，锥体体积，面面平行与线线垂直的证明；2014年文科试卷，填空题第8题（5分）和解答题第16题（14分），主要考查了柱体的体积，线面平行与面面垂直的证明.由以上对近年的高考数学立体几何试题分析可知，立体几何试题的考查主要集中在线面、面面平行和垂直的位置关系及几何体的体积，表面积的计算等，复习时主要从一条主线“线线-线面-面面”进行梳理和总结，应多练习写出既简明又完整的证明过程，尤其要注意写出必要的证明步骤，不要“跳步”，重视对图形的结构进行剖析，挖掘图形中隐含的条件，从而达到事半功倍的效果.二、明确常考题型的解题方法立体几何解答题要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，体会量与位置关系的变与不变，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者之间的内在联系，让学生体会到空间问题平面化（即转化与降维思想），在立体几何复习教学中也应遵循循序渐进的教学策略.面对空间几何考查思维本质的题目，应将培养学生空间想象能力作为立体几何教学的首要准则，将立体几何形成的4大公理，判定定理和性质定理作为教学的核心，以认知立体几何本质作为教学的目标，以培养想象能力作为教学方向.3.抓好立体几何中的线面关系.在立体几何中，线面关系是一个非常重要的内容，在高考中也是一个必考考点，难度中等，常常在解答题中出现.一般是将线面关系问题转化为线线关系问题.总之，立体几何的考查重点仍是位置关系的证明及体积计算，尤其是以规则几何体为载体的线面关系论证与计算是热点，注重回归课本，关注基本能力，知识交汇，注重通解通法，关注数学思想，注重空间想象能力.。

1立体几何经典真题1【2023年新课标全国乙卷第19题】如图,在三棱雉P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=5DO,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF⎳平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.AB CDEFOP【答案】1 见解析;2 见解析;3 见解析.【解析】1 【解法一】∵A,F,C三点共线,故设BF=λBA+1-λBC,又OA=BA-BO=BA-12BC,BF⊥OA,BA⊥BC,∴BF∙OA=λBA+1-λBC∙BA-12BC=λBA2-121-λBC2=λ∙22-121-λ∙222=8λ-4=0,解得λ=12,∴BF=12BA+12BC,故F为AC的中点,∵D,E,O分别为BP,BC,AP的中点,∴DO∥BC∥EF,∵EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,∴EF∥平面ADO;【解法二】∵AB⊥BC,故以B为原点,BA,BC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B0,0,A2,0,C0,22,D0,2,∵点F在AC上,直线AC方程为x2+y22=1,∴设F a,22-a,∵AD⊥BF,∴k AD∙k BF,即2-00-2∙22-aa=-1,解得a=1,∴F12,即F为AC的中点,∵D,E,O分别为BP,BC,AP的中点,∴DO∥BC∥EF,xyAB CFD2∵EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ,∴EF ∥平面ADO ;2 ∵OA =BO 2+BA 2=6,OD =12PC =62,AD =5DO =302,∴AD 2=OD 2+OA 2,∴OA ⊥OD ,∵OD ∥EF ,∴OA ⊥EF ,又∵OA ⊥BF ,BF ∩EF =F ,∴OA ⊥平面BEF ,∵OA ⊂平面ADO ,∴平面ADO ⊥平面BEF ;3【解法一】过点O 作OH ∥BF ,交AC 于点H ,设AD ∩BE =G ,如图所示,∵AO ⊥BF ,∴OH ⊥OA ,且FH =13AH ,由2 知,OA ⊥OD ,∴∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角,∵D ,E 分别为BP ,AP 的中点,∴G 为△P AB 的重心,∴DH =32GF ,在△P AB 中,AB 2+AP 2=2AD 2+2BP 22,解得AP =14,BA 2+BP 2=2BE 2+2AP 2 2,解得BE =62,∵EF =12PC =62,∴BF 2=EB 2+EF 2,即EB ⊥EF ,∵EG =13BE =66,∴GF =EG 2+EF 2=153,∴DH =152,∵OH =12BF =14AC =32,在△ODH 中,∠DOH cos =OD 2+OH 2-DH 22OD ∙OH=22,∴二面角D -AO -C 的正弦值为22;【解法二】设BF ∩AO =M ,AD ∩BE =G ,连接GM ,GF ,由1 及2 ,∠GMF 为二面角D -AO -C 的平面角,∠GMB 为其补角,∵D ,E 分别为BP ,AP 的中点,∴G 为△P AB 的重心,又O ,F 分别为BC ,AC 的中点,∴M 为△ABC 的重心,∴∠GMB =∠EFB ,在△P AB 中,AB 2+AP 2=2AD 2+2BP 22,解得AP =14,BA 2+BP 2=2BE 2+2AP 2 2,解得BE =62,∵EF =12PC =62,∴BF 2=EB 2+EF 2,即EB ⊥EF ,∴∠EFB tan =BEEF=1,即∠EFB =45°,ABCDE FO PGMABCD EFOPGH3∴∠GMF =180°-45°,即二面角D -AO -C 的正弦值为22;【解法三】以向量BA ,BC ,BP为空间向量的一组基底,设平面ABC 的法向量为m =x 1BA +y 1BC +z 1BP ,平面OAD 的法向量为n=x 2BA +y 2BC+z 2BP ,则m ∙BA =0,m ∙BC =0, ⇒x 1=-y 1,z 1=-2y 1,取y 1=-1,则m=BA -BC +BP ,n ∙AD =0,n ∙AO =0, ⇒y 2=0,z 2=x 2,取x 2=1,则n=BA +BP ,∵m =23,n =6,m ∙n=6,∴m ,n cos =m ∙n m n =22,∴二面角D -AO -C 的正弦值为22;【解法四】由2 知OD ⊥OA ,BF ⊥OA ,CP ∥OD∴CP ,BF或其补角为二面角D -AO -C 的平面角,∵CP =BP -BC ,BF =12BA +BC ,CP=6,BF =3,又CP ∙BF =BP -BC ∙12BA +BC=6,∴CP ,BF cos =CP ∙BFCP BF=22,∴二面角D -AO -C 的正弦值为22;【解法五】依题意,以B 为原点,BA ,BC ,BA ×BC的方向为方向建立空间直角坐标系,由2 知AO ⊥平面BEF ,∴平面ABC ⊥平面BEF ,又BE =62,EF =62,BF =12AC =3,∴BE 2+FE 2=BF 2,∴BE ⊥FE ,且点E 在平面ABC 内射影为BF 中点,∵B 0,0,0 ,A 2,0,0 ,C 0,22,0 ,F 1,2,0 ,O 0,2,0 ,∴E 12,22,32,P -1,2,3 ,D -12,22,32 ,设平面AOD 法向量为m=x ,y ,z ,∵OD =-12,-22,32 ,OA =2,-2,0 ,∴m ∙OD=0,m ∙OA =0, ⇒m=x ,2x ,3x ,取x =1,∴m=1,2,3 ,又n=0,0,1 为平面ABC 的一个法向量,∴m ,n cos =m ∙n m n=22,∴二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCDEFOPxyz42【2023年新课标全国甲卷第18题】如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=2，A 1C ⊥底面ABC ,∠ACB =90°,A 1到平面BCC 1B 1的距离为1.1 求证:AC =A 1C ;2 若直线AA 1与BB 1的距离为2,求AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.ABCA 1B 1C 1【答案】1 见解析;21313.【解析】1 【解法一】∵A 1C ⊥底面ABC ,AC ,BC ⊂平面ABC ,∴A 1C ⊥AC ,A 1C ⊥BC ,∵∠ACB =90°,∴BC ⊥CA ,∵AC ∩A 1C =C ,∴BC ⊥平面ACC 1A 1,∵BC ⊂平面BCC 1A 1,∴平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1,又∵A 1C 1//AC ,∴A 1C ⊥A 1C 1,在▱ACC 1A 1中,取CC 1的中点H ,连接A 1H ,由直角三角形性质,A 1H =12CC 1=12AA 1=1,∵A 1到平面BCC 1B 1的距离为1,平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1,且平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1=CC 1,∴A 1到平面BCC 1B 1的距离即为A 1H ,即A 1H ⊥平面BCC 1B 1,且A 1H ⊥CC 1,∴△A 1CC 1是以CC 1为斜边的等腰直角三角形,故A 1C =A 1C 1,∴AC =A 1C ;【解法二】∵A 1C ⊥底面ABC ,且∠ACB =90°,CA ,CB ⊂平面ABC ,∴A 1C ⊥CA ,A 1C ⊥CB ,CA ⊥CB ,∴以C 为原点,CA ,CB ,CA 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,设A a ,0,0 ,B 0,b ,0 ,C 0,0,0 ,A 10,0,c ,C 1-a ,0,c 设平面BCC 1B 1的法向量为n =x ,y ,z ,∵CB =0,b ,0 ,CC 1=-a ,0,c ,∴n ∙CB=0,n ∙CC 1 =0, 即y =0,-ax +cz =0,取n =c ,0,a ,ABCA 1B 1C 1H5∵A 1到平面BCC 1B 1的距离为1,∴CA 1 ∙n n =0,0,c ∙c ,0,a c 2+a 2=acc 2+a 2=1,又∵c 2+a 2=4,∴a =c =2,∴AC =A 1C ;2 【解法一】取AA 1的中点M ,连接CM ,BM ,由1 解法一,CM ⊥平面BCC 1B 1,∴BB 1⊂平面BCC 1B 1,BB 1//AA 1,∴CM ⊥BB 1,CM ⊥AA 1,又∵BC ⊥平面ACC 1A 1,BM 在平面ACC 1A 1内的射影为CM ,由三垂线定理,BM ⊥AA 1,∴BB 1//AA 1,∴BM ⊥BB 1,∴线段BM 为直线AA 1与BB 1的公垂线段,∴BM =2,由1 可得CB =3,∵BM =2,AM =1,∴∠BAM cos =15,∠AA 1B 1cos =-15,∴AB 12=AA 12+A 1B 12-2AA 1∙A 1B 1∠AA 1B 1cos =22+52-2×2×5×-15=13,∴AB 1=13,设直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角为θ,则θsin =CMAB 1=113=1313,∴直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为1313.【解法二】由1 知AA 1 =-2,0,2 ,AB=-2,b ,0 ,∴B 到直线AA 1的距离为AB 2-AA 1 ∙ABAA 12=2+b 2 -222+222=2,解得b =3,设直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角为θ,∵AB 1 =AA 1 +A 1B 1 =AA 1 +AB=-2,0,2 +-2,3,0 =-22,3,2 ,由1 知n =2,0,2 为平面BCC 1B 1的一个法向量,∴θsin =n ,AB 1 cos =n ∙AB 1n AB 1 =222+22-22 2+32+22=1313,直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为1313.ABCA 1B 1C 1MN ABCA 1B 1C 1xyzABCA 1B 1C 1xyz。

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上. 或者，若在上，设,有. αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=故上有一点（的中点）满足条件.同理在、、、、上各有一点满足条件.又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C的棱长为1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .AB P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1BB 12PA PC +=>1BB P 1DD P解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为1A 1B2A2B 2A2B3A3B2A2B3A3B218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。